（期末复习）第二单元《因数和倍数》(知识梳理+易错点拨+13个考点讲练+压轴题训练 共54题）-2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义

2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义 第二单元《因数和倍数》 期末真题汇编复习加油站（教师版） （知识梳理+易错点拨+13个考点讲练+压轴题专练 共54题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 　　(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 　　(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) 　　(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 　合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， 　　(2)最小的质数是2 最小的合数是4 　　(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 　　(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 　　(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 　　(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 模块二 高频易错考点点拨 1. 如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。 2. 因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 3. 不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。 4. 无限多的两种数量不能比较多少。 5. 1既不是质数，也不是合数。 6. 最小的质数是2，最小的合数是4。 7. 3的倍数也可以是偶数。 8. 自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。 9. 2是偶数中唯一的质数。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：因数和倍数的认识 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 15 1、3、5、15 【思路点拨】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。一个数的最小倍数也是本身。一个数的最大因数是15，说明这个数就是15，再通过等积式求出它的因数即可。 【规范解答】15＝1×15＝3×5 一个数的最大因数是15，它的最小倍数是15，它的因数有1、3、5、15。 【精练题01】（23-24五年级下·山东济宁·期末）《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 【答案】 1、3、9、27、81 81 【思路点拨】找一个数的因数，可以应用列举法、列乘法算式法。一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】，， 所以81的因数有1、3、9、27、81；81的最小倍数是81。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 【答案】 98 35 【思路点拨】最大的两位数是99，用99除以7求出商和余数，用99减去余数即是所求；一个数的因数最小是1，最大是它本身。据此解答。 【规范解答】 因此，在7的倍数中，最大的两位数是98； 一个数只有a、5、7、35四个因数，即该数最小的因数是a，最大的因数是35，因此，这个数是35。 重难点考点02：找一个数的因数及因数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，不是60的因数的是（    ）。 A．1 B．15 C．24 D．60 【答案】C 【思路点拨】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。据此求出60的因数，进而解答。 【规范解答】60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10 60的因数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30； 不是60的因数是24。 故答案为：C 【精练题01】（23-24五年级下·广东阳江·期末）20的因数有( )，40以内12的倍数有( )。 【答案】 1、2、4、5、10、20 12、24、36 【思路点拨】找一个数的因数，可以一对一对的找，把20写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是20的因数，然后从小到大依次写出即可； 求一个数的倍数的方法用这个数分别乘自然数： 1、2、3、4、5……所得积就是这个数的倍数，据此写出40以内12的倍数即可。 【规范解答】20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有：1、2、4、5、10、20； 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48（超过40所以排除） 40以内12的倍数有：12、24、36。 【精练题02】（23-24五年级下·浙江温州·期中）学校鼓号队进行鼓号操表演，一共有24人出场，每排人数要同样多，如果排数必须在2~12排之间，一共有几种不同的列队方式？ 【答案】6种 【思路点拨】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；先写出24的因数，然后排除1与24即可。 【规范解答】24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6，因为排数必须在2~12排之间，则排除1、24，则可以排2排每排12人、排3排每排8人、排4排每排6人、排6排每排4人、排8排每排3人、排12排每排2人，共有6种不同的列队方式。 答：一共有6种不同的列队方式。 重难点考点03：根据因数的特征解决问题 【精讲题】（22-23五年级下·山西晋中·期末）古希腊数学家认为，如果一个数恰好等于它所有的因数（本身除外）的和，那么这个数就是“完全数”。如：6的因数有1、2、3、6，则有1＋2＋3＝6的关系，那么6就是一个“完全数”。下面（    ）是“完全数”。 A．15 B．28 C．36 【答案】B 【思路点拨】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此将选项中的数全部因数写出，找出符合题意的即可。 【规范解答】A．15的因数有：1、3、5、15，因为1＋3＋5＝9，所以15不是完全数； B．28的因数有：1、2、4、7、14、28，因为1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数； C．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，因为1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，所以36不是完全数； 故答案为：B 【精练题01】（21-22五年级下·浙江温州·期末）小明爸爸要给一个长180cm、宽120cm的长方形浴室地面铺瓷砖。如果要求用整块的瓷砖正好铺满（不切割），那么下面几种瓷砖中，不符合要求的是（    ）。 A． B．C． D． 【答案】B 【思路点拨】正方体瓷砖的棱长，长方体瓷砖的长和宽，只要是浴室地面长和宽的因数即可。 【规范解答】A．180÷30＝6、120÷30＝4，符合要求； B．180÷50不能整除，120÷50不能整除，不符合要求； C．180÷60＝3、120÷40＝3，符合要求； D．180÷60＝3、120÷30＝4，符合要求。 故答案为：B 【精练题02】（21-22五年级下·重庆酉阳·期末）聪聪买了几袋糖，价钱如图。聪聪正好花了18元，他买的糖有( )种可能。 【答案】4 【思路点拨】由于正好花了18元，所以单价是18的因数的糖果，可以单独购买；也可以组合两种糖果购买，总价是18元即可。据此把情况列举出来即可。 【规范解答】①18÷9＝2（袋），买2袋9元的； ②18÷3＝6（袋），买6袋3元的； ③买1袋9元的、3袋3元的； ④买1袋3元的、3袋5元的。 他买的糖有4种可能。 重难点考点04：找一个数的倍数及倍数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·河南周口·期末）一个数的最小倍数是12，这个数的最大因数是( )。 【答案】12 【思路点拨】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。所以一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。 【规范解答】一个数的最小倍数是12，则这个数是12，它的最大因数是12。 【精练题01】（21-22五年级下·广东汕尾·期末）一个数最大因数与这个数最小倍数（    ）。 A．相等 B．不相等 C．可能相等 D．可能不相等 【答案】A 【思路点拨】一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的最小的倍数是它本身，没有最大倍数，据此解答即可。 【规范解答】一个数的最大因数与这个数的最小倍数都是它本身，所以这个数的最大因数与最小倍数相等。 故答案为：A 【精练题02】（22-23五年级下·四川遂宁·期末）把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 【答案】4 【思路点拨】把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 【规范解答】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 重难点考点05：根据倍数的特征解决问题 【精讲题】（21-22五年级上·四川巴中·期末）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】见详解 【思路点拨】根据可能性的大小与数量的多少有关，数量多则可能性就大，反之就小；2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，所以小军的胜率比小明的胜率大，这个游戏不公平；1、2、3、4、5、6这6个数，分别有3个单数，有3个双数，要使游戏是公平，可以猜单双数。据此解答即可。 【规范解答】2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，据此可知这个游戏不公平，因为2的倍数和3的倍数的个数不同，赢的可能性必然不同。设计一个公平的游戏规则如下：猜单数和双数，如果单数小明赢，双数小华赢。 【精练题01】（21-22五年级上·贵州毕节·期末）某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，下面哪个时间不发车（    ）。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：20 【答案】C 【思路点拨】由“每隔15分钟发一辆”可知，每辆车发车的时间与第一辆车间隔的时间是15的倍数，据此可知：某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，以后发车的时间分别是6：35、6：50、7：05、7：20……。 【规范解答】由分析可知： 某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，7：15不发车。 故答案为：C 【精练题02】（21-22五年级下·河南郑州·期末）14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。 【答案】c 【思路点拨】结合倍数的定义，以及从题目的例子中可以看出，如果两个数分别是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数，据此解答即可。 【规范解答】因为ac＋bc＝（a＋b）×c，ac是c的倍数，bc也是c的倍数，ac＋bc的和一定是c的倍数。 重难点考点06：倍数和因数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路点拨】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【规范解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 【精练题01】（23-24五年级上·河南郑州·期末）张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 【答案】B 【思路点拨】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”进行解答。 【规范解答】第一位数是6的最小倍数，即6； 第二位数是1的因数，即1； 第三位数是7的最大因数，即7； 所以，张老师的电脑开机密码是617。 故答案为：B 【精练题02】（2022六年级下·全国·专题练习） a的最大因数和b的最小倍数相等，那么a与b相等。( ) 【答案】√ 【思路点拨】一个数的最大因数与最小倍数都等于它本身，所以a与b相等。 【规范解答】a的最大因数是它本身，b的最小倍数是它本身，且a的最大因数和b的最小倍数相等，那么a与b相等。 故答案为：√ 重难点考点07：2、5的倍数特征 【精讲题】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）2和3的倍数中，最小的三位数是( )，2、3、5的倍数中，最大的三位数是( )。 【答案】 102 990 【思路点拨】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数；2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】2和3的倍数中，最小的三位数是102；2、3、5的倍数中，最大的三位数是990。 【精练题01】（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个三位数，它既是2和5的倍数，又有因数3，这个三位数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．120 【答案】C 【思路点拨】同时是2和5的倍数，个位数字一定是0，又有因数3即是3的倍数，则各个数位上的数字的和是3的倍数，还要求是最小的三位数，让百位数字是1，用3－1＝2，则十位数字是2。据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 一个三位数，它既是2和5的倍数，又有因数3，这个三位数最小是120。 故答案为：C 【精练题02】（23-24五年级下·浙江台州·期末）学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了58963分，至少加上( )分就是3的倍数；至少去掉( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】 2 3 【思路点拨】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。据此解答。 【规范解答】5＋8＋9＋6＋3＝31 31＋2＝33 33是3的倍数，则至少加上2分就是3的倍数。 能被2和5整除的数末尾是0，则 58963－3＝58960 至少去掉3分就同时是2和5的倍数。 重难点考点08：奇数与偶数的认识 【精讲题】（2021·河北邢台·小升初真题）5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是（    ）。 A．N＋1 B．N＋2 C．N＋3 D．N＋4 【答案】D 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。连续偶数的特点，两个相邻的偶数相差2。 已知5个连续偶数，中间一个数是N，那么N＋2＋2是最大的数。 【规范解答】N＋2＋2＝N＋4 5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是N＋4。 故答案为：D 【精练题01】（23-24五年级下·云南曲靖·期末）晚上，小明正开着灯做作业，顽皮的妹妹按了15下开关，这时灯是( )着的状态。（填“开”或“关”） 【答案】关 【思路点拨】根据题意可知，0下开灯，1下关灯，2下开灯，3下关灯，由此可知偶数下开灯，奇数下关灯，据此填空。 【规范解答】按了15下，15是奇数，这时灯是关着的状态。 晚上，小明正开着灯做作业，顽皮的妹妹按了15下开关，这时灯是关着的状态。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）琳琳、思思和乐乐三人的年龄正好是三个连续偶数，他们的年龄和是24岁，他们中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 【答案】 6 10 【思路点拨】因为三个人的年龄为三个连续的偶数，相邻偶数的差是2，知道三个数的和是42，所以中间的偶数也就是三个数的平均数，据此用他们的年龄和除以3，求出中间的偶数，再用中间的偶数分别减去2、加上2即可解答。 【规范解答】24÷3＝8（岁） 8－2＝6（岁） 8＋2＝10（岁） 所以他们中最小的是6岁，最大的是10岁。 重难点考点09：3的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）在学校举办的“爱心义卖活动”中，五年级共捐款357□元，若这个四位数含有因数3，则□里最大可以填( )；若要使它既是2的倍数又是5的倍数，则□里应填( )。 【答案】 9 0 【思路点拨】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数，据此解答。 【规范解答】357□各个数位上的数字的和：3＋5＋7＝15，15能被3整除，所以□内的数字也是3的倍数，是3的倍数且也是最大的一位数的数字是9，所以□里最大可以填9； 若要使它既是2的倍数又是5的倍数，则□里应填0。 【精练题01】（23-24五年级下·湖南邵阳·期末）要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填( )，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填( )。 【答案】 0 8 【思路点拨】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】（1）要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填0； （2）先考虑37□是2的倍数，则□里可以是0、2、4、6、8； 3＋7＋0＝10，不是3的倍数； 3＋7＋2＝12，是3的倍数； 3＋7＋4＝14，不是3的倍数； 3＋7＋6＝16，不是3的倍数； 3＋7＋8＝18，是3的倍数； 8＞2 所以，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填8。 【精练题02】（23-24五年级下·广西柳州·期末）用6颗珠子在计数器上拨一个四位数，它一定是（    ）的倍数。如果个位不拨珠，这个数就是（奇数偶数）。（圈出正确答案） 【答案】3；偶数 【思路点拨】根据3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数；如果个位不拨珠，那个位上的数字就是0，可确定是2的倍数，根据自然数中，是2的倍数的数，叫作偶数；由此解答即可。 【规范解答】 6是3的倍数， 所以用6颗珠子在计数器上拨一个四位数，它一定是3的倍数。如果个位不拨珠，这个数的个位是0，则这个数就是（）。 重难点考点10：2、3、5的倍数特征综合 【精讲题】（22-23五年级下·福建莆田·期末）从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是( )或( )。 【答案】 240 420 【思路点拨】从0、2、4、5四张数字中选出三个组成一个三位数，这个三位数是2和5的倍数，那么这个三位数的个位一定是0；同时又是3的倍数，则这个三位数的各位上的数字之和是3的倍数；据此得出这个三位数。 【规范解答】从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是240或420。（答案不唯一） 【精练题01】（21-22五年级下·湖北黄石·期末）若四位数8□5□能被2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【答案】8850 【思路点拨】能被2、3、5同时整除的数的特征是：个位数是0，且各位数字之和是3的倍数。据此解答。 【规范解答】8□5□，同时被2和5整除，则这个数的个位上只能是0，即是8□50； 8□50，各位数字之和是：8＋□＋5＋0＝13＋□，要使这个四位数8□50最大且是3的倍数，我们可以从9开始算： 当□＝9时，13＋□＝13＋9＝22，22不是3的倍数，不满足条件； 当□＝8时，13＋□＝13＋8＝21，21是3的倍数，满足条件。 所以这个四位数最大是8850。 【精练题02】（23-24五年级下·山东临沂·期末）亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，则这个四位数最大可能是( )。 【答案】5925 【思路点拨】已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，那么这个数的个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。要求这四位数最大，所以百位上的数字为9，据此解答。 【规范解答】因为这个四位数最大，所以百位上是9。又因为个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。 当个位是0时，数字和为16，不是3的倍数，不满足条件。 当个位是5时，数字和为21，是3的倍数，所以这个最大的四位数是5925。 重难点考点11：质数与合数的认识 【精讲题】（2021·广东肇庆·小升初真题）非0自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( ) 【答案】× 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【规范解答】一个自然数（0除外），不是奇数就是偶数，这一句是正确的； 但自然数1既不是质数也不是合数，所以第二句应说：非0自然数除以了1以外，不是质数就是合数。 原题说法错误。 故答案为：× 【精练题01】（24-25五年级上·内蒙古包头·期末）15的因数有( )，这些因数中有( )个质数。 【答案】 1、3、5、15 2 【思路点拨】可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是15的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是15的因数。只有1和它本身两个因数的数叫做质数。1既不是质数也不是合数。据此解答。 【规范解答】 3和5都是质数。 所以，15的因数有1、3、5、15，这些因数中有2个质数。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北荆州·期末）李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，b是最小的偶数，c是10以内最大的质数，d是最小的合数，这个密码是( )。 【答案】1074 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，a是1；b是最小的偶数，b是2；c是10以内最大的质数，c是7；d是最小的合数，d是4，这个密码是1074。 重难点考点12：质数与合数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【思路点拨】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【规范解答】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 【精练题01】（21-22五年级下·江西宜春·期末）一个长方形的周长是32米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是( )、( )。 【答案】 39平方米/39m2 55平方米/55m2 【思路点拨】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”可知，用周长除以2可求出长与宽的和；再根据质数的意义，确定长、宽的米数；最后根据“长方形的面积＝长×宽”，把长、宽数据代入面积公式计算即可。 【规范解答】32÷2＝16（米） 16＝13＋3＝11＋5 13×3＝39（平方米） 11×5＝55（平方米） 所以这个长方形的面积是39平方米或55平方米。 【精练题02】（22-23五年级下·湖南岳阳·期末）一个四位数，千位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是最小的偶数，这个数是（    ）。 A．1422 B．1420 C．1412 D．1240 【答案】B 【思路点拨】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。 【规范解答】最小的奇数是1，千位上数是1； 最小的合数是4，百位上的数是4； 最小的质数是2，十位上的数是2； 最小的偶数是0，个位上的数是0； 所以这个四位数是1420。 故答案为：B 重难点考点13：运算性质(奇数和偶数) 【精讲题】（23-24五年级下·河南洛阳·期末）下列说法中正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数；②两个奇数的和一定是奇数； ③420既是2的倍数又是5的倍数；④两个质数的积一定是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】①3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； ②根据奇数＋奇数＝偶数，进行分析； ③既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数； ④除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】①个位上是3、6、9的数都是3的倍数，说法错误，如13、16、19，都不是3的倍数； ②两个奇数的和一定是偶数，原说法错误； ③420既是2的倍数又是5的倍数，说法正确； ④两个质数的积的因数除了1和它本身，至少还有一个质数，因此两个质数的积一定是合数，说法正确。 说法正确的有2个。 故答案为：B 【精练题01】（23-24五年级下·河南焦作·期末）把47块糖果分装在甲、乙两个盘中，已知甲盘中的块数是奇数，则乙盘中的块数是( )数。 【答案】偶 【思路点拨】根据奇数±奇数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，进行分析。 【规范解答】47是奇数，47块糖果－甲盒里的块数（奇数）＝偶数，所以乙盒里的块数为偶数。 【精练题02】（23-24五年级下·山西晋中·期末）张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】偶数；理由见详解 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【规范解答】第一路纵队的人数＋第二路纵队的人数＝45人 第一路纵队的人数是奇数，45是奇数； 根据“奇数＋偶数＝奇数”，可知第二路纵队的人数是偶数。 答：第二路纵队的人数是偶数。理由：因为总人数45是奇数，第一路纵队的人数也是奇数，奇数＋偶数＝奇数（或奇数－奇数＝偶数），所以第二路纵队的人数是偶数。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（24-25五年级下·海南海口·期末）下面各数中，是质数的是（    ）。 A．27 B．47 C．57 【答案】B 【思路点拨】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【规范解答】A．27的因数有：1，3，9，27；所以27是合数； B．47的因数有：1，47；所以47是质数； C．57的因数有：1，3，19，57；所以57是合数。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·北京海淀·期末）奇思在卡片上写出了下面的五个数，这些数共同的特点是（    ）。 A．都是51的因数 B．都是2的倍数 C．都是奇数 D．都是合数 【答案】D 【思路点拨】应用列乘法算式法找出各个数的因数。除了1和它本身，还有其他因数的数，叫做合数。一个数如果能被2整除，那么这个数就是2的倍数。个位数字为0、2、4、6、8的数是偶数，个位数字为1、3、5、7、9的数是奇数。据此解答。 【规范解答】A．只有51是51的因数，所以该选项错误； B．51÷2＝25……1，36÷2＝18，4÷2＝2，9÷2＝4……1，24÷2＝12所以只有36，4，24是2的倍数，所以该选项错误； C．51和9是奇数，36，4，24是偶数，所以该选项错误； D．51，36，4，9，24都是合数，所以该选项正确。 故答案为：D 3．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）著名的关于偶数的哥德巴赫猜想说的是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和”。下面（    ）算式符合这个猜想。 A．38＝21＋17 B．32＝31＋1 C．36＝13＋23 D．34＝24＋10 【答案】C 【思路点拨】根据哥德巴赫猜想，结合质数的意义，从四个加法算式中找出偶数写成两个质数的和的算式即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【规范解答】A．38＝21＋17，38是大于2的偶数，21是合数，17是质数，不符合哥德巴赫猜想； B．32＝31＋1，32是大于2的偶数，31是质数，1不是质数，不符合哥德巴赫猜想； C．36＝13＋23，36是大于2的偶数，13是质数，23是质数，符合哥德巴赫猜想； D．34＝24＋10，34是大于2的偶数，24是合数，10是合数，不符合哥德巴赫猜想。 故答案为：C 4．（23-24五年级下·四川凉山·期末）自然数中，17的倍数（    ）。 A．都是偶数 B．都是奇数 C．都是质数 D．有偶数也有奇数 【答案】D 【思路点拨】根据找一个数的倍数的方法可知，17的倍数分别是17×1的积，17×2的积，17×3的积，17×4的积……；17是奇数，根据奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数；由此可知17的倍数既有偶数也有奇数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【规范解答】17的倍数：17，34，51，68……； 其中奇数有17，51……，偶数有34，68……； 所以，自然数中，17的倍数有偶数也有奇数。 故答案为：D 5．（24-25五年级下·海南海口·期末）在2，5，0，8四个数字中任选三个组成的有因数3的最大数是( )；同时是2，5的倍数的最小的数是( )；2，3的公倍数有( )。 【答案】 852 250 852，582，528，258 【思路点拨】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 从题意可知：在2，5，0，8四个数字中选取3个数字，且数字和是3的倍数的只有2，5，8。即2＋5＋8＝18，将2，5，8三个数字从大到小排列，即可组成的有因数3的最大数。将2，5，8三个数字组成的3的倍数中，个位上是2或8，这个就是2，3的公倍数。 同时是2，5的倍数的个位上的数字一定是0，与较小的2和5组成最小的数即可。 【规范解答】在2，5，0，8四个数字中任选三个组成的有因数3的最大数是852；同时是2，5的倍数的最小的数是250；2，3的公倍数有852，582，528，258。 6．（24-25五年级上·河南郑州·期末）一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【答案】15 【思路点拨】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；据此可知：这个数的最小因数是1，用16减去1求出这个数的最大因数，也就是这个数本身，一个数的最小倍数是它本身。 【规范解答】16－1＝15 所以这个数的最小倍数是15。 7．（24-25五年级上·广东河源·期末）在春节即将来临之际，某百货商店采购了一批坚果和牛奶。坚果的数量是2和5的倍数，坚果采购了4( )包；牛奶的数量是3的倍数，牛奶可能采购了4( )箱。（在括号内填一个数字） 【答案】 0 2/5/8 【思路点拨】根据2、3、5的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；同时是2、5的倍数的特征是个位上必须是0。 【规范解答】根据题意，坚果的数量是2和5的倍数，所以个位是0，所以坚果采购了40包；牛奶的数量是3的倍数，所以各个数位上的数字之和是3的倍数，所以牛奶可能采购了42箱或45箱或48箱。 8．（23-24五年级下·四川广元·期末）爸爸的电脑开机密码是一个四位数。从左往右看，第一位既是质数，又是偶数；第二位既不是质数，也不是合数；第三位是最小的合数；第四位是最小的偶数。这个密码是( )。 【答案】2140 【思路点拨】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。最小的偶数是0，没有最大的偶数，最小的奇数是1，也没有最大的奇数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此可知：既是质数，又是偶数的是2；既不是质数，也不是合数的是1；最小的合数是4；最小的偶数是0。据此解答即可。 【规范解答】根据分析可得： 爸爸的电脑开机密码是一个四位数。从左往右看，第一位既是质数，又是偶数；第二位既不是质数，也不是合数；第三位是最小的合数；第四位是最小的偶数。这个密码是2140。 9．（23-24五年级下·四川广元·期末）荣老师：“我买一些普通跳绳和计数跳绳，付给您100元。”售货员：“我口算了一下，应该找给您14元。”荣老师：“不对，您肯定算错了。”你能解释一下，荣老师为什么这么肯定售货员算错了吗？ 【答案】见详解 【思路点拨】根据5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数；因为跳绳的单价是5元，计数跳绳的单价是10元；10是5的倍数，所以无论买多少根跳绳和计数跳绳，那么花的钱数和找回的钱数一定是5的倍数，据此解答。 【规范解答】100－14＝86（元） 根据两种跳绳单价可知，荣老师花的钱数应是5的倍数，找回的钱数也是5的倍数，但是花的钱数86不是5的倍数，找回的钱数14也不是5的倍数，所以荣老师这么肯定售货员算错了。 10．（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。 类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数 特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数 举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141 （1）我的猜想：6的倍数特征是（    ）。 （2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。 （3）我的结论（    ）。 【答案】见详解 【思路点拨】（1）6＝2×3，6的倍数特征应该与2和3的倍数的特征有关，2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。将2和3的倍数的特征整合后是6的倍数的特征； （2）举例进行验证即可； （3）根据验证情况，猜想如果成立，猜想即可以作为结论。 【规范解答】（1）猜想：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （2）验证：6、12、18、24、30、36…都是6的倍数。 1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋6＝9 个位数分别是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字的和是3的倍数，猜想成立。 （3）结论：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。。 11．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【思路点拨】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【规范解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 12．（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【思路点拨】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【规范解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 13．（23-24五年级下·北京昌平·期末）水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？ 【答案】可能长13分米、宽5分米，也可能长11分米、宽7分米；77平方分米 【思路点拨】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，则长方形周长÷2＝长＋宽，用36÷2＝18分米，求出了长与宽之和；根据除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此将长宽之和拆成两个质数相加的形式，即18＝5＋13＝7＋11，确定长和宽。根据长方形面积＝长×宽，求出面积，通过比较，确定最大面积即可。 【规范解答】36÷2＝18分米 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方分米） 11×7＝77（平方分米） 77＞65 答：这幅水墨画的有可能长是13分米、宽是5分米，也可能长是11分米、宽是7分米；面积最大是77平方分米。 14．（23-24五年级下·江西鹰潭·期末）周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 【答案】不对，理由见详解 【思路点拨】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【规范解答】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 15．（23-24五年级下·重庆梁平·期末）智能书店连续5天举行“6·1”欢乐购书活动。 (1)书店经理要统计这5天童话类书籍的销售情况，判断是否需要进货，他采用( )统计图较合理。 (2)童童想买四本名著，每本a元，可他带的钱不够，找芳芳借了15元，刚好买到。童童原有( )元钱。 (3)一套科技书共3本，单价为三个连续奇数，总价b元，最便宜的那本售价是( )元。 【答案】(1)条形 (2)4a－15 (3)b÷3－2 【思路点拨】（1）条形统计图可以清晰记录数据，要统计书籍的销售情况，选用条形统计图较合理； （2）将书的单价×数量，求出总价。将书的总价减去找芳芳借来的钱，表示出原有的钱； （3）三个连续奇数的和，是中间奇数的3倍。将总价除以3，求出中间的奇数。再将中间奇数减去2，表示出最便宜那本书的售价。 【规范解答】（1）书店经理要统计这5天童话类书籍的销售情况，判断是否需要进货，他采用条形统计图较合理。 （2）童童想买四本名著，每本a元，可他带的钱不够，找芳芳借了15元，刚好买到。童童原有（4a－15）元钱。 （3）一套科技书共3本，单价为三个连续奇数，总价b元，最便宜的那本售价是（b÷3－2）元。 $$2024-2025学年人教版数学五年级下学期金牌培优讲义 第二单元《因数和倍数》 期末真题汇编复习加油站（学生版） （知识梳理+易错点拨+13个考点讲练+压轴题专练 共54题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：因数与倍数 1、 如果a×b=c(a、b、c都是非0的自然数)那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。例如4×3=12，12是4的倍数,12也是3的倍数,4和3都是12的因数。 2、 因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。(1是所有非0自然数的因数) 一个数的因数的求法：成对地按顺序找 3、 倍数的特点：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。例：3的倍数有：3、6、9、12…其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数(2的倍数的数叫做偶数、不是2的倍数的数叫做奇数)。 2、5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 3、3的倍数的特征：一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点03：奇数与偶数（自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数） 　　(1)定义：奇数：(也叫单数)自然数中不能被2整除的数 最小的奇数是1， 　　 偶数：(也叫双数)自然数中能被2整除的数 最小的偶数是0. (2)特征：奇数：个位上是1，3，5，7，9的数 偶数：个位上是0，2，4，6，8 的数 　　(3)字母表示：奇数：2n+1(n>=0) 偶数：2n(n>=0) 　　(4)公式：奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 (5)自然数中，不是奇数就是偶数。0是偶数。 知识点04：质数与合数（自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类） (1)定义：质数：只有1和它本身两个因数的数(共有2个因数) 　 　合数：除了1和它本身之外还有别的因数的数(至少有3个因数)， 　　(2)最小的质数是2 最小的合数是4 　　(3)“1”既不是质数，也不是合数。 (因为1只有1个因数)。 　　(4)自然数中，除了0和1之外，不是质数就是合数 　　(5)在自然数里，不是奇数的质数只有2 　　(6)公式：质数*质数=合数 质数*合数=合数 合数*合数=合数 (7)100以内的质数： 2、3、5、7和11， 13后面是17， 19、23、29， 31、37、41， 43、47、53， 59、61、67， 71、73、79， 83、89、97。 模块二 高频易错考点点拨 1. 如果被除数、除数和商有一个数不是整数，那么它们之间就不存在因数与倍数的关系。 2. 因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。 3. 不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。 4. 无限多的两种数量不能比较多少。 5. 1既不是质数，也不是合数。 6. 最小的质数是2，最小的合数是4。 7. 3的倍数也可以是偶数。 8. 自然数（0除外）按照因数的个数可以分为质数、合数和1三类。 9. 2是偶数中唯一的质数。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：因数和倍数的认识 【精讲题】（24-25五年级下·海南海口·期末）一个数的最大因数是15，它的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【精练题01】（23-24五年级下·山东济宁·期末）《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 【精练题02】（23-24五年级下·重庆北碚·期末）在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 重难点考点02：找一个数的因数及因数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·湖南长沙·期末）下列各数中，不是60的因数的是（    ）。 A．1 B．15 C．24 D．60 【精练题01】（23-24五年级下·广东阳江·期末）20的因数有( )，40以内12的倍数有( )。 【精练题02】（23-24五年级下·浙江温州·期中）学校鼓号队进行鼓号操表演，一共有24人出场，每排人数要同样多，如果排数必须在2~12排之间，一共有几种不同的列队方式？ 重难点考点03：根据因数的特征解决问题 【精讲题】（22-23五年级下·山西晋中·期末）古希腊数学家认为，如果一个数恰好等于它所有的因数（本身除外）的和，那么这个数就是“完全数”。如：6的因数有1、2、3、6，则有1＋2＋3＝6的关系，那么6就是一个“完全数”。下面（    ）是“完全数”。 A．15 B．28 C．36 【精练题01】（21-22五年级下·浙江温州·期末）小明爸爸要给一个长180cm、宽120cm的长方形浴室地面铺瓷砖。如果要求用整块的瓷砖正好铺满（不切割），那么下面几种瓷砖中，不符合要求的是（    ）。 A． B．C． D． 【精练题02】（21-22五年级下·重庆酉阳·期末）聪聪买了几袋糖，价钱如图。聪聪正好花了18元，他买的糖有( )种可能。 重难点考点04：找一个数的倍数及倍数的特征 【精讲题】（23-24五年级下·河南周口·期末）一个数的最小倍数是12，这个数的最大因数是( )。 【精练题01】（21-22五年级下·广东汕尾·期末）一个数最大因数与这个数最小倍数（    ）。 A．相等 B．不相等 C．可能相等 D．可能不相等 【精练题02】（22-23五年级下·四川遂宁·期末）把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 重难点考点05：根据倍数的特征解决问题 【精讲题】（21-22五年级上·四川巴中·期末）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【精练题01】（21-22五年级上·贵州毕节·期末）某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，下面哪个时间不发车（    ）。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：20 【精练题02】（21-22五年级下·河南郑州·期末）14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。 重难点考点06：倍数和因数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【精练题01】（23-24五年级上·河南郑州·期末）张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 【精练题02】（2022六年级下·全国·专题练习） a的最大因数和b的最小倍数相等，那么a与b相等。( )（判断对错） 重难点考点07：2、5的倍数特征 【精讲题】（22-23五年级下·湖北黄石·期末）2和3的倍数中，最小的三位数是( )，2、3、5的倍数中，最大的三位数是( )。 【精练题01】（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个三位数，它既是2和5的倍数，又有因数3，这个三位数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．120 【精练题02】（23-24五年级下·浙江台州·期末）学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了58963分，至少加上( )分就是3的倍数；至少去掉( )分就同时是2和5的倍数。 重难点考点08：奇数与偶数的认识 【精讲题】（2021·河北邢台·小升初真题）5个连续偶数，中间一个数是N，则最大的数是（    ）。 A．N＋1 B．N＋2 C．N＋3 D．N＋4 【精练题01】（23-24五年级下·云南曲靖·期末）晚上，小明正开着灯做作业，顽皮的妹妹按了15下开关，这时灯是( )着的状态。（填“开”或“关”） 【精练题02】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）琳琳、思思和乐乐三人的年龄正好是三个连续偶数，他们的年龄和是24岁，他们中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 重难点考点09：3的倍数特征 【精讲题】（23-24五年级下·四川南充·期末）在学校举办的“爱心义卖活动”中，五年级共捐款357□元，若这个四位数含有因数3，则□里最大可以填( )；若要使它既是2的倍数又是5的倍数，则□里应填( )。 【精练题01】（23-24五年级下·湖南邵阳·期末）要使34□同时是2和5的倍数，□里可以填( )，要使37□同时是2和3的倍数，□里最大可以填( )。 【精练题02】（23-24五年级下·广西柳州·期末）用6颗珠子在计数器上拨一个四位数，它一定是（    ）的倍数。如果个位不拨珠，这个数就是（奇数偶数）。（圈出正确答案） 重难点考点10：2、3、5的倍数特征综合 【精讲题】（22-23五年级下·福建莆田·期末）从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是( )或( )。 【精练题01】（21-22五年级下·湖北黄石·期末）若四位数8□5□能被2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【精练题02】（23-24五年级下·山东临沂·期末）亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，则这个四位数最大可能是( )。 重难点考点11：质数与合数的认识 【精讲题】（2021·广东肇庆·小升初真题）非0自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( )（判断对错） 【精练题01】（24-25五年级上·内蒙古包头·期末）15的因数有( )，这些因数中有( )个质数。 【精练题02】（22-23五年级下·湖北荆州·期末）李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，b是最小的偶数，c是10以内最大的质数，d是最小的合数，这个密码是( )。 重难点考点12：质数与合数的综合应用 【精讲题】（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【精练题01】（21-22五年级下·江西宜春·期末）一个长方形的周长是32米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是( )、( )。 【精练题02】（22-23五年级下·湖南岳阳·期末）一个四位数，千位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是最小的偶数，这个数是（    ）。 A．1422 B．1420 C．1412 D．1240 重难点考点13：运算性质(奇数和偶数) 【精讲题】（23-24五年级下·河南洛阳·期末）下列说法中正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数；②两个奇数的和一定是奇数； ③420既是2的倍数又是5的倍数；④两个质数的积一定是合数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练题01】（23-24五年级下·河南焦作·期末）把47块糖果分装在甲、乙两个盘中，已知甲盘中的块数是奇数，则乙盘中的块数是( )数。 【精练题02】（23-24五年级下·山西晋中·期末）张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（24-25五年级下·海南海口·期末）下面各数中，是质数的是（    ）。 A．27 B．47 C．57 2．（24-25五年级上·北京海淀·期末）奇思在卡片上写出了下面的五个数，这些数共同的特点是（    ）。 A．都是51的因数 B．都是2的倍数 C．都是奇数 D．都是合数 3．（23-24五年级下·湖南长沙·期末）著名的关于偶数的哥德巴赫猜想说的是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和”。下面（    ）算式符合这个猜想。 A．38＝21＋17 B．32＝31＋1 C．36＝13＋23 D．34＝24＋10 4．（23-24五年级下·四川凉山·期末）自然数中，17的倍数（    ）。 A．都是偶数 B．都是奇数 C．都是质数 D．有偶数也有奇数 5．（24-25五年级下·海南海口·期末）在2，5，0，8四个数字中任选三个组成的有因数3的最大数是( )；同时是2，5的倍数的最小的数是( )；2，3的公倍数有( )。 6．（24-25五年级上·河南郑州·期末）一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 7．（24-25五年级上·广东河源·期末）在春节即将来临之际，某百货商店采购了一批坚果和牛奶。坚果的数量是2和5的倍数，坚果采购了4( )包；牛奶的数量是3的倍数，牛奶可能采购了4( )箱。（在括号内填一个数字） 8．（23-24五年级下·四川广元·期末）爸爸的电脑开机密码是一个四位数。从左往右看，第一位既是质数，又是偶数；第二位既不是质数，也不是合数；第三位是最小的合数；第四位是最小的偶数。这个密码是( )。 9．（23-24五年级下·四川广元·期末）荣老师：“我买一些普通跳绳和计数跳绳，付给您100元。”售货员：“我口算了一下，应该找给您14元。”荣老师：“不对，您肯定算错了。”你能解释一下，荣老师为什么这么肯定售货员算错了吗？ 【答案】见详解 10．（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。 类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数 特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数 举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141 （1）我的猜想：6的倍数特征是（    ）。 （2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。 （3）我的结论（    ）。 11．（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 12．（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 13．（23-24五年级下·北京昌平·期末）水墨画近处写实，远处抽象，是中国绘画的代表。张爷爷在长方形纸上绘制了一幅水墨画，长和宽均为质数，并且周长是36分米。这幅水墨画的长和宽分别可能是多少分米？面积最大是多少平方分米？ 14．（23-24五年级下·江西鹰潭·期末）周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 15．（23-24五年级下·重庆梁平·期末）智能书店连续5天举行“6·1”欢乐购书活动。 (1)书店经理要统计这5天童话类书籍的销售情况，判断是否需要进货，他采用( )统计图较合理。 (2)童童想买四本名著，每本a元，可他带的钱不够，找芳芳借了15元，刚好买到。童童原有( )元钱。 (3)一套科技书共3本，单价为三个连续奇数，总价b元，最便宜的那本售价是( )元。 $$