期末复习易错题（31个考点60题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

期末复习易错题（31个考点60题） 一．因式分解的意义（共1小题） 1．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　1　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a） 则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∴，解得a＝2，p＝1． 故答案为：1． （2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n ∴， 解得n＝﹣1，k＝5， ∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 二．因式分解-运用公式法（共1小题） 2．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　13或﹣11　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式， ∴k﹣1＝±12， 解得：k＝13或k＝﹣11， 故选：13或﹣11． 三．因式分解的应用（共1小题） 3．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a+b＝2， ∴a2﹣b2+4b， ＝（a+b）（a﹣b）+4b， ＝2（a﹣b）+4b， ＝2a+2b， ＝2（a+b）， ＝2×2， ＝4． 故答案为：4． 四．分式的基本性质（共2小题） 4．如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的． 【答案】A 【解答】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：， 则分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 5．若2，则 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由2，得x+y＝2xy 则． 故答案为． 五．分式的加减法（共2小题） 6．对于正数x，规定，例如：f（2），f（），f（3），f（），计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 【答案】C 【解答】解：∵f（1）1，f（2），f（），f（3），f（），f（4），f（），…，f（101），f（）， ∴f（2）+f（）2，f（3）+f（）2，f（4）+f（）2，…，f（101）+f（）2， f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101） ＝2×100+1 ＝201． 故选：C． 7．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　②③　 （只填序号）； （2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”； （3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】（1）②③；（2）证明过程见上面具体过程；（3）的值为或． 【解答】解：（1）①2， ②2， ③||＝||＝2， ∴属于“友好分式组”的有②③， 故答案为：②③． （2）∵a，b互为倒数， ∴ab＝1，b， ∴|| ＝|| ＝|| ＝|| ＝2， ∴分式与属于“友好分式组”； （3）∵|| ＝|| ＝|| ＝||， ∵与属于“友好分式组”， ∴||＝2， ∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2）， ①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2， 把①代入， 把②代入， 综上所述：的值为或． 六．分式的混合运算（共2小题） 8．试卷上一个正确的式子（）÷★被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：（）÷★， ∴被墨汁遮住部分的代数式是（） • • ； 故选：A． 9．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 【答案】A 【解答】解：由题意得， a1＝2， a23， a3， a4， a52， ……， ∴an的值按照2，﹣3，，，……4次一个循环周期的规律出现， ∵2023÷4＝505……3， ∴a2023的值是， 故选：A． 七．分式的化简求值（共1小题） 10．先化简，再求值：，其中x＝2． 【答案】，原式． 【解答】解： • • ， 当x＝2时，原式． 八．分式方程的解（共4小题） 11．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1 【答案】C 【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1， 即x＝m+1， 由分式方程的解为非负数，得到 m+1≥0，且m+1≠1， 解得：m≥﹣1且m≠0， 故选：C． 12．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 【答案】B 【解答】解：， 解①得x≥﹣3， 解②得x， 不等式组的解集是﹣3≤x． ∵仅有三个整数解， ∴﹣10 ∴﹣8≤a＜﹣3， 1 3y﹣a﹣12＝y﹣2． ∴y ∵y≠2， ∴a≠﹣6， 又y有整数解， ∴a＝﹣8或﹣4， 所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12， 故选：B． 13．若关于x的分式方程1无解，则m的值　或　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3） （2m+1）x＝﹣6 x， 当2m+1＝0，方程无解，解得m． x＝3时，m， x＝0时，m无解． 故答案为：或． 14．关于x的分式方程2的解为正实数，则k的取值范围是　k＞﹣2且k≠2　 ． 【答案】k＞﹣2且k≠2． 【解答】解：方程2两边同乘（x﹣2），得 1+2（x﹣2）＝k﹣1， 解得，x， ∵2， ∴k≠2， 由题意得，0， 解得，k＞﹣2， ∴k的取值范围是k＞﹣2且k≠2． 故答案为：k＞﹣2且k≠2． 九．解分式方程（共1小题） 15．解方程2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原分式方程的增根，原分式方程无解． 一十．分式方程的增根（共1小题） 16．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． （2）若方程1的解是正数，求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得 2（x+2）+mx＝3（x﹣2） ∵最简公分母为（x+2）（x﹣2）， ∴原方程增根为x＝±2， ∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4． 把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6． 综上，可知m＝﹣4或6． （2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x 解得：x， ∵解为正数， ∴， ∴2﹣a＞0， ∴a＜2，且x≠2， ∴a≠﹣4 ∴a＜2且a≠﹣4． 一十一．分式方程的应用（共1小题） 17．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ ②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得： 解得x＝90 经检验，x＝90符合题意 ∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元． ②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件 由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050 解得5≤y≤10 ∴共有6种选购方案． 一十二．不等式的性质（共2小题） 18．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2 【答案】C 【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意； D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 19．下列不等式说法中，不正确的是（　　） A．若x＞y，y＞2，则x＞2 B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2 C．若x＞y，则2x＞2y D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2 【答案】B 【解答】解：A、∵x＞y，y＞2， ∴x＞2，原说法正确，故本选项不符合题意； B、∵x＞y， ∴x﹣2＞y﹣2，原说法错误，故本选项符合题意； C、∵x＞y， ∴2x＞2y，原说法正确，故本选项不符合题意； D、∵x＞y， ∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 一十三．一元一次不等式的应用（共1小题） 20．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个， 根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400， 解得：x＝40， 60﹣x＝60﹣40＝20， 答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个． （2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个， 根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800， 解得：y≤40， ∴女款书包最多能买40个． 一十四．一元一次不等式组的整数解（共4小题） 21．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B． 22．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 【答案】B 【解答】解：， 解不等式①得x≤k， 解不等式②得x＜7， 由题意得k＜7， 解关于y的方程2y＝3+k得， y， 由题意得，1， 解得k≥﹣1， ∴k的取值范围为：﹣1≤k＜7，且k为整数， ∴k的取值为﹣1，0，1，2，3，4，5，6， 当k＝﹣1时，y1， 当k＝0时，y， 当k＝1时，y2， 当k＝2时，y， 当k＝3时，y3， 当k＝4时，y， 当k＝5时，y4， 当k＝6时，y， ∵为整数，且k为整数， ∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5， ∵﹣1+1+3+5＝8， ∴符合条件的所有整数k的和为8． 故选：B． 23．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解答】解：解方程组得：， ∵x≥y， ∴a+1a﹣2， 解得：a， 解不等式组得s≤1， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解（﹣2，﹣1，0，1）， ∴﹣32， 解得：﹣2≤a＜1， ∵a， ∴a＜1， ∴所有符合条件的整数a有﹣1，0，共有2个， 故选：C． 24．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　5　 ． 【答案】m的值是5． 【解答】解：由二元一次方程组，得 ， ∵二元一次方程组解是正整数， ∴， 解得，m， ∴m＝5或6， m＝5时，x＝3，y＝2， 当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去； ∴m＝5． 由不等式组得x≤6， ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解， ∴45， 解得，5≤m， ∴m的值是5． 故m的值是5． 一十五．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 25．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 【答案】C 【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1）， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵， ∴可列不等式组为：， 即． 故选：C． 一十六．一次函数与一元一次不等式（共4小题） 26．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 【答案】B 【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 故选：B． 27．如图，已知直线y＝ax+b与直线y＝x+c的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③对于直线y＝x+c上任意两点A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，则yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【解答】解：∵直线y＝ax+b，y随x的增大而减小， ∴a＜0，①正确； ∵直线y＝x+c与y轴交于负半轴， ∴c＜0，②错误； 直线y＝x+c中，k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴xA＜xB，则yA＜yB，③错误； x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，④正确； 故选：C． 28．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　x＜﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象得：不等式组kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 29．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　x＞1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一∵把（1，2）代入y＝ax﹣1得：2＝a﹣1， 解得：a＝3， ∴y＝3x﹣1＞2， 解得：x＞1， 方法二：根据图象可知：y＝ax﹣1＞2的x的范围是x＞1， 即不等式ax﹣1＞2的解集是x＞1， 故答案为：x＞1． 一十七．线段垂直平分线的性质（共1小题） 30．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　10　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG， ∴CF＝CG， 在Rt△AEF和Rt△BEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL）， ∴AF＝BG， 设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x， ∴12﹣x＝8+x， 解得x＝2， ∴AF＝12﹣2＝10． 故答案为：10． 一十八．等腰三角形的性质（共1小题） 31．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　115°或65°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°； ②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部， 故顶角是90°﹣25°＝65°． 故答案为：115°或65°． 一十九．等腰三角形的判定（共2小题） 32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置； 以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置； 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点． 故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选：B． 33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】C 【解答】解：如图， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）． ③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8； ∴符合条件的点有8个． 故选：C． 二十．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 34．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：如图，延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBCS△ABC1＝0.5（cm2）， 故选：B． 35．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）①说明过程见解答； ②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题） 36．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　＝　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）故答案为：＝． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴BD＝EF＝AE， 即AE＝BD， 故答案为：＝． （3）解：CD＝1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CMBC， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AB＝1，AE＝2， ∴AB＝BE＝1， ∵EN⊥DC，AM⊥BC， ∴∠AMB＝∠ENB＝90°， 在△ABM和△EBN中， ， ∴△AMB≌△ENB（AAS）， ∴BN＝BM， ∴CN＝1， ∴CD＝2CN＝3； ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CMBC， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AM∥EN， ∴， ∴， ∴MN＝1， ∴CN＝1， ∴CD＝2CN＝1， 即CD＝3或1． 二十二．含30度角的直角三角形（共1小题） 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）； （2）或t＝1． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝t cm. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 二十三．勾股定理（共4小题） 38．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线， ∴AC＝2AE＝8，DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C， ∵BD＝CD， ∴BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°， ∴2∠BAD+2∠DAC＝180°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAC＝90°， 在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10， ∴AB6， 故选：D． 39．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6a2﹣S6， ∴S1+S3（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 40．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　70　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示： 则S1π（）2，S2π（）2，S3π（）2． 因为a2+b2＝c2，所以． 即S1+S2＝S3． 所以S3＝70． 41．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 【答案】（1）MN的长为4cm． （2）出发s后△MNB是等腰三角形． （3）当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形． 【解答】解：（1）当t＝2时，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm． ∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm）， 在Rt△BPQ中，由勾股定理可得， MN4（cm）， 即MN的长为4cm． （2）由题意可知AN＝2t，BM＝4t， 又∵AB＝16cm， ∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm， 当△MNB为等腰三角形时，则有BM＝BN， ∴16﹣2t＝4t，解得t， ∴出发s后△MNB是等腰三角形． （3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm， 当点M在AC上运动时，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t， ∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12， ∵△BCM为等腰三角形， ∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况： ①当BM＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC，则CECM＝2t﹣6， 在Rt△ABC中，可求得BE； 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2， 解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去）， ②当CM＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6， ③当CM＝BM时，则∠C＝∠MBC， ∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA， ∴∠A＝∠MBA， ∴MB＝MA， ∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5， 综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形． 二十四．勾股定理的证明（共3小题） 42．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n， ∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①， ∵（m+n）2＝21， ∴m2+n2+2mn＝21②， ①+②得2（m2+n2）＝26， ∴大正方形的面积为：m2+n2＝13， 故选：B． 43．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP， ∴∠ADG＝∠GPC． ∵点P为BC的中点， ∴PB＝PG＝PC． ∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP． ∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP． ∴△GDH∽△CBG． ∴，即． 设AE＝BF＝HD＝x， ∴． ∴x＝1或x＝1（舍去）． 故选：C． 44．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m， 因为S1+S2+S3＝60， 所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60， 即3S2＝60， 解得S2＝20． 故选：C． 二十五．三角形中位线定理（共2小题） 45．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　） A．28 B．32 C．18 D．25 【答案】D 【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°， ∴△ABN≌△AEN， ∴AE＝AB＝6，BN＝NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE＝2MN＝2×1.5＝3， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25， 故选：D． 46．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴BD＝EC， ∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点， ∴FG∥BD，GF， FH∥EC，FH， ∴FG＝FH； （2）证明：由（1）FG∥BD， 又∵∠A＝90°， ∴FG⊥AC， ∵FH∥EC， ∴FG⊥FH； （3）解：延长FG交AC于点K， ∵FG∥BD，∠A＝80°， ∴∠FKC＝∠A＝80°， ∵FH∥EC， ∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°． 二十六．多边形内角与外角（共5小题） 47．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 【答案】B 【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝150°． 又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC（180°﹣∠ABC）＝90°（∠DAB+∠ABC）＝165°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°． 故选：B． 48．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°， ∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°， 故选：B． 49．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　） A．240° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【解答】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N， 在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°， ∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°， 故选：B． 50．如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A．72米 B．108米 C．144米 D．120米 【答案】B 【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n， 则20n＝360，解得n＝18， ∴他第一次回到出发点O时一共走了：6×18＝108（米）， 故选：B． 51．已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°． （1）求这个正多边形一个内角的度数； （2）求这个正多边形的内角和． 【答案】（1）140°； （2）1260°． 【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°， 根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40， 180°﹣x°＝140°， 所以这个正多边形一个内角的度数140°； （2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°， 所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9， 所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°． 二十七．平行四边形的性质（共1小题） 52．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求当t＝2s时，求△AEF的面积； （3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行四边形ABCD中， ∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm， ∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm， 如图，过点B作BG⊥CD于点G， ∴∠BGC＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C＝60°， 在Rt△BCG中，∠CBG＝30°， ∴CGBCcm， ∴BG（cm）， ∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝69（cm2）． 答：平行四边形ABCD的面积为9cm2； （2）当t＝2s时， AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm， ∵∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， 如图，过点F作FH⊥AE于点H， ∴FHAF（cm）， ∴△AEF的面积为：AE×FH2（cm2）， 答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2； （3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2． ∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，△AEF的面积为：93（cm2）， 当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝t cm，AF＝t cm，高为AFt（cm）， ∴tt＝3， ∴t＝23，不符合题意舍去； 当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6）， ∴t3， ∴t＝4，符合题意； 当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9）， 如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm， ∴AB∥CD， ∴∠E′BG＝∠C＝60°， ∴E′GBE′（t﹣6）（cm），E′H＝1.5（t﹣6）（9﹣t）（cm）， ∴S△AEF＝96（t﹣6）[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]（t﹣3）×1.53， 化简得：t2﹣9t+12＝0， ∴t（不符合题意，舍）或t， 当t时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意． 综上所述，t的值为4或． 二十八．平行四边形的判定与性质（共1小题） 53．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　6　 ； （2）当t＝　8　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6， 故答案为：6； （2）作∠B的角平分线交AD于F， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝4， ∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4， ∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16， ∴2t＝16，解得t＝8． ∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上； 故答案为：8； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点P在BC上运动时， S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）； ②当点P在CD上运动时， S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）； ③当点P在AD上运动时， S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动， 根据题意分情况讨论： ①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等， ∴点P到AD边的距离为4， ∴点P到AB边的距离也为4， 即BP＝4， ∴2t＝4，解得t＝2s； ②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4， ∴点P到DE边的距离也为4， ∴PE＝DE＝5， ∴PC＝PE﹣CE＝2， ∴8﹣2t＝2，解得t＝3s； ③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H， 点P到DE、BE边的距离相等， 即PC＝PH， ∵PC＝2t﹣8， ∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE， ∴3×45×PH3×PC， ∴12＝8PH， ∴12＝8（2t﹣8）， 解得t． 综上所述：t＝2或t＝3或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 二十九．平移的性质（共1小题） 54．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　30　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的， 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30． 故答案为：30． 三十．旋转的性质（共5小题） 55．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE， ∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°， ∴BD＝BC＝12cm， ∴△BCD为等边三角形， ∴CD＝BC＝CD＝12cm， 在Rt△ACB中，AB13， △ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm）， 故答案为：42． 56．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝6， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， 如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1DA1B＝3， ∴S△A1BA6×3＝9， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝9． 故答案为：9． 57．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　 （填序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F， ∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°， ∵∠AOB＝120°， ∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°， ∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°， ∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF， ∵∠MEP＝∠NFP＝90°， ∴△MEP≌△NFP（ASA）， ∴PM＝PN，ME＝NF， 故①正确； ∵OP＝OP， ∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL）， ∴OE＝OF， ∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE， ∵OP平分∠AOB， ∴∠EOP∠AOB＝60°， ∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°， ∴PO＝2OE， ∴OM+ON＝OP， 故②正确； ∵△MEP≌△NFP， ∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积， ∴四边形PMON的面积保持不变， 故③正确； ∵PM＝PN，∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形， ∵MN的长度是变化的， ∴△PMN的周长是变化的， 故④错误； 所以，说法正确的是：①②③， 故答案为：①②③． 58．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　9　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F， ∵点A的坐标为（0，12）， ∴OA＝12， ∵点P为OA的中点， ∴AP＝6， ∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP， ∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAP， 在△ABE和△ACP中， ， ∴△ABE≌△ACP（SAS）， ∴BE＝PC， ∴当BE有最小值时，PC有最小值， 即BE⊥x轴时，BE有最小值， ∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9， ∴PC的最小值为9， 故答案为：9． 59．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C． 三十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 60．若点P1（2﹣m，5）关于原点对称的点是P2（3，2n+1），则m﹣n的值为（　　） A．6 B．﹣3 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：∵点P1（2﹣m，5）关于原点对称的点是P2（3，2n+1）， ∴2﹣m+3＝0，5+2n+1＝0， 解得m＝5，n＝﹣3， 所以，m﹣n＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8． 故选：C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/16 11:52:40；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习易错题（31个考点60题） 一．因式分解的意义（共1小题） 1．仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 二．因式分解-运用公式法（共1小题） 2．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　 ． 三．因式分解的应用（共1小题） 3．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　 　 ． 四．分式的基本性质（共2小题） 4．如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的2倍 B．不变 C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的． 5．若2，则 　 　 ． 五．分式的加减法（共2小题） 6．对于正数x，规定，例如：f（2），f（），f（3），f（），计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（　　） A．199 B．200 C．201 D．202 7．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． （1）下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　 （只填序号）； （2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”； （3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 六．分式的混合运算（共2小题） 8．试卷上一个正确的式子（）÷★被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（　　） A． B． C． D． 9．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 七．分式的化简求值（共1小题） 10．先化简，再求值：，其中x＝2． 八．分式方程的解（共4小题） 11．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1 12．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　） A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18 13．若关于x的分式方程1无解，则m的值　 　 ． 14．关于x的分式方程2的解为正实数，则k的取值范围是　 　 ． 九．解分式方程（共1小题） 15．解方程2． 一十．分式方程的增根（共1小题） 16． （1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值 （2） 若方程1的解是正数，求a的取值范围． 一十一．分式方程的应用（共1小题） 17．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ ②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？ 一十二．不等式的性质（共2小题） 18．下列说法错误的是（　　） A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2 19．下列不等式说法中，不正确的是（　　） A．若x＞y，y＞2，则x＞2 B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2 C．若x＞y，则2x＞2y D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2 一十三．一元一次不等式的应用（共1小题） 20．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 一十四．一元一次不等式组的整数解（共4小题） 21．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 22．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．5 B．8 C．9 D．15 23．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 24． 整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　 　 ． 一十五．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 25．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 一十六．一次函数与一元一次不等式（共4小题） 26．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 27．如图，已知直线y＝ax+b与直线y＝x+c的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③对于直线y＝x+c上任意两点A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，则yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 28．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　 　 ． 29．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　 　 ． 一十七．线段垂直平分线的性质（共1小题） 30．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 　 ． 一十八．等腰三角形的性质（共1小题） 31．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　 　 ． 一十九．等腰三角形的判定（共2小题） 32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 二十．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 34．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　） A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定 35．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题） 36．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 二十二．含30度角的直角三角形（共1小题） 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 二十三．勾股定理（共4小题） 38．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 39．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 40．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　 　 ． 41．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s． （1）出发2s后，求MN的长； （2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？ （3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值． 二十四．勾股定理的证明（共3小题） 42．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 43．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　） A．4 B． C． D． 44．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 二十五．三角形中位线定理（共2小题） 45．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　） A．28 B．32 C．18 D．25 46．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 二十六．多边形内角与外角（共5小题） 47．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　） A．10° B．15° C．30° D．40° 48．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 49．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　） A．240° B．360° C．540° D．720° 50．如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A．72米 B．108米 C．144米 D．120米 51．已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°． （1）求这个正多边形一个内角的度数； （2）求这个正多边形的内角和． 二十七．平行四边形的性质（共1小题） 52．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求当t＝2s时，求△AEF的面积； （3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值． 二十八．平行四边形的判定与性质（共1小题） 53．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　 　 ； （2）当t＝　 　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 二十九．平移的性质（共1小题） 54．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　 　 ． 三十．旋转的性质（共5小题） 55．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　 cm． 56．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　 ． 57．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　 （填序号）． 58．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　 　 ． 59．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 三十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题） 60．若点P1（2﹣m，5）关于原点对称的点是P2（3，2n+1），则m﹣n的值为（　　） A．6 B．﹣3 C．8 D．9 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$