期末复习易错题（21个考点60题）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版2024）

期末复习易错题（21个考点60题） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 【答案】D 【解答】解：∵x+y﹣3＝0， ∴x+y＝3， ∴2y•2x＝2x+y＝23＝8， 故选：D． 二．幂的乘方与积的乘方（共3小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【答案】A 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124 b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122． 则a＞b＞c． 故选：A． 3．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 【答案】B 【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15， ∴a3mb3n＝a9b15， ∴3m＝9，3n＝15， ∴m＝3，n＝5， 故选：B． 4．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【答案】D 【解答】解：因为a＝255（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511， ∴255＜344＜533， 即a＜b＜c． 故选：D． 三．同底数幂的除法（共2小题） 5．已知2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：∵2m＝3，2n＝4， ∴23m﹣2n＝23m÷22n＝（2m）3÷（2n）2＝33÷42． 故选：B． 6．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8． （1）求3b+c的值； （2）求32a﹣3b的值． 【答案】（1）40； （2）． 【解答】解：（1）∵3b＝5，3c＝8， ∴3b+c ＝3b•3c ＝5×8 ＝40； （2）∵3a＝4，3b＝5， ∴32a﹣3b ＝32a÷33b ＝（3a）2÷（3b）3 ＝42÷53 ． 四．多项式乘多项式（共2小题） 7．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　） A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2 【答案】B 【解答】解：剩余部分面积： （3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4） ＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b ＝4ab﹣3a﹣2； 故选：B． 8．如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示） （2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意得： （3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2 ＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝（5a2+3ab）平方米． 答：绿化面积是（5a2+3ab）平方米； （2）当a＝2，b＝4时，原式＝20+24＝44（平方米）． 答：绿化面积是44平方米． 五．完全平方公式（共4小题） 9．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 【答案】C 【解答】解：∵x＝3y+5， ∴x﹣3y＝5， 两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25， 又∵x2﹣7xy+9y2＝24， 两式相减，可得xy＝1， ∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5， 故选：C． 10．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 【答案】C 【解答】解：把a+b＝10两边平方得： （a+b）2＝a2+b2+2ab＝100， 把ab＝11代入得： a2+b2＝78， ∴原式＝78﹣11＝67， 故选：C． 11．“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为　32　 ． （2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为　2n　 ． （3）（a+b）6＝　a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6　 ． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，2）表示的数是　　 ，（8，3）表示的数是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 1+5+10+10+5+1＝32， 故答案为：32； （2）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各项系数和为2＝21， 第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，各项系数和为4＝22， … 第n+1行：（a+b）n展开后各项系数和为2n； 故答案为：2n； （3）由（2）得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6， 故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是， ∴（6，2）表示第六行第二个数，是， 按规律计算：第六行：，，，，，， 第七行：，，，，，，， 第八行：，，… ∴（8，3）表示第八行第三个数，是； 故答案为：，． 12．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 【答案】（1）（x﹣2004）（x﹣2007）＝11； （2）阴影部分的面积是28． 【解答】解：（1）设x﹣2004＝a，x﹣2007＝b， ∴a2+b2＝31，a﹣b＝3， ∴﹣2（x﹣2004）（x﹣2007）＝﹣2ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）＝9﹣31＝﹣22， ∴（x﹣2004）（x﹣2007）＝11； （2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3， ∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， ∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48， ∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196， ∵a＞0，b＞0， ∴a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 六．平方差公式（共2小题） 13．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y） 【答案】B 【解答】解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：B． 14．阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80， 整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9， ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值； （2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值． 【答案】（1）3； （2）±1． 【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t， 则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27， 整理得：整理得t2﹣9＝27， ∴t2＝36， 解得t＝±6， ∵2x2+2y2≥0， ∴2x2+2y2＝6， ∴x2+y2＝3； （2）∵x2+y2＝3，xy＝1， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+2＝5， （x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3﹣2＝1， ∴x﹣y＝±1． 七．变量与常量（共1小题） 15．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 八．图像表示变量间的关系（共3小题） 16．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．此函数图象中，S2先达到最大值，即兔子先到终点，不符合题意； B．此函数图象中，S2第2段随时间增加其路程一直保持不变，与“当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追”不符，不符合题意； C．此函数图象中，乌龟和兔子同时到达终点，符合题意； D．此函数图象中，S1先达到最大值，即乌龟先到终点，不符合题意． 故选：C． 17．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化． 故选：B． 18．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快， 所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选：B． 九．余角和补角（共1小题） 19．如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　） A．50° B．70° C．130° D．160° 【答案】C 【解答】解：设这个角是x°，根据题意，得 x＝2（180﹣x）+30， 解得：x＝130． 即这个角的度数为130°． 故选：C． 一十．相交线（共1小题） 20．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 【答案】C 【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，11×2， 3条直线相交最多有3个交点，3＝1+22×3， 4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+33×4， 5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+44×5， … n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）． 20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）20×19＝190． 故选：C． 一十一．平行线的判定（共3小题） 21．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 22．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠C＝∠CBE D．∠C+∠ABC＝180° 【答案】B 【解答】解：由∠2＝∠4，可得AD∥CB； 由∠1＝∠3或∠C＝∠CBE或∠C+∠ABC＝180°，可得AB∥DC； 故选：B． 23．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　145°　 时，道路CE才能恰好与AD平行． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，延长AB，EC，交于点F， 当AD∥EF时，∠F＝∠A＝110°， ∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°， ∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°， 即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行． 故答案为：145°． 一十二．平行线的性质（共17小题） 24．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 25．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 26．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°， ∴∠DGE＝148°， 由折叠可得，∠DGH∠DGE＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°， 故选：D． 27．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 【答案】A 【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进， 所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补， 故选：A． 28．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 29．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（　　） A．∠A＝∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F＝180° C．∠A﹣∠E+∠C+∠F＝90° D．∠A+∠E+∠C+∠F＝360° 【答案】B 【解答】解：如图，过E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG， ∴∠GEF＝∠DHF＝∠C+∠F， ∠A+∠AEG＝180°， ∴∠A+∠AEF﹣∠GEF＝180°， 即∠A+∠AEF﹣∠C﹣∠F＝180°， 故选：B． 30．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　） A．50°、130° B．都是10° C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对 【答案】C 【解答】解： 如图1，∵AB∥EF， ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2． 如图2，∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180° ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ∵两个角的两边分别平行， ∴这两个角相等或互补． 设另一个角为x°， 若这两个角相等，则x＝3x﹣20， 解得：x＝10， ∴这两个角的度数是10°和10°； 若这两个角互补， 则180﹣x＝3x﹣20， 解得：x＝50， ∴这两个角的度数是50°和130°． ∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°． 故选：C． 31．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　 度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 32．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为　α+β﹣γ＝180°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∴α+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED＝∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∵β＝∠AEF+∠FED， 又∵γ＝∠EDC， ∴α+β﹣γ＝180°． 故答案为：α+β﹣γ＝180° 33．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE∠CNG＝90°y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 34．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1+∠2+∠FEG＝180°， ∠3+∠4+∠EGH＝180°， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∴EF∥GH； （2）β＝2α﹣180°，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB， ∴∠2＝∠MEB， ∴∠MEG＝2∠2， 同理可得，∠MGE＝2∠3， 在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°， ∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE） ＝180°﹣（2∠2+2∠3） ＝180°﹣2（∠2+∠3） ＝180°﹣2（180°﹣α） ＝2α﹣180°； （3）90°+m或150°． 理由如下：①当n＝3时，如图所示： ∵∠BEG＝∠1＝m， ∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m， ∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m， ∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m）， ∵EF∥HK， ∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°， 则∠GHK＝120°， 则∠GHC＝30°， 由△GCH内角和，得γ＝90°+m． ②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 如图所示： 根据三角形外角定义，得 ∠G＝γ﹣60°， 由EF∥HK，且由（1）的结论可得， ∠G＝γ﹣60°＝90°， 则γ＝150°． 综上所述：γ的度数为：90°+m或150°． 35．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　 ； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直线MB、ND交于点F，则　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠END＝∠EFB， ∵∠EFB是△MEF的外角， ∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME， 故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME； （2）如图2，∵AB∥CD， ∴∠CNP＝∠NGB， ∵∠NPM是△GPM的外角， ∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA， ∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE， ∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA， ∵AB∥CD， ∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP， ∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°， ∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°， 即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°， ∴∠E+2∠NPM＝180°； （3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ∵AB∥CD， ∴∠CDG＝∠AGE， ∵∠ABE是△BEG的外角， ∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，① ∵∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE， ∴∠ABM∠ABE＝∠CHB，∠CDN∠CDE＝∠FDH， ∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH∠ABE∠CDE（∠ABE﹣∠CDE），② 由①代入②，可得∠F∠E， 即． 故答案为：． 36．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC； （2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为　∠EPG+2∠EHG＝180°．　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M， ∵AB∥CD， ∴∠AEP＝∠GMP， ∵∠EPG是△PGM的外角， ∴∠EPG＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP+∠PGC； （2）如图1，连接EG， ∵GE平分∠PEF， ∴∠PEG＝∠FEG， 设∠AEP＝α，∠PGC＝β，则∠PGE＝110°﹣α，∠EFG＝2β， ∵AE∥CG，∠AEP+∠PGE＝110°， ∴∠PEG+∠PGC＝180°﹣110°＝70°，即∠PEG＝70°﹣β， ∵∠CGE是△EFG的外角， ∴∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝β+（110°﹣α）﹣2β＝110°﹣α﹣β， 70°﹣β＝110°﹣α﹣β， 解得α＝40°， ∴∠AEP＝40°； （3）如图2，∵EF平分∠PEB， ∴可设∠BEF＝∠PEF＝α， ∵AB∥CD， ∴∠GFE＝∠BEF＝α， ∴四边形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠P﹣2α， ∴∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）＝∠P+2α﹣180°， ∵∠EFG是△FGH的外角， ∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG， 又∵QG平分∠PGC， ∴∠PGC＝2∠FGH， 即∠P+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG）， 整理可得，∠P+2∠EHG＝180°． 故答案为：∠P+2∠EHG＝180°． 37．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）50°． 【解答】（1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 38．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°， ∴∠ABP+∠PBN＝100°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝100°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°； （2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1． ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°， ∴∠ABC+∠DBN＝50°， ∴∠ABC＝25°． 39．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如图，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴PQ∥CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴2． 40．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　110　 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 【答案】（1）110； （2）∠APC＝α+β，理由见解答过程； （3）当P在BD延长线上时，∠CPA＝α﹣β；当P在DB延长线上时，∠CPA＝β﹣α． 【解答】（1）解：过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案为：110． （2）∠APC＝α+β， 理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴α＝∠APE，β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β； （3）如图所示，当P在BD延长线上时， ∠CPA＝α﹣β； 如图所示，当P在DB延长线上时， ∠CPA＝β﹣α． 一十三．平行线的判定与性质（共5小题） 41．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝30°， ∴∠1＝60°， 又∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， 即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确； ∵BC∥AD， ∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°， 又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝45°， ∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误； ∵∠D＝30°，∠CAD＝150°， ∴∠CAD+∠D＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，故④正确． 故选：A． 42．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABGABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3EDF， ∴ABE+∠βEDF， ∴∠β（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBKEBK， ∠CDN＝∠EDNCDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDNCDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ∠EBKCDE （∠EBK﹣∠CDE） 80° ＝40°． 43．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC． （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数； （3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠B+∠F的度数为150°； （3）∠NBM的值不变，∠NBM的值为20°． 【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD， ∴∠ABP＝∠HAB， ∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG， ∴∠CBP＝∠BCG， ∴BP∥CE， ∴AD∥CE； （2）解：∵AF平分∠HAB， ∴∠HAF＝∠FAB＝β， ∴∠HAB＝2∠FAB＝2β， ∵∠BCF＝∠BCG＝α， ∴∠FCG＝2∠FCB＝2α， ∵∠B＝∠HAB+∠BCG， ∴∠F＝∠HAF+∠FCG， ∵α+β＝50°， ∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG ＝2β+α+β+2α ＝3α+3β ＝3（α+β） ＝150°， ∴∠B+∠F的度数为150°； （3）解：∠NBM的值不变， 理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC， ∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC， ∵BM∥CR， ∴∠BCR＝∠MBC， ∴∠BCG＝2∠MBC， ∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°， ∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG ＝2∠NBC﹣2∠MBC ＝2（∠NBC﹣∠MBC） ＝2∠NBM， ∴∠NBM∠HAB＝20°， ∴∠NBM的值为20° 44．如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM＝2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度． （1）直接写出∠QBA的大小为　60°　 ； （2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？ （3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD＝120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系． 【答案】（1）60°； （2）t＝30秒或110秒； （3）∠BAC＝2∠BCD， 【解答】解：（1）∵PQ∥MN， ∴∠QBA＝∠BAN， ∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN， ∴3∠BAN＝180°， ∴∠BAN＝60°， ∴∠QBA＝∠BAN＝60°， 故答案为：60°； （2）①当0＜t＜90时，如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBF＝∠BFA， ∵AE∥BF， ∴∠EAM＝∠BFA， ∴∠EAM＝∠PBF， ∴2t＝1•（30+t）， 解得t＝30； ②当90＜t＜150时，如图2， ∵PQ∥MN， ∴∠PBF+∠BFA＝180°， ∵AE∥BF， ∴∠EAN＝∠BFA， ∴∠PBF+∠EAN＝180°， ∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180， 解得t＝110， 综上所述，当t＝30秒或110秒时BF∥直线AE； （3）∠BAC＝2∠BCD，理由如下： 如图3，作CH∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CH∥PQ∥MN， ∴∠QBC+∠2＝180°，∠MAC+∠1＝180°， ∴∠QBC+∠2+∠MAC+∠1＝360°， ∵∠QBC＝180°﹣m°，∠MAC＝2m°， ∴∠BCA＝∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣m°）﹣2m°＝180°﹣m°， 而∠ACD＝120°， ∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣m°）＝m°﹣60°， ∵∠CAN＝180°﹣2m°， ∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2m°）＝2m°﹣120°， ∴∠BAC：∠BCD＝2：1， 即∠BAC＝2∠BCD． 45．已知AB∥CD，点P是直线AB，CD外一点． （1）【问题初探】如图1，点E，F分别在直线AB，CD上，连接PE，PF．求证： ①∠1+∠2＝∠EPF； ②∠3+∠EPF+∠4＝360°． 证明：过点P作PQ∥AB，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； （2）【结论应用】如图2，∠ABP的角平分线交CD于点E，点F是射线ED上一动点且点F不在直线BP上，连接PF，作∠PFE 的角平分线与BE相交于点Q，问：∠BQF与∠BPF有怎样的数量关系？说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，O是CD上一定点，∠ABO＝α．在∠ABO内部作射线BE，使得，BE与CD相交于点F．动点P在射线FE上，点Q在PF上，连接OQ，∠FOQ＝n∠POQ，若在点P的运动过程中，始终有4∠FQO﹣3∠FPO＝50°，求n，α的值． 【答案】（1）①证明过程见解答；②证明过程见解答； （2）当点F在直线BP的左侧时，2∠BQF+∠BPF＝360°，当点F在直线BP的右侧时，∠BPF＝2∠BQF．理由见解答； （3）n＝3，α＝75°． 【解答】（1）证明：①过点P作PQ∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥PQ∥CD， ∴∠EPQ＝∠1，∠FPQ＝∠2， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠1+∠2，即∠1+∠2＝∠EPF． ②∵∠1+∠2＝∠EPF， ∴∠3+∠EPF+∠4＝∠3+（∠1+∠2）+∠4＝（∠1+∠3）+（∠2+∠4）＝180°+180°＝360°． （2）解：当点F在直线BP的左侧时，2∠BQF+∠BPF＝360°． 理由如下： ∵BE、FQ分别是∠ABP、∠EFP的平分线， ∴∠ABE＝∠EBP，∠EFQ＝∠PFQ， ∴根据（1）②可知，∠ABP+∠BPF+∠EFP＝2（∠ABC+∠EFQ）+∠BPF＝360°． ∵AB∥CD， ∴∠BQF＝∠BED+∠EFQ＝∠ABC+∠EFQ． ∴2∠BQF+∠BPF＝360°． 当点F在直线BP的右侧时， 同理可求∠BPF＝2∠BQF． （3）∵AB∥CD， ∴∠BFO＝∠ABF， ∵∠OBE∠ABO， ∴∠BFOα， ∵∠FQO＝∠FPO+∠POQ， ∴4∠FQO﹣3∠FPO＝4（∠FPO+∠POQ）﹣3∠FPO＝∠FQO+3（∠FQO﹣∠FPO）＝∠FQO+3∠POQ＝50°， ∵∠FOQ＝n∠POQ， ∴∠FQO∠FOQ＝50°， ∵∠BFO＝∠FQO+∠FOQ， ∴∠BFO+（1）∠FOQ＝50°， ∴α∠FOQ＝50°， ∵α，n为定值， ∴∠FOQ为变量， 要使等式恒成立，需要0， ∴n＝3，α＝75°． 一十四．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 46．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 47．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　 cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 一十五．三角形内角和定理（共5小题） 48．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．41° C．42° D．43° 【答案】A 【解答】解：如图，连接AO、BO． 由题意EA＝EB＝EO， ∴∠AOB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°， ∵DO＝DA，FO＝FB， ∴∠DAO＝∠DOA，∠FOB＝∠FBO， ∴∠CDO＝2∠DAO，∠CFO＝2∠FBO， ∵∠CDO+∠CFO＝100°， ∴2∠DAO+2∠FBO＝100°， ∴∠DAO+∠FBO＝50°， ∴∠CAB+∠CBA＝∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO＝140°， ∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣140°＝40°， 故选：A． 49．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．87° B．84° C．75° D．72° 【答案】A 【解答】解：如图， 由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM． ∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°． ∴∠1＝∠2＝∠3． ∴∠ABC＝3∠3． 又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°， ∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°． 又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°． ∴18°+2∠3+112°＝180°． ∴∠3＝25°． ∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°． 故选：A． 50．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　17.5°　 ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B， ∴∠BA1A（180°﹣∠B）（180°﹣40°）＝70°， ∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1∠BA1A70°＝35°； 同理可得，∠DA3A270°＝17.5°，∠EA4A370°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数． 故答案为：17.5°，． 51．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝112°，则∠1+∠2的大小为　88°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AA′． ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝112°， ∴∠A′BC+∠A′CB＝68°， ∴∠ABC+∠ACB＝136°， ∴∠BAC＝180°﹣136°＝44°， ∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A， ∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A， ∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝88°， 故答案为：88°． 52．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　115　 °，∠Q 　25　 °； （2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 　45°或60°或120°或135°　 ． 【答案】（1）115，25； （2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化，理由见解答部分； （3）45°或60°或120°或135°． 【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝70°， ∴∠BCP∠ACB＝35°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°， ∵∠PDE∠ADE＝30°， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°； 又∵∠ACQ∠ACF， ∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP（∠ACF+∠ACB）＝90°， ∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°； 故答案为：115，25； （2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化． 理由：由（1）得：∵∠PDE∠ADE∠B，∠PGD＝∠BCP∠ACB， ∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°∠B∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A＝115°； ∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°； （3）设∠A＝x，则， ∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF， ∴，， ∴，， 因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ∴①当∠Q＝3∠QPC时，， ∴x＝135°， ②当∠QPC＝3∠Q时，， ∴x＝45°， ③当∠PCQ＝3∠Q时，， ∴x＝60°， ④当∠PCQ＝3∠QPC时，， ∴x＝120°， 综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°． 故答案为：45°或60°或120°或135°． 一十六．全等三角形的性质（共1小题） 53．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD， ∴∠1＝∠BAE＝40°， ∵AE＝AB， ∴△ABE是等腰三角形， ∴△ABE中，∠B70°， ∴∠AED＝70°， 故选：A． 一十七．全等三角形的判定（共1小题） 54．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　3厘米/秒或厘米/秒　 时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t， ∵∠B＝∠C， ∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等， 此时，5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒； ②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等， 此时，3t＝8﹣3t， 解得t， ∴点Q的运动速度为5厘米/秒； 故答案为：3厘米/秒或厘米/秒． 一十八．全等三角形的判定与性质（共2小题） 55．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE∠DAC， ∵∠BAE∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确； ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE，故④是正确的， 综上所述：其中正确的有①③④． 故选：D． 56．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 　90　 度，线段AD与BE的数量关系为 　AD＝BE　 （用几何语言填写）． （2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系． 【答案】（1）90；AD＝BE； （2）AB⊥BE，理由见解答． 【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CD＝CE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠CBE+∠DAB+∠ABC）＝90°， 故答案为：90；AD＝BE； （2）AB⊥BE， 理由：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴AB⊥BE． 一十九．角平分线的性质（共2小题） 57．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处， 故选：A． 58．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　15　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积AB×DE10×3＝15， 故答案为：15． 二十．线段垂直平分线的性质（共1小题） 59．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠BAC） ＝90°∠BAC， 即∠BAC＝2∠BPC﹣180°； 如图，连接AO． ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC） ＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC）， ＝2∠OAB+2∠OAC ＝2∠BAC ＝2（2∠BPC﹣180°） ＝4∠BPC﹣360°， 故答案为：4∠BPC﹣360°． 二十一．等腰三角形的性质（共1小题） 60．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高． （1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明； （2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下： ∵D为BC中点， ∴BD＝CD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 在△BED和△CFD中 ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF． （2）DE+DF＝CG． 证明：如图，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD， 即AB•CGAB•DEAC•DF， ∵AB＝AC， ∴CG＝DE+DF． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习易错题（21个考点60题） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 二．幂的乘方与积的乘方（共3小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 3．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 4．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（　　） A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 三．同底数幂的除法（共2小题） 5．已知2m＝3，2n＝4，则23m﹣2n的值为（　　） A． B． C． D．1 6．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8． （1）求3b+c的值； （2）求32a﹣3b的值． 四．多项式乘多项式（共2小题） 7．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　） A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2 8．如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示） （2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积． 五．完全平方公式（共4小题） 9．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 10．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 11．“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为　 　 ． （2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为　 　 ． （3）（a+b）6＝　 　 ． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，2）表示的数是　 　 ，（8，3）表示的数是　 　 ． 12．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 六．平方差公式（共2小题） 13．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y） 14．阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80， 整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9， ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值； （2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值． 七．变量与常量（共1小题） 15．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 八．图像表示变量间的关系（共3小题） 16．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　　） A． B． C． D． 17．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 18．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 九．余角和补角（共1小题） 19．如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　） A．50° B．70° C．130° D．160° 一十．相交线（共1小题） 20．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 一十一．平行线的判定（共3小题） 21．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 22．如图，点E在AB的延长线上，下列条件中能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠4 C．∠C＝∠CBE D．∠C+∠ABC＝180° 23．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　 　 时，道路CE才能恰好与AD平行． 一十二．平行线的性质（共17小题） 24．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 25．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 26．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 27．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 28．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 29．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（　　） A．∠A＝∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F＝180° C．∠A﹣∠E+∠C+∠F＝90° D．∠A+∠E+∠C+∠F＝360° 30．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　） A．50°、130° B．都是10° C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对 31．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　 度． 32．如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为　 　 ． 33．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 34．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 35．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　 ； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直线MB、ND交于点F，则　 　 ． 36．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC； （2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为　 　 ． 37．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 38．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 39．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 40． 问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　 　 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系． 一十三．平行线的判定与性质（共5小题） 41．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 42．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 43．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC． （1）求证：AD∥CE； （2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数； （3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由． 44．如图1，PQ∥MN，点A，B分别在MN，QP上，∠BAM＝2∠BAN，射线AM绕A点顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BP绕B点顺时针旋转至BQ便立即逆时针回转．射线AM转动的速度是每秒2度，射线BP转动的速度是每秒1度． （1）直接写出∠QBA的大小为　 　 ； （2）射线AM、BP转动后对应的射线分别为AE、BF，射线BF交直线MN于点F，若射线BP比射线AM先转动30秒，设射线AM转动的时间为t（0＜t＜180）秒，求t为多少时，直线BF∥直线AE？ （3）如图2，若射线BP、AM同时转动m（0＜m＜90）秒，转动的两条射线交于点C，作∠ACD＝120°，点D在BP上，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系． 45．已知AB∥CD，点P是直线AB，CD外一点． （1）【问题初探】如图1，点E，F分别在直线AB，CD上，连接PE，PF．求证： ①∠1+∠2＝∠EPF； ②∠3+∠EPF+∠4＝360°． 证明：过点P作PQ∥AB，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； （2）【结论应用】如图2，∠ABP的角平分线交CD于点E，点F是射线ED上一动点且点F不在直线BP上，连接PF，作∠PFE 的角平分线与BE相交于点Q，问：∠BQF与∠BPF有怎样的数量关系？说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，O是CD上一定点，∠ABO＝α．在∠ABO内部作射线BE，使得，BE与CD相交于点F．动点P在射线FE上，点Q在PF上，连接OQ，∠FOQ＝n∠POQ，若在点P的运动过程中，始终有4∠FQO﹣3∠FPO＝50°，求n，α的值． 一十四．三角形的角平分线、中线和高（共2小题） 46．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 47． 在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 一十五．三角形内角和定理（共5小题） 48．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝100°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．41° C．42° D．43° 49．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（　　） A．87° B．84° C．75° D．72° 50．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为 　 　 ；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为 　 　 ． 51．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C＝112°，则∠1+∠2的大小为　 　 ． 52．如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　 　 °，∠Q 　 　 °； （2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数 　 　 ． 一十六．全等三角形的性质（共1小题） 53．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 一十七．全等三角形的判定（共1小题） 54．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　 　 时，能够使△BPE与△CQP全等． 一十八．全等三角形的判定与性质（共2小题） 55．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④ 56．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 　 　 度，线段AD与BE的数量关系为 　 　 （用几何语言填写）． （2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系． 一十九．角平分线的性质（共2小题） 57．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 58．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　 ． 二十．线段垂直平分线的性质（共1小题） 59．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　 　 ． 二十一．等腰三角形的性质（共1小题） 60．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高． （1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明； （2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 19 / 19 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