2025年江苏省南京市中考数学二模练习卷

江苏省南京市2025年中考数学二模练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共25分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C．0 D．3 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示的零件的俯视图是（   ） A． B． C． D． 4．直线是一条河，，是在同侧的两个村庄．欲在上的处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则处到，两地距离相等的方案是（   ） A． B． C． D． 5．与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．铜桐收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6，6.6，6.8，7.4，7.7．这组数据的众数为（   ） A．7.1 B．6.9 C．6.8 D．6.6 7．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形为菱形，E为上一点，把沿着折叠，点恰好落在延长线上的点，交于点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．某种植物果实的质量只有0.0076克，将0.0076用科学记数法表示为 ． 10．随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要是由黑、白两种小正方形组成，现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为 ． 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是 ．（写出一个即可） 12．如图，四边形是平行四边形，为坐标原点，点在的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点是线段与反比例函数图象的交点，若点的坐标为，平行四边形的面积为6，则实数的值为 ． 13．如图，已知菱形中，是对角线上的一个动点，作点关于的对应点，连接，当 时，三点共线． 14．如图，在中，，，，，分别在和上，将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若与相似，则的长是 ． 15．点与点关于原点对称，则的值为 ． 16．如图，的外切正六边形的边长为，则图中阴影部分的面积为 ．    17．如图，将放置在平面直角坐标系中，使直角顶点落在原点处，直角边落在轴正半轴上，直角边落在轴正半轴上．，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，取边上一点，过分别作，的平行线，交，于，，连接，使点满足，…，以此类推，则的横坐标为 ． 18．如图，在菱形中，，，点M、N分别为线段、上的动点，且满足，将绕点N逆时针旋转至，连接、，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共10题，第19－22每题8分，第23－26每题10分，第27，28题12分，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（）计算： （）解不等式组： 20．先化简，再求值：，其中． 21．某校安排九年级学生“迎亚运趣味体育比赛”，为了解学生最喜欢的趣味体育项目，就以下四个项目做了一次抽样调查． 项目 极限滑草 蹦蹦床 弯道超车 碰碰球 编号 A B C D 根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．请结合统计图表，回答下列问题： 项目 百分比 A 45% B m% C 15% D n% (1)求本次参与调查的学生的总人数及，的值． (2)求统计图中扇形 的圆心角度数． (3)该校九年级共有学生人，估算该校最喜欢蹦蹦床的人数． 22．一个盒子里装有分别写有数字1，3，5的三张卡片，另一个盒子里装有分别写有数字2，4的两张卡片，现从两个盒子中各任取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片上的数字为不相邻整数的概率． 23．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．为积极响应《云南省中小学生壮苗行动方案（年）》的号召，全面提升学生身体素质，某中学计划采购一批篮球和足球．已知用3000元购买篮球的数量是用2000元购买足球的数量的，且每个篮球的价格比每个足球的价格贵20元，分别求出篮球和足球的单价． 25．如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 26．如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． (1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 27．问题提出 （1）如图1，和均为等边三角形，点是内任意一点，连接，．证明：； 深入探究 （2）如图2，在等腰直角和等腰直角中，，连接，．说明与的数量关系，并求出与所夹锐角的度数； 方法应用 （3）如图3，在等腰直角中，，是的中位线，点在上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．当点，，在同一直线上时，求的值． 28．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为________（用＞连接）； (3)点A，点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为．将此抛物线上A，B两点之间的部分（含A，B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转后得到线段．当折线段和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$江苏省南京市2025年中考数学二模练习卷解析版 学校:_姓名:_班级:_考号:_ (考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第 卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第 卷 一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共25分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1.下列四个数中,最小的数是( ) A. B. C.0 D.3 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法,掌握正有理数0负有理数,两个负有理数绝对值大的反而小成为解题的关键. 根据有理数大小比较方法求解即可. 【详解】解:根据有理数比较大小的方法,可得: , ∴最小的数是. 故选A. 2.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、合并同类项、积的乘方运算 【分析】此题考查了同底数幂的除法,以及幂的乘方与积的乘方,合并同类项,熟练掌握运算法则是解本题的关键.计算各选项得到结果,即可做出判断. 【详解】解:A、,故此选项错误; B、,故此选项正确; C、,故此选项错误; D、,故此选项错误. 故选:B. 3.如图所示的零件的俯视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】判断简单几何体的三视图 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图,根据俯视图是从上往下看求解即可. 【详解】 解:根据俯视图是从上往下看可得出零件的俯视图是, 故选:B 4.直线是一条河,,是在同侧的两个村庄.欲在上的处修建一个水泵站,向,两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则处到,两地距离相等的方案是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质的应用.熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.根据轴对称的性质即可求解. 【详解】解:根据题意,,符合题意的是C选项, 故选:C. 5.与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】此题主要考查同类二次根式,解题的关键是先把二次根式化成最简二次根式. 先把各根式化为最简二次根式,再根据同类二次根式的定义解答即可. 【详解】解:, A、与不是同类二次根式,故本选项不符合题意; B、与是同类二次根式,故本选项符合题意; C、与不是同类二次根式,故本选项不符合题意; D、与不是同类二次根式,故本选项不符合题意; 故选:B 6.铜桐收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”(如图所示),测得它们的质量(单位:g)分别为6.9、7.5、6.6,6.6,6.8,7.4,7.7.这组数据的众数为( ) A.7.1 B.6.9 C.6.8 D.6.6 【答案】D 【知识点】求众数 【分析】本题考查求众数,根据众数是一组数据中出现次数最多的数据,进行求解即可. 【详解】解:由题意,出现次数最多的数据为6.6, 故众数为6.6; 故选D. 7.求的值,可令,则,因此.仿照以上推理,计算出的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【知识点】与实数运算相关的规律题、归纳与类比、有理数的乘方运算 【分析】理解范例给出的方法,再使用相同的方法进行计算. 【详解】解:设,则, 所以,, , 故选:C. 【点睛】本题考查了有理数的乘方,读懂题目信息,理解数列的求和方法是解题的关键. 8.如图,四边形为菱形,E为上一点,把沿着折叠,点恰好落在延长线上的点,交于点,,,则的长为( ) A. B.2 C. D. 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了折叠的性质,菱形的性质以及解三角形、相似三角形判定和性质等知识, 过点作,垂足为,由折叠得,,根据解三角形和等腰三角形三线合一求出,继而得出,再根据在菱形中,,得,由,得,由此求解即可. 【详解】解:过点作,垂足为,由折叠得,, 在菱形中,, ∴, ∴, ∵,, ∴,, ∴, ∵在菱形中,, ∴, 又∵在菱形中,, ∴, ∴,即:, ∴, 故选:C. 第 卷 二、填空题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 9.某种植物果实的质量只有0.0076克,将0.0076用科学记数法表示为 . 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法,科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,n是正数;当原数的绝对值时,n是负数. 【详解】解:. 故答案为:. 10.随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要是由黑、白两种小正方形组成,现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个白色小正方形和一个黑色小正方形的概率为 . 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了树状图法求概率,掌握求概率的方法是解题的关键. 根据题意,画出树状图,根据概率公式即可求解. 【详解】解:画树状图如下: 由树状图知,共有 8 种等可能结果,其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的有 3 种结果,所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为. 故答案为:. 11.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的值可以是 .(写出一个即可) 【答案】3(答案不唯一) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键.根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围,由此即可得出答案. 【详解】解:由题意得:此一元二次方程根的判别式, 解得或, 则的值可以是3, 故答案为:3(答案不唯一). 12.如图,四边形是平行四边形,为坐标原点,点在的正半轴上,点在反比例函数的图象上,点是线段与反比例函数图象的交点,若点的坐标为,平行四边形的面积为6,则实数的值为 . 【答案】2 【知识点】根据图形面积求比例系数(解析式)、反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式,平行四边形的性质,根据点的坐标为,平行四边形的面积为6,得,则,则,故点A的坐标为,即可求出实数的值. 【详解】解:∵四边形是平行四边形, ∴, ∵平行四边形的面积为6,点的坐标为, ∴, 则, ∴, 则, ∵点的坐标为, ∴点A的坐标为, 把代入, ∴, 故答案为:2. 13.如图,已知菱形中,是对角线上的一个动点,作点关于的对应点,连接,当 时,三点共线. 【答案】或 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查了菱形的性质,折叠的性质,三角形内角和定理等知识的综合,掌握以上知识,数形结合分析是关键. 如图所示,连接,可证,,设,分类讨论:第一种情况:,,,,由三角形内角和定理可得;第二种情况:设,则,,,当三点共线时,,,由平角的性质可得;由此即可求解. 【详解】解:如图所示,连接, ∵四边形是菱形,,是对角线, ∴,,即相互垂直平分, ∴,,, ∵折叠, ∴,且, ∴, ∴, 设,则,, ∴, ∴, 当三点共线时,, 在中,, ∴, ∴, ∴; 如图所示, 同理,, 设,则,, ∴, 当三点共线时,, ∴, ∴, ∴, ∴; 综上所述,当是或时三点共线, 故答案为:或 . 14.如图,在中,,,,,分别在和上,将沿折叠,点的对应点恰好落在上.若与相似,则的长是 . 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】如图所示,连接交于点,根据折叠得到点与点关于对称,,,则垂直平分,则,分类讨论:,根据相似三角形的性质可解;,根据折叠,直角三角形斜边中线等于斜边一半可得,结合解直角三角形的计算即可求解. 【详解】解:如图所示,连接交于点, 将沿折叠,点的对应点恰好落在上, ∴点与点关于对称,,, ∴垂直平分,则, 如图所示,, ∴, ∴,则, ∴,即, 又, ∴, ∴; 如图所示,, ∴, ∵, ∴,, ∴,, ∴,且是直角三角形, ∴, ∴, ∵, ∴,, ∴; 综上所述,的长是或, 故答案为:或 . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,折叠的性质,直线三角形斜边中线等于斜边一半,解直角三角形的计算,掌握相似三角形的判定和性质,解直角三角形的计算是关键. 15.点与点关于原点对称,则的值为 . 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查坐标与中心对称,根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数,求出的值,再利用乘方法则进行计算即可. 【详解】解:由题意,得:, ∴; 故答案为:. 16.如图,的外切正六边形的边长为,则图中阴影部分的面积为 . 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、正多边形与圆,设与的切点是点,连接,则,首先根据正六边形的性质可知是等边三角形,根据等边三角形的性质可以求出,利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积. 【详解】解:如下图所示, 设与的切点是点,连接, 则, 在正六边形中, ,, 是等边三角形, 正六边形的边长为, , , , , ; 故答案为:. 17.如图,将放置在平面直角坐标系中,使直角顶点落在原点处,直角边落在轴正半轴上,直角边落在轴正半轴上.,取边上一点,过分别作,的平行线,交,于,,连接,使点满足,取边上一点,过分别作,的平行线,交,于,,连接,使点满足,…,以此类推,则的横坐标为 . 【答案】 【知识点】求角的正切值、点坐标规律探索、全等的性质和HL综合(HL)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】过点作于点,点作于点,根据矩形的判定和性质,正切值的求法,全等三角形的判定和性质得到,再利用同样的方法得到,找出规律即可求解. 【详解】解:过点作于点,点作于点,如图 由题意可得四边形和四边形是矩形, ,,,, 设, , . 则, ,, . , , , , ,, , , , , , . 同理可得:, . , 的横坐标为. 故答案为:. 【点睛】本题考查了探案规律,正切值的求法,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,作出辅助线,求得是解答关键. 18.如图,在菱形中,,,点M、N分别为线段、上的动点,且满足,将绕点N逆时针旋转至,连接、,则的最小值为 . 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、图形的旋转、轴对称最短路径问题,解题的关键是通过全等证明确定动点轨迹,利用轴对称将线段和转化为定点间距离求解. 利用菱形性质及已知条件证明,确定点P的轨迹为射线,通过作点B关于的对称点,将所求线段和转化为定点间的最短路径,构造直角三角形,利用勾股定理计算最短路径长度. 【详解】作射线, 四边形是菱形, , , , 将绕点N逆时针旋转至, ,, 在中,,, , ,, , , 在和中, , , 则, 点P的轨迹为射线, 作点B关于的对称点,连接、、, ,, , 当三点共线时,则即为的最小值, 点在的延长线上,且, 过点C作交的延长线于点G, 过点作交的延长线于点H, 四边形是菱形, , ,, ,, 易证四边形是矩形, , , 在中, =. 故答案为:. 三、解答题(本大题共10题,第19-22每题8分,第23-26每题10分,第27,28题12分,共96分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.()计算: ()解不等式组: 【答案】();() 【知识点】二次根式的混合运算、求不等式组的解集、负整数指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】()根据二次根式的性质、乘方的定义、负整数指数幂及二次根式的运算法则计算即可; ()分别求出每个不等式的解集,再取解集的公共部分即可求解; 本题考查了二次根式的混合运算,解一元一次不等式组,正确计算是解题的关键. 【详解】解:()原式 ; (), 由①得,, 又②得,, ∴不等式组的解集为. 20.先化简,再求值:,其中. 【答案】,. 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了分式的化简求值,根据平方差公式,完全平方公式,分式的混合运算法则化简,再把代入即可求解,掌握相关知识是解题的关键. 【详解】解: , , , 当时,原式. 21.某校安排九年级学生“迎亚运趣味体育比赛”,为了解学生最喜欢的趣味体育项目,就以下四个项目做了一次抽样调查. 项目 极限滑草 蹦蹦床 弯道超车 碰碰球 编号 A B C D 根据调查统计结果,绘制了不完整的三种统计图表.请结合统计图表,回答下列问题: 项目 百分比 A 45% B m% C 15% D n% (1)求本次参与调查的学生的总人数及,的值. (2)求统计图中扇形 的圆心角度数. (3)该校九年级共有学生人,估算该校最喜欢蹦蹦床的人数. 【答案】(1)本次参与调查的学生的总人数为人,,的值分别为, (2)统计图中扇形 的圆心角度数为: (3)该校九年级共有学生人,最喜欢蹦蹦床的人数约为人 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用、用样本估计总体.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. ()由项目人数及其所占百分比即可求出总人数,用项目人数除以调查总人数得百分比可求值,由分别减项目、项目、项目所占百分比得项目的百分比即可求出值; ()用乘以项目人数所占比例即可求出扇形统计图中项目的圆心角度数; ()用总人数乘以“蹦蹦床”的学生所占的百分比即可. 【详解】(1)解:本次参与调查的学生的总人数为: (人), ∵, ∴, ∵, ∴; (2)解:统计图中扇形 的圆心角度数为: ; (3)解:(人), 答:该校九年级共有学生人,最喜欢蹦蹦床的人数约为人. 22.一个盒子里装有分别写有数字1,3,5的三张卡片,另一个盒子里装有分别写有数字2,4的两张卡片,现从两个盒子中各任取一张卡片,请用画树状图或列表的方法,求取出的卡片上的数字为不相邻整数的概率. 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查了树状图求概率,正确画出树状图是解答本题的关键. 画出树状图,由树状图求出卡片上的数字为不相邻整数的等可能的结果数,再由概率公式即可求出答案. 【详解】解:画树状图得: 由图可知共有6种等可能的结果,抽到两张卡片上的数字为不相邻整数的的结果有2种, 抽到两张卡片上的数字为不相邻整数的概率为. 23.如图,点是正方形对角线的延长线上任意一点,以线段为边作一个正方形,线段和相交于点. (1)求证:; (2)若,,求的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用. (1)由四边形和四边形是正方形,可得,,,从而得到,然后利用即可证明结论; (2)如图所示,连接交于点,计算出、,根据勾股定理即可求出的长. 【详解】(1)解:由四边形和四边形是正方形, ,,, , , 在和中: , , . (2)解:如图,连接交于点, , , , . 24.为积极响应《云南省中小学生壮苗行动方案(年)》的号召,全面提升学生身体素质,某中学计划采购一批篮球和足球.已知用3000元购买篮球的数量是用2000元购买足球的数量的,且每个篮球的价格比每个足球的价格贵20元,分别求出篮球和足球的单价. 【答案】足球的单价是20元,篮球的单价为元. 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用,正确建立分式方程是解题关键.设足球的单价是元,则篮球的单价是元,根据购买篮球的数量是足球的,购买足球用了2000元,购买篮球用了3000元建立分式方程,解方程即可得. 【详解】解:设足球的单价是元,则篮球的单价是元, 由题意得:, 解得, 经检验,是所列分式方程的解,且符合题意, ∴, 答:足球的单价是20元,篮球的单价为元. 25.如图,在等腰三角形中,,点为边上的点. (1)尺规作图:在的外侧作,使得;(不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图形中,当时,求的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合)、解直角三角形的相关计算、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了利用尺作一个三角形,全等三角形的判定与性质综合,解直角三角形等知识,解题关键是掌握上述知识,并能熟练运用求解. (1)法一,利用作全等三角形;法二:利用作全等三角形;法三:通过作一次垂直构造全等三角形;法四:通过作两次垂直构造全等三角形; (2)先利用等腰直角三角形的性质,说明,再设,可用表示出,接着用表示出,就可用表示出,然后利用全等三角形的性质证得,就可求得的值. 【详解】(1)解:作图. 法一:作. 法二:作. 法三:作. 法四:作. 如图所示,即为所作的三角形. (2)过点作,垂足为点, 等腰三角形中,, , 设,则, , . 又, , . 26.如图,在中,以上一点为圆心,为半径的与、相交于、,连接. (1)从以下三个信息中选择两个作为条件,剩余的一个作为结论组成一个真命题,并写出你的证明过程. ①平分;②;③直线是的切线.你选择的条件是_,结论是_(填序号); (2)在(1)的条件下,若,,求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)①②,③ (2) 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形 【分析】(1)选择的条件是①②,结论是③;理由:连接,根据等腰三角形性质可得,根据角平分线性质得,可得,得,即得; (2)先求出,,得,再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积,即可. 【详解】(1)解:选择的条件是①②,结论是③. 理由如下: 如图,连接, ∵, ∴, ∵平分, ∴, ∴, ∴; ∵, ∴, ∴, ∵为的半径, ∴是的切线; 故答案为:①②,③(答案不唯一); (2)解:∵,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 故阴影部分的面积为. 【点睛】本题考查构造真命题,角平分线定义,等腰三角形性质,圆切线的判定和性质,扇形的面积,三角形面积,勾股定理,含30度的直角三角形的性质等知识.解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 27.问题提出 (1)如图1,和均为等边三角形,点是内任意一点,连接,.证明:; 深入探究 (2)如图2,在等腰直角和等腰直角中,,连接,.说明与的数量关系,并求出与所夹锐角的度数; 方法应用 (3)如图3,在等腰直角中,,是的中位线,点在上,连接,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,,.当点,,在同一直线上时,求的值. 【答案】(1)证明见解析;(2);;(3) 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、全等的性质和SAS综合(SAS)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】(1)由“”可证,可得结论; (2)通过证明,可得,即可求解; (3)如图,在上取一点,使点,,在同一直线上,设交于点,证出点为的中点,结合旋转证明,设,则,解直角三角形求出,,即可求解. 【详解】(1)证明:在等边和等边中, ,,, , , 在和中, , , ; (2)解:;直线与直线相交所夹锐角的度数为; 理由如下: 如图,设交于点G,交于点, 在等腰直角和等腰直角中,, ,,即, , , ,, , , 与相交所夹锐角的度数为; (3)如图,在上取一点,使点,,在同一直线上, 设交于点, 在等腰直角中,,是中位线, ,, ∴, 点为的中点, 又绕点逆时针旋转得到,且点C,P,D三点共线, , ∴,, , , , 设,则, ,, , 综上所述,的值为. 【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题. 28.在平面直角坐标系中,抛物线(b,c为常数)的对称轴为直线,与y轴交点坐标为. (1)求此抛物线对应的函数表达式; (2)设,,是抛物线上的三点,则,,的大小关系为_(用>连接); (3)点A,点B均在这个抛物线上(点A在点B的左侧),点A的横坐标为m,点B的横坐标为.将此抛物线上A,B两点之间的部分(含A,B两点)记为图象G. ①当点A在x轴上方,图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时,求m的值; ②设点,点,将线段绕点D逆时针旋转后得到线段.当折线段和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时,直接写出n的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)①m的值为;②或 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax +bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】(1)根据对称轴求出的值,再由抛物线与轴的交点坐标求出的值; (2)根据二次函数的开口方向和对称轴即可解答; (3)①首先推导出的坐标为,当时,,求出的值,当时,,求出的值,再结合题意确定符合条件的值即可; ②分2种情况:当时,当时,分别画图,根据和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点,求得的取值范围即可. 【详解】(1)解:∵抛物线的对称轴为直线, , , ∵抛物线与轴交点坐标为, , ∴此抛物线对应的函数表达式为; (2)解:∵抛物线开口向下,对称轴为直线, 且,,是抛物线上的三点,, ∴; (3)解:①抛物线解析式为, 令,得:, 解得:或, 故抛物线与轴的交点为,对称轴为直线;顶点坐标为, 由题意得:, ∵, ∴点的横坐标关于直线对称, 当时,如图 1 ,图象G的最高点在点,最低点是点B, 则, 解得:或(不合题意,舍去); 当时,如图 2 ,图象G的最高点是点A,最低点是点B, 则, 解得:(不合题意,舍去), 综上所述:图象的最高点与最低点的纵坐标差为 6 时,的值为; ②∵, ∴点关于直线对称, (i)当时,如图3, ∴, 由旋转得:, ∴, 如图3,当点在抛物线上, 则, 解得:(舍去)或, 当时,如图4,和二次函数在范围上的图象没有公共点,(舍去); 当时,如图5,和二次函数在范围上的图象有一个公共点,符合题意; (ii)当时,如图6, ∴, 由旋转得:, ∴, 如图6,当点在抛物线上, 则, 解得:或(舍去), 当点和抛物线顶点重合时, 则,解得:; 当时,如图7,和二次函数在范围上的图象没有公共点,(舍去); 当时,如图8,和二次函数在范围上的图象没有公共点,(舍去); 当时,如图9,和二次函数在范围上的图象有一个公共点,符合题意; 综上所述:当或时, (不含内部)和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点. 【点睛】本题主要考查了二次函数综合,二次函数图象的性质,抛物线图象与线段交点问题,熟练掌握抛物线图象与性质是解题的关键,综合性强,难度大,属于压轴题,正确的求出函数解析式,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解,是解题的关键. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 $$