期末易错题（22个考点60题）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版2024新教材）

期末易错题（22个考点60题） 一．平方根（共1小题） 1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1 二．算术平方根（共4小题） 2．的算术平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．3 4．观察下列各式：2，3，4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　 　 ． 5．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 三．立方根（共4小题） 6．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　 　 ． 7．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 　 　 ． 8．求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0 （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 9．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3． （1）求a、b的值； （2）求4a+b的平方根． 四．估算无理数的大小（共1小题） 10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： 　 　 ； 　 　 ． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　 　 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　 　 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　 　 ． 五．二元一次方程的解（共1小题） 11．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　 　 ． 六．二元一次方程组的解（共3小题） 12．已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解； ②当x＝y时，； ③当y＝0时，； ④不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变； ⑤当a＝﹣1时，x2﹣y2＝4． 其中正确的结论有（　　） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 13．已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（　　） A． B． C． D． 14．已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值． 七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题） 15．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 16．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 八．不等式的性质（共1小题） 17．已知x＞y，下列不等式一定成立的是（　　） A．x+1＜y+1 B． C．﹣3x＞﹣3y D．x﹣c＜y﹣c 九．不等式的解集（共2小题） 18．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1 19．如果关于x的不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 一十．一元一次不等式的整数解（共1小题） 20．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 　 　 ． 一十一．一元一次不等式组的整数解（共3小题） 21．关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．1＜a≤2 C．a≥1 D．1≤a＜2 22．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 一十二．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 24．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 一十三．点的坐标（共4小题） 25．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4） 26．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1） 27．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 　 　 ． 28．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”． （1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 　 　 ； （2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标； （3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围． 一十四．坐标确定位置（共1小题） 29．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 　 　 ． 一十五．坐标与图形性质（共1小题） 30．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 一十六．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 31．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 一十七．平行线的判定（共4小题） 32．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 33．如图，下列说法中，正确的是（　　） A．若∠3＝∠8，则AB∥CD B．若∠1＝∠5，则AB∥CD C．若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD D．若∠2＝∠6，则AB∥CD 34．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　 时，CD∥AB． 35．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　 　 时，道路CE才能恰好与AD平行． 一十八．平行线的性质（共18小题） 36．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 37．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 38．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 39．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 40．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（　　） A．19° B．18° C．17° D．16° 41．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 42．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 43．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（　　） A．∠A＝∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F＝180° C．∠A﹣∠E+∠C+∠F＝90° D．∠A+∠E+∠C+∠F＝360° 44．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　 　 ． 45．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　 度． 46．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　 　 °． 47．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝　 　 度． 48．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 49．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　 ； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直线MB、ND交于点F，则　 　 ． 50．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　 　 度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 51．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 52．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 53．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数； 问题迁移 （2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系． 一十九．平行线的判定与性质（共4小题） 54．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 55．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论： ①BC平分∠ABE； ②AC∥BE； ③∠CBE+∠EDB＝90°； ④∠DEB＝2∠ABC，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 56．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 57．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 二十．平移的性质（共1小题） 58．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　 　 ． 二十一．总体、个体、样本、样本容量（共1小题） 59．要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：①1500名学生是总体；②每名学生的心理健康评估报告是个体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 　 　 ． 二十二．扇形统计图（共1小题） 60．某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是 　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末易错题（22个考点60题） 一．平方根（共1小题） 1．若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1 【答案】D 【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根， ∴2m﹣4+3m﹣1＝0，或2m﹣4＝3m﹣1， 解得：m＝1或﹣3． 故选：D． 二．算术平方根（共4小题） 2．的算术平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 【答案】B 【解答】解：2，2的算术平方根是． 故选：B． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：由所给的程序可知，当输入64时，8， ∵8是有理数， ∴取其立方根可得到，2， ∵2是有理数， ∴取其算术平方根可得到， ∵是无理数， ∴y． 故选：A． 4．观察下列各式：2，3，4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1+1）2， （2+1）3， （3+1）4， … ， 故答案为：． 5．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即：（m+3）+（2m﹣15）＝0 解得m＝4． 则这个正数是（m+3）2＝49． （2）3，则它的平方根是±． 三．立方根（共4小题） 6．若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项， ∴， 解方程得：． ∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8． 8的立方根是2． 故答案为：2． 7．一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4， ∴2b﹣1+b+4＝0， ∴b＝﹣1． ∴b+4＝﹣1+4＝3， ∴a＝9． ∴a+b＝9+（﹣1）＝8， ∵8的立方根为2， ∴a+b的立方根为2． 故答案为：2． 8．求下列各式中的x． （1）4x2﹣16＝0 （2）27（x﹣3）3＝﹣64． 【答案】见试题解答内容 【解答】解（1）4x2＝16， x2＝4 x＝±2； （2）（x﹣3）3， x﹣3 x． 9．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3． （1）求a、b的值； （2）求4a+b的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2， ∴3a﹣14+a﹣2＝0， 解得a＝4， ∵b﹣15的立方根为﹣3， ∴b﹣15＝﹣27， 解得b＝﹣12 ∴a＝4、b＝﹣12； （2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b 得4×4+（﹣12）＝4， ∴4a+b的平方根是±2． 四．估算无理数的大小（共1小题） 10．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： 　2　 ； 　5　 ． （2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　 ． 如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数，　3　 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　255　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36， ∴56， ∴[2]＝2，[]＝5， 故答案为：2，5； （2）∵12＝1，22＝4，且， ∴x＝1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：[]＝10， 第二次：[]＝3， 第三次：[]＝1， 故答案为：3； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1， ∴对255只需进行3次操作后变为1， ∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255； 故答案为：255． 五．二元一次方程的解（共1小题） 11．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把代入方程2x+y＝0，得2a+b＝0， ∴6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝2． 故答案为：2． 六．二元一次方程组的解（共3小题） 12．已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解； ②当x＝y时，； ③当y＝0时，； ④不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变； ⑤当a＝﹣1时，x2﹣y2＝4． 其中正确的结论有（　　） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【解答】解：当a＝1时，方程组化为， ∵x+y＝0， ∴方程组的解不是方程x+y＝2的解， ∴①不正确，不符合题意； 当x＝y时，得3a+5＝0， 解得a， ∴②正确，符合题意； 当y＝0时，得1﹣a＝3a+5， 解得a＝﹣1， ∴③不正确，不符合题意； 解方程组，得， 则2x+y＝2（a+3）+（﹣2a﹣2）＝4， ∴不论a取什么有理数，2x+y的值始终不变， ∴④正确，符合题意； 当a＝﹣1时，方程组化为， 则（x+y）（x﹣y）＝4，即x2﹣y2＝4， ∴⑤正确，符合题意． 综上，②④⑤正确． 故选：D． 13．已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在方程组中，设x+2＝a，y﹣1＝b， 则变形为方程组， 由题知， 所以x+2＝8.3，y﹣1＝1.2，即． 故选：C． 14．已知方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：甲看错了①式中x的系数a，解得，但满足②式的解，所以﹣12+b＝﹣2，解得：b＝10； 同理乙看错了②式中y的系数b，解得，满足①式的解，所以5a+10＝15，解得：a＝1． 七．由实际问题抽象出二元一次方程组（共2小题） 15．现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个盒子，设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据共有190张铁皮，得方程x+y＝190； 根据做的盒底数等于盒身数的2倍时才能正好配套，得方程2×8x＝22y． 列方程组为． 故选：A． 16．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意可得： ， 故选：A． 八．不等式的性质（共1小题） 17．已知x＞y，下列不等式一定成立的是（　　） A．x+1＜y+1 B． C．﹣3x＞﹣3y D．x﹣c＜y﹣c 【答案】B 【解答】解：A．∵x＞y， ∴x+1＞y+1，故本选项不符合题意； B．∵x＞y， ∴，故本选项符合题意； C．∵x＞y， ∴3x＞3y， ∴﹣3x＜﹣3y，故本选项不符合题意； D．∵x＞y， ∴x﹣c＞y﹣c，故本选项不符合题意； 故选：B． 九．不等式的解集（共2小题） 18．不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1 【答案】C 【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2， 解不等式①得x＞2， 解不等式②得x＞m+1， 不等式组的解集是x＞2， ∴不等式，①解集是不等式组的解集， ∴m+1≤2， m≤1， 故选：C． 19．如果关于x的不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 【答案】A 【解答】解：∵不等式ax＜﹣a的解集为x＞﹣1， ∴a＜0， 故选：A． 一十．一元一次不等式的整数解（共1小题） 20．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 　9≤a＜12　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x； 其正整数解为1，2，3， 则34， 所以a的取值范围9≤a＜12． 一十一．一元一次不等式组的整数解（共3小题） 21．关于y的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．1＜a≤2 C．a≥1 D．1≤a＜2 【答案】B 【解答】解：， 由①得：y＞﹣2， 由②得：y＜a， ∴原不等式组的解集为﹣2＜y＜a， ∵关于y的一元一次不等式组有3个整数解， ∴1＜a≤2， 故选：B． 22．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0， ∵， ∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0． 若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解； 若三个整数解为0，1，2，则； 解得． 故选：B． 23．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【解答】解：解方程组得：， ∵x≥y， ∴a+1a﹣2， 解得：a， 解不等式组得s≤1， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解（﹣2，﹣1，0，1）， ∴﹣32， 解得：﹣2≤a＜1， ∵a， ∴a＜1， ∴所有符合条件的整数a有﹣1，0，共有2个， 故选：C． 一十二．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 24．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 【答案】C 【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1）， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵， ∴可列不等式组为：， 即． 故选：C． 一十三．点的坐标（共4小题） 25．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4） 【答案】A 【解答】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为（4，﹣6）． 故选：A． 26．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（1，﹣1） D．（3，3）或（1，﹣1） 【答案】D 【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等， ∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|， ∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7）， 解得a＝5或a＝3， 所以，点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）． 故选：D． 27．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 　（5，0）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒． 故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）． 28．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”． （1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 　B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）　 ； （2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标； （3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围． 【答案】（1）B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）； （2）点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）． （3）0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1． 【解答】解：（1）根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”； 故答案为：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）； （2）①当点B在x轴上时， 设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4， 解得t＝﹣6， ∴B（﹣6，0）． ②当点B在y轴上时， 设B（0，b）， 由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4， 解得b＝6， ∴B（0，6）． 综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）． （3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1）， ∴m＝n+4． ∵点B在第四象限， ∴， ∴， 解得﹣4＜n＜0， 此时0＜n+4＜4， ∴0＜m＜4． 由定义可知：m≠3，n≠﹣1， ∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1． 故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1． 一十四．坐标确定位置（共1小题） 29．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 　23　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图中可以发观，第n排的最后的数为：n（n+1） ∵第6排最后的数为：6（6+1）＝21， ∴（7，2）表示第7排第2个数，则第7排第二个数为21+2＝23． 故答案填：23． 一十五．坐标与图形性质（共1小题） 30．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上， ∴M′的纵坐标y＝﹣2， ∵“M′到y轴的距离等于4”， ∴M′的横坐标为4或﹣4． 所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选：B． 一十六．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 31．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 一十七．平行线的判定（共4小题） 32．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 33．如图，下列说法中，正确的是（　　） A．若∠3＝∠8，则AB∥CD B．若∠1＝∠5，则AB∥CD C．若∠DAB+∠ABC＝180°，则AB∥CD D．若∠2＝∠6，则AB∥CD 【答案】D 【解答】解：A．由∠3＝∠8，不能得到AB∥CD，故本选项错误； B．若∠1＝∠5，则AD∥CB，故本选项错误； C．若∠DAB+∠ABC＝180°，则AD∥CB，故本选项错误； D．若∠2＝∠6，则AB∥CD，故本选项正确； 故选：D． 34．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　 时，CD∥AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°； 如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°或30°． 35．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　145°　 时，道路CE才能恰好与AD平行． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，延长AB，EC，交于点F， 当AD∥EF时，∠F＝∠A＝110°， ∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°， ∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°， 即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行． 故答案为：145°． 一十八．平行线的性质（共18小题） 36．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 37．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 38．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°， ∵a∥b，∠DCB＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°． 故选：B． 39．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°， ∴∠DGE＝148°， 由折叠可得，∠DGH∠DGE＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°， 故选：D． 40．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，则∠2的度数为（　　） A．19° B．18° C．17° D．16° 【答案】B 【解答】解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°， ∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝180°﹣90°﹣78°＝12°， ∵直尺的两边平行，即EA∥GH， ∴∠BDF＝∠DBE＝12°， ∵∠BDC＝30°， ∴∠2＝∠BDC﹣∠BDF＝30°﹣12°＝18°， 故选：B． 41．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 【答案】A 【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进， 所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补， 故选：A． 42．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 43．如图，AB∥CD，则∠A、∠C、∠E、∠F满足的数量关系是（　　） A．∠A＝∠C+∠E+∠F B．∠A+∠E﹣∠C﹣∠F＝180° C．∠A﹣∠E+∠C+∠F＝90° D．∠A+∠E+∠C+∠F＝360° 【答案】B 【解答】解：如图，过E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG， ∴∠GEF＝∠DHF＝∠C+∠F， ∠A+∠AEG＝180°， ∴∠A+∠AEF﹣∠GEF＝180°， 即∠A+∠AEF﹣∠C﹣∠F＝180°， 故选：B． 44．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　55°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC， ∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE， ∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE， ∴∠BAD+∠BCD＝2∠E， ∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°， ∴∠E（∠BAD+∠BCD）（70°+40°）＝55°． 故答案为：55°． 45．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　 度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 46．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　36　 °． 【答案】36． 【解答】解：延长FB交CD于点G，如图： ∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE， ∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE， ∵AB∥CD， ∴∠FBA＝∠3， ∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补， ∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°， 设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°， ∴x+4x＝180， 解得，x＝36， 即∠F的度数为36°． 故答案为：36． 47．一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝　120　 度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接BF，BF∥CD， ∵CD∥AE， ∴CD∥BF∥AE， ∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°， ∵∠BCD＝150°，∠BAE＝90°， ∴∠1＝30°，∠2＝90°， ∴∠ABC＝∠1+∠2＝120°． 故答案为：120． 48．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE∠CNG＝90°y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 49．已知直线AB∥CD． （1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　∠E＝∠END﹣∠BME　 ； （2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE，直线MB、ND交于点F，则　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠END＝∠EFB， ∵∠EFB是△MEF的外角， ∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME， 故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME； （2）如图2，∵AB∥CD， ∴∠CNP＝∠NGB， ∵∠NPM是△GPM的外角， ∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA， ∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE， ∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA， ∵AB∥CD， ∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP， ∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°， ∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°， 即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°， ∴∠E+2∠NPM＝180°； （3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ∵AB∥CD， ∴∠CDG＝∠AGE， ∵∠ABE是△BEG的外角， ∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，① ∵∠ABM∠MBE，∠CDN∠NDE， ∴∠ABM∠ABE＝∠CHB，∠CDN∠CDE＝∠FDH， ∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH∠ABE∠CDE（∠ABE﹣∠CDE），② 由①代入②，可得∠F∠E， 即． 故答案为：． 50．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　55　 度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°， ∴∠APB的大小为55度， 故答案为：55； 探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下： ∵l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD； 拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下： 如图，当点P在射线CE上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB； 当点P在射线DF上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD， 综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD． 51．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°， ∴∠ABP+∠PBN＝100°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝100°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°； （2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1． ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°， ∴∠ABC+∠DBN＝50°， ∴∠ABC＝25°． 52．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如图，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴PQ∥CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴2． 53．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． （1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数； 问题迁移 （2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下： 过P作PT∥EF，如图： ∵EF∥MN， ∴PT∥EF∥MN， ∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°， ∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°， 即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°， ∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°， ∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°； （2）①∠CPD＝∠α+∠β，理由如下： 过P作PE∥AD交CD于E，如图： ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； ②当P在BA延长线时，如图： 此时∠CPD＝∠β﹣∠α； 当P在BO之间时，如图： 此时∠CPD＝∠α﹣∠β． 一十九．平行线的判定与性质（共4小题） 54．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝30°， ∴∠1＝60°， 又∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， 即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确； ∵BC∥AD， ∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°， 又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝45°， ∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误； ∵∠D＝30°，∠CAD＝150°， ∴∠CAD+∠D＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，故④正确． 故选：A． 55．如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论： ①BC平分∠ABE； ②AC∥BE； ③∠CBE+∠EDB＝90°； ④∠DEB＝2∠ABC，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA， ∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF， ∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF， ∴∠EDB＝∠DBE， ∵BC⊥BD， ∴∠EDB+∠ECB＝90°，∠DBE+∠EBC＝90°， ∴∠ECB＝∠EBC， ∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA， ∴BC平分∠ABE，①正确； ∵∠EBC＝∠BCA， ∴AC∥BE，②正确； ∴∠CBE+∠EDB＝90°，③正确； ∵∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故④正确； 故选：D． 56．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABGABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3EDF， ∴ABE+∠βEDF， ∴∠β（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBKEBK， ∠CDN＝∠EDNCDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDNCDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ∠EBKCDE （∠EBK﹣∠CDE） 80° ＝40°． 57．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行． 如图①，∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠B＝∠D＝120°， ∴∠D+∠A＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图②，∵AD∥BC，∠B＝∠D＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE， ∴∠EAC∠BAE，∠EAF∠DAE， ∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF（∠BAE+∠DAE）∠DAB＝30°； （3）①如图3，当点E在C点左侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：3； ②如图4，当点E在C点右侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：1． 二十．平移的性质（共1小题） 58．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　30　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的， 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30． 故答案为：30． 二十一．总体、个体、样本、样本容量（共1小题） 59．要想了解九年级1500名学生的心理健康评估报告，从中抽取了300名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：①1500名学生是总体；②每名学生的心理健康评估报告是个体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是 　②④　 ． 【答案】②④． 【解答】解：①1500名学生的心理健康评估报告是总体，故①不符合题意； ②每名学生的心理健康评估报告是个体，故②符合题意； ③被抽取的300名学生的心理健康评估报告是总体的一个样本，故③不符合题意； ④300是样本容量，故④符合题意； 故答案为：②④． 二十二．扇形统计图（共1小题） 60．某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，并根据此次调查结果绘制了一个不完整的扇形统计图，其中“其他”部分所对应的圆心角是36°，则“步行”部分所占百分比是 　40%　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵“其他”部分所对应的圆心角是36°， ∴“其他”部分所对应的百分比为：10%， ∴“步行”部分所占百分比为：100%﹣10%﹣15%﹣35%＝40%， 故答案为：40%． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$