专题10 变量之间的关系（四大题型）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版2024新教材）

专题10 变量之间的关系（四大题型） 重难点题型归纳 【题型01 ：变量与常量】 【题型02 ：用表格表示变量间的关系】 【题型03 ：用关系式表示变量间的关系】 【题型04 ：用图像表示变量间的关系】 【题型01 ：变量与常量】 1．从兴文到成都大约有千米，某天小丽一家准备自驾车从兴文到成都参观大熊猫基地，在这个过程中，如果设行驶的速度为千米/时，行驶的时间为小时，其中常量是（    ） A． B． C． D．，t 2．一本练习本每本2.5元，买m本共付n元，则2.5和n分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 3．一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别是（　　） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 4．某电影院的某个电影的每张电影票的售价为58元，售票张数为x，票房收入为w元，在这个售票过程中，始终不变的量是（　　） A．售票的张数 B．余票的张数C．每张电影票的售价D．该电影院的票房收入 5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 6．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ． 【题型02 ：用表格表示变量间的关系】 7．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 8．一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 9．某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示： 每天生产的个数 500 600 800 1000 1200 … 生产的天数 24 20 15 12 10 … 若每天生产的个数用（个）表示，生产的天数用（天）表示，则下列说法正确的是（   ） A．这批货物共有1200个 B．生产的天数会随着每天生产的个数的增大而增大 C．要想8天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产1500个 D．与乘积为定值，它们成正比例关系 10．王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； (2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)用含S的代数式来表示． 11．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 12．小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 13．小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 14．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 15．如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 16．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 17．打电话时电话费随时间的变化而变化，有一种手机的电话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系可近似地表示为． (1)小张打了100分钟的电话，费用为多少元？ (2)小张这个月用的电话费是55元，他打了多少分钟电话？ 18．科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 19．已知池中有水，每小时抽出． (1)写出剩余水的体积与时间之间的关系式． (2)几小时后，池中还有的水？ 【题型03 ：用关系式表示变量间的关系】 20．已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，则y与x之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 21．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 22．某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 23．弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系： 下列说法中，不正确的是（   ） A．是自变量，是的函数 B．弹簧不挂重物时长度为 C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【题型04 ：用图像表示变量间的关系】 24．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 25．深圳地铁号线，也称“深圳地铁东部快线”，它起于福田区岗厦北交通枢纽，途至坪山区沙田，采用自动化无人驾驶技术，全长，最高运行速度可达．如图，为地铁号线从黄木岗站到罗湖北站行驶的速度时间图象，根据图象，下列分析错误的是（    ）      A．自变量是行驶时间，因变量是行驶速度 B．地铁加速用时比减速用时长 C．地铁匀速前进的时长为 D．在这段时间内地铁的最高运行速度为 26．学校定期举行升旗仪式，当国旗班升旗手匀速升旗时，下面哪一幅图可以近似地刻画出国旗上升的高度随时间的变化情况（     ） A． B． C． D． 27．如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（    ） A．     B． C．   D．   29．如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（    ）    A．    B．  B．  C．   D．   30．如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（    ）    A．  B．  C．   D．   31．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)该情境中的自变量是 ，因变量是 ． (2)小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米； (3)当小红骑车距离舅舅家300米时，直接写出小红所用时间． 32．随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？ (2)该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？ (3)图中点A表示的意义是什么？ 33．研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： (1)上述问题中的两个变量，自变量是______； (2)图中点A表示的实际意义是____________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 34．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 35．甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题： (1)甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟； (2)甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米； (3)甲同学两次休息地相距________千米； (4)甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？ 36．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 37．如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像．    (1)通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ (2)如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 变量之间的关系（四大题型） 重难点题型归纳 【题型01 ：变量与常量】 【题型02 ：用表格表示变量间的关系】 【题型03 ：用关系式表示变量间的关系】 【题型04 ：用图像表示变量间的关系】 【题型01 ：变量与常量】 1．从兴文到成都大约有千米，某天小丽一家准备自驾车从兴文到成都参观大熊猫基地，在这个过程中，如果设行驶的速度为千米/时，行驶的时间为小时，其中常量是（    ） A． B． C． D．，t 【答案】A 【分析】本题考查常量与变量，理解常量、变量的意义是正确判断的前提．根据常量、变量的意义进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中常量为，变量为，t． 故选：A． 2．一本练习本每本2.5元，买m本共付n元，则2.5和n分别是（   ） A．常量，常量 B．变量，常量 C．变量，变量 D．常量，变量 【答案】D 【分析】本题主要考查了变量和常量．根据变量和常量的定义即可进行解答． 【详解】解：根据常量和变量的概念可判断出2.5是常量，n是变量． 故选：D． 3．一本数学错题笔记本的售价为6元，若小青买x本共付y元，则x和6分别是（　　） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 【答案】B 【分析】根据变量、常量的定义，结合具体的问题情况进行判断即可． 【详解】解：小青购买错题本的本数x是变化的，因此x是变量，而单价为每本6元，是不变的量，因此6是常量， 故选：B． 【点睛】本题考查变量与常量，理解变量与常量的定义是正确判断的前提． 4．某电影院的某个电影的每张电影票的售价为58元，售票张数为x，票房收入为w元，在这个售票过程中，始终不变的量是（　　） A．售票的张数 B．余票的张数 C．每张电影票的售价 D．该电影院的票房收入 【答案】C 【分析】本题考查的是常量和变量，常量是不变的量，变量是变化的量；根据上步结合已知即可解答． 【详解】解：在这个售票过程中，票房收入随售票张数的变化而变化，所以售票张数与余票张数以及票房收入都是变量，只有每张电影票的售价是始终不变的量． 故选：C． 5．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量之间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 11 12 下列说法正确的是 ． ①x与y都是变量； ②弹簧不挂重物时的长度为； ③物体质量每增加，弹簧长度增加； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查变量和常量，熟练掌握变量是变化的量，常量是固定不变的量，是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案． 【详解】解：①x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，正确； ②弹簧不挂重物时的长度为，错误； ③物体质量每增加，弹簧长度增加，正确； ④所挂物体质量为时，弹簧长度为，正确 故答案为：①③④． 6．一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是 ． 【答案】因变量 【分析】本题考查了函数关系式的知识，属于基础题，关键是知道：路程=速度×时间． 【详解】解：，速度是常量，时间t和里程s为变量，t是自变量，s是因变量， 故答案为：因变量． 【题型02 ：用表格表示变量间的关系】 7．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 100 200 250 300 400 镜片与光斑的距离/m 1 下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离 B．当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为 C．老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小 D．老花镜的度数每升高50度，镜片与光斑的距离减小0.1 【答案】D 【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，在这个变化中，自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，故选项不符合题意； B、由表格数据可知，当老花镜的度数为200度时，镜片与光斑的距离为，故选项不符合题意； C、由表格数据可知，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小，故选项不符合题意； D、由表格数据可知，老花镜的度数从度升高到度时，镜片与光斑的距离减小了，每度减小了，说法错误，故选项符合题意； 故选：D． 8．一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 支撑物的高度 60 70 80 90 100 小车下滑的时间 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 下列说法正确的是（   ） A．当时， B．h每增加，减小 C．随着h逐渐升高，t也逐渐变大 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】D 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格获得有效信息是解题的关键． 通过分析表格数据，理解变量之间的关系以及随着自变量的变化因变量的变化趋势，即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，故选项错误； B．h每增加，减小的值不一定，故选项错误； C．随着h逐渐升高，t逐渐变小，故选项错误； D. 随着h逐渐升高，小车下滑的时间逐渐变小，小车下滑的平均速度逐渐加快，故选项正确； 故选：． 9．某厂家要生产一批货物，每天生产的个数与生产的天数之间的关系如下表所示： 每天生产的个数 500 600 800 1000 1200 … 生产的天数 24 20 15 12 10 … 若每天生产的个数用（个）表示，生产的天数用（天）表示，则下列说法正确的是（   ） A．这批货物共有1200个 B．生产的天数会随着每天生产的个数的增大而增大 C．要想8天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产1500个 D．与乘积为定值，它们成正比例关系 【答案】C 【分析】本题考查表格表示函数关系，读懂题意，根据四个选项的描述结合表格中数据逐项验证即可得到答案，理解题意，从表格中把我函数关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、由表格可知，每天生产的货物个数为500个，需要生产天数为24天，这批货物的总数为个，故选项错误，不符合题意； B、由表格可知，生产的天数会随着每天生产的个数的增大而减小，故选项错误，不符合题意； C、由表格可知，这批货物总数为12000个，若要想8天完成这批货物的生产任务，则每天需要生产1500个，故选项正确，符合题意； D、与乘积为定值，且，与成反比例关系，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 10．王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S（） 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … (1)该轿车油箱的容量为 ，行驶150时，油箱中的剩余油量为 ； (2)在这个问题中，哪些是变量？哪些是常量？ (3)用含S的代数式来表示． 【答案】(1)50，38 (2)变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量 (3) 【分析】本题考查了列代数式，有理数的运算，变量与常量，读懂图表信息是解题的关键． （1）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，由此填空； （2）根据常变量的定义可得出结论； （3）由表格可知，开始时油箱为，每行驶，油量减少，即可得到用S的代数式来表示． 【详解】（1）解：当，， ∴轿车油箱的容量为， 行驶的油耗为， ∴行驶，油箱剩余的油为， 故答案为：50，38； （2）解：在这个问题中，变量：行驶的路程S，油箱剩余油量；常量：油箱的容量，每千米的耗油量； （3）解：∵该轿车油箱的容量为，油耗为行驶的油耗为， ∴． 11．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 12．小可的妈妈打算购买一些草莓回家做水果拼盘，经了解，生态园区中的“老农果园”的草莓标价为50元／千克，若一次性购买不超过2千克，则按原价付款，若购买超过2千克，则超过部分按标价的八折付款． (1)请求出付款金额（元）关于购买草莓的重量（千克）的函数表达式（）； (2)去购买草莓当天，发现旁边的“盛田果园”也在进行草莓优惠活动，同品种草莓标价也为50元／千克，但全部按标价的九折付款，小可妈妈计划用200元购买此种草莓（全部用完），请问她在哪个果园购买更合算？ 【答案】(1) (2)选择老农果园 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值： （1）先求出2千克的费用，再求出超过2千克的费用，二者求和即可得到答案； （2）求出在老农果园和在盛田果园能够购买的草莓重量，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解： 在中，当时，； ， ∵， ∴她在老农果园购买更合算． 13．小英在家里整理内务时发现：把一些相同规格的塑料凳子整齐地叠放在水平地面上，这摞塑料凳子的高度随着凳子的数量变化有一定的关系．于是小英对凳子的高度进行测量，具体变化的情况如下表所示： 凳子的数量个 高度 (1)上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)用（）表示这摞凳子的高度，（个）表示这摞凳子的数量，请写出与之间的函数关系式； (3)当这摞凳子的高度为时，求这摞凳子的数量． 【答案】(1)凳子的数量是自变量，高度是因变量 (2) (3)个 【分析】（）根据表格中列举的变量即可求解； （）根据表格中数据变化规律求解即可； （）根据（）中的函数关系式，把代入求解即可； 本题考查了常量与变量，函数的表示方法，求自变量的值或函数值，理解变量与常量的意义并根据表格中数据的变化规律得出函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：通过表格所列举的变量可知，凳子的数量是自变量，高度是因变量； （2）解：由表格中两个变量的变化关系可得，， 即； （3）解：当时，， 解得， 答：当这摞凳子的高度为时，凳子的数量为个． 14．一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油，开始工作后，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式； (2)求当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是多少？ (3)当油箱内剩余的油量为时，这台拖拉机已工作了几个小时？ 【答案】(1) (2) (3)这台拖拉机已工作了5个小时 【分析】本题主要考查函数的解析式，熟练掌握函数的相关概念是解题的关键． （1）根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”即可得出其函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算求解即可； （3）把代入（1）中函数关系式计算求解即可． 【详解】（1）解：根据“剩余油量=原有油量－消耗的油量”得：， ∴油箱中的剩余油量与工作时间之间的关系式为； （2）解：当时，， 所以，当这台拖拉机工作4个小时后，油箱中剩余的油量是 （3）解：当时，， 解得：， ∴这台拖拉机已工作了5个小时． 15．如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点，在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量是___________，因变量是_________； (2)如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积； (3)当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？ 【答案】(1)（或）的长，长方形的面积． (2)； (3)长方形的面积从变到． 【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法． （1）根据函数的定义求解； （2）通过长方形的面积长宽求解； （2）分别代入两值求解即可； 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积． 故答案为：（或）的长，长方形的面积． （2）长方形的面积，即， 答：长方形的面积与之间的关系式为：． （3）当时，， 当时，， 答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到． 16．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 【分析】本题主要考查代数式： （1）根据常量和变量的定义即可求得答案； （2）根据表格数据可知，每分钟放水立方米； （3）根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：常量：每分钟的放水量． 变量：放水时间，水池中剩余水量． （2）∵表格数据可知，每分钟放水立方米，且原本有50立方米的水， ∴． （3）根据题意，得 ． 解得 ． 答：当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 17．打电话时电话费随时间的变化而变化，有一种手机的电话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系可近似地表示为． (1)小张打了100分钟的电话，费用为多少元？ (2)小张这个月用的电话费是55元，他打了多少分钟电话？ 【答案】(1)30元 (2)200分钟 【分析】本题主要考查了求函数值和自变量的值： （1）把代入中求出y的值即可得到答案； （2）把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴小张打了100分钟的电话，费用为30元； （2）解：在中，当时，解得， ∴小张这个月用的电话费是55元，他打了200分钟电话． 18．科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示． 所处深度 1 2 3 4 5 6 7 岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265 (1)表中，自变量为______，因变量为______； (2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式； (3)当岩层的温度为时，求所处深度． 【答案】(1)所处深度；岩层的温度 (2) (3) 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量、函数关系式， （1）根据自变量与因变量的定义作答即可； （2）根据“地表以下岩层的温度深度为处岩层的温度所处深度增加，岩层的温度升高量”计算即可； （3）将代入（2）中求得的关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：表中，自变量为所处深度，因变量为岩层的温度． 故答案为：所处深度，岩层的温度． （2）由表格可知，所处深度增加，岩层的温度升高， 则， 与的关系式为． （3）当时，得， 解得， 当岩层的温度为时，所处深度是． 19．已知池中有水，每小时抽出． (1)写出剩余水的体积与时间之间的关系式． (2)几小时后，池中还有的水？ 【答案】(1) (2)6小时后，池中还有的水 【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量减去抽水量等于剩余水量是解题关键． （1）根据抽水时间乘以抽水速度，可得抽水量，根据蓄水量减去抽水量，可得剩余水量； （2）根据自变量与函数值的对应关系，将代入可得相应自变量的值． 【详解】（1）∵池中有水，每小时抽出 ∴剩余水的体积与时间之间的关系式是； （2）当时， 解得 答：6小时后，池中还有的水． 【题型03 ：用关系式表示变量间的关系】 20．已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，则y与x之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，掌握长方形的周长计算公式是解题的关键． 根据长方形的周长公式得到x与y的数量关系式，再把y用含x的代数式表示出来即可． 【详解】解：根据长方形的周长公式，得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：C． 21．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 22．某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 23．弹簧挂上物体后会伸长，测得一根弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系： 下列说法中，不正确的是（   ） A．是自变量，是的函数 B．弹簧不挂重物时长度为 C．在弹簧的允许范围内，物体质量每增加，弹簧长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是根据表格的关系写出函数的关系式，根据表格可得到函数的关系式，再根据关系式即可判断． 【详解】解：由表格知弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， 故弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间函数关系式为， ∴A，C正确；B错误； 所挂物体质量为时，弹簧长度，故D正确， 故选：B． 【题型04 ：用图像表示变量间的关系】 24．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 25．深圳地铁号线，也称“深圳地铁东部快线”，它起于福田区岗厦北交通枢纽，途至坪山区沙田，采用自动化无人驾驶技术，全长，最高运行速度可达．如图，为地铁号线从黄木岗站到罗湖北站行驶的速度时间图象，根据图象，下列分析错误的是（    ）      A．自变量是行驶时间，因变量是行驶速度 B．地铁加速用时比减速用时长 C．地铁匀速前进的时长为 D．在这段时间内地铁的最高运行速度为 【答案】B 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，根据图象逐项判断即可，读懂图象是解题的关键． 【详解】解：A、根据题意可知：自变量是行驶时间，因变量是行驶速度，故此选项正确，不符合题意； B、根据图象可知地铁加速时间是，减速时间是，故地铁加速用时比减速用时短，故此选项错误，符合题意； C、根据图象可知地铁匀速前进的时长为，故此选项正确，不符合题意； D、根据图象可知在这段时间内地铁的最高运行速度为，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 26．学校定期举行升旗仪式，当国旗班升旗手匀速升旗时，下面哪一幅图可以近似地刻画出国旗上升的高度随时间的变化情况（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键．利用用图象表示变量间关系的方法解答即可． 【详解】解：∵升旗手匀速升旗， ∴高度h将随时间t的增大而均匀增大， ∴用上升趋势的直线型表示， ∴只有B符合题意， 故选：B． 27．如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图象，当点P在边上时，，则， 又点P运动8秒时到点B处， ∴，故①正确； ∵点P运动c秒时到达点D处， ∴，故②错误； 点从点运动到点用时秒，故③正确； 当的值为10时，点在边上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误； 由题意，长方形面积为， 当的面积是长方形面积的时，， 由图知，点P在边上时，由得； 当点P在边上时，由得， ∴， 即当的面积是长方形面积的时，的值为4或15，故⑤错误， 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 28．睡觉前小红在浴缸内缓缓放入温水，10分钟后关闭水龙头，小红洗澡时浴缸里的水还是溢出了一些，23分钟后泡澡结束，小红离开浴缸．下面正确反映出浴缸水位变化情况的图是（    ） A．     B． C．   D．   【答案】C 【分析】根据分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，分钟，浴缸水位上升，分钟，浴缸水位保持不变，分钟后，水位略下降， 故选：C． 【点睛】本题考查了用图象表示变量间的关系．解题的关键在于理解题意． 29．如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（    ）    A．    B．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据容器的形状可知当液面高度越高时，体积的变化越小，即随着 【详解】由题图知，随高度的增加上底面越来越小，故V与h函数图象不会出现直线，排除C，D选项， 随着高度的增加h越大体积变化越缓慢，故排除A选项． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象的判断，根据容器的形状以及题意判断函数图象先陡，后缓是解题的关键． 30．如图，在边长为4的正方形中剪去一个边长为2的小正方形，动点P从点A出发，沿的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A，B），则三角形的面积S随着时间变化的图象大致是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】根据点P在、、、、上时，的面积S与时间t的关系确定图象． 【详解】解：当点P在上时，的底不变，高增大，所以的面积S随着时间t的增大而增大； 当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变； 当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小； 当点P在上时，的底不变，高不变，所以的面积S不变； 当点P在上时，的底不变，高减小，所以的面积S随着时间t的减小而减小； 综上分析可知，B选项中的图象符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，解题关键是深刻理解动点的变量变化，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 31．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．如图是小红离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)该情境中的自变量是 ，因变量是 ． (2)小红由于途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了 米； (3)当小红骑车距离舅舅家300米时，直接写出小红所用时间． 【答案】(1)自变量是：小红离家所用时间，因变量是：小红离家的距离 (2)多走1200米 (3)4分钟或分钟 【分析】本题考查了利用图象表示常量与变量之间的关系； （1）根据变量定义可得自变量与因变量分别为时间和路程； （2）根据题意以及图象可知，小红途中返回给表弟买礼物多走了两个米； （3）分开始去往和返回后去往两种情况解答即可． 【详解】（1）解：该情境中的自变量是：小红离家所用时间，因变量是：小红离家的距离； 故答案为：小红离家所用时间，小红离家的距离； （2）小红途中返回给表弟买礼物比直接去舅舅家多走了：（米）． 故答案为：； （3）当小红骑车距离舅舅家300米时，即路程为米时的时间为分钟， 第分钟至第分钟时的速度为米/分钟， （分钟） 答：小红骑车距离舅舅家300米时，小红所用时间为4分钟或分钟 32．随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛某机器人实验基地的科研人员对新型智能机器人进行测试甲，乙，丙三个测试点依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下．请根据相关信息，解答下列问题： (1)该智能机器人从甲处出发到回到甲处一共用了多长时间？ (2)该款新型智能机器人在乙处停留了多长时间？ (3)图中点A表示的意义是什么？ 【答案】(1) (2) (3)点A表示的意义是新型智能机器人离开测试点甲时，离测试点甲的距离是． 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系，能从图象上获取有用信息是解答的关键． （1）根据图象中测试点甲的距离y为0时的时间x值即可； （2）直接由图象中的14分钟减去8分钟求解即可； （3）根据点A的坐标可得点A表示的意义． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，， 答：从甲处出发到回到甲处一共用了； （2）解：由图象可得，该款新型智能机器人在乙处停留了； （3）解：∵该款新型智能机器人在丙处停留了， ∴点A的坐标为， 故图中点A表示的意义是新型智能机器人离开测试点甲时，离测试点甲的距离是． 33．研究表明，当每公顷土地中钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0 34 67 110 135 202 255 336 404 471 土豆产量/t 14.73 21.10 26.61 32.82 35.92 42.38 45.55 47.22 45.55 41.20 如果用x表示氮肥施用量，用y表示土豆产量，根据表中的实验数据，将氮肥施用量x与土豆产量y的关系拟合成图象，见下图： (1)上述问题中的两个变量，自变量是______； (2)图中点A表示的实际意义是____________； (3)当每公顷土地氮肥的施用量为时，土豆的产量约为______；（保留两位小数） (4)你认为氮肥的施用量大概是多少时比较适宜？说说你的理由． 【答案】(1)氮肥的施用量 (2)不施用氮肥时，土豆的产量为 (3) (4)见解析 【分析】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系． （1）表格反映的是土豆的产量与氮肥的施用量的关系； （2）直接从图中得到点A表示的实际意义； （3）将代入计算即可求解； （4）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的． 【详解】（1）解：上述问题中反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量； 故答案为：氮肥的施用量； （2）解：图中点A表示的实际意义是：不施用氮肥时，土豆的产量为； 故答案为：不施用氮肥时，土豆的产量为； （3）解：当时，， 故答案为：； （4）解：当氮肥的施用量约为时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，又可以节约肥料． 34．甲骑自行车以20千米/时从地去地，乙骑摩托车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人之间的距离为（千米）与甲行驶的时间为（小时）之间的关系如图所示． (1)、两地之间的路程为 千米； (2)从点、点、点三个点中选择一个填在横线上：表示甲到达终点的是点 ；表示乙到达终点的是点 ；表示甲、乙相遇的是点 ． (3)求乙的速度和值； (4)求甲出发多长时间后，甲、乙两人相距30千米． 【答案】(1)120 (2)；； (3)乙的速度是（千米/时）， (4)甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可得，A、B两地之间路程为120千米； （2）根据图象中的数据可以解答本题； （3）根据图象知，根据相遇时间为2小时可得乙的速度，根据路程除以速度可求出乙行完全程所用时间； （4）分相遇前相距30千米和相遇后相距30千米，列方程求解即可 【详解】（1）解：根据函数图象可得，A、B两地之间路程为120千米， 故答案为：120； （2）解：表示甲到达终点的是点P；表示乙到达终点的是点N；表示甲、乙相遇的是点M， 故答案为： P；N ； M； （3）解：乙的速度是：（千米/时）； ， （4）解：相遇之前：， 解得， 相遇之后：， 解得， 即甲出发1.5小时或2.5小时后，甲、乙两人相距30千米． 35．甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题： (1)甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟； (2)甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米； (3)甲同学两次休息地相距________千米； (4)甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？ 【答案】(1)； (2)； (3) (4)甲同学在路段内的跑步速度是千米/每小时． 【分析】本题考查了变量与图象的关系，从图象获取信息是解题的关键． （1）（2）（3）观察图象即可得出结论； （4）根据速度等于路程除以时间，即可求得出甲在路段内的跑步速度 【详解】（1）解：甲同学第一次休息时距离图书馆千米，停留的时间为分钟； 故答案为：；； （2）解：甲同学离图书馆的最远距离是千米，他在120分钟内共跑了千米； 故答案为：；； （3）解：甲同学两次休息地相距千米； 故答案为：； （4）解：路段内的路程为千米， 所用的时间为小时， 所以甲同学在路段内的跑步速度是千米/每小时． 36．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【答案】(1)40，10； (2)1； (3)摩托车出发后或或小时，他们相距20千米 【分析】（1）根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇，根据相遇问题的特点列出方程求解即可； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方程求解即可. 【详解】（1）摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． 故答案为：40，10； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇， ， 解得． 所以摩托车出发后1小时，它们相遇； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：，解得 ②相遇后：， 解得： ③摩托车到达终点后，，解得； 综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米. 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键. 37．如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像．    (1)通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？ (2)如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？ 【答案】(1)通话1分钟，要付电话费元；通话5分钟，要付电话费元 (2)通话4分钟的电话费是元 【分析】（1）观察图像，可得答案； （2）把代入关系式，即可解答． 【详解】（1）解：观察图像，可知当时，；当时，， 通话1分钟，要付电话费元，通话5分钟要付元； （2）解：当时， ， 通话4分钟的电话费是元． 【点睛】本题考查了从图像中获取信息，求因变量的值，仔细观察得到所要的数据是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$