2025年江苏省常州市金坛区 第二次中考模拟数学预测卷

2025年江苏省常州市金坛区第二次中考模拟数学预测卷 考试时间120分钟 考试满分 120分 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，是负数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 如果，，那么 D. 负数没有平方根 4.中国新能源汽车产销量连续年位居全球第一，其中年出口万辆，同比增长将数据万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 5.如图是一辆竖直放在地面上的自行车，如图是其示意图，其中，，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为，则弦长为(    ) A. B. C. D. 7.在一年的四个季度中，某种海鲜的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种海鲜每斤利润最大的季度是(    ) A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 8.题目：“已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在内有个解，求的取值范围．”对于答案，甲答：；乙答：；丙答：，则下列判断正确的是(    ) A. 只有甲的正确 B. 只有乙的正确 C. 甲、乙合在一起才正确 D. 乙、丙合在一起才正确 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.分解因式：          ． 10.比较大小：          ． 11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12.如果反比例函数的图象在所在的每个象限内都是随着的增大而减小，那么的取值范围是______． 13.如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______ 14.如图，点，点分别是半圆上的三等分点若半圆的半径的长为，则阴影部分的面积是          ． 15.如图，在中，，，平分交于点，为的中点，连接，则的周长为________． 16.如图，在直角坐标系中，点的坐标是、点的坐标是、点的坐标是，若直线的解析式为，则为______． 17.如图，正方形边长为，点在边上，以为旋转中心，将逆时针旋转得到，与交于点．若，则的值为          ． 18.定义表示不大于的最大整数，例如：，，有下列结论：当时，的值为；；；是方程的唯一解，其中，正确的有          填序号 三、解答题：本题共10小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.解方程：；解不等式组： 20.本小题分 请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 21.本小题分图为某班级平时作业成绩、期末成绩和综合实践成绩的条形统计图，班级的年度平均分为该三项成绩按照图中的占比求和． 由条形统计图可知，该三项成绩的中位数为______． 嘉嘉计算班级年度平均分的过程如下： 第一步 第二步 分第三步 嘉嘉是从第______步开始出现错误的，请写出正确的计算过程． 暑假期间老师需根据年度平均分布置小组假期实践任务，任务难度系数为年度平均分已知实践任务完成时间天与小组分组人数人成反比例函数关系，且满足公式，若希望天完成实践任务，求每个小组的人数． 22.本小题分 如图线段和相交于点，连接，四张卡片除正面分别写着如图所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． 若小明第一次抽到卡片后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明≌的概率是______． 若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明≌的概率，用树状图法进行计算． 23.本小题分 如图，中，点是的中点，过点作直线，，的平分线分别交于点，，连接，． 请判断四边形的形状，并说明理由． 当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． 求一次函数和反比例函数的表达式； 点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 25.本小题分 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角，小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图所示． 如图，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．结果精确到 如图，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面桌面可上下调整才能使肘部形成的“手肘角”为？参考数据：，，，，，， 26.本小题分 已知：中，，，，点是边上的一点，过，两点的分别与边，交于点，． 若点是的中点， 在图中用尺规作出一个符合条件的图形保留作图痕迹，不写作法； 如图，连结，若，求线段的长； 请写出求线段长度最小值的思路． 如图，当点在边上运动时，线段长度的最小值是______． 27.本小题分 小明将两个直角三角形纸片如图那样拼放在同一平面上，抽象出如图的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点是线段上一点． 探究发现： 当点为线段的中点时，连接如图，小明经过探究，得到结论：你认为此结论是否成立？______填“是”或“否” 拓展延伸： 将中的条件与结论互换，即：，则点为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： 若，，求的长． 28.本小题分 如图，抛物线过点，点与轴交于点在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点． 求抛物线的解析式及点坐标； 当时，是直线上的点且在第一象限内，若是以为底角的等腰三角形，求点的坐标； 如图，连接并延长交轴于点，连接，，设的面积为，的面积为，若，求的值． 第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省常州市金坛区第二次中考模拟数学预测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，是负数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，是正数，故A选项错误； B.，是正数，故B选项错误； C.，是负数，故C选项正确； D.，是正数，故D选项错误； 故选C． 2.下列各式运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， 选项A不符合题意；   ， 选项B不符合题意；   ， 选项C不符合题意；   ， 选项D符合题意． 故选：． 根据同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可． 此题主要考查了同底数幂的除法、乘法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握． 3.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 如果，，那么 D. 负数没有平方根 【答案】A  【解析】略 4.中国新能源汽车产销量连续年位居全球第一，其中年出口万辆，同比增长将数据万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，是正数当原数的绝对值时，是负数． 【解答】 解：万用科学记数法表示为：． 5.如图是一辆竖直放在地面上的自行车，如图是其示意图，其中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了平行线的性质．先求，再根据平行线的性质可得，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：． 6.如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的直径为，则弦长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：作直径，连接，如图， 为直径， ， ， ． 故选：． 作直径，连接，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 7.在一年的四个季度中，某种海鲜的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种海鲜每斤利润最大的季度是(    ) A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 【答案】B  【解析】解：由图象中的信息可知，第一季度的利润元， 第二季度的利润元， 第三季度的利润元， 第四季度的利润元， 故出售该种水产品每斤利润最大的季度是第二季度． 故选：． 根据图象中的信息即可得到结论． 本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润售价进价是解题的关键． 8.题目：“已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在内有个解，求的取值范围．”对于答案，甲答：；乙答：；丙答：，则下列判断正确的是(    ) A. 只有甲的正确 B. 只有乙的正确 C. 甲、乙合在一起才正确 D. 乙、丙合在一起才正确 【答案】B  【解析】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.分解因式：          ． 【答案】．  【解析】解：． 10.比较大小：           ． 【答案】  【解析】略 11.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】，且  【解析】【分析】 本题考查的是被开方数非负及分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不为，算术平方根的被开方数是非负数解答即可． 【解答】 解：代数式在实数范围内有意义， 且， 解得且． 故答案为：，且 12.如果反比例函数的图象在所在的每个象限内都是随着的增大而减小，那么的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：反比例函数的图象在所在的每个象限内都是随着的增大而减小， ， 解得：， 故答案为：． 根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可． 此题主要考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大． 13.如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______ 【答案】  【解析】解：设小路宽为， 根据题意得：， 解得或舍去， 小路宽为； 故答案为：． 设小路宽为，根据花坛所占面积为空地面积的一半得：，即可解得答案． 本题考查医院二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 14.如图，点，点分别是半圆上的三等分点若半圆的半径的长为，则阴影部分的面积是          ． 【答案】  【解析】解：连接、、． 点，为半圆的三等分点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 和等底等高， ． 阴影部分的面积 故答案为： 15.如图，在中，，，平分交于点，为的中点，连接，则的周长为________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键根据等腰三形三线合一的性质得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式算可得解． 【解答】 解：，平分，， 根据等腰三形三线合一的性质得：，， 点为的中点， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得， 的周长． 故答案为． 16.如图，在直角坐标系中，点的坐标是、点的坐标是、点的坐标是，若直线的解析式为，则为______． 【答案】  【解析】解：点的坐标是、点的坐标是，， ，， ，， 设过点和点的直线解析式为， ，得， 过点和点的直线解析式为， 点的坐标是，直线的解析式为， ，， ， 点到直线的距离是：， 点到的距离是：， ， 故答案为：． 根据题意可以求得线段的长以及过点和的函数解析式即可得到直线和直线的关系，然后根据平行线的性质即可解答本题． 本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 17.如图，正方形边长为，点在边上，以为旋转中心，将逆时针旋转得到，与交于点．若，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】先根据  求出，即可求出，根据勾股定理求出，可知，然后在中，求出，，即可得出答案． 【详解】四边形是正方形， ，． 在中，  ， ， ， 在中，  ，   ． ，， ，   ． ，   ． 在中，  ，   ． 故答案为：  ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等，求出  是解题的关键． 18.定义表示不大于的最大整数，例如：，，有下列结论：当时，的值为；；；是方程的唯一解，其中，正确的有           填序号 【答案】  【解析】解：当时，，正确，故符合要求； 设，则， ， ， ，正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ， 解得，，正确，故符合要求； ， ， 的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ， 解得，； 当时，， ， 解得，； 当时，， ， 解得，； 综上所述，或或是的解，错误，故不符合要求； 故答案为：． 当时，，可判断的正误；设，则，，，可得，可判断的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为，由，可求，可判断的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断的正误． 本题考查了新定义问题，解一元一次方程，解一元一次不等式组．理解题意，掌握新定义的含义即：，则是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.解方程：；解不等式组： 【答案】解：去分母得， 整理得， 系数化为， 得， 经检验，原方程的解是． 由得 由得 原不等式的解集是．  【解析】此题考查了解分式方程和不等式组的解，掌握解分式方程的步骤和不等式组的解的步骤是本题的关键，注意分式方程要检验． 根据等式的性质先去掉分母，再去掉括号，然后移项、合并同类项，系数化，再进行检验，即可得出答案； 根据解不等式的步骤先分别求出每个不等式的解，再在数轴上表示出解集，即可得出答案． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 请从小丽和小明的对话中确定，的值，先化简：，再求值． 【答案】，．  【解析】解：原式 ， 由题意得，， 原式． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出、的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 21.本小题分 图为某班级平时作业成绩、期末成绩和综合实践成绩的条形统计图，班级的年度平均分为该三项成绩按照图中的占比求和． 由条形统计图可知，该三项成绩的中位数为______． 嘉嘉计算班级年度平均分的过程如下： 第一步 第二步 分第三步 嘉嘉是从第______步开始出现错误的，请写出正确的计算过程． 暑假期间老师需根据年度平均分布置小组假期实践任务，任务难度系数为年度平均分已知实践任务完成时间天与小组分组人数人成反比例函数关系，且满足公式，若希望天完成实践任务，求每个小组的人数． 【答案】；   一；   人．  【解析】解：三项成绩的中位数为：分， 故答案为：； 嘉嘉第一步就出现了错误， 正确的计算过程如下： ， 故答案为：一； 反比例函数关系式为， 当时，可得：， 解得：， 答：若希望天完成实践任务，则每个小组的人数为人． 根据中位数的定义求解即可； 嘉嘉的计算是错误的，根据扇形统计图中各项成绩所占的比例，利用加权平均数进行计算即可； 根据难度系数可以列出反比例函数关系式，把代入反比例函数关系式中求解即可． 本题主要考查了统计图、反比例函数、加权平均数．熟练掌握以上知识点是关键． 22.本小题分 如图线段和相交于点，连接，四张卡片除正面分别写着如图所示的四个不同的条件外完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． 若小明第一次抽到卡片后，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，则两张卡片上的条件能证明≌的概率是______． 若从四张卡片中随机抽出两张，求两张卡片上的条件能证明≌的概率，用树状图法进行计算． 【答案】；  ．  【解析】解：，， 当时，≌； 当时，≌； 当时，无法得到≌； 概率是； 如图： 共种等可能的结果，由可知，要证明≌只能是一边，一角，且边只能是，满足要求的结果有种， ． 先判断能得到≌的结果，再利用概率公式进行计算即可； 画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，树状图法求概率，正确进行计算是解题关键． 23.本小题分 如图，中，点是的中点，过点作直线，，的平分线分别交于点，，连接，． 请判断四边形的形状，并说明理由． 当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】四边形是矩形，理由见解答过程；   满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由见解答过程．  【解析】解：四边形是矩形，理由如下： 平分， ． ， ． ， ． 同理：． ， 点是的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ， ， ▱是矩形； 满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： ， ， ， 四边形是矩形，且对角线互相垂直， 四边形是正方形． 根据平分，，可知，可得，同理：，可得，且，可证四边形是平行四边形，由对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形； 满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，判断出，即可得证． 本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，证明四边形是平行四边形是本题的关键． 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． 求一次函数和反比例函数的表达式； 点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【答案】一次函数为，反比例函数为；   ．  【解析】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ，， 一次函数为，反比例函数为； 一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， ，， 点是反比例函数图象上一点， ， ， 轴，， 的面积． 利用待定系数法即可求解； 利用一次函数求得、的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求出函数的解析式是解题的关键． 25.本小题分 现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角，小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图所示． 如图，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．结果精确到 如图，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面桌面可上下调整才能使肘部形成的“手肘角”为？参考数据：，，，，，， 【答案】(1)解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕的距离约为；   (2)解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ， ，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 故桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为．   【解析】  本题考查解直角三角形的实际应用． 根据题意，在中，，列式计算即可；   延长交于点，先得到，继而得到，得到不是正确坐姿，在中，，，调整后，，继而得到本题答案． 26.本小题分 已知：中，，，，点是边上的一点，过，两点的分别与边，交于点，． 若点是的中点， 在图中用尺规作出一个符合条件的图形保留作图痕迹，不写作法； 如图，连结，若，求线段的长； 请写出求线段长度最小值的思路． 如图，当点在边上运动时，线段长度的最小值是______． 【答案】解：如图所示： 如图，连结，， ，，， 是直角三角形，， 是的直径， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ； 由可得， 所以，是的直径． 由于是的弦， 所以有， 所以，当是的直径时，最小； ．  【解析】【分析】 此题是圆的综合题，主要考查了基本作图，直角三角形的判定，圆的性质，三角形的面积公式，判断出是直径时最小，是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题． 先作出的垂直平分线，即可作出图形； 先判断出是直角三角形，即可得出，是的直径，再用平行线的性质和同弧所对的圆周角相等得出，进而得出，得出判断出是直径即可； 利用圆中直径大于等于圆中任何一条弦即可得出是直径时，最小； 先得出时，最小，即：最小，最后用面积公式即可求出． 【解答】解： 见答案， 见答案， 见答案； 如图，由知，是的直径时，最小，即：最小值为， 当点在边上运动时，只有时，最小， 由知，是直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 27.本小题分 小明将两个直角三角形纸片如图那样拼放在同一平面上，抽象出如图的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点是线段上一点． 探究发现： 当点为线段的中点时，连接如图，小明经过探究，得到结论：你认为此结论是否成立？______填“是”或“否” 拓展延伸： 将中的条件与结论互换，即：，则点为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： 若，，求的长． 【答案】解：是； 结论成立． 理由：，， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 点是的中点． 如图中，取的中点，连接则． ， ， 在中，， ， 在中，， ，， ∽， ， ， ， ．  【解析】【分析】 本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 证明可得结论； 结论成立：利用等角的余角相等证明，推出，再证明即可解决问题； 如图中，取的中点，连接则利用勾股定理以及相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】 解：如图中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为是． 见答案； 见答案． 28.本小题分 如图，抛物线过点，点与轴交于点在轴上有一动点，过点作直线轴，交抛物线于点． 求抛物线的解析式及点坐标； 当时，是直线上的点且在第一象限内，若是以为底角的等腰三角形，求点的坐标； 如图，连接并延长交轴于点，连接，，设的面积为，的面积为，若，求的值． 【答案】解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为， 当时，，故点； 当时，点，设点的坐标为， 由点、、的坐标得，，，， 当时，，即，解得， 此时，点的坐标为； 当时，，解得舍去负值， 此时，点的坐标为； 故点的坐标为或； ，则设点， 设直线的表达式为， 则， 解得 故直线的表达式为， 当时，，故点，则； ， ， ， ， ，， ， 解得舍去负值， 故．  【解析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合运用，涉及到待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏． 用待定系数法即可求解； 若是以为底角的等腰三角形，则可以分或两种情况，分别求解即可； 根据，，列方程即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$