20.2数据的波动程度（第1课时方差）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第20章 数据的分析 20.2数据的波动程度 第1课时 方差 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解方差的概念及统计学意义； 2.会计算一组数据的方差； (重点) 3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.（难点） 情景导入 在统计学中，除了平均数、中位数、众数这类刻画数据集中趋势的量以外，还有一类刻画数据波动(离散)程度的量，其中最重要的就是方差.本节我们将在实际问题情境中，了解方差的统计意义并运用方差解决问题.我们来看引言中的问题. 新知探究 问题 农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子． 选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院 所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关 情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试 验，得到各试验田每公顷 的产量（单位：t）如下表： 5 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？ 上面两组数据的平均数分别是 　　说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大． 　　可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均产量相差不大． 甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41 乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49 为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下面的图 甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量 比较上面的两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，乙种甜玉米在各试验田的产量较集中地分布在平均产量附近. 从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢？ 为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中厂采用下面的做法：设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数　 的差的平方分别是 ， 我们用这些值的平均数，即 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差． 从上面计算方差的式子可以看出:当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小.反过来也成立，这样就可以用方差刻画数据的波动程度，即: 方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小. 下面我们利用方差来分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度 两组数据的方差分别是： 　　显然 　＞ 　，即说明甲种甜玉米的波动较大，这与我们从产量分布图看到的结果一致． 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差.因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比甲种的稳定,综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米 例题讲解 例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高(单位: cm)如表所示. 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168 解：甲、乙两团演员的身高平均数分别是 方差分别是 由 可知，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐. 使用计算器的统计功能可以要求方差，使用计算器的统计功能求方差时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn ；最后按动求方差的功能键（例如 键），计算器便会求出方差 的值 概念归纳 1. 方差的定义：设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1－ ͞x)2，(x2－ ͞x)2，… ，(xn－ ͞x)2，我们用这些值的平均数来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 特别提醒 一组数据中的任何一个数据的变化都可能影响方差的大小，因此计算一组数据的方差时，确保不要遗漏和重复任何一个数据. 2. 方差的公式：若n个数据x1，x2，…，xn的平均数为x，则方差 s2＝[(x1－͞x)2＋(x2－͞x)2＋… ＋(xn－͞x)2]. 该式整理可得s2＝(x12＋x22＋…＋xn2－n͞x2) 3. 求方差的步骤 4. 方差的意义 (1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的量，反映的是数据在它的平均数附近波动的情况. (2)方差越大，数据的波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，数据越稳定. 5. 用样本方差估计总体方差 在考查总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，就常用样本方差来估计总体方差. 特别提醒 方差的大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但方差较大，也可能一组数据比较大，但方差较小. 课堂练习 1.用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的： (1)6 6 6 6 6 6 6 (2)5 5 6 6 6 7 7 (3)3 3 4 6 8 9 9 (4)3 3 3 6 9 9 9 2.如图是甲、己两射击运动员的10次射击训练成绩的折线统计图，观察图形，甲、己这10次射击成绩的方差 哪个大？ 解：甲、乙这10次射击训练的平均成绩分别为 分层练习 基础题 1．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为(　　) A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5 D 2.[2024⋅宜宾] 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学 生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟） ，67，75，65， 75，80，75，88，78，80.对这组数据判断正确的是( ) B A.方差为0 B.众数为75 C.中位数为77.5 D.平均数为75 3．[2024烟台]射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为s2甲和s2乙，则s2甲和s2乙的大小关系是(　　) A．s2甲＞s2乙 B．s2甲＜s2乙 C．s2甲＝s2乙 D．无法确定 A 25 4. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为͞x，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为͞x1，s21，则下列结论一定成立的是(　　) A． ͞x＜ ͞x1 B． ͞x＞ ͞x1 C．s2＞s21 D．s2＜s21 C 26 5．[2024广元]在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是(　　) A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94 B 27 6.方差是刻画数据波动程度的量，对于一组数据,,, , ，可用 如下算式计算方差： ，其中“5” 是这组数据的( ) B A.最小值 B.平均数 C.中位数 D.众数 28 7. 2024年巴黎奥运会10米气步枪混合团体比赛中，中国 射击团队斩获首枚金牌，同时也是本届奥运会产生的首枚金牌.某校开 展了射击的兴趣小组活动，甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10 次射击成绩的平均数相同，方差分别为， ， ， ，则四人中成绩最稳定的是( ) D A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 29 8.[2024⋅上海] 已知某人要种植培育的种子有四种类型，分别是甲、乙、 丙、丁，对于每一种种子，发芽天数与稳定性（方差）如下表所示，在 同时考虑稳定性和快速发芽的情况下，他应该选择的种子类型是( ) 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 B A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类 30 9. 在一次芭蕾舞比 赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演 了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表 演的8位女演员身高的折线统计图如 下.则甲、乙两个团女演员身高的方 差， 大小关系正确的是( ) B A. B. C. D.无法确定 31 10. 为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活 动，已知甲班10名学生测试成绩的方差是 ，乙班10名学生测 试成绩的方差是 ，两班学生测试成绩的平均分都是96分，学校 根据平均分和方差判定甲班比较稳定，则 的值可以是______________ _______. （答案不唯一） 32 11. 当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一．某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与 人工进行了比赛，机器人 和人工各操作10次，测试成绩 (百分制)如下： 33 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝________，b＝________； 分析数据，得到下列表格． 91.5   平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 a 95 c 人工 89 90 b 108.8 100 34 (2)根据表格中的数据，计算机器人操作10次的方差c； (3)根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优势．(写一条即可) 【解】机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定． 35 综合应用题 12.一组数据，，， ， 的平均数为4，方差为 2，则数据，，， ， 的平均数和方差 分别是( ) B A.14，8 B.11，18 C.11，2 D.14，18 [解析] 点拨：数据,,, , 的平均数为4，方差 为2， 数据,,, , 的平均数为3，方差为2， 数据,,, ,的平均数为 ， 方差为 . 13.[2024⋅重庆黔江区期末] 一组数据的方差计算公式为 ，下列关于这组数据 的说法错误的是( ) D A.平均数是9 B.中位数是8.5 C.众数是8 D.方差是1 37 14.[2024⋅杭州滨江区期末] 某篮球队5名场上队员的身高（单位： ） 分别是188，190，192，194，195.现用一名身高为 的队员换下场 上身高为 的队员，与换人前相比，换人后场上队员的身高 ( ) A A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大 38 15.[2024⋅常州] 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落 点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是 ， 方差是.若第10次投掷标枪的落点恰好在 线上，且投掷结束后这 组成绩的方差是，则___（填“ ”“”或“ ”）. 39 [解析] 点拨：设这组成绩（单位：）的前9个数分别为，， ， ，由题意可知， ， . 40 16.[2024⋅泰安] 某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应 的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位： ），并制作统 计图如下： 41 根据以上信息，解答下列问题： （1） 统计量 供应商 平均数/ 中位数/ 众数/ 甲 80 80 乙 76 则____，_____， ____. （2）苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，____供应 商供应的苹果大小更为整齐.（填“甲”或“乙”） 80 79.5 83 甲 42 （3）超市规定直径（含 ）以上的苹果为大果，超市打算 购进甲供应商的苹果2 000个，其中，大果约有多少个？ 解： （个）. 答：大果约有600个. 43 17．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据(单位：个)．   1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 89 100 96 118 97 500 乙班 100 96 110 90 104 500 44 统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应选定哪一个班为冠军？ 45 46 创新拓展题 18.某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下： a．16名学生的身高： 161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175； b．16名学生的身高的平均数、中位数、众数： (1)求出表中m，n的值； 平均数 中位数 众数 166.75 m n 48 (2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是________(填“甲组”或“乙组”)； 甲组 甲组学生的身高 162 165 165 166 166 乙组学生的身高 161 162 164 165 175 49 170 172 50 51 课堂小结 方差 方差的统计学意义（判断数据的波动程度）： 方差越大（小），数据的波动越大（小）. 公式： 【解】根据题意，得机器人操作10次的方差c＝× [(96－92)2＋(91－92)2＋3×(95－92)2＋(90－92)2＋2× (89－92)2＋(92－92)2＋(88－92)2]＝8.2. 【解】甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个． 甲＝×500＝100(个)，乙＝×500＝100(个)． s2甲＝×[(89－100)2＋(100－100)2＋(96－100)2＋(118－100)2＋(97－100)2]＝94，s2乙＝×[(100－100)2＋(96－100)2＋ (110－100)2＋(90－100)2＋(104－100)2]＝46.4.甲班的优秀率为2÷5×100%＝40%，乙班的优秀率为3÷5×100%＝60%.由上可知，乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，∴应选定乙班为冠军． 【解】数据按由小到大的顺序排列为161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则m＝＝166，n＝165. (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 【点拨】∵168，168，172的平均数为×(168＋168＋172)＝169，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于且五名学生身高的平均数尽可能大，∴数据的差别要小，∴可供选择的有170和172，此时平均数为×(168＋168＋170＋172＋172)＝170，方差为×[(168－170)2＋(168－170)2＋ (170－170)2＋(172－170)2＋(172－170)2]＝3.2＜，符合题意． $$