20.1.2中位数和众数（第2课时平均数、中位数和众数的应用）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第20章 数据的分析 20.1.2中位数和众数 第2课时平均数、中位数和众数的应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.进一步认识平均数、中位数、众数都可以反映一组数据的集中趋势； 2.了解平均数、中位数、众数各自的特点，能选择适当的量反映数据的集中趋势. 情景导入 公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄(单位：岁)如下： 甲群：13，13，13，14，15，15，16，17，17，17. 乙群：3，4，4，5，5，6，6，6，54，57. (1)分别求甲、己两群游客年龄的平均数、中位数和众数； （2）能较好反映甲、乙两群游客的年龄特征的各是什么统计量？ (2)能较好反映甲群游客的年龄特征的统计量是平均数或中位数；能较好反映乙群游客的年龄特征的统计量是中位数或众数. 对于平均数、中位数、众数，我们应该如何在一个实际问题中合理选用呢？ 新知探究 平均数、中位数和众数都可以反映一组数据的集中趋势，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息.在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量反映数据的集中趋势. 7 　　例6 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下： 17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 19 8 问题如下： （1）月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均的月销售额是多少？ （2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． （3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． 分析：本题通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计______的情况. 确定一个适当的月销售目标是一个关键问题，如果目标定得太高，多数营业员完不完成任务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力. 总体 0 4 2 6 人数 销售额/万元 解：整理上面的数据得以下图表（请补充完整） 销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 人数 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 1 2 2 3 解：（1）样本数据的众数是15，中位数是18，利用计算器求得这组数据的平均数是20.3.可以推测，这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多，中间的月销售额是18万元，平均月销售额大约是20.3万元. （1）月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均的月销售额是多少？ 销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 1 2 2 3 解：（2）这个目标可以定为每月20.3万元（平均数）.因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大.可以估计，月销售额定为每月20.3万元是一个较高的目标，大约会有三分之一的营业员获得奖励. （2）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． 销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 1 2 2 3 解：（3）月销售额可以定为每月18万元（中位数）.因为从样本情况看，月销售额在18万元以上（含18万元）的有16人，占总人数的一半左右.可以估计，如果月销售额定为18万元，将有一半左右的营业员获得奖励. 销售额/万元 13 14 15 16 17 18 19 22 23 24 26 28 30 32 人数 1 1 5 4 3 2 3 1 1 1 1 2 2 3 （3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由． 平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点. 平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用.但它受极端值(一组数据中与其余数据差异很大的数据)的影响较大. 当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响. 中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响. 你知道在体操比赛评分时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分吗? 补充例题 例 某中学篮球队有10 名队员，在一次投篮训练中，这10 名队员各投篮50 次的进球情况如下表： 解题秘方：紧扣“平均数需计算，中位数、众数需排序查找”，并结合“三数”的特点进行解答. 进球数 42 32 26 20 19 18 15 14 人数 1 1 1 1 2 1 2 1 根据上面的信息，请解答下列问题： (1)求这10 名队员进球数的平均数、中位数和众数； (2)求这支球队整体的投篮命中率. 解：平均数：×(42＋32＋26＋20＋19×2＋18＋15× 2＋14)＝22；中位数：19；众数：15，19. 这支球队整体的投篮命中率为×100%＝44%. 概念归纳 平均数、中位数和众数的联系与区别 类别 区别 联系 优点 缺点 平均数 平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中较为常用，可用样本的平均数估计总体的平均数 在计算平均数时，所有的数据都参与运算，所以它易受极端值的影响 续表 类别 区别 联系 优点 缺点 中位数 中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述集中趋势 不能充分地利用各数据的信息 续表 类别 区别 联系 优点 缺点 众数 众数考察的是各数据所出现的次数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题的实质 当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义 平均数、中位数和众数都能反映一组数据的集中趋势，刻画一组数据 的“一般水平” 课堂练习 下面是某校八年级(2)班两组女生的体重(单位:kg): (1) 分别求这两组数据的平均数、众数、中位数，并解释它们的实际意义(结果取整数); (2)比较这两组数据的平均数、众数、中位数，谈谈你对它们的认识. 解:(1)第1组数据的平均数(35+36+38+40+42+42+75)+7=44(kg),众数为42kg,中位数为40kg.实际意义:该校八年级(2)班第1组女生的平均体重为44kg,在这一小组内体重为42kg的人数最多,大于40kg和小于40kg的人数相等; 第2组数据的平均数为(35+36+38+40+42+42+45)÷7≈40(kg),众数为42kg,中位数为40kg.实际意义:该校八年级(2)班第2组女生的平均体重为40kg,在这一小组内体重为42kg的人数最多,大于40kg和小于40kg的人数相等. (2)这两组数据中,只有一个数据不同,第1组是75,第2组是45,因此两组数据的平均数不同,但中位数和众数相同.由此可看出平均数受极端值的影响较大. 分层练习 基础题 1.某校在包括小明在内的7名学生中根据成绩进行选拔，成绩最好的3名 学生参加数学竞赛.现已知这7名学生的成绩都不相同，小明想知道自己 能否进入前三名，那么需要知道这7个成绩的( ) D A.最高分 B.最低分 C.平均分 D.中位数 2. 在“爱我汾阳”演讲赛中，小明和其他6名选手参加决赛.他们决赛的成绩各不相同，小明想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名选手成绩的(　　) A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 C 24 3．[2024泰安期末]期中考试后，班里有两名同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多．”小英说：“我们组的7名同学中成绩排在最中间的恰好也是86分．”小明、小英两名同学的话能反映的统计量分别是(　　) A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．中位数和众数 D．众数和中位数 D 25 4.关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中，正确的是 ( ) C A.平均数一定是这组数中的某个数 B.中位数一定是这组数中的某个数 C.众数一定是这组数中的某个数 D.一组数据的中位数和众数不可能相等 26 （第5题） 5.[2024·江西] 如图是某地去年一至六月每 月空气质量为优的天数的折线统计图，关 于各月空气质量为优的天数，下列结论错 误的是( ) D A.五月份空气质量为优的天数是16天 B.这组数据的众数是15天 C.这组数据的中位数是15天 D.这组数据的平均数是15天 27 6. 某车间为了改善管理松散的状况，准备采取每天任务定额，超产有奖的措施来提高工作效率，下面是该车间15名工人过去一天中各自装备机器的数量(单位：台)：6，7，7，7，8，8，8，8，10，10，10，10，16，16，16，为了促进生产，又能保证大多数工人的积极性，那么管理者应确定每人每天装备机器的定额最好为________台. 8 28 7．[2024湖北]某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x(引体向上个数)表示成绩，分成四组：A组(0≤x＜5)，B组(5≤x＜10)，C组(10≤x＜14)，D组(x≥14)． 29 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 30 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11. 根据以上信息，解答下列问题： (1)求A组人数，并补全条形统计图； 31 【解】抽取的男生人数为14÷35%＝40(人)， 故A组人数为40－10－14－4＝12(人)． 补全条形统计图如图所示： 32 (2)估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的人数； 33 (3)从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 【解】平均数表示抽取的40名男生的平均成绩；众数表示抽取的40名男生中成绩在某个个数的人数最多；中位数表示抽取的40名男生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的成绩(任选其一)． 34 综合应用题 8.在一次捐款活动中，5名同学的捐款额（单位:元）分别为10,6,12,10,20, 捐20元的同学又追加了20元,追加后的5个数据与之前的5个数据相比， 集中趋势相同的是( ) D A.只有平均数 B.只有中位数 C.只有众数 D.中位数和众数 [解析] 点拨：根据题意可知，追加前5个数据的中位数是10，众数是10， 追加后5个数据的中位数是10，众数为10， 数据追加后平均数会变大， 集中趋势相同的有中位数和众数. 9. [2024保定三模]某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮(每人投10个)的情况，投进篮筐的个数分别为6，10，5，3，4，8，4.后来发现，第一位同学的投进篮筐的个数统计错误，比实际个数要多．与实际比较，这组数据的平均数和中位数变化情况分别是(　　) A．变大，不变 B．变大，变小 C．变大，变大或不变 D．变小，变小 36 【答案】C 37 10. 甲、乙、丙、丁四人在一次数学测验中的成绩分别为x甲，x乙，x丙，x丁，下面是他们四人的一段对话： ①甲对乙说：“我的成绩比你高．” ②丙说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的中位数．” ③丁说：“我的成绩恰好是我们四个人成绩的平均数．” 假设以上对话完全正确，则x甲，x乙，x丙，x丁的大小关系是(　　) A．x乙＜x丙＜x丁＜x甲 B．x乙＜x丙＝x丁＜x甲 C．x乙＜x丁＜x丙＜x甲 D．x乙＜x丙＜x丁＝x甲 B 38 11. 若一组数据 ，3，1，6，3的中位数和平均数相 等，则 的值为___. 2 [解析] 点拨：当 时，中位数与平均数相等，则 ,解得 （舍去）; 当时，中位数与平均数相等，则 ,解 得 ; 39 当时，中位数与平均数相等，则 ,解 得 （舍去）; 当时，中位数与平均数相等，则 ，解得 （舍去）, 所以 的值为2. 12.[2024·天津] 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间 （单位：），随机调查了该校八年级 名学生，根据统计的结果，绘制 出如下的统计图①和图②. 请根据相关信息，解答下列问题： 41 （1）的值为____，图①中 的值为____，统计的这组学生每周参加科 学教育的时间数据的众数和中位数分别为___和___. 50 34 8 8 （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数. 解： , 这组数据的平均数是8.36. 42 （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学 生每周参加科学教育的时间是 的人数为多少？ 解： 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是 的学生占 ， 根据样本数据，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 的人数为 . 43 13. 某公司员工的月工资如下： 员工 经理 副经理 职员 A 职员 B 职员 C 职员 D 职员 E 职员 F 杂工 G 月工 资/元 10 800 7 200 4 800 4 500 4 000 3 600 3 600 3 600 2 900 44 经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况(如图)． 45 请根据上述信息完成后面的问题： (1)k＝________，m＝________，n＝________； (2)你认为哪些统计量可以反映一组数据的集中趋势？请结合上面实例，从平均数、中位数及众数中任选一个，简要说明优缺点． 5 000 4 000 3 600 【解】中位数可以反映一组数据的集中趋势，优点：有一半的员工的工资能达到中位数；缺点：没有体现平均工资水平．(答案不唯一，合理即可) 46 【点方法】平均数、中位数与众数的比较 特征数 缺点 适用范围 平均数 不能反映个体性质，易受极值的影响 一般情况下用平均数描述数据的集中趋势，应用比较广泛 中位数 不能利用所有数据的信息 当有极值出现时可以用中位数描述数据的集中趋势 47 续表 特征数 缺点 适用范围 众数 不能利用所有数据的信息 当一组数据中有不少数据多次重复出现时可以用众数描述集中趋势 48 创新拓展题 14. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系， 并根据调查结果画出相应的 点，如图所示． (1)根据图中信息，下列说法中正确的是________(写出所有正确说法的序号)； ①这20名学生上学途中用时都没有超过30 min；②这20名学生上学途中用时在20 min以内的人数超过一半；③这20名学生放学途中用时最短为5 min；④这20名学生放学途中用时的中位数为15 min. ①②③ 50 (2)已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过25 min的人数； 51 (3)调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数解析式并说明实际意义． 【解】这条直线对应的函数解析式为y＝x，这条直线可近似反映该校八年级学生上学途中用时和放学途中用时一样． 52 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 .本校测试成绩统计表： 平均数/ 中位数/ 优秀率 及格率 222.5 228 .本校所在区县测试成绩统计表： 平均数/ 中位数/ 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： 53 （1）求出 的值. 解：本校本次测试的总人数为 ， 成绩为优秀的人数为40， 则优秀率 . 54 （2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别 是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是 ，请你计算出乙同 学的测试成绩是多少？ 解：易知第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数， 由题意知中位数为 ，则乙同学的测试成绩是 . 55 （3）请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和 及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达 标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议. 解：从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于所 在区县的平均成绩，整体水平较好；从优秀率角度看，该校九年级全体 男生立定跳远成绩优秀的学生比例低于所在区县，该校成绩优秀的人数 相对较少. 建议：该校在保持学校整体水平的同时，提高成绩优秀的人数. （答案不唯一） 56 习题 1.某公司有15名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示. 部门 人数 每人所创年利润/万元 A 1 10 B 3 8 C 7 5 D 4 3 这个公司平均每人所创年利润是多少？ 5.4万元 2.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示. 成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 2 3 4 1 分别计算这些运动员成绩的平均数、中位数、众数（结果保留小数点后两位）. 平均数：1.67m，中位数：1.70m，众数：1.75m. 3.为了检查一批零件的质量，从中随机抽取10件，测得它们的长度（单位：mm）如下： 22.36 22.35 22.33 22.35 22.37 22.34 22.38 22.36 22.32 22.35 根据以上数据，估计这批零件的平均长度. 22.35mm 4.在一次青年歌手演唱比赛中，评分办法采用10位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉最低、最高分后的平均数.已知10位评委给某位歌手的打分是： 9.5 9.5 9.3 9.8 9.4 8.8 9.6 9.5 9.2 9.6 求这位歌手的最后得分. 9.45分 5.某商场招聘员工一名，现有甲、乙、丙三人竞聘.通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示. 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 90 75 45 丙 50 60 85 （1）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员， 对计算机、语言和商品知识分别赋权2，3，5， 计算三名应试者的平均成绩.从成绩看，应该录取谁？ （2）若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品 知识成绩分别占50%，30%，20%计算三名应试者 的平均成绩. 从成绩看，应该录取谁？ 应试者 计算机 语言 商品知识 甲 70 50 80 乙 90 75 45 丙 50 60 85 （1）甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 丙的平均成绩： 故录取丙. （2）甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 丙的平均成绩： 故录取乙. 6.某地某个月中午12时的气温（单位：℃）如下： 22 31 25 13 18 23 13 28 30 22 20 20 27 17 28 21 14 14 22 12 18 21 29 15 16 14 31 24 26 29 （1）求这个月中午12时的平均气温（结果取整数）； （2）请以4为组距对数据分组，作出频数分布表， 根据频数分布表计算这个月中午12时的平均气温，与（1）中的结果比较，你有什么发现， 谈谈你的看法. （1）21℃ （2）图略，根据频数分布表计算这个月中午的平均气温为22°C这个结果与（1）中的结果相差不大，平均数反映的是一组数据的平均水平，是一个统计估计值． 7.为了提高农民收入，村干部带领村民自愿投 资办起了一个养鸡场.办厂时买来的1000只小鸡，经过一段时间精心饲养，可以出售了.下表是这些鸡出售时质量的统计数据. 质量/kg 1.0 1.2 1.5 1.8 2 频数 112 226 323 241 98 （1）出售时这些鸡的平均质量是多少（结果保留小数点后一位）？ （2）质量在哪个值的鸡最多？ （3）中间的质量是多少？ 质量/kg 1.0 1.2 1.5 1.8 2 频数 112 226 323 241 98 1.5kg 1.5kg 1.5kg 8.下图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况. 应用你所学的统计知识，写一份简短的报告让交警知道这个时段路口来往车辆的车速情况. （1）这些车的平均速度为：52.4km/h； （2）这组数据的众数为52km/h，因此大多数车以52km/h的速度行驶； （3）这组数据的中位数为52km/h，因此中间的车速为52km/h. 9.下表是某班学生右眼视力的检查结果. 视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 5 1 1 5 9 6 分析上表中的数据，你能得出哪些结论？ 解： 该班学生右眼视力的平均数为4.6；众数为4.9；中位数为4.65.该班学生右眼平均视力为4.6，右眼视力为4.9的人数相对较多，右眼视力小于4.65和大于4.65的人数相当…… 10.查找资料，了解地球年平均气温的计算方法.收集近些年的年平均气温，用适当的图表整理、描述这些数据，看看你能得到哪些信息. 提示：上网（或去图书馆）查询和了解地球年平均气温的计算方法，并收集近年来的平均气温，用折线统计图描述整理这些数据.从平均数、中位数、众数等不同的角度得出相关信息. 课堂小结 平均数、中位数和众数的应用 平均数、中位数、众数的实际应用 平均数、中位数、众数的特征 【解】400×＝180(人)． 答：估计该校八年级参加测试的400名男生中成绩不低于10个的有180人． 【点拨】将这组数据按从小到大的顺序排列为3，4，4，5，6，8，10，∴这组数据的平均数为≈5.7，中位数为5.当第一位同学的投进篮筐的个数比实际个数多时，实际个数小于或等于5，∴与实际比较，这组数据的平均数变大，中位数不变或变大． 【解】根据图中信息可知，所抽取的20名学生中上学途中用时超过25 min的学生有1人，故估计该校八年级学生上学途中用时超过25 min的人数为400×＝20(人)． $$