期末易混易错60题（考题猜想，14大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

期末易混易错60题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 因题目中没有图形而忽略分类讨论 · 题型二 受思维定式影响导致错误 · 题型三 对角平分线的判定理解错误 · 题型四 运用多边形的内角和公式时出错 · 题型五 平行四边形或特殊平行四边形的性质运用错误 · 题型六 错用菱形的面积公式 · 题型七 对点到坐标轴的距离理解不透彻导致错误 · 题型八 利用平行求点的坐标时考虑不全面 · 题型九 混淆关于坐标轴对称的点的特征而致错 · 题型十 不能正确理解函数的概念而出错 · 题型十一 求自变量的取值范围时考虑不全面 · 题型十二 根据一次函数的定义求值时忽视系数不为零 · 题型十三 忽视分类讨论而出错 · 题型十四 频率计算出错 题型一 因题目中没有图形而忽略分类讨论 1．等腰中，过作的垂线，垂足为，且，则底角的度数为 ． 2．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 3．在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 4．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 5．已知为等腰三角形，若由顶点A所引边的高线恰好等于边长的一半，则 ． 题型二 受思维定式影响导致错误 6．阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 7．已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点、，其两点间的距离同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，试求A、B两点间的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为，试求A、B两点间的距离． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． (4)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 题型三 对角平分线的判定理解错误 9．如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 10．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 11．已知：如图，在四边形中，，过点作于， 于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 12．如图，在中，点D是边的垂直平分线上的一点，， 垂足分别为F，G，．求证：平分． 13．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 题型四 运用多边形的内角和公式时出错 14．如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 15．已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 16．在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为 ． 17．如图，在四边形中，分别平分，，探究与，的数量关系并证明． 题型五 平行四边形或特殊平行四边形的性质运用错误 18．如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 19．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点．点落在点处，连接交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形．②点与点重合时，．③的面积的取值范围是．④．其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 21．如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 22．如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，，若，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 题型六 错用菱形的面积公式 23．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 24．如图，菱形的对角线和相交于点，，，则菱形的面积为（   ）    A．12 B．24 C．48 D．60 25．菱形的边长是，一条对角线的长是，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 26．如图，菱形中，，，，垂足为，是上一个动点． (1)菱形的面积是______； (2)的最小值是______． 题型七 对点到坐标轴的距离理解不透彻导致错误 27．点的横坐标是，且到轴的距离为1，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 28．已知点到轴的距离为3，则的值是（    ） A．4或0 B．或0 C．4或 D．或 29．已知点在轴上，且点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 30．已知点A在x轴上，且与点的距离为5，则点A的坐标为 ． 31．已知点P为平面直角坐标系内的一个点，坐标为，且点P到x轴的距离为4，则a的值为 ． 32．如果点的坐标满足，那么称点为“和谐点”．若“和谐点”到轴的距离为3，求点的坐标． 题型八 利用平行求点的坐标时考虑不全面 33．已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 34．在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标为 ． 35．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“4级关联点”点的坐标为，即． (1)若点的“2级关联点”点在轴上，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（1）求出点的坐标） 题型九 混淆关于坐标轴对称的点的特征而致错 36．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 37．已知点与点关于y轴对称，则 ． 38．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 39．已知点与点关于y轴对称，则的值为 ． 题型十 不能正确理解函数的概念而出错 40．假期小战一家自驾游黑龙江省，爸爸开车到加油站加油，小战发现加油机上的数据显示牌金额随着油量的变化而变化，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则下列判断正确的是（    ） 178.00 金额/元 20.00 油量/升 8.90 单价/（元/升） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．178和20是常量 D．金额是油量的函数 41．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．    B．   C．   D．   42．下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 43．下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤；    ⑥． 题型十一 求自变量的取值范围时考虑不全面 44．自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 45．在函数中，自变量的取值范围是 ； 46．在函数中，自变量的取值范围是 ． 47．函数的定义域是 ． 题型十二 根据一次函数的定义求值时忽视系数不为零 48．如果是一次函数，那么的值是 ． 49．当 时，函数是一次函数． 50．与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 51．已知函数是一次函数，求的值． 题型十三 忽视分类讨论而出错 52．已知直线l：，O是坐标原点 (1)画出l的图象； (2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积； (3)标出直线l上横坐标为的点D，并求点D的纵坐标； (4)标出直线l上和x轴距离是1的点E，并求点E坐标 53．如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积 (3)点在直线上，使得，求点的坐标； (4)在负半轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若存在直接写出点坐标________ 54．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 55．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 56．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)方程组的解为 ； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 频率计算出错 57．为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有20人，中年组17人，老年组13人，则中年组的频率是（　　） A．0.4 B．0.34 C．0.26 D．0.6 58．已知个数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 对这些数据编制频率分布表，其中24.5-26.5这一组的频率为（  ） A． B． C． D． 59．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了20名学生进行了心理健康测试，并将测试结果统计如下：“健康”：15人，“亚健康”：4人，“不健康”：1人．则测试结果为“健康”的频率是 ． 60．“新冠肺炎”的英语“Novel coronavirus pneumonia”中，字母“o”出现的频率是 ． $$期末易混易错60题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 因题目中没有图形而忽略分类讨论 · 题型二 受思维定式影响导致错误 · 题型三 对角平分线的判定理解错误 · 题型四 运用多边形的内角和公式时出错 · 题型五 平行四边形或特殊平行四边形的性质运用错误 · 题型六 错用菱形的面积公式 · 题型七 对点到坐标轴的距离理解不透彻导致错误 · 题型八 利用平行求点的坐标时考虑不全面 · 题型九 混淆关于坐标轴对称的点的特征而致错 · 题型十 不能正确理解函数的概念而出错 · 题型十一 求自变量的取值范围时考虑不全面 · 题型十二 根据一次函数的定义求值时忽视系数不为零 · 题型十三 忽视分类讨论而出错 · 题型十四 频率计算出错 题型一 因题目中没有图形而忽略分类讨论 1．等腰中，过作的垂线，垂足为，且，则底角的度数为 ． 【答案】或或． 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，关键在于分类讨论思想的应用．分点A是顶角顶点、点A是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算． 【详解】解：①如图1，当点A是顶角顶点时， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ②如图2，当点A是底角顶点，且在内部时， 设， ∵， ∴， 取的中点F，连接， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴ ∴， 故底角为， ③如图3，当点A是底角顶点，且在外部时， 设， ∵， ∴， 取的中点，连接， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ 综上：底角的度数为或或． 故答案为：或或． 2．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴； ②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形， 由题意可知，在中，，为边上高，且， ∴， ∴． 综上所述：等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 3．在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 4．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由三角形的内角和定理求出，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴， ∴； 故答案为：或． 5．已知为等腰三角形，若由顶点A所引边的高线恰好等于边长的一半，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，分为底边，为腰，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当为底边时：如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴； ②当为腰：高在内部时，如图： 则：，， 取的中点，连接， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当为腰：高在外部时，如图： 同法可得：， ∴， ∴； 综上：的度数为或或； 故答案为：或或． 题型二 受思维定式影响导致错误 6．阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【答案】(1)锐角； (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可． 根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状； 当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 7．已知：，，满足． (1)求，，的值； (2)请判断以，，为边构成的的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，见解析 【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理逆定理的应用，二次根式的乘法运算； （1）根据非负数的性质可得，再进一步解答即可； （2）先计算，，，再结合勾股定理的逆定理可得结论； 【详解】（1）解：∵，，， 又， ∴， ∴，， （2）解：是直角三角形． 理由如下： ∵，，， ， ∴ ∴是直角三角形，． 8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点、，其两点间的距离同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知、，试求A、B两点间的距离； (2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为，试求A、B两点间的距离． (3)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． (4)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)等腰三角形，理由见解析； (4)等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）根据两点间的距离公式求出三角形的各边长即可判断； （4）根据两点间的距离公式求出三角形的各边长，结合勾股定理逆定理即可判断． 【详解】（1）解：由两点间的距离可得：； （2）解：∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为6，点B的纵坐标为， ∴； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ∵， ∴为等腰三角形； （4）解：为等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， ∵，且， ∴为等腰直角三角形． 题型三 对角平分线的判定理解错误 9．如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键； 先由角平分线的性质定理得到，再证明，得到，即可证明结论． 【详解】证明： ，，， 为的角平分线， ， ， 在和中， ， ， 平分． 10．在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ． （2）证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 11．已知：如图，在四边形中，，过点作于， 于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 12．如图，在中，点D是边的垂直平分线上的一点，， 垂足分别为F，G，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的判定定理是解题的关键． 证明，得到，即可由角平分线的判定定理得出结论． 【详解】证明：∵点D是边的垂直平分线上的一点， ∴， ，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ， ， ，， 平分． 13．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 题型四 运用多边形的内角和公式时出错 14．如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 15．已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 【答案】4，6 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 16．在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个内角的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，正多边形的每个内角相等是解答． 先求出正九边形的内角和，再利用正九边形的九个内角相等来求解． 【详解】解：正九边形的内角和为：． 又正九边形的九个内角都相等， ． 故答案为：． 17．如图，在四边形中，分别平分，，探究与，的数量关系并证明． 【答案】，详见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据四边形的内角和为360度，三角形的内角和为180度，结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：．证明如下： ，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 题型五 平行四边形或特殊平行四边形的性质运用错误 18．如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】连接，，证明，由等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质得出，可判定①；证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，可判定②；四边形为平行四边形，是对角线，所以不一定平分，可判定③；证明四边形是平行四边形，得出，可判定④． 【详解】解：①连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴，故①错误； ②连接， ∵E是的中点，F是的中点， ∴，， ∴，即， ∴ ∵G是的中点， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故②正确； ∵四边形为平行四边形，是对角线， ∴不一定平分，故③错误； ④∵， ∴ ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； ∴正确的有②④关，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，三角形中位线的性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 19．如图，在矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处，折痕为，点E，F分别落在边和边上．连接，交于点K，交于点H．有如下结论：①；②；③和的面积相等；④当点F和点C重合时，．其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接，设与交于点O，由折叠的性质可得垂直平分，可判断①；由“”可证，可得，可判断②；通过证明四边形是菱形，可得，由直角三角形的性质和等边三角形的性质，可求，可得，进而即可可判断④，由题意无法证明和的面积相等，进而即可判断③． 【详解】如图，连接，设与交于点O， ∵将纸片折叠，使点B落在边的延长线上的点G处， ∴垂直平分， ∴，，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 当点F与点C重合时，则，如图，作的中点为M，连接， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 如图，过点K作交于点M， ∵四边形是菱形， ∵平分， ∴， ∵在中， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∴正确的结论有：①②④， 故选：C． 【点晴】本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键． 20．如图，在矩形纸片中，，，点，分别在边，上．将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上，记为点．点落在点处，连接交于点，连接．下列结论：①四边形是菱形．②点与点重合时，．③的面积的取值范围是．④．其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】先证明，可得，即得四边形是平行四边形，即可得四边形是菱形，故即可判断①；当点与点重合时，如图，设，则，利用勾股定理可得，即得，再利用菱形的性质和勾股定理，即可判断②；分别画出图形求出四边形的面积最小值和最大值，即可判断③；在和中，，，当找不到其他的条件相等，所以无法判断与全等，即可判段④，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故①正确； 当点与点重合时，如图，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴，故②正确；    如图，当经过点时，最短，此时四边形的面积最小，四边形为正方形， ∴，    当点与点重合时，最长，此时四边形的面积最大， ∴， ∴的取值范围是，故③错误； 在和中，，，当找不到其他的条件相等，所以无法判断与全等，故无法判断与相等，所以④错误； 综上，正确结论的序号是①②， 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 21．如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】在上取一点，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可判断①；连接，证明四边形是平行四边形，得出，，求出，结合等腰直角三角形的性质即可判断③；连接交于，证明，得出，即可判断②；设，，则，表示出，，由等腰直角三角形的性质可得，结合得出，求解即可判断④，从而即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接、， ， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； 连接， ， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； 连接交于， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 设，，则， ∴，， ∵，， ∴， 若，则， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22．如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，，若，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质，关键是能根据矩形得性质即中心对称的特点，求出图中部分角的度数，同时，等边三角形的性质也是本题的重点，分析此题时要将特殊三角形和特殊四边形结合起来，要分析清楚它们两者之间角的关系．由矩形的性质及得出是等边三角形，再由得出是的垂直平分线，即可证明是，根据和的长度即可判断和是否全等，先判断是平行四边形，再加，利用直角三角形的性质结合勾股定理可以得出和的关系． 【详解】解：是的中点， ， 矩形中，， ， 又， 是等边三角形， ，, , ， 是的垂直平分线， ， 故①正确； 若， 则， 但， 故②错误； ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形， 故③正确； 由题意得， ， ∴，， ， 即， 又， 同理， 即， ， 故④正确， ①③④正确， 故选：D 题型六 错用菱形的面积公式 23．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质及菱形面积的求法，解题的关键是根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：连接，交于点    在菱形中，，， ，， ， ， 菱形的面积 ． 故选：B． 24．如图，菱形的对角线和相交于点，，，则菱形的面积为（   ）    A．12 B．24 C．48 D．60 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理． 首先根据菱形的性质和勾股定理得到，进而得到，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故选：B． 25．菱形的边长是，一条对角线的长是，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据勾股定理求出菱形的另一条对角线的长度，即可求出菱形的面积． 【详解】解：如图，，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：D． 26．如图，菱形中，，，，垂足为，是上一个动点． (1)菱形的面积是______； (2)的最小值是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由菱形的面积公式可得出答案； （2）连接，则，当、、在同一条直线上时，的最小值等于的长，依据勾股定理及三角形面积即可得到的长． 【详解】（1）解：菱形中，，， 菱形的面积是， 故答案为：； （2）解：如图所示，连接，则， ， 当、、在同一条直线上时，的最小值等于的长， 菱形中，，， ，， ， ，菱形的面积是， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 题型七 对点到坐标轴的距离理解不透彻导致错误 27．点的横坐标是，且到轴的距离为1，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义，解题的关键是熟练掌握坐标的意义． 假设，利用点的坐标的几何意义列出进行求解即可． 【详解】解：∵点的横坐标是，且到轴的距离为1， ∴可假设， 则，解得或， ∴或， 故选：D． 28．已知点到轴的距离为3，则的值是（    ） A．4或0 B．或0 C．4或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到y轴的距离就是横坐标的绝对值，到轴的距离就是纵坐标的绝对值是解题的关键． 根据点A到轴的距离为3，即3为纵坐标的绝对值列式计算即可得解． 【详解】解：∵点到轴的距离为3， ∴， 或， 解得或． 故选：B． 29．已知点在轴上，且点到轴的距离为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求点的坐标，根据轴上的点的纵坐标为0，点到y轴的距离为横坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点在轴上，且点到轴的距离等于， ∴， ∴或； 故答案为：或． 30．已知点A在x轴上，且与点的距离为5，则点A的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，坐标与距离，构造直角三角形是解题的关键． 作轴于点，利用勾股定理求，根据点A在x轴上求坐标即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示， ∴， ∵点A在x轴上， ∴是直角三角形， ∵点A与点的距离为5， ∴，， ∴或， ∴点A的坐标为或， 故答案为：或． 31．已知点P为平面直角坐标系内的一个点，坐标为，且点P到x轴的距离为4，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了点到坐标轴距离，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， 解得：或， 故答案为：2或 32．如果点的坐标满足，那么称点为“和谐点”．若“和谐点”到轴的距离为3，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】本题考查了点的坐标和一元一次方程，解题关键是明确点到x轴的距离是纵坐标的绝对值 根据点P到x轴的距离为3，可求纵坐标，再根据和谐点的意义求出横坐标即可． 【详解】解：点到轴的距离是3， 或， 当时，， 解得： ， 当时，， 解得：， ， 点的坐标为或． 题型八 利用平行求点的坐标时考虑不全面 33．已知轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据题意得出的纵坐标为，根据，得出点的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴则点的坐标为或， 故选：D． 34．在平面直角坐标系中，已知，，，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中点坐标公式的应用，正确分三种情况讨论是解题关键．分三种情况：①为对角线，②为对角线，③为对角线，利用中点坐标公式和平行四边形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：设，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 如图，①当为对角线时，，，， ∴ 解得：， ∴； ②当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； ③当为对角线时， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标是或或． 故答案为：或或． 35．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“4级关联点”点的坐标为，即． (1)若点的“2级关联点”点在轴上，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（1）求出点的坐标） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了新定义，点的坐标，在轴上的点的纵坐标为，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由“2级关联点”的定义得，再结合点在轴上，故，得，即可作答． （2）由（1）得点,因为轴，且，故点的横坐标为2，纵坐标为或，即可作答． 【详解】（1）解： 点的“2级关联点”是点， 点， 又点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：由（1）得点． 轴，且， 点的横坐标为2，纵坐标为：或， 点的坐标为或． 题型九 混淆关于坐标轴对称的点的特征而致错 36．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 37．已知点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】4 【分析】关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数代入求解即可得到答案， 本题考查关于y轴对称的点坐标，解题的关键是：熟练掌握关于y轴对称的点坐标． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，，即：， ∴， 故答案为：4． 38．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于轴对称的规律是解题的关键．根据题目的定义，可求出有序数对的“阶结伴数对”为 ，再利用与关于轴对称，得到，联立两个等式即可求出的值． 【详解】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ， 有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称， 与关于轴对称， ， ， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 39．已知点与点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于x，y轴对称点的坐标特点，根据已知得出a，b的值是解题的关键． 根据关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故答案为：． 题型十 不能正确理解函数的概念而出错 40．假期小战一家自驾游黑龙江省，爸爸开车到加油站加油，小战发现加油机上的数据显示牌金额随着油量的变化而变化，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则下列判断正确的是（    ） 178.00 金额/元 20.00 油量/升 8.90 单价/（元/升） A．金额是自变量 B．单价是自变量 C．178和20是常量 D．金额是油量的函数 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数的定义和基本概念进行判断即可． 【详解】解：A．金额是因变量，故A不符合题意； B．单价是常量，故B不符合题意； C．178是因变量，20是自变量，故C不符合题意； D．金额是油量的函数，故D符合题意； 故选：D． 41．下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意 故选：D． 【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数． 42．下列图象中，不能表示是的函数的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 43．下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤；    ⑥． 【答案】②③ 【解析】略 题型十一 求自变量的取值范围时考虑不全面 44．自变量x的取值范围是的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据求解函数自变量的取值范围的方法求解即可． 【详解】解：．，解得，故该选项不符合题意； ．，解得，故该选项符合题意； ．，解得，故该选项不符合题意； ．且 ，解得，故该选项不符合题意； 故选：B． 45．在函数中，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，且当时，， 故答案为：． 46．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂运算法则，建立关于的不等式组，然后求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 即自变量的取值范围是且． 故答案为：且． 47．函数的定义域是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义，自变量的取值范围，分式有意义，根据被开方数为非负数以及分母不为0进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，且， 解得且， 故答案为：且， 题型十二 根据一次函数的定义求值时忽视系数不为零 48．如果是一次函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数．据此进行解答即可． 【详解】解：∵是一次函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：. 49．当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数及求平方根，由一次函数的定义知x的指数为1，由此列方程即可求解． 【详解】解：函数是一次函数， ， ， ， 50．与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． （1）根据一次函数的定义：形如（，为常数）叫作一次函数，即可求解； （2）根据正比例函数的定义：形如，其中为常数，叫作正比例函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：若是关于的一次函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的一次函数； （2）解：若是关于的正比例函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的正比例函数． 51．已知函数是一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次项系数不为零，最高次项的次数为次是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得：． 题型十三 忽视分类讨论而出错 52．已知直线l：，O是坐标原点 (1)画出l的图象； (2)直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积； (3)标出直线l上横坐标为的点D，并求点D的纵坐标； (4)标出直线l上和x轴距离是1的点E，并求点E坐标 【答案】(1)见解析 (2)； (3)图见解析，； (4)图见解析，或 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）分别求出直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点，描点连线即可； （2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为，即可求出面积即可； （3）求出点D的纵坐标，标出点D； （4）求点E坐标，并标出点E即可 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴直线直线l与x轴交于点，与y轴交于点， 如图，过点和作直线即为所求， （2）由（1）可知，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴的面积； （3）如图点D即为所求， 当， ∴点D的纵坐标为 ∴点D的坐标为； （4）当时，，解得， 当时，，解得， ∴点E的坐标为或 如图点即为所求， 53．如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积 (3)点在直线上，使得，求点的坐标； (4)在负半轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若存在直接写出点坐标________ 【答案】(1) (2)2 (3)或 (4)或 【分析】（1）设直线的表达式：，将点和点代入解析式，解方程组，得到具体的解析式，联立已知构造方程组，解答即可． （2）连接，先求出点C的坐标，然后根据求出结果即可； （3）根据，分别用坐标方式表示三角形的面积，解答即可． （4）先根据两点间距离公式求出，分两种情况：当，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式：，将点和点代入 ， 解得：， ∴， 联立：， 解得， ∴． （2）解：连接，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴ ． （3）解：连接，，如图所示： 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴或， 当时，，此时点N的坐标为， 当时，，此时点N的坐标为， 综上分析可知：或． （4）解：∵，， ∴， 当时， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴此时点P的坐标为； 当时，过点M作轴于点Q，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知：点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了函数交点坐标的计算，方程组的构造，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，全等的判定和性质是解题的关键． 54．定义：我们把一次函数的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数图象的“亮点”．例如：求一次函数图象的“亮点”时，联立方程得，解得，则一次函数图象的“亮点”为． (1)一次函数图象的“亮点”为 ； (2)一次函数图象的“亮点”为，求m，n的值； (3)若一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，且一次函数的图象上没有“亮点”，点P在y轴上，，直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得n，进而代入求得m即可； （3）根据题意可得，求出，然后根据三角形面积公式求出，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点即在上， ， 解得． （3）解：∵直线上没有“亮点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴或． 55．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； (3)观察图象，不等式组的解集是_______． 【答案】(1)， (2)或； (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：当，则， ∴， 设，且的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或； （3）解：由图象可得不等式组的解集为：． 56．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)方程组的解为 ； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数在几何问题中的应用，解二元一次方程，掌握待定系数法求解函数解析式是解题关键． （1）先求点A坐标，再用待定系数法求函数解析式． （2）运用代入消元法即可解二元一次方程组； （3）计算出，设的坐标为，根据用含m的代数式表示出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：（1）将点的坐标代入，得， 点A的坐标为． 将点，的坐标分别代入， 得 解得； 直线的函数表达式为； （2）解： 把①代入②得 解得： 把代入①得 ∴； （3）由题意知． 设点的坐标为， 则， 解得或． 点的坐标为或． 题型十四 频率计算出错 57．为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，在50名报名者中，青年组有20人，中年组17人，老年组13人，则中年组的频率是（　　） A．0.4 B．0.34 C．0.26 D．0.6 【答案】B 【分析】根据进行计算即可． 【详解】解：17÷50=0.34， 故选：B． 【点睛】本题考查频数与频率，掌握是解题关键． 58．已知个数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 对这些数据编制频率分布表，其中24.5-26.5这一组的频率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先正确数出在24.5-26.5这组的数据，再根据频率、频数的关系“频率频数数据总和”进行计算． 【详解】解：根据题意可知，其中在24.5-26.5组的共有8个， 则24.5-26.5这组的频率是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了频率与频数的关系，解题关键是正确查出24.5-26.5这一组的频数，根据“频率频数数据总和”的关系解答． 59．在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了20名学生进行了心理健康测试，并将测试结果统计如下：“健康”：15人，“亚健康”：4人，“不健康”：1人．则测试结果为“健康”的频率是 ． 【答案】/ 【分析】根据概率公式求解即可． 【详解】解：“健康”的频率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率，解题的关键是熟悉概率公式． 60．“新冠肺炎”的英语“Novel coronavirus pneumonia”中，字母“o”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】根据频率=频数÷样本容量计算即可． 【详解】∵英语“Novel coronavirus pneumonia”中，样本容量为25， 字母“o”出现的频数为4， ∴字母“o”出现的频率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频率的计算，熟练掌握频率=频数÷样本容量是解题的关键． $$