专题19.16 一次函数（6大考点12类题型）（挑战压轴题分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
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内容正文：
专题19.16 一次函数（6大考点12类题型）（挑战压轴题分类专题）
一次函数作为初中数学的核心内容,常在中考压轴题中与几何、动态问题、最值等结合,考查综合能力。本专题对压轴题类型进行了梳理,涵盖各类高频难点题型，供参考使用！
第一部分【题型目录】
【考点一】动态几何与函数综合
【题型1】动点问题.................................................................1
【题型2】图形变换.................................................................2
【考点二】存在性与函数综合
【题型3】三角形存在性与函数综合...................................................4
【题型4】特殊四边形存在性与函数综合...............................................5
【考点三】最值与函数综合
【题型5】将军饮马模型.............................................................6
【题型6】一次函数性质最值问题.....................................................7
【考点四】取值范围与函数综合
【题型7】一次函数性质与取值范围综合...............................................7
【题型8】一次函数与几何性质取值范围综合...........................................8
【考点五】一次函数与实际应用综合
【题型9】分段函数与实际问题.......................................................9
【题型10】一次函数与几何建模型综合...............................................10
【考点六】一次函数拓展探究问题
【题型11】一次函数图象与性质拓展探究.............................................12
【题型12】一次函数与几何综合拓展探究.............................................14
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】动态几何与函数综合
【题型1】动点问题
1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（ ）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为 ．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ．
3．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与轴交点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点是轴上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，当的面积是时，求点的坐标；
（3）已知是的角平分线，在线段上找一点，使得，求点的坐标．
【题型2】图形变换
1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接．
（1）求直线的函数解析式；
（2）若点D正好落在线段上，求点C的坐标；
（3）若，求点D的坐标；
（4）点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式．
2．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ．
【考点二】存在性与函数综合
【题型3】三角形存在性与函数综合
1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．
（1）求m和b的值；
（2）已知点D在x轴上，且的面积为4，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ．
3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点．
（1）求直线的解析式；
（2）当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标；
（3）如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4】特殊四边形存在性与函数综合
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点M是直线上一动点，其横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，当时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，若，点E是x轴上一动点，在直线上是否存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为，，边的长为6．
（1）点B的坐标
（2）若E为x轴正半轴上的点，且，求经过D，E两点的直线的解析式．
（3）若点N在平面直角坐标系内，则在x轴上或线段的延长线上是否存在点F，使得以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
（1）点坐标为（________，________）．
（2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点三】最值与函数综合
【题型5】将军饮马模型
1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ．
3．（24-25八年级上·重庆·期末）若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．如图1，当时，若点到经过原点的直线的距离的长为，则点到直线的距离的长为 ；如图2，当时，点在线段上，点在线段的延长线上，且，则的最小值为 ．
【题型6】一次函数性质最值问题
1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小
C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）对于函数，当时有最大值，则的值为 ．
3．（2021·贵州铜仁·三模）对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是 ．
【考点四】取值范围与函数综合
【题型7】一次函数性质与取值范围综合
1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
2．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数（k为常数，）的图象过点．
（1） ；
（2）若无解，结合函数的图象，则k的取值范围是 ．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“阶和点”．
（1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ；
（2）若关于的一次函数的图象有且仅有个阶和点，则的取值范围为 ．
【题型8】一次函数与几何性质取值范围综合
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C．
（1）当时，点C的坐标为 ；
（2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ．
2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知顶点坐标分别为点、，，l1是过点与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在的内部或边上，则b的取值范围是 ．
3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ．
【考点五】一次函数与实际应用综合
【题型9】分段函数与实际问题
1．（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点．
（1）求，两地之间的距离及的值；
（2）分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；
（3）求两机器人出发多长时间时相距1米？
2．（2025·广东广州·一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）__________米/秒，__________秒；
（2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是______千米，______；货车返回时的速度是______千米小时；
（2）在整个运输途中，请适当说明巡逻车与货车在货车出发多久时相遇？
【题型10】一次函数与几何建模型综合
1．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知：如图，直线分别与轴，轴交于、两点，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）学科融合 图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为 ．
3．（2024·广西·三模）【综合与实践】
【问题背景】
如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间
流水时间
0
10
20
30
40
水面高度
30
29
28.1
27
25.8
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
（1）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
（2）利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
（3）经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值；
【考点六】一次函数拓展探究问题
【题型11】一次函数图象与性质拓展探究
1．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）［了解概念］
对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为．
［理解运用］
已知一次函数，
（1）这个一次函数的相关函数是
（2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则
（3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围．
［拓展提升］
在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围．
2．（21-22七年级下·山东烟台·期末）【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由．
【题型12】一次函数与几何综合拓展探究
1．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班 李明
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小．
【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
（1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．
（2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
（3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值．
【模型迁移】
（4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：．
【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点．
（）的长为________，的长为________．
（）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________．
【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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专题19.16 一次函数（6大考点12类题型）（挑战压轴题分类专题）
一次函数作为初中数学的核心内容,常在中考压轴题中与几何、动态问题、最值等结合,考查综合能力。本专题对压轴题类型进行了梳理,涵盖各类高频难点题型，供参考使用！
第一部分【题型目录】
【考点一】动态几何与函数综合
【题型1】动点问题.................................................................1
【题型2】图形变换................................................................10
【考点二】存在性与函数综合
【题型3】三角形存在性与函数综合..................................................17
【题型4】特殊四边形存在性与函数综合..............................................25
【考点三】最值与函数综合
【题型5】将军饮马模型............................................................34
【题型6】一次函数性质最值问题....................................................39
【考点四】取值范围与函数综合
【题型7】一次函数性质与取值范围综合..............................................41
【题型8】一次函数与几何性质取值范围综合..........................................45
【考点五】一次函数与实际应用综合
【题型9】分段函数与实际问题......................................................49
【题型10】一次函数与几何建模型综合...............................................55
【考点六】一次函数拓展探究问题
【题型11】一次函数图象与性质拓展探究.............................................59
【题型12】一次函数与几何综合拓展探究.............................................64
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】动态几何与函数综合
【题型1】动点问题
1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（ ）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等．
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解．
解：对于直线，
令，则，令，则，
解得：，
∴点A、B的坐标分别是，，
∴，，
∴，
∵
∴；
①当时，如图2和图3，
由（1）得，
∴，即P点横坐标为或，
当P点横坐标为时，纵坐标为：，
∴，
当P点横坐标为时，纵坐标为：，
∴；
②当时，如图4和图5，
∴，
此时点Q的坐标为或，
综上所述，符合条件的点Q共4个．
故选：B．
【点拨】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过坐标原点O作直线的垂线交于点的角平分线交x轴于点D．
（1）线段的长为 ．
（2）若一动点P在射线上运动，连接，当为直角三角形时，点P的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据解析式求出点、坐标，由代入数据求出长即可；
（2）先求出点坐标，由角平分线可知，所以当为直角三角形时，其为等腰直角三角形，利用一线三垂直全等，构造等线段，从而建立方程求解即可．
解：（1）直线交轴于点，交轴于点，
，，
，
，
由等面积可知，，
；
故答案为：；
（2）在中，，
，
如图，过作于点，
根据等面积可得，
把代入可得，
，
，平分，
①如图，当时，则，
过作轴，过作于点，于点，则，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
②如图，当时，则，
过作轴，过作于点，过作于点，
同理可得，
设，，
则，
解得，
，
，；
综上，点坐标为或．
故答案为：或．
3．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，一次函数与轴交点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点是轴上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，当的面积是时，求点的坐标；
（3）已知是的角平分线，在线段上找一点，使得，求点的坐标．
【答案】（1）直线的函数解析式为；（2）点的坐标为或；（3）点的坐标为
【分析】（1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可；
（2）设，则、，过点作于点，利用，进行求解即可；
（3）方法一：作于点，利用等积法求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可．
方法二：作于点，利用等积法求得，过点作，延长交轴于，连接，如图所示，在中，由勾股定理求出，再利用等积法求得，在等腰中，设，则，即，建立方程解得，在中，由勾股定理求出，即可得到答案．
解：（1）解：对于，
由得，则，
由得，解得，则，
∵点与点关于轴对称，
∴，
设直线的函数解析式为，
则，解得．
∴直线的函数解析式为；
（2）解：设，
则、，
过点作于点，如图所示：
∴，，
∴，
解得，
∴点的坐标为或；
（3）解法一：∵，，
∴，，
∴，
作于点，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点的坐标为．
解法二：∵，，
∴，，
∴，
作于点，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
即，
解得，
过点作，延长交轴于，连接，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
，
，则，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
，解得，
在等腰中，设，则由勾股定理可知，
即，
，
解得，
在中，
．
∴点的坐标为．
【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
【题型2】图形变换
1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接．
（1）求直线的函数解析式；
（2）若点D正好落在线段上，求点C的坐标；
（3）若，求点D的坐标；
（4）点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质得出，．设，则，，利用勾股定理解即可；
（3）连接交于点E，由翻折可得：，，，根据求出点C的坐标，进而求出直线和直线直线的表达式，联立求出点E的坐标，最后根据中点公式可得点D的坐标；
（4）分点P在上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关线段的长度，即可求解．
解：（1）解：将、代入直线得：
，
解得： ，
∴；
（2）解：如图，
∵、，
∴，
∴，
由折叠得：，．
∴，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接交于点E，
由翻折可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴直线的表达式为：，
∵
∴直线的表达式为：，
联立：解得：，
∴，
∵，
∴；
（4）解：分两种情况：
若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图，
，，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，
又，，
，
，，
，
，
设直线的函数解析式为，
将和代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
同理，若点P在直线的下方，构造，如图，
可得，直线的函数解析式为．
综上可知，直线的函数解析式为或．
【点拨】本题考查一次函数的综合问题，坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两条直线的交点问题等，熟练掌握一次函数的图象和性质，以及分类讨论思想是解题的关键．
2．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可．
解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，
∴，，，，
∴，
当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：
∵轴，，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，
∴当时，则，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键．
3．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理等知识点，根据勾股定理得到，分类讨论，如图1，当点落在轴的正半轴上时，如图2，当点落在轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握其性质并能正确的作出图形是解决此题的关键．
解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
，，
，
，
如图1，当点落在轴的正半轴上时，
设点的坐标为，
将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，
，
，
，
；
如图2，当点落在轴的负半轴上时，
设点的坐标为，
将沿所在的直线折叠，
当点落在轴上时，
，
，
，
，
综上所述，当点落在轴上时，点的坐标为或，
故答案为：或.
【考点二】存在性与函数综合
【题型3】三角形存在性与函数综合
1．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．
（1）求m和b的值；
（2）已知点D在x轴上，且的面积为4，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m的值为4，b的值为5；（2）或；（3）存在，P的坐标为或或或
【分析】（1）把代入，求得，代入求得；
（2）根据的面积为4，求得，根据，求得，得到或；
（3）设，求出，①当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可．
解：（1）解：把代入得：
，
∴，
把代入得：
，
解得；
∴m的值为4，b的值为5；
（2）解：∵的面积为4，
，
即，
∴，
在中，令，则，
解得，，
∴，
∴或；
（3）解：存在点P，使为等腰三角形，理由如下：
设，
在中，令，则，
解得，，
∴，
①当时，则，
∴，
解得，
∴；
②当时，，
∴，
∴，
解得：，或，
∴，；
③当时，则点与C关于对称，
∴，
∴，
∴；
故P的坐标为或或或．
【点拨】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，等腰三角形判断和性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．
2．（2021·湖北黄石·模拟预测）如图，直线的解析式为分别与，轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且，在轴上方存在点，使以点为顶点的三角形与全等，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是一次函数图像上的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，将点的坐标代入直线的解析式为，可求得直线的解析式，从而可得到的长度，再分和两种情况进行讨论即可得到答案．
解：点在直线：上，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，当时，，解得，
点坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，，
以点为顶点的三角形与全等，
当时，如图所示，
此时，且，
，即，
点的横坐标为3，纵坐标为4，
点的坐标为：；
当时，如图所示，
此时，，
，
点的横坐标为4，纵坐标为3，
点的坐标为：，
综上所述：点的坐标为或．
3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点，点D是直线上一动点．
（1）求直线的解析式；
（2）当点D在直线上运动时，存在某时刻，使得为直角三角形且，请求出此时点D的坐标；
（3）如备用图所示，当点D运动到线段的中点时，此时，在直线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据，求出，设点D的坐标为，得出，，根据，得出，求出结果即可；
（3）先求出，；再分两种情况进行讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形求出点P的坐标即可．
解：（1）解：令中得，
∴，
设直线的解析式为
，
得
直线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
设点D的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴点D的坐标为；
（3）解：把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴，即；
当在下方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作于点G，如图所示：
则，，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
当在上方时，过点D作于点E，作，交于点F，过点F作，交延长线于点G，如图所示：
则，，，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，
解得：，
∴此时点P的坐标为；
综上分析可知：点P的坐标为或．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的性质是解题的关键．
【题型4】特殊四边形存在性与函数综合
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点M是直线上一动点，其横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N，当时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，若，点E是x轴上一动点，在直线上是否存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），；（3），，
【分析】本题考查了一次函数综合，涉及待定系数法求解析式，交点坐标，平行四边形的存在性问题；
（1）先将点代入求出a的值，再将P点坐标代入求出b的值即可得直线的解析式；
（2）根据已知可得，，再根据得，解绝对值方程，进而可求得点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，若，则，设点，，再根据为边或对角线分情况讨论，利用平移和中点公式求坐标即可．
解：（1）解：将点代入得，，
将代入得，，
解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：∵点M是直线上一动点，其横坐标为m，
∴，
∵过点M作轴，交直线于点N，
∴，
∵，
∴，
解得或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，点M的坐标或；
（3）解：在（2）的条件下，若，则，
∵点E是x轴上一动点，直线上一点Q，
∴设点，，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当是边时，则，，则对边对应点的平移方式一致，
∵向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
∴向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，或向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，
若向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到即为，则，解得，此时；
若向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到即为，则，解得，此时；
当是对角线时，则平行四边形的对角线和互相平分，即对角线和的中点是同一个点，
∵对角线的中点是，对角线的中点是，
∴，解得，此时，
综上所述，存在一点Q，使得以M，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，，．
3．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，平行四边形在平面直角坐标系中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为，，边的长为6．
（1）点B的坐标
（2）若E为x轴正半轴上的点，且，求经过D，E两点的直线的解析式．
（3）若点N在平面直角坐标系内，则在x轴上或线段的延长线上是否存在点F，使得以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或或或或
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，解得的长，继而得到点B的坐标；
（2）由平行四边形的性质得到，通过解得到，再利用待定系数法解得经过D、E两点的直线解析式即可解题；
（3）当点F在x轴上，以为边或以为对角线，当点F在线段的延长线上，以为边或以为对角线，作出适当的图形，结合菱形的性质，即可解题．
解：（1）解：平行四边形中，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设经过D、E两点的直线解析式为：，
把点，代入得：，
解得：，，
∴经过D、E两点的直线解析式为：；
（3）存在；N的坐标为或或或或，理由如下：
当点F在x轴上，
若以为边，如图，
当点F在点C的右侧时，
四边形是菱形，
，
；
当点F在点C的左侧时，
四边形是菱形，
，
；
当点F在点C的左侧时，
四边形是菱形，
，，
，
点与点重合
；
若以AC为对角线，如图，
四边形是菱形，
此时菱形中，，
在中，
，
；
当点F在线段的延长线上，
若以为边，如图，连接，交于点
四边形是菱形，
此时菱形中，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
点在直线上，
在中，，
，
点与点D重合，
；
若以为对角线，由的垂直平分线与平行，则不存在点F使以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形；
综上所述，存在点F使以A，C，F，N为顶点的四边形为菱形，N的坐标为或或或或．
【点拨】本题考查直角坐标系中点的坐标、待定系数法求一次函数解析式、菱形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
（1）点坐标为（________，________）．
（2）在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
（3）若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）存在，点坐标为或
【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
解：（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【点拨】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键．
【考点三】最值与函数综合
【题型5】将军饮马模型
1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线 与两坐标轴分别交于 两点，点 是 的中点， 分别是直线 ， 轴上的动点，则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为的长，然后根据直线的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案．
解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接、、，
由轴对称的性质得：，
周长为，
由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
点为的中点，
，，
点为点关于的对称点，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，即轴，
，
则，
即周长的最小值是，
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、坐标与轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，利用轴对称将周长转化为两定点间的折线段长，利用两点之间线段最短找出最小值是解题关键．
2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，可得由对称得：，，，轴，周长为，当点共线时，周长取得最小值为，再由两点之间距离公式即可求解．
解：如图，作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，
∵直线的解析式为，
∴，当，
解得：，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由对称得：，，
∴，轴，
∴周长为，
∴当点共线时，周长取得最小值为，
而
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数与几何综合，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，两点之间线段最短，轴对称的性质，两点之间距离公式等．
3．（24-25八年级上·重庆·期末）若一次函数的图象与轴，轴分别交于两点．如图1，当时，若点到经过原点的直线的距离的长为，则点到直线的距离的长为 ；如图2，当时，点在线段上，点在线段的延长线上，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定及性质，勾股定理，坐标与图形，作出辅助线是解决本题的关键．
本题①需要先求出，，然后证明和全等，然后即可求解；②先做辅助线，过点作于点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，当在上时， 取得最小值，最小值为的长，然后求出勾股定理，再根据勾股定理求得，即可求解；
解：①当时，，当时，；当时，；
∴，，
∴；
由题意得：，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②过点作于点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，当在上时， 取得最小值，最小值为的长，如图：
∵一次函数的图象与轴，轴分别交于两点，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在中，；
故答案为：；．
【题型6】一次函数性质最值问题
1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小
C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
解：当时，
当时，
当时，随的增大而增大
则由题意可得：
此时在的范围内，的最大值为
当时，随的增大而减小
则由题意可得：
此时在的范围内，的最大值为
故选：．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）对于函数，当时有最大值，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了绝对值的意义和一次函数的增减性，根据绝对值的意义；先得出的最大值为；分两种情况讨论：①，得一次函数，随的增大而增大，可知当时，取得最大值，然后代入计算即可得到的值；②，得一次函数，随的增大而增大，可知当时，取得最大值，然后代入计算即可得到的值，此时最大值为与的最大值为矛盾，舍去．
解：∵
当时，，
当时，，则，符合题意；
分两种情况：
①当时，
∵
∴当时，随的增大而增大，
即当时，取得最大值，
即：，
解得：，此时，符合题意，
②当时，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
即当时，取得最大值，
即：，
解得：，此时最大值为与的最大值为矛盾，舍去
∴或，
故答案为：或．
3．（2021·贵州铜仁·三模）对于实数a，b，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如：，，则关于x的函数为的最大值是 ．
【答案】1
【分析】根据定义先列不等式：2x-3≥-x+3和2x-3≤-x+3，确定其y=min{2x3，-x+3}对应的函数，画图象可知其最大值．
解：由题意得：
，解得：，
当2x-3≥-x+3时，x≥2，
∴当x≥2时，y=min{2x-3，-x+3}=-x+3，
此时该函数的最大值为1；
当2x-3≤-x+3时，x≤2，
∴当x≤2时，y=min{2x-3，-x+3}=2x-3，
此时该函数的最大值为1；
综上所述，y=min{2x-3，-x+3}的最大值是当x=2
所对应的y的值，即y=1，
故答案为 1．
【点拨】本题考查一次函数的性质，理解新定义内容，分情况列出函数解析式并掌握一次函数的性质是解题关键．
【考点四】取值范围与函数综合
【题型7】一次函数性质与取值范围综合
1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数．
（1）当时，则 ；
（2）当时，自变量的负整数值恰好有2个，则的取值范围为 ．
【答案】 1 或
【分析】此题考查了一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，分情况讨论是关键．
（1）将代入解答即可；
（2）分两种情况结合不等式组的解集分别进行解答即可．
解：（1）当时，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
故答案为：1
（2）①当时，随着的增大而增大，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
②当时，随着的增大而减小，
∴当时，可得，
解得，
∵自变量的负整数值恰好有2个，
∴负整数值只能是，
则
解得，
综上可知，的取值范围为或
故答案为：或
2．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）一次函数（k为常数，）的图象过点．
（1） ；
（2）若无解，结合函数的图象，则k的取值范围是 ．
【答案】 且/且
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，求代数式的值，不等式的应用等知识，（1）问中将点代入一次函数解析式是解题的关键；（2）问中理解直线无交点的条件是解题的关键．
（1）将点代入到一次函数中，得到的值，再将其代入到中即可求解；
（2）由（1）知，则，直线恒过点，结合图象，根据方程组无解，可通过斜率和截距离的关系确定的取值范围．
解：（1）将点代入到一次函数中 ，得
，
，
，
故答案为：；
（2）无解，
直线与直线无交点，
由（1）知，
，
将其代入到得，，
当时，
直线恒过点，
如图，
的取值范围为，且，
故答案为：且．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”．例如，为一次函数的“阶和点”．
（1）若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ；
（2）若关于的一次函数的图象有且仅有个阶和点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，
（1）利用待定系数法和“阶和点”的定义即可求解；
（2）利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
解：（1）点是关于的正比例函数的点，
，
．
点到两坐标轴的距离之和等于，
点是关于的正比例函数的“阶和点”，
．
；
故答案为：；
（2）关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
一次函数的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为的正方形有两个交点．
由题意得：，
，
关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，
①如图，当时，
一次函数的图象经过，则，
．
，
．
关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
．
②如图，当时，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
∴综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为．
故答案为：．
【题型8】一次函数与几何性质取值范围综合
1．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，直线的函数表达式为．已知点，点P是线段上一动点（可与点B，D重合），直线（k为常数）经过点P，交于点C．
（1）当时，点C的坐标为 ；
（2）在点P移动的过程中，k的取值范围为 ．
【答案】 且或
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质．
（1）当时，直线的函数表达式为，进而与直线l1的函数表达式联立成方程组，解方程组即可求解；
（2）当直线过点时，将点B的坐标代入函数表达式得：，解得：；当直线过点时，同理可得：，进而求解．
解：（1）当时，直线的函数表达式为，
由，
解得：，
∴．
故答案为：；
（2）令，则，
∴，
∵，
当时，，即直线必过点；
当直线过点时，
将点B的坐标代入函数表达式得：，
解得：；
当直线过点时，
同理可得：；
∵两条直线相交于点C，则，
综上，k的取值范围为：且或．
故答案为：且或．
2．（24-25八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知顶点坐标分别为点、，，l1是过点与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在的内部或边上，则b的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化—对称，数形结合是解题的关键．
求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，求得直线经过点关于直线的对称点时的的值，结合图形即可求解．
解：∵点，是过点与x轴垂直的直线，
∴关于直线的对称点为关于直线的对称点为，
如图，当经过点时，则，
解得，
当直线经过点时，则，解得，
故由图形可知，若直线上存在点，使点关于直线的对称点在的内部或边上，
则的取值范围是．
故答案为：．
3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作于交于，把代入可得直线，设点坐标为，由可得，即得点坐标为，进而得点，点，分别把的坐标代入，求出的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
解：如图，作于交于，
∵直线经过点，
∴，
∴直线，
设点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点坐标为，
∴点，点，
把点代入得，，
解得；
把点代入得，，
解得；
∵点落在矩形的内部（不含边界），
∴，
故答案为：．
【考点五】一次函数与实际应用综合
【题型9】分段函数与实际问题
1．（2025·广东广州·一模）2025年央视春晚的人形机器人凭借其出色的表现迅速走红，成为观众热议的焦点．机器人上舞台前需要进行测试，已知两地相距米，甲、乙两机器人从地同时出发，沿同一直线同向而行至地．甲机器人前4秒钟以米/秒的速度行进，之后速度提升为米/秒；乙机器人始终以2米/秒的速度行进．经过6秒，两机器人同时到达点．
（1）求，两地之间的距离及的值；
（2）分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程（米）与时间（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象；
（3）求两机器人出发多长时间时相距1米？
【答案】（1）s的值为12，a的值为1.5；（2），图象见分析；（3）两机器人出发2秒或5秒时相距1米
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据路程速度时间求出乙在6秒内的行程，即A，B两地之间的距离s的值，根据“甲机器人前4秒钟的行程后2秒的行程A，B两地之间的距离”列关于a的方程并求解即可求得a的值；
（2）根据路程速度时间分别写出前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，并在图中画出其图象即可；
（3）根据路程速度时间写出乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式，再根据图象、按照x不同的取值范围列关于x的方程并求解即可．
解：（1）解：A，B两地之间的距离（米），
根据题意，得，
解得，
∴A，B两地之间的距离s的值为12，a的值为1.5．
（2）解：前4秒时，，
当时，，
则后2秒时，，
∴前4秒和后2秒甲机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
其图象如图所示：
（3）解：乙机器人的行程y（米）与时间x（秒）的函数解析式为，
当时，得，
解得，
当时，得，
解得，
∴两机器人出发2秒或5秒时相距1米．
2．（2025·广东广州·一模）在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）__________米/秒，__________秒；
（2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可）
【答案】（1）4；15；（2）；（3）6秒或秒
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解．
解：（1）解：由题意得气球甲的速度为（米/秒），
（秒．
故答案为：4，15；
（2）解：由图象知，，
气球乙的速度为（米秒），
∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒），
∵（秒），
∴，
设线段所在直线的函数解析式为，
将，代入得：，
解得，
线段所在直线的函数解析式为；
（3）解：如图所示：
由题意，，
设直线所在直线的解析式为，
∴，解得
∴线段所在直线的函数解析式为，
设线段所在直线的函数解析式为，
把，代入，得
，解得，
线段所在直线的函数解析式为；
线段所在直线的函数解析式为，
当时，由题意得，
解得或（舍去）；
当时，由题意得，
解得（舍去）或，
当时，由题意得，
解得（舍去）或（舍去），
综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米．
3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，小时后，一辆货车从A地出发，沿同一路线以80千米小时的速度匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间x（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离是______千米，______；货车返回时的速度是______千米小时；
（2）在整个运输途中，请适当说明巡逻车与货车在货车出发多久时相遇？
【答案】（1），，；（2）巡逻车与货车在货车出发小时或小时时相遇
【分析】（1）根据货车从地到地花了小时结合“路程速度时间”即可求出，两地之间的距离；根据货车装货花了分钟即可求出的值；利用“速度路程时间”即可求出货车返回时的速度；
（2）先求出巡逻车的速度，然后求出货车出发时巡逻车行驶的路程，于是可得点坐标，设巡逻车对应的函数表达式为，将，两点坐标代入，得二元一次方程组，解方程组即可求出与的值，进而可得巡逻车对应的函数表达式，同理可求得线段所在直线的函数表达式和线段所在直线的函数表达式，进而可得货车对应的函数表达式，将巡逻车对应的函数表达式与货车对应的函数表达式联立，通过解一元一次方程，即可求出巡逻车与货车的相遇时间．
解：（1）解：（千米），
，两地之间的距离是千米，
货车到达地填装货物耗时分钟，
，
（千米小时），
故答案为：，，；
（2）解：由题意可得，巡逻车的速度为：
（千米小时），
货车出发时，巡逻车行驶的路程为：
（千米），
，，
设巡逻车对应的函数表达式为，
将，两点坐标代入，得：
，
解得：，
巡逻车对应的函数表达式为，
，，，，
同理，可求得线段所在直线的函数表达式为，线段所在直线的函数表达式为，
货车对应的函数表达式为，
当时，根据题意可得：，
解得：，
当时，根据题意可得：，
解得：，
综上所述，巡逻车与货车在货车出发小时或小时时相遇．
【点拨】本题主要考查了一次函数的实际应用（行程问题），从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的实际应用（行程问题）等知识点，读懂函数图象并从中获取正确信息是解题的关键．
【题型10】一次函数与几何建模型综合
1．（23-24八年级上·山西运城·期末）已知：如图，直线分别与轴，轴交于、两点，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解．由题意由题意知的点，点，也可知点，设光线分别射在、上的、处，由于光线从点经两次反射后又回到点，反射角等于入射角，则；．由而求得．
解：由题意知的点，点
则点
设光线分别射在、上的、处，由于光线从点经两次反射后又回到点，
根据反射规律，则；．
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，则：
，，
，，，共线，
，
即；
．
故选：A
2．（24-25九年级上·全国·课后作业）学科融合 图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为 ．
【答案】7
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象及性质，作出点C关于对称点，可知的坐标，作直线，，分别求出这两条直线与y轴交点，则点E坐标即在范围内，即可得到整数点的个数，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
3．（2024·广西·三模）【综合与实践】
【问题背景】
如图①，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．
如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置．
【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表：
记录时间
流水时间
0
10
20
30
40
水面高度
30
29
28.1
27
25.8
【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【问题解决】
（1）利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；
（2）利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？
（3）经检验，发现有两组表中观察值不满足（1）中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据（1）中解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．请根据表中数据计算出（1）中得到的函数解析式的w值；
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查一次函数、新定义偏差w的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键．
（1）水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解；
（2）令（1）解析式中，代入求解即可；
（3）根据w的定义代入计算.
解：（1）设水面高度h与流水时间t的函数解析式为，
时，；时，；
，
解得：，
水面高度h与流水时间t的函数解析式为；
（2）将代入解析式得：
解得：
又初始时间为
水面高度为时的时间是
（3）根据（1）中解析式求出所对应的函数值
t
0
10
20
30
40
30
29
28
27
26
根据w的定义得：
．
【考点六】一次函数拓展探究问题
【题型11】一次函数图象与性质拓展探究
1．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）［了解概念］
对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为．
［理解运用］
已知一次函数，
（1）这个一次函数的相关函数是
（2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则
（3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围．
［拓展提升］
在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）；拓展提升：当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点．
【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交，正确的理解题意是解题的关键．
（1）根据关联函数的定义求解即可；
（2）根据“相关函数”的定义，分两种情况：当时，当时，将代入函数解析式求解即可；
（3）作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，根据“相关函数”的定义表示出点、的坐标，进而表示出，即可求解；
拓展提升：先求出线段的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论．
解：（1）一次函数的相关函数是，
故答案为：；
（2）点在一次函数的相关函数图像上，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
或，
故答案为：或；
（3）如图，作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，，
图像与轴交于点，
当时，直线才与图象有两个交点，
；
拓展提升：设线段的解析式为，将点、代入得：
，
解得：，
线段的解析式为，
当时，，
线段与 轴 的 交 点 坐 标 为，
当时，联立，
解得：，
要使交点在内，则，
解得：，
当时，联立，
解得：，
要使交点在内，则，
解得：，
当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点．
2．（21-22七年级下·山东烟台·期末）【活动回顾】：
七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数的图象相同，是同一条直线；结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线．
（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）；
（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】：
（3）已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值．
（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数图象和一次函数的图象，如图3所示．请根据图象，判断方程组的解的情况，并说明理由．
【答案】（1）见分析（2）（3，2），（3）4（4）无解，见分析
【分析】（1）首先写出每个二元一次方程的两组解，x为横坐标，y为纵坐标，两点确定一条直线，画出图像即可；
（2）由图可知交点坐标，而交点横坐标即为方程组解中x的值，交点纵坐标即为方程组解中y的值；
（3）将两点的坐标代入方程，列出关于a，b的二元一次方程组，即可求出a，b的值；
（4）①将方程组的两个二元一次方程转化为两个一次函数，而这两个一次函数的k相等，所以两直线平行；②两直线没有交点，故方程组无解．
解：（1）对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像；
对于的图像，任取两组解：，
即可根据画出的图像，图象如图所示：
（2）根据图象可知，两直线的交点坐标为
∴二元一次方程组的解为，
故答案为：，；
（3）将点和点代入二元一次方程，
得，
解方程组，得，
∴；
（4）∵与的k值相等，
∴两直线平行，没有交点，
∴方程组的无解．
方程组无解．
【点拨】本题考查一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标，解题关键是掌握两个一次函数求交点与二元一次方程组的关系．
【题型12】一次函数与几何综合拓展探究
1．（24-25八年级下·全国·期中）李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．
“将军饮马”问题的探究与拓展
八年级三班 李明
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从A地出发到河边l饮马，然后再到B地军营视察，怎样走路径最短？
【数学模型】如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使的值最小．
【问题解决】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求．此时，的值最小，且．
【模型应用】
（1）问题1．如图2，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．
（2）问题2．如图3，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
（3）问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点，点．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值．
【模型迁移】
（4）问题4．如图5，菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，求的最小值．
【答案】（1）米；（2）；（3）见分析，；（4）的最小值为
【分析】（1）问题1．作点A关于直线l的对称点，连接，根据勾股定理计算即可；
（2）问题2．由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是直角的斜边，利用勾股定理即可得出结果；
（3）问题3．作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，利用对称的性质得到，则，于是利用两点之间线段最短可判断P点满足条件；先写出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求得P点坐标；利用两点间的距离公式求出即可；
（4）问题4．过A作，交于P，连接，利用菱形的性质和勾股定理的知识解答即可．
解：（1）问题1：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交于点M，
∴米，
在中，米，米，
（米），
∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米；
（2）问题2：如图，连接，
设与交于点P，
∵四边形是正方形，
∴点B与D关于对称，
∴，
∴最小．
即P在与的交点上时，最小，为的长度．
∵中，，，，
∴．
故答案为：．
（3）问题3．如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求：
利用对称的性质得到，则，的值最小；
A点关于x轴对称的点的坐标为，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴P点坐标为；
的最小值；
（4）问题4．过A作，交于P，连接，
此时线段最小，且，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
设，则，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴，
∴线段的最小值是．
【点拨】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，等腰直角三角形中，，，过点作于点，过点作于点．求证：．
【迁移应用】如图②，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴交于、两点．
（）的长为________，的长为________．
（）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线所对应的函数表达式为________．
【拓展延伸】如图③，直线：与轴、轴分别交于、两点，若点是第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为正方形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】模型探究：证明见分析；迁移应用：（），；（）；拓展延伸：存在，点的坐标为或或．
【分析】模型探究：利用余角性质可得，再由即可证明；
迁移应用：（）分别把和代入函数解析式计算即可求解；（）过点作，交直线于点，过点作轴于点，由旋转可得，可得为等腰直角三角形，得到，同理可得，进而得到，再利用待定系数法即可求解；
拓展延伸：由函数解析式可得，，再根据题意画出图形，分三种情况解答即可求解；
解：模型探究：∵于点，于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
迁移应用：（）把代入得，，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
故答案为：，；
（）过点作，交直线于点，过点作轴于点，则，
由旋转可得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理模型探究可得，
∴，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线所对应的函数表达式为，
故答案为：；
拓展延伸：存在．
对于，当，；当，，
∴，，
①当为正方形的一边时，如图，分别过作轴于，轴于，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
同理可得，
∴，，
∴,
∴，
同理得；
②当为正方形的一边时，此时点的坐标就是①中点的坐标，点为①中的点，即点的坐标为
③当为正方形的对角线时，如图，过点作轴垂线，垂足为点，过作于点，则，
同理可证，
∴，，
设，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，点的坐标为或或．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
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