专题19.13 一次函数与几何综合（4大题型12类题型）（题型梳理与分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
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内容正文：
专题19.13 一次函数与几何综合（4大题型12类题型）（题型梳理与分类讲解）
一次函数与几何综合是初中数学的重要内容，通常结合函数图象、平面直角坐标系、几何图形的性质进行考查，本专题梳理出以下考点和题型，供参考使用！
第一部分 题型与题型目录
【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型
【题型1】求几何图形中点的坐标......................................................1;
【题型2】一次函数与平移、平行、垂直位置关系........................................5；
【题型3】一次函数与图形面积........................................................8；
【考点二】一次函数与动态几何结合
【题型4】一次函数与动点问题.......................................................12；
【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题）...........................................15；
【题型6】一次函数与平移问题.......................................................18；
【题型7】一次函数与旋转问题.......................................................21；
【考点三】一次函数与特殊几何图形结合
【题型8】一次函数与特殊三角形.....................................................26；
【题型9】一次函数与平行四边形.....................................................30；
【题型10】一次函数与特殊平行四边形................................................34；
【考点四】一次函数与最值问题
【题型11】利用函数性质求最值问题..................................................40；
【题型12】利用将军饮马求最值问题..................................................42；
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型
【题型1】求几何图形点的坐标
【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线：与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是．
（1）求直线l的函数表达式和点B的坐标．
（2）如图，点P在第一象限，若是等腰直角三角形且，求点P的坐标．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）将点的坐标代入直线解析式中可求出值，从而得出结论；
（2）过点作轴于，由是等腰直角三角形且，可得，由等角的余角相等，可得，根据全等三角形的性质即可得出，，即可得点的坐标．
解：（1）解：把点的坐标是代入直线：，得，
直线：，
令，，
即；
（2）如图：过点作轴于，
，
，
是等腰直角三角形且，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为．
【点拨】本题考查了待定系数法、一次函数的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．
【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键．
利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可．
解：设直线的解析式为，
∵，，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，
∴，
．
故选C．
【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为．
（1）如图，当时，点的坐标为 ；
（2）若两点之间距离为2，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式以及交点坐标，当时，求解，结合可得，可得直线为，再求解交点坐标即可；求解，，，，利用，，再建立方程组求解即可．
解：（1）当时，直线为：，
当时，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
解得：，
∴；
故答案为：；
（2）∵直线：，直线：，
同理可得：，，，，
∵，，
∴，
解得：或；
故答案为：或．
【题型2】一次函数与平移、平行、垂直关系
【例2】（24-25七年级上·山东威海·期末）规定：①若两条直线，平行，则，；
②若两条直线，垂直，则；
③点到直线的距离．
如图所示，已知直线与轴轴分别交于点，，分别交轴轴于点，，且点坐标为．
（1）点坐标______；点到直线的距离为______；
（2）若直线于点，交轴与点，求解析式．
【答案】（1），；（2）
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等知识，读懂题意是解题的关键．
（1）由题意可设直线为，代入点C的坐标求出直线的解析式，进一步求出点坐标，根据题意利用公式直接求出点到直线的距离即可；
（2）根据题意可设直线为，代入点C的坐标求出即可．
解：（1）解：∵，直线
∴可设直线：，
把点坐标代入得到，，
解得，
∴直线：，
当时，，
∴点的坐标为，
根据题意可得，点到直线的距离为，
故答案为：，
（2）∵直线于点，直线
∴可设直线为，
把点坐标代入得到，，
∴
∴解析式为．
【变式1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得．
解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为，
∴，
又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，
∴，
设这个正比例函数的表达式为，
将点代入得：，
解得，
则这个正比例函数的表达式为，
故选：A．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平移的性质及求一次函数的值，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，确定，再由题意确定当时，，即可求解．
解：∵平行四边形的边在x轴上，，
∴，
∴，
∵将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，
∴当时，，
∴，
故答案为：5．
【题型3】一次函数与图形面积
【例1】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）6．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线的解析式为，联立两直线解析式得，求解即可；
（2）求出点B、D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可求解．
解：（1）解：∵直线交x轴于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立两直线解析式得，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵直线与y轴交于点B，
当时，，
∴点B的坐标为，
∵直线与y轴交于点D，
当时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∴．
【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）
A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变
【答案】A
【分析】过点P作于点T，设的解析式为，把分别代入解析式，解方程组计算即可得解析式，与的图象比较，不难发现二直线不平行，故两直线间的距离不相等，根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化，由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小，解答即可．
解：过点P作于点T，
∵直线经过点，
∴，
解得，
故直线的解析式为．
∵，
∴直线与二直线不平行，故两直线间的距离不相等，
根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化，
由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小，
故选：A．
【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键．
根据点的运动，函数图形的信息可得，当点运动到点时，，即，则，当点从点运动到点时，的面积是，可得，根据长方形的周长计算公式即可求解．
解：点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，
当点运动到点时，，即，
∴，
∴，
当点从点运动到点时，的面积是，
∴，
解得，，
∴长方形的周长为，
故答案为： ．
【考点二】一次函数与动态几何结合
【题型4】一次函数与动点问题
【例4】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的解析式．
（2）如图，直线与轴交于点，若点是轴左侧直线上一动点，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键．
（1）将代入直线得出，再利用待定系数法计算即可得解；
（2）求出，，得到，设，根据，计算即可得解．
解：（1）解：将代入直线得，
解得：，即，
将，代入直线得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，当时，，即，
在中，当时，，即，
∴，
∵点是轴左侧直线上一动点，且满足，
∴设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，M是的中点，N是的中点，动点P以1单位/秒的速度沿的折线路径匀速移动，设P点的移动时间为t，的面积是S，则下列图象能大致反映S与t的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出，，得出，，根据勾股定理求出，根据中点定义和中位线性质得出，，，分三种情况：当P在上时，当P 在上时，当P 在 上时，分析得出S与t的函数关系，逐项进行判断即可．
解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，，
根据勾股定理得：，
∵ M、N分别是、的中点，
∴，，，
当P在上时，t的取值范围为，的面积逐渐变大，即S值变大；
当P 在上时，t的取值范围为，的面积不变，且此时面积值为，此时；
当P 在 上时，t的取值范围为，的面积变小，S值变小；
综上分析可知：符合条件的S与t的函数图象为B选项中的图象．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，一次函数的图象和性质，勾股定理，中位线性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
【变式2】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知直线，直线，与相交于点．
（1）若，则的取值范围是 ；
（2）若点为轴上一动点，过点作轴的垂线分别交和于点，．当时，的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查两直线相交或平行问题．
（1）联立两直线解析式得到关于x、y的方程组，解之即可得点的坐标；求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得；
（2）根据题意表示出E、F的坐标，得到关于m的方程，解之可得答案．
解：（1）根据题意，得：，
解得：，
∴点P的坐标为，
在直线中，令，解得，
由图象可知：若，x的取值范围是，
故答案为：；
（2）由题意可知，，
∵，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题）
【例5】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为．
（1）求三角形面积；
（2）求的函数表达式．
【答案】（1）6；（2）．
【分析】（1）设点的坐标为，根据勾股定理求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）根据勾股定理得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式．
解：（1）解：点的坐标为，四边形为矩形，
，，
设点的坐标为，
，
，，
在中，，
，
解得：，
，
，
三角形面积；
（2）解：由题意可知，，，，
设点的坐标为，则，，
在中，，
即，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得：，
直线的解析式为．
【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键．
【变式1】（23-24七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作于，先求出，的坐标，分别为，，得到的长，可证明，得到，，则，，在中，利用勾股定理得到的方程，解方程求出即可．
解：过作于，如图，
对于直线，
当，得；
当，，
∴，
，，即，，
∴由勾股定理得，，
又坐标平面沿直线折叠，使点刚好落在轴上，
平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
，则，
，
，
在中，，
，解得，
点的坐标为．
故选：B．
【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
【题型6】一次函数与平移问题
【例6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
【答案】（1）；（2）yx﹣4；（3）或
【分析】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）由图形平移的性质求解即可；
（2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）由题意可知是等腰直角三角形，则，由此可求P点坐标．
解：（1）解：直线向下平移5个单位，得到，
即，
故答案为：；
（2）解∶令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴B点关于x轴的对称点，
设直线：关于x轴对称的直线解析式为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵点P在x轴上，，，
∴
∴点P在直线的两侧，，
∴或．
【变式1】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可．
解：∵长为3的正方形中，点的坐标为，
∴，，
将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，，
当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D，
当经过点D时，有，解得，；
当经过点B时，有，解得，；
所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是，
故选：B．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平移的性质及求一次函数的值，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，确定，再由题意确定当时，，即可求解．
解：∵平行四边形的边在x轴上，，
∴，
∴，
∵将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，
∴当时，，
∴，
故答案为：5．
【题型7】一次函数与旋转问题
【例7】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E．
（1）直接写出A、C的坐标；
（2）写出直线的解析式；
（3）若与的面积相等，求点E的坐标．
【答案】（1）、；（2）；（3）
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键．
（1）根据，求解即可；
（2）用待定系数法即可求出直线的解析式；
（3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标．
解：（1）解：∵，，
∴，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵点E在线段上，
∴点E在第一象限，且，
∴
∴
把代入直线的解析式得：
∴
∴．
【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标．
解：∵，，
∴，，．
设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为；
∵，
∴，
即，
∵点E在线段上，
∴点E在第一象限，且，
∴
∴
把代入直线的解析式得：
∴
设直线的解析式是：，
∵ 代入得：
解得：
∴直线的解析式为
令，则
∴D的坐标为
故选A．
【变式2】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为中心，把点按逆时针方向旋转得到点，若点的横坐标为，在，，，四个点中，直线经过的点是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是求出点的坐标．过点作轴于点，根据旋转的性质可得，，进而推出，结合勾股定理可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后一次将四个点代入直线的解析式中即可求解．
解：如图，过点作轴于点，
点，点，
轴，，
由旋转得：，，
，
，，
，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
点在直线上，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
点不在直线上，
故答案为：．
【考点三】一次函数与特殊几何图形结合
【题型8】一次函数与特殊三角形
【例8】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为
（1）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
（2）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）利用一次函数的知识求出点、的坐标，根据题意可得，得到点与点重合，即可求解；
（2）根据题意，分2种情况讨论：①；②，分别求解即可．
解：（1）解：令，则，
，
令，则，解得：，
，
是以为斜边的直角三角形，
，
点与点重合，
，
，
当时，是以为斜边的直角三角形．
（2）解：由（1）得，，，
，
是以为腰的等腰三角形，
或，
①当时，；
②当时，
，，
，
，
；
综上所述，当或时，是以为腰的等腰三角形．
【变式1】（21-22九年级下·宁夏银川·自主招生）已知等腰三角形周长是10，底边长y是腰长x函数，则下列图象中，能对的反映y与x之间函数关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后选择即可．
解：由题意得，，
所以，，
由三角形的三边关系得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
正确反映与之间函数关系的图象是D选项图象．
故选：D．
【变式2】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线L：y＝分别与x、y轴交于M、N两点，若在x轴上存在一点P，使是以为底的等腰三角形，则点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，根据是以为底的等腰三角形，得到，利用勾股定理求得，进而求得，即可得到的坐标，掌握相关知识是解题的关键．
解：如图：
∵直线：分别与、轴交于、两点，
令，得，
解得：，
令，得，
∴， ，
是以为底的等腰三角形，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
【题型9】一次函数与平行四边形
【例9】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，，
（1）求各点的坐标．
（2）若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标．
【答案】（1），，，；（2）
【分析】（）由直角三角形的性质可得，，由勾股定理得到，即可得到的坐标，再利用直角三角形的性质得到，可得，即可得到点的坐标，最后根据平行四边形的性质可得点的坐标；
（）由角平分线和平行四边形的性质可得，，即得，得到，进而得，利用待定系数法求出直线和直线的函数解析式，联立方程组即可求解．
解：（1）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴；
（2）解：如图，为的角平分线，则，
∵四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
设直线的函数解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的函数解析式为，
由，解得，
∴．
【点拨】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，待定系数法求一次函数，一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
【变式1】（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，四边形为正方形，点C的坐标是，点A的坐标是，若直线l把与正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由于正方形与平行四边形均为中心对称图形，故过正方形与平行四边形的对称中心点的直线总可以把各自分成面积相等的两部分，则可以把正方形与平行四边形的组合图形分成面积相等的两部分的直线，必然是过两个对称中心点的连线．先求得正方形与平行四边形的中心点M、N的坐标，然后用待定系数法可以求得直线l的解析式．
解：设平行四边形与正方形的中心为点，则直线就是可以将正方形与平行四边形组成的图形分成面积相等的两部分的直线l．（如图）
∵点C的坐标为，
∴．
又∵四边形为正方形，
∴，
∴点N的坐标为．
由平行四边形OABC的对边相等知，
，
又已知点A的纵坐标为1，
所以点B的纵坐标为3．
点B的坐标为，
因此点M的坐标为．
设直线l的解析式为，
将、代入l的解析式得：
．解得．
∴直线l的解析式为．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形与平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，解题的关键是知晓直线l必经过正方形与平行四边形的对称中心点．
【变式2】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上，、两点的坐标分别为、，点在第一象限，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线与边有交点，则的取值范围是
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平移的性质以及两条直线相交的问题，解题的关键是求解一次函数的解析式．平移后的直线解析式为．根据平行四边形的性质结合点的坐标即可求出点的坐标，再由平移后的直线与边有交点，再求解直线过临界点的解析式，即可得出结论．
解：∵将直线沿轴向右平移个单位．
∴平移后的直线解析式为．
∵四边形为平行四边形，且点，
∴，
∴点．
∵平移后的直线与边有交点，
当直线过，
∴，
解得：，
当直线过，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【题型10】一次函数与特殊平行四边形
【例10】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
（1）分别求出点、、的坐标；
（2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）；（3）或或
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键．
（1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标；
（2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可．
解：（1）根据，解方程组得，得，
分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，．
（2）设，
且，
，
，
，
令直线解析式为，
把，代入得：
，
，
，
直线的函数表达式为．
（3）存在．如图所示：
①当四边形为菱形时，
，得四边形为正方形；
，
即．
②当四边形为菱形时，
得，带入直线的解析式，
得，
．
③当四边形为菱形时，
，
，
综上得点的坐标为或或．
【变式1】（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
①O是的中点； ②点的坐标为
③线段； ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得出，由折叠的性质可得出，由直角三角形可得出可判断①，由勾股定理可判断③，设．则，则，由勾股定理可求出a的值，进一步即可得出点点的坐标为可判断②，求出直线的解析式，以及点E的坐标即可判断④．
解：∵是矩形，
∴，
由折叠的性质可得出，
在中，，
∴，
故O不是的中点，即①错误，
∵在矩形纸片中，，
∴，
由折叠性质可知，，
在中，，故③正确，
∴，
设．则．
在中， ，
即，
解得：，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为：故②正确．
∵，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴．
∴，，
∴故④正确，
综上②③④正确，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数的解析式，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用．掌握这些性质是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P在直线上，点Q在平面直角坐标系内，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，则P点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与图形，菱形性质等知识，先求得点A、B的坐标，然后根据菱形性质可得，进而求解，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解此题的关键．
解：当时，，
，
当时，，
解得：，
，
设，
以点A，B，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
即：，
，
解得：，
，
故答案为：．
【考点四】一次函数与最值问题
【题型11】利用函数性质求最值问题
【例11】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组．
（1）若，求的值；
（2）若均为非负数，求的取值范围；
（3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）的最大值，的最小值
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，整式的加减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先求出，得到，求解即可；
（2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案；
（3）求出，根据一次函数的性质求得的最大值，的最小值．
解：（1）解：关于的二元一次方程组，
将①＋②，得，
，
，
；
（2）解：解关于的二元一次方程组，得
均为非负数，
，且，
的取值范围为；
（3）解：，
，
∵，
随着的增大而增大，
，
的最大值，的最小值．
【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种．
解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m，
由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示，
∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值，
联立两直线解析式：，
解得，
把代入或解析式求得．
故选：C．
【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据一次函数的图象不经过第三象限得，，所以随的增大而减小，故当时，取最大值，当时，取最小值，再根据的最大值与最小值的差为，列出等式，解出的值即可．
解：一次函数的图象不经过第三象限，
，，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
解得：，
故答案为：．
【题型12】利用将军饮马求最值问题
【例12】（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点．
（1）当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；
（2）当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或或；（2）存在，，5
【分析】（1）分别以点Ａ为圆心，以为半径画弧，以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，二弧与ｘ轴的交点就是所求，根据等腰三角形的性质，坐标与线段的关系解答即可；
（2）根据点，，得到，结合，得当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
解：（1）解：∵点，，
∴，
∴，
如图，以点Ａ为圆心，以为半径画弧，交x轴于点C，
此时，，
∴，
∵点C在x轴的负半轴，
∴；
以点Ｂ为圆心，以为半径画弧，与x轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
综上所述，符合题意的点C为或或．
（2）解：根据点，，
故，
∵，
∴当A，B，C三点共线时，的值最小，此时点C与点B重合解答即可．
故，此时，
故时，的值最小，且最小值为5．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，勾股定理，坐标与线段的关系，熟练掌握等腰三角形的定义，勾股定理，两点间距离公式是解题的关键．
【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、勾股定理、最短路径问题，先求得该直线的解析式为，进而求得和，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时的周长取最小值，利用两点坐标距离公式求得即可．
解：将点代入直线，
可得，解得，
该直线的解析式为，
将点代入直线，
可得，
，
，
如图，作点A关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，
则，
由轴对称的性质可得，
的周长，
此时的周长取最小值，
，
，
的周长取最小值为．
故选：A．
【变式2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点关于直线的对称点为点D．连接交y轴于点E，点P为直线上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，，设交于Q，设，根据中点坐标公式求出，代入可求出，然后根据得出，解方程求出a的值，然后根据待定系数法求出直线的解析式，则可求点E的坐标，根据勾股定理求出，根据垂线段最短知：当时，最小，最小值即为，然后根据等面积法求解即可．
解：连接，，设交于Q，
则垂直平分，
∴点Q是的中点，，
令，则，
解得，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
解得，（舍去），
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵点P为直线上一动点，
∴当时，最小，最小值即为，
∵，
∴，
解得，
即的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数图像上点的特征，待定系数法，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识，根据轴对称性、勾股定理等求出点D的坐标是解题的关键．
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专题19.13 一次函数与几何综合（4大题型12类题型）（题型梳理与分类讲解）
一次函数与几何综合是初中数学的重要内容，通常结合函数图象、平面直角坐标系、几何图形的性质进行考查，本专题梳理出以下考点和题型，供参考使用！
第一部分 题型与题型目录
【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型
【题型1】求几何图形中点的坐标......................................................1;
【题型2】一次函数与平移、平行、垂直位置关系........................................2；
【题型3】一次函数与图形面积........................................................4；
【考点二】一次函数与动态几何结合
【题型4】一次函数与动点问题........................................................5；
【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题）............................................6；
【题型6】一次函数与平移问题........................................................7；
【题型7】一次函数与旋转问题........................................................8；
【考点三】一次函数与特殊几何图形结合
【题型8】一次函数与特殊三角形......................................................9；
【题型9】一次函数与平行四边形.....................................................10；
【题型10】一次函数与特殊平行四边形................................................11；
【考点四】一次函数与最值问题
【题型11】利用函数性质求最值问题..................................................12；
【题型12】利用将军饮马求最值问题..................................................12；
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】一次函数与几何图形结合的基本题型
【题型1】求几何图形点的坐标
【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线：与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是．
（1）求直线l的函数表达式和点B的坐标．
（2）如图，点P在第一象限，若是等腰直角三角形且，求点P的坐标．
【变式1】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）直线与轴、轴分别相交于点、，直线与轴、轴分别相交于点、，两直线交点为．
（1）如图，当时，点的坐标为 ；
（2）若两点之间距离为2，则 ．
【题型2】一次函数与平移、平行、垂直关系
【例2】（24-25七年级上·山东威海·期末）规定：①若两条直线，平行，则，；
②若两条直线，垂直，则；
③点到直线的距离．
如图所示，已知直线与轴轴分别交于点，，分别交轴轴于点，，且点坐标为．
（1）点坐标______；点到直线的距离为______；
（2）若直线于点，交轴与点，求解析式．
【变式1】（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ．
【题型3】一次函数与图形面积
【例1】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求的面积．
【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ）
A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变
【变式2】（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为 ．
【考点二】一次函数与动态几何结合
【题型4】一次函数与动点问题
【例4】（24-25八年级下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的解析式．
（2）如图，直线与轴交于点，若点是轴左侧直线上一动点，且满足，求点的坐标．
【变式1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点，M是的中点，N是的中点，动点P以1单位/秒的速度沿的折线路径匀速移动，设P点的移动时间为t，的面积是S，则下列图象能大致反映S与t的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25八年级上·安徽滁州·期末）如图，已知直线，直线，与相交于点．
（1）若，则的取值范围是 ；
（2）若点为轴上一动点，过点作轴的垂线分别交和于点，．当时，的值为 ．
【题型5】一次函数与对称变换（折叠问题）
【例5】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，在直角坐标系中，长方形纸片的边，点坐标为，若把图形按如图所示折叠，使、两点重合，折痕为．
（1）求三角形面积；
（2）求的函数表达式．
【变式1】（23-24七年级上·山东泰安·期末）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点是y轴正半轴上一点．把坐标平面沿直线折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】一次函数与平移问题
【例6】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
【变式1】（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ．
【题型7】一次函数与旋转问题
【例7】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E．
（1）直接写出A、C的坐标；
（2）写出直线的解析式；
（3）若与的面积相等，求点E的坐标．
【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为中心，把点按逆时针方向旋转得到点，若点的横坐标为，在，，，四个点中，直线经过的点是 ．
【考点三】一次函数与特殊几何图形结合
【题型8】一次函数与特殊三角形
【例8】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，点从点出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为
（1）当为何值时，是以为斜边的直角三角形？
（2）当为何值时，是以为腰的等腰三角形？
【变式1】（21-22九年级下·宁夏银川·自主招生）已知等腰三角形周长是10，底边长y是腰长x函数，则下列图象中，能对的反映y与x之间函数关系图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，直线L：y＝分别与x、y轴交于M、N两点，若在x轴上存在一点P，使是以为底的等腰三角形，则点P的坐标是 ．
【题型9】一次函数与平行四边形
【例9】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，，
（1）求各点的坐标．
（2）若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标．
【变式1】（22-23八年级下·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，四边形为正方形，点C的坐标是，点A的坐标是，若直线l把与正方形组成的图形分成面积相等的两部分，则直线l的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上，、两点的坐标分别为、，点在第一象限，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线与边有交点，则的取值范围是
【题型10】一次函数与特殊平行四边形
【例10】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．
（1）分别求出点、、的坐标；
（2）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接．将纸片沿折叠，使点C恰好落在边上的点处，交y轴于点E，若，，则下列结论正确的个数为（ ）
①O是的中点； ②点的坐标为
③线段； ④
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（23-24九年级上·辽宁阜新·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P在直线上，点Q在平面直角坐标系内，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，则P点坐标为 ．
【考点四】一次函数与最值问题
【题型11】利用函数性质求最值问题
【例11】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组．
（1）若，求的值；
（2）若均为非负数，求的取值范围；
（3）已知，在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
【题型12】利用将军饮马求最值问题
【例12】（24-25八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C是x轴上的一个动点．
（1）当是以为腰的等腰三角形时，求点C的坐标；
（2）当点C在x轴上运动时，是否存在一点C，使得的值最小？若存在，求出此时点C的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点关于直线的对称点为点D．连接交y轴于点E，点P为直线上一动点，则的最小值为 ．
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