专题19.12 一次函数（12大考点）（中考常考点分类专题）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题19.12 一次函数（12大考点）（中考常考点分类专题） 第一部分 考点目录 【考点1】函数自变量取值范围.........................................................1; 【考点2】函数图象中获取信息.........................................................1； 【考点3】一次函数图象的位置.........................................................3； 【考点4】一次函数图象的平移.........................................................3； 【考点5】一次函数图象的增减性.......................................................4； 【考点6】比较一次函数的大小.........................................................4； 【考点7】求一次函数的解析式.........................................................5； 【考点8】一次函数与方程不等式.......................................................6； 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点...................................................7； 【考点10】一次函数与面积............................................................7； 【考点11】一次函数的应用............................................................8； 【考点12】一次函数与几何综合........................................................9； 第二部分【考点展示与方法点拨】 【考点1】函数自变量取值范围 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 【考点2】函数图象中获取信息 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．    【变式1】（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热后，冰块开始熔化 C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D．冰块熔化过程持续了 【变式3】（2025·河北石家庄·一模）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图-1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点的运动时间的关系如图-2所示，以下结论：①；②；③点从点运动到点需要，正确的结论是（   ） A．③ B．①② C．①③ D．②③ 【考点3】一次函数图象的位置 【例3】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西西安·三模）点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·期中）已知，且，则关于自变量x的一次函数的图象一定经过第 象限． 【考点4】一次函数图象的平移 【例4】（2023·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将直线向右平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m 的值为（     ） A． B．3 C．6 D． 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点5】一次函数图象的增减性 【例5】（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【考点6】比较一次函数的大小 【例6】（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）若一次函数的图象经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【考点7】求一次函数的解析式 【例7】（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是（   ） A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1） 【变式1】（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）正方形，，，，按如图所示的方式放置、点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是 ． 【考点8】一次函数与方程不等式 【例8】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【变式1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为 ． 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点 【例9】（2023·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）直线与直线之间的距离是（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是 【考点10】一次函数与面积 【例11】（2021·广西梧州·中考真题）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝ ． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为 ． 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（    ）    A． B． C．12 D．16 【考点11】一次函数的应用 【例11】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【变式1】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    【考点12】一次函数与几何综合 【例12】（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为 . 【变式2】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.12 一次函数（12大考点）（中考常考点分类专题） 第一部分 考点目录 【考点1】函数自变量取值范围.........................................................1; 【考点2】函数图象中获取信息.........................................................2； 【考点3】一次函数图象的位置.........................................................5； 【考点4】一次函数图象的平移.........................................................7； 【考点5】一次函数图象的增减性.......................................................9； 【考点6】比较一次函数的大小........................................................11； 【考点7】求一次函数的解析式........................................................13； 【考点8】一次函数与方程不等式......................................................16； 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点..................................................19； 【考点10】一次函数与面积...........................................................22； 【考点11】一次函数的应用...........................................................25； 【考点12】一次函数与几何综合.......................................................28； 第二部分【考点展示与方法点拨】 【考点1】函数自变量取值范围 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据，二次根式有意义以及分式有意义的条件，进行求解即可． 解：由题意，得：，解得：且； 故答案为：且． 【变式2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．设宽增加了米，依题意有，则，则，再求出定义域即可． 解：设宽增加了米， 依题意有， 则， ， ， ． ，解得， 定义域为， 故答案为：， 【考点2】函数图象中获取信息 【例2】（2024·四川资阳·中考真题）小王前往距家2000米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．    【答案】5 【分析】本题考查了函数图象的识别，解题的关键是理解题意，读懂图象中每条线段蕴含的信息，灵活运用所学知识解决问题． 根据图象求出，进而得出小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间，即可解答． 解：根据题意可得：（米/分）， 小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：（分）， 由图可知，会议开始时间为出发后（分）， ∴若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有（分）， 故答案为：5． 【变式1】（2024·江苏镇江·中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量（单位：L）关于行驶路程（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题． 由图象知甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油，由题意即可得到答案． 解：由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选：B． 【变式2】（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（　　） A．实验开始时，冰块的温度为 B．加热后，冰块开始熔化 C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到 D．冰块熔化过程持续了 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可． 解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为，故A选项说法错误，不符合题意； ∵冰在熔化过程中，温度不变， ∴由图象知， 加热后，冰块开始熔化，故B选项说法错误，不符合题意； ∵加热后，冰块完全熔化， ∴冰的整个熔化过程持续了，故D选项说法错误，不符合题意； 由图象知，第到，用时4分钟，温度升高，平均每分钟升高态，那么冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到，故C选项说法正确，符合题意； 故选：C． 【变式3】（2025·河北石家庄·一模）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图-1所示，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点的运动时间的关系如图-2所示，以下结论：①；②；③点从点运动到点需要，正确的结论是（   ） A．③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查观察函数图象，动点问题和面积结合．根据题意先通过函数图象得到，，再分别利用面积逐一分析判断即可． 解：由题意和函数图象可知：，， 当点与重合时，， ∴，解得：，①正确， 当点与重合时，，解得：，②错误， ∴， ∴， ∵， ∴点从点运动到点需要，③正确， 故选：C． 【考点3】一次函数图象的位置 【例3】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 【变式1】（2025·陕西西安·三模）点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了判断一次函数图象经过的象限，根据一次函数的增减性求参数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由时，，可知随着的增大而减小，得到的取值范围，然后结合，可知的取值范围，从而判断可能的图象． 解：时，， 即时，， 随着的增大而减小， ， 又， ， 一次函数的图象会经过一、二、四象限． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·四川内江·期中）已知，且，则关于自变量x的一次函数的图象一定经过第 象限． 【答案】一、二 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，因式分解的应用，非负数的性质，正确求出k、m、n的值是解题的关键． 先根据推出，再讨论当时，，当时，，再由得到，利用非负数的性质求出，据此结合一次函数的性质进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，一次函数经过第一、二、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、二象限， 故答案为：一、二． 【考点4】一次函数图象的平移 【例4】（2023·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的平移规律求解即可． 解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得： ， 故选：B． 【点拨】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键． 【变式1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若将直线向右平移3个单位长度后，恰好经过原点，则m 的值为（     ） A． B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像与平移，熟知函数图像平移法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键． 先根据平移规律表示出平移后的解析式，再代入，即可求解． 解：由题意得平移后解析式为：， 将代入得：， 解得：， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可． 解：如图， 当时，， 则， 当时，， 解得：， 则， ∵将沿轴向左平移2个单位得到， ∴直线向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 【考点5】一次函数图象的增减性 【例5】（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一次函数性质得，，，求解即可． 解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． 时， ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键． 一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大， 所以得， 解得，即； 当时，y随x的增大而减小， 所以得， 解得，即． 故答案为：C． 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）已知一次函数和，无论x取何值，始终有，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，根据，列出不等式，求解即可． 解： ， ， 故答案为：． 【考点6】比较一次函数的大小 【例6】（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数的图象和性质即可解决问题． 解： 随的增大而增大， 又点在正比例函数的图象上，且 ． 故选：B 【变式1】（24-25八年级上·山西晋中·期中）若一次函数的图象经过点和点，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先判断出随的增大而减小，再根据一次函数的增减性求解即可得． 解：∵一次函数中的一次项系数， ∴随的增大而减小， 又∵一次函数的图象经过点和点，且， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征， （1）将代入即可得出k的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征得到，根据题意以及一次函数的性质当时，的值最小，代入求得即可． 解：（1）∵直线与直线交于点， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）知直线的表达式为， ∵点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为． 【考点7】求一次函数的解析式 【例7】（2022·山东威海·中考真题）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，则点N的坐标可能是（   ） A．（2，3） B．（3，3） C．（4，2） D．（5，1） 【答案】C 【分析】根据P，Q的坐标求得直线解析式，进而求得过点的解析式，即可求解． 解：∵P，Q的坐标分别为（0，2），（3，0），设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， MN∥PQ， 设的解析式为，， 则， 解得， 的解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故选C 【点拨】本题考查了求一次函数解析式，一次函数平移问题，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．分四种情况：①一次函数的图象恰好经过点，，；②一次函数的图象恰好经过点，，；③一次函数的图象恰好经过点，，；④一次函数的图象恰好经过点，，，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得． 解：①设一次函数的图象恰好经过点，，， 将点，代入得：，解得， ∴， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ②设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ③设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ④设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由，可得：， 当时，，即点在一次函数的图象上， 当时，，即点不在一次函数的图象上， 综上，一次函数的图象恰好经过三个点，不经过点； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）正方形，，，，按如图所示的方式放置、点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点，，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，坐标的变化规律等知识点，根据点的坐标总结规律是解题的关键． 首先利用待定系数法求得直线的解析式，求得的坐标，然后根据，，的坐标归纳总结规律得出的坐标即可． 解：∵点，， ∴，， 设直线， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵， ∴， ∴， ， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为：． 【考点8】一次函数与方程不等式 【例8】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 解：（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 【变式1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 解：联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选：D． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法，把不等式的解集理解为当时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断． 解：∵不等式的解是， ∴对于一次函数，当时，， 即当时，一次函数的图象上x的上方． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质，过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，从而得到点A的坐标为，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可解答． 解：过点A作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【考点9】一次函数图象与坐标轴交点 【例9】（2023·四川南充·中考真题）如图，直线（k为常数，）与x，y轴分别交于点A，B，则的值是 ．    【答案】1 【分析】根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【点拨】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）直线与直线之间的距离是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，作出两条直线的图，作直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，过线A作，求出两直线与坐标轴的交点坐标，得到，可得出为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出结果． 解：两条直线如下图，作直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点C，过线A作， 在直线上，当时，， 点， 在直线上，当时，，当时，， ，， ， ，， ， 设， ，即， 解得：，（舍去）， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C是y轴负半轴上一点，点B关于直线的对称点D落在x轴上，则点D的坐标是 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用．利用勾股定理可得，由折叠得，即可得出点D的坐标． 解：把代入得， 把代入得：， 解得：， ∴、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 故答案为：． 【考点10】一次函数与面积 【例11】（2021·广西梧州·中考真题）如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝ ． 【答案】． 【分析】根据题意，分别求出S1，S2，S3，然后找出规律，即可求出S2021的值． 解：根据题意， ∵A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n）， ∴， ， ， …… ∴； ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数的性质，图像的规律问题，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找出规律，得到． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质及一次函数图像上点的坐标特征，得出点在直线和上是解题关键，根据矩形的性质得出，根据轴得出点点、的纵坐标都为，根据直线平分该矩形的面积可得点在直线上，根据矩形为“率矩形”可得点直线的解析式为，列方程可求出的值，即可得答案． 解：∵为矩形， ∴， ∵轴，， ∴点、的纵坐标都为， ∵直线平分该矩形的面积， ∴点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∵矩形为“率矩形”， ∴直线的解析式为，点在直线上， ∴， 解得：， ∴，， ∵，轴， ∴． 故答案为： 【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，直线分别交轴、轴于点、，交线段于点，连接，当直线将的面积分为相等的两部分时，的周长为（    ）    A． B． C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理．根据题意点为的中点，利用中点坐标求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点的坐标，据此求解即可． 解：∵直线将的面积分为相等的两部分， ∴点为的中点， ∴点， ∵， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 【考点11】一次函数的应用 【例11】（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ （2）经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】（1）购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元；（2）方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 【变式1】（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为（元）， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    【答案】 【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可． 解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件， 由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元， 所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元； 设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 将点代人， 解得， 所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为， 当时，， 将时， ∴此时日销售利润为（元）． 故答案为：，． 【点拨】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答． 【考点12】一次函数与几何综合 【例12】（2022·山东聊城·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得． 解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图： ∴，， ∴，此时周长最小， 由得，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵C、D关于AB对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，可得直线DG解析式为， 在中，令得， ∴， 由，得， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， 故选：C． 【点拨】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置． 【变式1】（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为 . 【答案】，或 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及等腰三角形的性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 对点的位置及直角顶点进行分类讨论即可. 解：由题知，设点， 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A右侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点A左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 当，且点在点左侧时， ，解得：， 此时点的坐标为. 综上所述，点的坐标为，或. 故答案为：，或. 【变式2】（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点，点D是矩形边上的一点． （1）如图①，当时，求点D的坐标； （2）如图②，当点D与点A重合时，沿折叠该纸片，得点B的对应点，与x轴交于E点，求点E和点的坐标． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查矩形中的翻折变换及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，再根据余角和含度角的直角三角形的性质得出，然后根据勾股定理求出的值，即可得出答案； （2）过作轴于F，根据矩形的性质及勾股定理得出，再根据折叠的性质和勾股定理即可得出点的坐标，设，则，再次利用勾股定理即可得出答案． 解：（1），四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）过作轴于F，如图： ，四边形OABC是矩形， ，， ， ， 点D与点A重合时，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点， ，， ，， ，， ， ， ； 设，则， ， ， 解得， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$