专题19.11 一次函数（8大知识点7大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
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内容正文：
专题19.11 一次函数（8大知识点7大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识梳理与题型目录】
【知识点1】函数的有关概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
（3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法.
（4）自变量的取值范围：
整式函数的自变量取值范围是全体实数；
分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数.
易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是.
（5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象.
（6）画图象的步骤：取值、描点、连线.
【知识点2】一次函数的概念
一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数．
正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数．
【知识点3】一次函数的图象
一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线.
正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线.
【知识点4】一次函数的性质
（1）正比例函数的图象与性质
y=kx
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0
一、三源：学*科*网X
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＜0
二、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
（2）一次函数的图象与性质
y=kx+b
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0，b＞0
一、二、三
从左向右上升[来源：学科网ZXXK]
y随着x的增大而增大
k＞0，b＜0
一、三、四
k＜0，b＞0
一、二、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
k＜0，b＜0
二、三、四
（3）一次函数的图象与k、b之间的联系
①b决定直线与y轴的交点位置
时，直线交y轴于正半轴；
时，直线交y轴于负半轴；
时，直线经过原点.
②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小.
③越大，直线越陡.
【知识点5】确定一次函数表达式
（1）待定系数法
步骤：设：设函数表达式为；
代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型
①已知两点确定表达式；
②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
【知识点6】图象的平移
一次函数向左平移m个单位后的解析式为；
一次函数向右平移m个单位后的解析式为；
一次函数向上平移m个单位后的解析式为；
一次函数向上平移m个单位后的解析式为.
平移规律：左加右减，上加下减.
【知识点7】两条直线间的位置关系
设直线，.
（1）相交；（2）平行；（3）垂直.
补充：若直线经过，两点，则.
【知识点8】一次函数的应用
利用一次函数解决实际问题的步骤：
审—仔细审题理解题意；
找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系；
列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围；
解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程；
验—检验结果，得出符合实际的结论.
考点与题型目录
【考点一】函数
【题型1】函数概念................................................................4;
【题型2】函数解析式自变量取值范围................................................5；
【题型3】函数图象................................................................7；
【考点二】正比例函数
【题型3】正比例函数的图象与性质.................................................10；
【题型4】正比例函数与几何综合...................................................12；
【考点三】一次函数图象
【题型5】一次函数图象的位置.....................................................14；
【题型6】一次函数图象的位置求参数取值范围........................................16；
【题型7】一次函数图象的平移（行）与对称..........................................18；
【题型8】一次函数图象的与坐标轴交点坐标..........................................21；
【考点四】求一次函数的解析式
【题型9】求一次函数的解析式......................................................23；
【考点五】一次函数性质
【题型10】判断一次函数的增减性...................................................26；
【题型11】一次函数的增减性求参数取值范围.........................................28；
【题型12】比较一次函数值或自变量的大小...........................................30；
【考点六】一次函数与方程、不等式
【题型13】一次函数与方程（组）...................................................32;
【题型14】一次函数与不等式.......................................................36;
【考点七】一次函数的应用
【题型15】行程问题...............................................................39；
【题型16】经济问题...............................................................43.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】函数
【题型1】函数概念
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号）
①；②；③；④； ⑤；⑥．
【答案】②③
【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案．
解：根据题意得①、④、⑤和⑥满足取一个x的值，有唯一确定的y值和它对应，y是x的函数，而②和③对一个x的值，与之对应的可能有两个y的值，故②和③y不是x的函数，
故答案为：②③．
【变式1】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念即可解答．
解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意
故选：D．
【点拨】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了函数的有关概念，根据函数的概念逐一判断即可，正确理解函数的概念是解题的关键．
解：是自变量，是因变量，故该说法正确；
值随值的变化而变化，故该说法正确；
是变量，随值的变化而变化，故该说法错误；
用关系式表示的可以用表格表示，故该说法错误；
与的关系还可以用列表法和图象法表示，故该说法正确，
综上所述：正确，错误，
故选：．
【题型2】函数解析式及自变量取值范围
【例2】（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标为时，试求的面积；
（2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查列函数关系式，坐标与图形；
（1）直接运用面积公式即可求解；
（2）运用面积公式，将，代入即可，运用第一象限上点的特征，求出自变量的取值范围．
解：（1）解：当时，，
，
（2）点在第一象限，
，，
，
综上，，
【变式1】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可．
解：由题可得：，，
解得：且，
故选：D．
【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为 ，定义域是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，一元一次不等式组的解法，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式．
解：由题意得：
可得：，
∵，
解得：，
故答案为：，．
【题型3】函数图象
【例3】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人驾驶小汽车沿同一线路从长沙出发去郴州东江湖景区游玩，在整个行驶过程中，甲、乙离开长沙的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
（1）甲车用了______小时到达东江湖景区；
（2）乙车行驶的速度是______；
（3）乙车追上甲车时，他们和长沙的距离是 千米．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了函数的图象以及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象可知甲车用了小时到达东江湖景区；
（2）根据函数图象可知乙车用了小时到达东江湖景区，再用路程除以速度即可得解；
（3）设乙车出发后小时追上甲车，根据追上时甲、乙离开长沙的距离相等，列出方程，解出的值，再乘以乙车的速度即可得解．
解：（1）解：根据函数图象可知甲车用了小时到达东江湖景区，
故答案为：；
（2）解：根据函数图象可知乙车用了小时到达东江湖景区，
乙车行驶的速度是：，
故答案为：；
（3）解：设乙车出发后小时追上甲车，根据题意得：
，
解得：，
乙车出发后小时追上甲车，此时他们离开城的距离是：，
故答案为：．
【变式1】（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．实验开始时，冰块的温度为
B．加热后，冰块开始熔化
C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到
D．冰块熔化过程持续了
【答案】C
【分析】本题考查函数的图象，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．根据图象中的数据逐项分析求解即可．
解：由图可知，实验开始时，冰块的温度为，故A选项说法错误，不符合题意；
∵冰在熔化过程中，温度不变，
∴由图象知， 加热后，冰块开始熔化，故B选项说法错误，不符合题意；
∵加热后，冰块完全熔化，
∴冰的整个熔化过程持续了，故D选项说法错误，不符合题意；
由图象知，第到，用时4分钟，温度升高，平均每分钟升高态，那么冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到，故C选项说法正确，符合题意；
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．从图（）看，当时，点在点处，即，的最小值为，即；在中，，则，进而求解．
解：过点作于点，
∵，
故，
从图（）看，当时，点在点处，即，
从图（）看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为，即，
在中，，则，
故；
的面积为，
故答案为：．
【考点二】正比例函数
【题型3】正比例函数的图象与性质
【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数；．，．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为___________．
【答案】（1）见分析；（2）随的增大直线与轴的夹角越小；（3）
【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键．
（1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象；
（2）比较分析可得答案．
（3）由（2）分析的规律即可判断．
解：（1）解：如图：
（2）解：观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的夹角越小．
（3）解：由（2）规律可知，，
由图可知，
∴
故答案为：．
【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小
C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可．
解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小，
当时，，即点在函数的图象上；
所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确；
故选：A．
【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围．
解：设正比例函数解析式为，
∵、、是正比例函数图象上的三个点，
∴，
两个方程相减得，解得，
∴正比例函数解析式为，
∴正比例函数的值随增大而减小，
当时，，
∵是正比例函数图象上的点，
∴当时，t的取值范围是．
故答案为：．
【题型4】正比例函数与几何综合
【例4】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知正比例函数的图象经过横坐标为的点，过点作轴，垂足为点．
（1）填空：点的坐标是（______，______），的面积为______；
（2）点在轴上，点在第二象限，四边形是平行四边形，求四边形的周长．
【答案】（1），，；（2）四边形是周长为．
【分析】（）将点的横坐标为代入正比例函数解析式即可求出纵坐标，再由点坐标即可求出的面积；
（）根据点的坐标利用勾股定理分别求出长，即可得到平行四边形周长；
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理，平行四边形的周长，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．，
解：（1）解：把代入得，
∴点的坐标为，
的面积为，
故答案为：，，；
（2）如下图，轴于点，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
，
由勾股定理得，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是周长为．
【变式1】（2025·广西玉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解．
解：∵顶点A在直线上，点A的横坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴轴，
∴将点A向右平移10个单位得到点C，
∴点，
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数的图象，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ．
【答案】或
解：在中，，点的坐标为．分两种情况：①若将沿轴向右平移两个单位长度，可得点的坐标为，设正比例函数的解析式为，则，故；②若将沿轴向左平移两个单位长度，可得点的坐标为，设正比例函数的解析式为，则，故．综上可得图象经过点的正比例函数的解析式为或．
【考点三】一次函数图象
【题型5】一次函数图象的位置
【例5】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图像的识别，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题关键．根据题目中各函数图像，分析函数解析式中一次项系数和常数项的正负情况，然后结合函数解析式分析判断即可．
解：A.由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
B. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意；
C. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式满足此条件，本选项正确，符合题意；
D. 由图像可知，两直线应满足和，两直线解析式不满足此条件，本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【变式1】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 观察题中所给选项，根据图象判断a、b的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的a、b的正负一致，即为正确选项．
解：A．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a的取值矛盾，故本选项错误；
B．的图象过第一、二、三象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误；
C．的图象过第一、三、四象限，所以，，的图象过第一、二、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的a、b的正负一致，故本选项正确；
D．的图象过第一、二、四象限，所以，，的图象过第二、三、四象限，由此判断，，由两个图象判断出的b的取值矛盾，故本选项错误；
故选C．
【变式2】（2022九年级上·吉林长春·学业考试）若，，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．根据，，可得，，从而得到 ，进而得到一次函数的图象经过第二、三、四象限，即可求解．
解：∵，
∴，即，
∵，
∴，，
∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，
故选：C．
【题型6】一次函数图象的位置求参数取值范围
【例6】（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象，根据函数图象，可以得到，，，然后即可判断各个选项中的说法是否正确．
解：由图象可得，，，，
A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B错误，不符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后计算时，，将带入函数得，结合一次函数的图象与性质即可得解．
解：函数的图象经过点，
，
，，
当时，，
把带入函数得，，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且一次函数的图象经过第一、二、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程与一次函数的综合，熟练掌握解分式方程的方法以及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
先求出分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得且，再由一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得，从而得到所有满足条件的整数a的值为2，4，5，即可求解．
解：
，
解得：，
∵分式方程的解为正数，
∴且，
∴且，
解得：且，
∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴，
解得：，
∴且，
∴所有满足条件的整数a的值为2，4，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是．
故答案为：
【题型7】一次函数图象的平移（行）与对称
【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
【答案】（1）；（2）yx﹣4；（3）或
【分析】本题考查次一函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）由图形平移的性质求解即可；
（2）求出A、B点坐标，然后求出A、B关于x轴的对称点坐标，由待定系数法求函数解析式即可；
（3）由题意可知是等腰直角三角形，则，由此可求P点坐标．
解：（1）解：直线向下平移5个单位，得到，
即，
故答案为：；
（2）解∶令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴B点关于x轴的对称点，
设直线：关于x轴对称的直线解析式为，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵点P在x轴上，，，
∴
∴点P在直线的两侧，，
∴或．
【变式1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）一次函数的图象向上平移1个单位长度后，与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查函数的平移以及与坐标轴的交点，熟练掌握“上加下减”是解题的关键．根据“上加下减”得到平移后的函数值为：，即可求出与轴的交点坐标．
解：一次函数的图象向上平移1个单位长度后得到，
当时，，
故与轴的交点坐标为．
故选A．
【变式2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是解题的关键．将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函数的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，即，
由题意，得：在一次函数的图象上，
∴，
∴；
故答案为：．
【题型8】一次函数图象的与坐标轴交点坐标
【例8】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则、的应满足的条件为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式等知识点，掌握一次函数图象的性质成为解题的关键．
根据题意得两直线平行，且对任何x的值，直线在直线上方，取得到对应的函数值关系，进而确定n的范围即可．
解：∵无论取何值，始终有，
∴两直线必平行，且直线在直线上方，
∴，
当，则，，
∴，
∴且，即A选项符合题意．
故选：A．
【变式1】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，设直线与坐标轴围成的直角三角形的面积为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求得交点并利用分数的减法进行变形化简是解题的关键．分别令和，求得直线与坐标轴的交点坐标，再分别求得、和的面积，再进行化简计算即可．
解：令，可得，
令，可得，
∴直线与坐标轴的交点为，，
∴，
，
……
，
∴
，
故答案为：．
【变式2】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）6．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出直线的解析式为，联立两直线解析式得，求解即可；
（2）求出点B、D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可求解．
解：（1）解：∵直线交x轴于点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立两直线解析式得，
解得：，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵直线与y轴交于点B，
当时，，
∴点B的坐标为，
∵直线与y轴交于点D，
当时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∴．
【考点四】求一次函数的解析式
【题型9】求一次函数的解析式
【例9】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
（1）该地出租车的起步价是______元；
（2）当时，求关于的函数关系式；
（3）若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查分段函数的实际应用，涉及由图象获取信息、待定系数法确定函数表达式、已知函数值求自变量等，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由图象即可得到答案；
（2）利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；
（3）由题意可知，当时，列方程求解即可得到答案．
解：（1）解：由图象可知，该地出租车的起步价是元，
故答案为：；
（2）解：当时，设关于的函数关系式为，
将、代入得到，
解得，
当时，求关于的函数关系式为；
（3）解：由（1）知起步价为元，
，
由（2）知，当时，求关于的函数关系式为，
当时，，解得，
答：若某乘客一次乘出租车的车费为40元，这位乘客乘车的里程是．
【变式1】（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式，由题意可得，延长交轴于点，证明，得出，即，再利用待定系数法求解即可．
解：∵，
∴，
如图，延长交轴于点，
由题意可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
将代入得：，
解得：，
故选：B．
【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形面积、求函数解析式等知识点，确定点的坐标是解题的关键．先求得，，设点的坐标为，则，再根据的面积等于4求得，即；然后运用待定系数法求解即可．
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
当，则，当，则，
∴，，
设点的坐标为，则，
的面积等于4，
，
解得：或（不合题意，舍弃），
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的表达式为．
故答案为：．
【考点五】一次函数性质
【题型10】判断一次函数的增减性
【例10】（24-25九年级上·黑龙江·期中）已知一次函数，则；
（1）时，图象经过第几象限．
（2）m为何值时，函数图象过点，且y的值随着x值的增大呈怎样的变化趋势？
【答案】（1）经过第一，第三，第四象限；（2）， y的值随着x值的增大呈减小的变化趋势．
【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质．
（1）把代入一次函数解析式，求出一次函数解析式，再根据解析式判断图象经过的象限即可．
（2）把点代入一次函数解析式，求出m的值，求出一次函数解析式，再根据一次函数的图像和性质求解即可．
解：（1）解：当时，，
∵，
∴一次函数图象经过第一，第三，第四象限．
（2）解：∵一次函数经过，
∴，
解得：，
则一次函数为：，
∵，
∴y的值随着x值的增大呈减小的变化趋势．
【变式1】（22-23八年级上·贵州毕节·期中）已知函数．当时，y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质是解题的关键．
先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可．
解：∵在一次函数中，，
∴随的增大而减小．
∵
∴当时，，
当时，，
∴，
故选：A．
【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列四个结论：
①它的图象由直线向下平移3个单位所得．
②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．
④函数有最小值，其中正确结论的序号是 ．
【答案】③④/④③
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，画出函数图象，再根据图象逐一进行判断即可．
解：函数的图象如图所示：
根据函数的图象得：①②是错误的，③④是正确的，
故答案为：③④．
【题型11】一次函数的增减性求参数取值范围
【例11】（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小．
（1）求的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．
【答案】（1）；（2）这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由见分析
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数，当时，函数值随自变量值的增大而增大；当时，函数值随自变量值的增大而减小．
（1）由一次函数图象与系数的关系得到，由此求得的取值范围；
（2）令y=0，得到，结合的取值范围求得的符号，即可求解．
解：（1）解：一次函数，函数值随自变量值的增大而减小，
，
解得：；
（2）这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由如下：
令，则，
整理得：，
，
，
，
，
这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴．
【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）函数的图像记为（为常数），图像上任意不同的两点、都满足：当时，，则的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质．根据题意得出，再结合时的函数值不小于的函数值得出关于k的不等式组，据此求出k的取值范围即可解决问题．
解：由题知，
因为当时，恒成立，且函数中y随x的增大而减小，
所以中的y也随x的增大而减小，且时的函数值不小于的函数值，
则，
解得，
显然只有C选项符合题意．
故选：C．
【变式2】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）．
（1）若该一次函数的图象经过点，则 ；
（2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ．
【答案】 7 0或
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解．
解：（1）把点代入一次函数，得，
解得．
故答案为：7；
（2）当时，y随x的增大而增大，
当时，，
解得．
当时，y随x的增大而减小，
当时，，
解得．
综上，当或时，该一次函数有最大值8．
故答案为：0或．
【题型12】比较一次函数值或自变量的大小
【例12】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②，理由见分析
【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数的性质．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①由（1）知一次函数的表达式，根据一次函数的性质确定出当和时的函数值，即可解答；
②根据一次函数的性质即可解答．
解：（1）解：根据题意，将点代入一次函数中，
则，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：①由（1）知一次函数的表达式为，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，则，
当时，则，
∴当时，的取值范围为；
②，理由如下：
由①知一次函数，随的增大而减小，
∵，
∴．
【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由可知随的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到．
解：一次函数的图象经过点，，，若，
随的增大而减小，
时，，且，
，
故选：D．
【变式2】（22-23八年级上·浙江金华·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．据此即可解答．
解：∵，，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
【考点六】一次函数与方程、不等式
【题型13】一次函数与方程（组）
【例13】（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为．
（1）直接写出关于x，y二元一次方程组的解为
（2）求直线的解析表达式；
（3）若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ；
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】本题考查了一次函数的图象问题，涉及直线的交点坐标与方程组的解的关系，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与面积的综合问题，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）将点P的横坐标为代入，求出点的坐标，即可求解关于x，y二元一次方程组的解；
（2）将点代入解方程组即可；
（3）根据面积关系，得到，求出，分两种情况，将代入直线表达式即可求解．
解：（1）解：∵点P的横坐标为，
∴，
∴点P的坐标是，
∵直线与相交于点P，
∴关于x，y二元一次方程组的解为，
故答案为：，；
（2）解：∵B点坐标为，，
∴将代入得，则，解得，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵点P的横坐标为，，
，
∴，
①当时，代入解析式可得；
②当时，代入解析式可得.
∴点M的坐标是或，
故答案为：或．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大
B．方程的解为
C．
D．方程组的解为
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是解题的关键．
根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答．
解：A、由图象可知：的值随着值的增大而减小，
故A错误，不符合题意；
B、一次函数的图象过点，
，
，
，
当时，，
∴，
方程的解为，
故B错误，不符合题意；
C、直线过，
，
，
；
故C错误，不符合题意；
D、由图象可知：方程组的解为，
故D正确，符合题意
故选：D．
【变式2】（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论．
解：当时，，
∴点B的坐标为
∴；
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴，
在中，，，，
∴，
又∵四边形为菱形，
∴，
∴
故答案为：．
【题型14】一次函数与不等式
【例14】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点．
（1）求m，b的值；
（2）若，直接写出x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）；；（2）；（3）
【分析】本题考查一次函数的综合应用．待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想，进行求解是解题的关键．
（1）将代入，求出的值，再将点代入，进行求解即可；
（2）利用图象法解不等式即可；
（3）先求出点A和点B的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可．
解：（1）由题意得，点在的图象上，
，
；
，
，在直线上，
，
；
（2），
由图象可知，若，则x的取值范围是；
（3），当时，，
，
，当时，，
，
．
【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式组的解集是
C．不等式和不等式的解集相同
D．方程组的解是
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．根据直线与直线的交点P的坐标为，结合图象即可解答．
解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为，
∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意；
当时，，
∴不等式的解集是，故B选项错误，符合题意；
∵由图象可得，不等式的解集为，不等式的解集为，
∴不等式和不等式的解集相同，故C选项正确，不符合题意；
由题意可知方程组，即方程组的解是，故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【变式3】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可．
解：由，得，
∵直线与直线交于点，
∴，
解得，
∴直线与直线交于点，
又∵，
∴根据图像得：，
故答案为：．
【考点七】一次函数的应用
【题型15】行程问题
【例15】（2025·浙江·二模）2024年国庆节当晚，超大规模的无人机灯光秀点亮城市上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面27米高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，但甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．当两架无人机升至距离地面96米时，在该高度一起进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．请结合图像解答下列问题：
（1）求甲无人机的飞行速度及两架飞机联合表演的时长；
（2）两架无人机飞行到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？
【答案】（1）甲无人机的飞行速度为（米/秒），两架飞机联合表演的时长为（秒）；（2）两架无人机表演训练到5秒或11秒或19秒时，它们距离地面的高度差为12米
【分析】本题主要考查了函数图像，一次函数的应用等知识，正确理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键．
（1）结合函数图像分析甲、乙无人机的分析情况，即可求得答案；
（2）分别计算乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间的函数关系式、时甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间的函数关系式以及甲无人机第二次上升时的函数解析式，根据“它们距离地面的高度差为12米”进行计算即可．
解：（1）解：甲无人机的飞行速度为（米/秒），
两架飞机联合表演的时长为秒；
（2）乙无人机的速度为（米/秒），
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间的函数关系式为，
∵甲无人机的速度为6米/秒，
∴当时，甲无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间的函数关系式为，
当甲无人机第二次上升时，设，
把代入，得，
∴，
∴当时，，
∴甲无人机在时进行表演，，
在时第二次上升，，
∴当时，当它们距离地面的高度差为12米时，得，解得，
当时，它们距离地面的高度差为12米时，得，解得，
当时，它们距离地面的高度差为12米时，得，解得．
答：两架无人机表演训练到5秒或11秒或19秒时，它们距离地面的高度差为12米．
【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示．桌面长为，（小球与木块大小厚度忽略不计），小球与木块同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回 （忽略转向时间）， 并保持原速直线运动，撞击木块后被反弹，再次保持原速向挡板直线运动， 如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的函数关系部分图象．以下说法正确的是（ ）
①；
②小球的速度为 ；
③小球第一次返回时，与之间满足 ；
④ 当小球从出发至第一次、相遇过程中，小球与木块距离为时，或
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解①②；求出速度和，然后计算出点的速度，计算即可得解；利用待定系数法计算可以得解③；依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和计算即可．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
解：由题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，
故①是不符合题意的；
∴小球P的速度为，
故②是符合题意的；
由题意，，
又，
∴，
∴，
答：a的值为64，木块Q的运动速度．
由题意，设小球P第一次返回时，，
将，代入
得
解得，
∴．
故③是符合题意的；
由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为，
函数过，
∴，
∴，
∴此时函数为，
,又令，
∴，
又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为，
∴令，
解得，
综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或．
故④是符合题意的；
故选：D．
【变式3】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）明明、亮亮在学校操场上玩飞机模型，已知1号、2号两个飞机模型分别从距水平线起点和距水平线起点处同时出发，匀速上升、如图是1号、2号两个飞机模型所在位置的高度与飞机上升时间的函数图象．当这两个飞机模型的高度相差时，上升的时间为
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题关键．
设1号飞机模型的函数表达式为，将，代入求解析式；设2号飞机模型的函数表达式为，将，代入求解析式；然后令，求解该绝对值方程即可．
解：设1号飞机模型的函数表达式为.
将，代入中，
得
解得
1号飞机模型的函数表达式为；
设2号飞机模型的函数表达式为.
将，代入中，
得
解得
2号飞机模型的函数表达式为
∵当这两个飞机模型的高度相差时，可得
，
解得或，
故答案为：或.
【题型16】经济问题
【例16】（2025·广东深圳·二模）在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍．
（1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？
【答案】（1）2元；（2）当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题关键．
（1）设降价后每枝玫瑰的售价是元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，根据不超过900元的资金再次购进两种鲜花列不等式求出的取值范围，设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，进而得到关于的一次函数，再根据一次函数的增减性求最值即可．
解：（1）解：由题意，设降价后每枝玫瑰的售价是元，
．
经检验，是原方程的解，
答：降价后每枝玫瑰的售价是2元．
（2）解：设购进玫瑰枝，则购进康乃馨枝，
．
．
至少购进玫瑰200枝．
其中，
设调价后的价格将两种花全部售出的收入为元，
则．
，
随的增大而减小．
当时，收入最高，最高为．
当购进玫瑰200枝，康乃馨300枝时，收入最高为400元．
【变式1】（20-21八年级下·福建厦门·期末）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（ ）
A．94 B．96 C．1600 D．1800
【答案】D
【分析】先由图1求出y与x的函数解析式，再由图2求出x与w的函数解析式，然后把w＝20代入即可．
解：由图1可设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
把（92，1400）和（98，2000）代入得，
解得：，
∴y与x的函数解析式为：y＝100x﹣7800；
由图2可设x与w的函数解析式为x＝mw+n，
把（18，98）和（24，92）代入得：
解得：
∴x与w的函数解析式为：x＝﹣w+116，
当w＝20时，x＝﹣20+116＝96，
y＝100×96﹣7800＝9600﹣7800＝1800（件），
∴本星期该滑板车的销量为1800件，
故选：D．
【点拨】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是根据图象求出函数解析式．
【变式3】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．
【答案】
【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可．
解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件，
由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元，
所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元；
设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，
把代入得，
解得，
∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，
将点代人，
解得，
所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，
当时，，
将时，
∴此时日销售利润为（元）．
故答案为：，．
【点拨】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答．
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专题19.11 一次函数（8大知识点7大考点16类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识梳理与题型目录】
【知识点1】函数的有关概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
（3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法.
（4）自变量的取值范围：
整式函数的自变量取值范围是全体实数；
分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数.
易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是.
（5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象.
（6）画图象的步骤：取值、描点、连线.
【知识点2】一次函数的概念
一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数．
正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数．
【知识点3】一次函数的图象
一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线.
正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线.
【知识点4】一次函数的性质
（1）正比例函数的图象与性质
y=kx
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0
一、三源：学*科*网X
从左向右上升
y随着x的增大而增大
k＜0
二、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
（2）一次函数的图象与性质
y=kx+b
图像
经过象限
升降趋势
增减性
k＞0，b＞0
一、二、三
从左向右上升[来源：学科网ZXXK]
y随着x的增大而增大
k＞0，b＜0
一、三、四
k＜0，b＞0
一、二、四
从左向右下降
y随着x的增大而减小
k＜0，b＜0
二、三、四
（3）一次函数的图象与k、b之间的联系
①b决定直线与y轴的交点位置
时，直线交y轴于正半轴；
时，直线交y轴于负半轴；
时，直线经过原点.
②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小.
③越大，直线越陡.
【知识点5】确定一次函数表达式
（1）待定系数法
步骤：设：设函数表达式为；
代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型
①已知两点确定表达式；
②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
【知识点6】图象的平移
一次函数向左平移m个单位后的解析式为；
一次函数向右平移m个单位后的解析式为；
一次函数向上平移m个单位后的解析式为；
一次函数向上平移m个单位后的解析式为.
平移规律：左加右减，上加下减.
【知识点7】两条直线间的位置关系
设直线，.
（1）相交；（2）平行；（3）垂直.
补充：若直线经过，两点，则.
【知识点8】一次函数的应用
利用一次函数解决实际问题的步骤：
审—仔细审题理解题意；
找—找出实际问题中的变量和常量，明确它们之间的关系；
列—建立一次函数表达式，弄清自变量的取值范围；
解—根据题目中的已知条件，由一个变量求另一个变量，也就是解方程的过程；
验—检验结果，得出符合实际的结论.
考点与题型目录
【考点一】函数
【题型1】函数概念................................................................4;
【题型2】函数解析式自变量取值范围................................................5；
【题型3】函数图象................................................................5；
【考点二】正比例函数
【题型3】正比例函数的图象与性质..................................................6；
【题型4】正比例函数与几何综合....................................................7；
【考点三】一次函数图象
【题型5】一次函数图象的位置......................................................8；
【题型6】一次函数图象的位置求参数取值范围.........................................8；
【题型7】一次函数图象的平移（行）与对称...........................................9；
【题型8】一次函数图象的与坐标轴交点坐标...........................................9；
【考点四】求一次函数的解析式
【题型9】求一次函数的解析式......................................................10；
【考点五】一次函数性质
【题型10】判断一次函数的增减性...................................................11；
【题型11】一次函数的增减性求参数取值范围.........................................12；
【题型12】比较一次函数值或自变量的大小...........................................12；
【考点六】一次函数与方程、不等式
【题型13】一次函数与方程（组）...................................................13;
【题型14】一次函数与不等式.......................................................14;
【考点七】一次函数的应用
【题型15】行程问题...............................................................15；
【题型16】经济问题...............................................................16.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】函数
【题型1】函数概念
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列与的关系中，不是的函数关系的是 ．（填序号）
①；②；③；④； ⑤；⑥．
【变式1】（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）在关系式中，下列说法：都是变量，、都是常量；的值随的值变化而变化；是变量，它的值可以与无关；与的关系不能用表格表示；与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】函数解析式及自变量取值范围
【例2】（23-24八年级下·广东潮州·阶段练习）点在第一象限，且，点的坐标为．设的面积为．
（1）当点的横坐标为时，试求的面积；
（2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围．
【变式1】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为 ，定义域是 ．
【题型3】函数图象
【例3】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人驾驶小汽车沿同一线路从长沙出发去郴州东江湖景区游玩，在整个行驶过程中，甲、乙离开长沙的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题：
（1）甲车用了______小时到达东江湖景区；
（2）乙车行驶的速度是______；
（3）乙车追上甲车时，他们和长沙的距离是 千米．
【变式1】（2025·河南周口·一模）在物理实验课上，同学们利用如图1所示的装置做了关于冰熔化的实验，他们将实验数据记录后，绘制了如图2所示的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．实验开始时，冰块的温度为
B．加热后，冰块开始熔化
C．冰块熔化后，继续加热，温度计读数增加到
D．冰块熔化过程持续了
【变式2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点为曲线部分的最低点．则的面积是 ．
【考点二】正比例函数
【题型3】正比例函数的图象与性质
【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数；．，．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随的增大直线与轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为___________．
【变式1】（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（ ）
A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小
C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限
【变式2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ．
【题型4】正比例函数与几何综合
【例4】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知正比例函数的图象经过横坐标为的点，过点作轴，垂足为点．
（1）填空：点的坐标是（______，______），的面积为______；
（2）点在轴上，点在第二象限，四边形是平行四边形，求四边形的周长．
【变式1】（2025·广西玉林·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的横坐标是，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在第一象限，，，将沿轴平移两个单位长度后，得到，则图象经过点的正比例函数的解析式为 ．
【考点三】一次函数图象
【题型5】一次函数图象的位置
【例5】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）两条直线与在同一直角坐标系中的图像位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022九年级上·吉林长春·学业考试）若，，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】一次函数图象的位置求参数取值范围
【例6】（2025·辽宁朝阳·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，则的取值范围是 ．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的分式方程的解为正数，且一次函数的图象经过第一、二、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【题型7】一次函数图象的平移（行）与对称
【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P为坐标平面内一点．
（1）将直线向下平移5个单位，所得直线的解析式是 ；
（2）直接写出与直线关于x轴对称的直线的解析式；
（3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标；
【变式1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）一次函数的图象向上平移1个单位长度后，与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后经过点，则的值为 ．
【题型8】一次函数图象的与坐标轴交点坐标
【例8】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，则、的应满足的条件为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式1】（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，设直线与坐标轴围成的直角三角形的面积为，则 ．
【变式2】（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求的面积．
【考点四】求一次函数的解析式
【题型9】求一次函数的解析式
【例9】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
（1）该地出租车的起步价是______元；
（2）当时，求关于的函数关系式；
（3）若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程．
【变式1】（2025·辽宁铁岭·一模）如图，入射光线遇到平面镜（轴）上的点后，反射光线交轴于点，若光线满足的一次函数关系式为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ．
【考点五】一次函数性质
【题型10】判断一次函数的增减性
【例10】（24-25九年级上·黑龙江·期中）已知一次函数，则；
（1）时，图象经过第几象限．
（2）m为何值时，函数图象过点，且y的值随着x值的增大呈怎样的变化趋势？
【变式1】（22-23八年级上·贵州毕节·期中）已知函数．当时，y的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列四个结论：
①它的图象由直线向下平移3个单位所得．
②y随着x的增大而增大．
③当时，y随着x的增大而减小．
④函数有最小值，其中正确结论的序号是 ．
【题型11】一次函数的增减性求参数取值范围
【例11】（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小．
（1）求的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由．
【变式1】（24-25八年级上·江苏淮安·期末）函数的图像记为（为常数），图像上任意不同的两点、都满足：当时，，则的值可以是（ ）
A． B．0 C． D．1
【变式2】（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）．
（1）若该一次函数的图象经过点，则 ；
（2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ．
【题型12】比较一次函数值或自变量的大小
【例12】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23八年级上·浙江金华·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系 ．
【考点六】一次函数与方程、不等式
【题型13】一次函数与方程（组）
【例13】（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图，直线与相交于点P，点P横坐标为，的解析表达式为，的解析表达式为，且与y轴交于点A，与y轴交于点B，B点坐标为．
（1）直接写出关于x，y二元一次方程组的解为
（2）求直线的解析表达式；
（3）若点M为直线上一动点，直接写出使的面积是的面积的的点M的坐标 ；
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，一次函数与的图象如图所示．则下列结论正确的是（ ）
A．在一次函数中，的值随着值的增大而增大
B．方程的解为
C．
D．方程组的解为
【变式2】（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ．
【题型14】一次函数与不等式
【例14】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点．
（1）求m，b的值；
（2）若，直接写出x的取值范围；
（3）求的面积．
【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是
B．不等式组的解集是
C．不等式和不等式的解集相同
D．方程组的解是
【变式3】（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为 ．
【考点七】一次函数的应用
【题型15】行程问题
【例15】（2025·浙江·二模）2024年国庆节当晚，超大规模的无人机灯光秀点亮城市上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面27米高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，但甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．当两架无人机升至距离地面96米时，在该高度一起进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．请结合图像解答下列问题：
（1）求甲无人机的飞行速度及两架飞机联合表演的时长；
（2）两架无人机飞行到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？
【变式1】（24-25八年级下·福建福州·期中）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示．桌面长为，（小球与木块大小厚度忽略不计），小球与木块同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回 （忽略转向时间）， 并保持原速直线运动，撞击木块后被反弹，再次保持原速向挡板直线运动， 如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的函数关系部分图象．以下说法正确的是（ ）
①；
②小球的速度为 ；
③小球第一次返回时，与之间满足 ；
④ 当小球从出发至第一次、相遇过程中，小球与木块距离为时，或
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【变式3】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）明明、亮亮在学校操场上玩飞机模型，已知1号、2号两个飞机模型分别从距水平线起点和距水平线起点处同时出发，匀速上升、如图是1号、2号两个飞机模型所在位置的高度与飞机上升时间的函数图象．当这两个飞机模型的高度相差时，上升的时间为
【题型16】经济问题
【例16】（2025·广东深圳·二模）在“母亲节”前夕，某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，销售过程中发现康乃馨比玫瑰销量大，店主决定将每枝玫瑰售价比每枝康乃馨低1元促销，调价后30元可购买玫瑰的数量是可购买康乃馨数量的1.5倍．
（1）求调价后每枝玫瑰的售价是多少元？
（2）根据销售情况，店主用不超过900元的资金再次购进两种鲜花共500枝，康乃馨进价为2元/枝，玫瑰进价为1.5元/枝，问至少购进玫瑰多少枝？若仍按调价后的价格将两种花全部售出，应如何进货，才能使收入最多？
【变式1】（20-21八年级下·福建厦门·期末）某商场销售一种儿童滑板车，经市场调查，售价x（单位：元）、每星期销量y（单位：件）、单件利润w（单位：元）之间的关系如图1、图2所示．若某星期该滑板车单件利润为20元，则本星期该滑板车的销量为（ ）
A．94 B．96 C．1600 D．1800
【变式3】（23-24八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．
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