专题02 整式的乘法（7大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 整式的乘法 题型概览 题型01（x+p）（x+p）型多项式乘法 题型02已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型03运用平方差公式进行计算 题型04平方差公式与几何图形 题型05运用完全平方公式进行计算 题型06完全平方公式与几何图形 题型07对完全平方公式变形求值 ( 题型01 ) （x+p）（x+p）型多项式乘法 1．（23-24七年级下·湖南隆回县·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南桃源县·期末）若，则 ． 4．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）若，则的值为 ． ( 题型02 ) 已知多项式乘积不含某项求字母的值 5．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 6．（23-24七年级下·湖南宁远县·期末）若中不含x的二次方项，求a的值． 7．（23-24七年级下·湖南邵阳湘郡铭志学校·期末）若与的乘积不含的一次项，则的值为 ． 8．（23-24七年级下·湖南桑植县·期末）多项式展开后不含x的一次项，则 ． ( 题型03 ) 运用平方差公式进行计算 9．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）下列算式中能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）先化简，再求值：，其中． 12．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算： ． 13．（23-24七年级下·湖南永州·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知代数式：． (1)化简这个代数式； (2)若，求原代数式的值． ( 题型0 4 )平方差公式与几何图形 15．（23-24七年级下·湖南永州·期末）图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 16．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·湖南茶陵县·期末）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，并写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． ( 题型0 5 )运用完全平方公式进行计算 20．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）下列各式从左到右的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·湖南永州·期末）化简，再求值：，其中． 23．（23-24七年级下·湖南永州·期末）先化简，再求值：，其中，x满足 24．（23-24七年级下·湖南常德·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为24，求的面积． (3)若，求的值． ( 题型0 6 )完全平方公式与几何图形 25．（23-24七年级下·湖南攸县·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 26．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 27．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 28．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）某校举办数学开放日活动，创新学习小组的同学用两种边长分别为和的正方形摆放出三种图形，，其中图1非重叠部分(阴影)面积为，在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为的小正方形(如图2)，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，，求的值； (3)图③中阴影部分的面积，请找出，，之间的数量关系，并说明理由． ( 题型0 7 )对完全平方公式变形求值 29．（23-24七年级下·湖南耒阳市正源学校·期末）已知，．求下列各值． (1) (2) 30．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区·期末）若，则的值为 ． 31．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 32．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）求代数式的值： (1)先化简，后求值：，其中； (2)已知，，求的值． 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则的值为 ． 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列各式能运用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·湖南沅江市两校联考·期末）图中阴影部分的面积是 （用含，的代数式表示）．    7．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果x，y满足方程组，那么的值为 ． 三、解答题 8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）先化简再求值： 其中． 9．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试比较与的大小． 解：设，， 那么， _____ _____（填）． 填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！ 问题：计算． 10．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 11．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）现有一块长为米，宽为米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)求出当时的绿化面积． 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）（1）解二元一次方程组：． （2）计算：． 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： ①已知，，则______； ②已知，，则______； (2)若x满足，求代数式的值； (3)如图，已知数轴上从左到右依次有点A、B、C三点，它们表示的数分别是m、9、11．以为边在数轴上方作正方形，以为边在数轴上方作正方形，延长交于点P．若正方形与正方形面积的和为96，求长方形的面积． 14．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）先化简，再求值：，其中． 15．（23-24七年级下·湖南桃源县·期末）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘法 题型概览 题型01（x+p）（x+p）型多项式乘法 题型02已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型03运用平方差公式进行计算 题型04平方差公式与几何图形 题型05运用完全平方公式进行计算 题型06完全平方公式与几何图形 题型07对完全平方公式变形求值 ( 题型01 ) （x+p）（x+p）型多项式乘法 1．（23-24七年级下·湖南隆回县·期末）若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式．根据多项式乘多项式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题考查了多项式乘多项式，多项式相等的条件，利用多项式乘多项式的法则将等式左边展开，再把结果和等式右边对照即可求解，掌握多项式相等即相同项的系数相等是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（23-24七年级下·湖南桃源县·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边展开并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值． 【详解】解：解：， ， ． 故答案为：4． ( 题型02 ) 已知多项式乘积不含某项求字母的值 5．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若的展开式中不含和项，则，的值为 ． 【答案】3, 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，解方程组，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键．根据题意，得，结合展开式中不含和项，得，解方程组即可． 【详解】解：根据题意，得 ， ∵展开式中不含和项， ∴， 解得． 故答案为：3, ． 6．（23-24七年级下·湖南宁远县·期末）若中不含x的二次方项，求a的值． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含x的二次方项，即含x的二次方项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵中不含x的二次方项， ∴， 解得． 7．（23-24七年级下·湖南邵阳湘郡铭志学校·期末）若与的乘积不含的一次项，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键．先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的项，合并系数，令含有x项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解： ， ∵与的乘积不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·湖南桑植县·期末）多项式展开后不含x的一次项，则 ． 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，展开后不含x的一次项，说明展开后的多项式中一次项系数的和为零，即可得出，求出即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：， 故答案是：． ( 题型03 ) 运用平方差公式进行计算 9．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）下列算式中能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果． 【详解】解：A、不是两个数的和与这两个数的差的积，故不符合题意； B、是和的和与和的积，故不符合题意； C、可化为，故不符合题意； D、是和的和与差的积，故符合题意； 故选：D． 10．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故A不符合题意； B．，能用平方差公式计算，故B不符合题意； C．，能用平方差公式计算，故C不符合题意； D．，不能用平方差公式进行计算，故D符合题意， 故选：D． 11．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查的是整式的混合运算－化简求值．利用乘法公式对式子进行化简，再将代入，即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 12．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解答本题的关键是熟练掌握公式． 先利用平方差公式进行化简，然后计算即可. 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·湖南永州·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，同底数幂乘法计算，积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 14．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知代数式：． (1)化简这个代数式； (2)若，求原代数式的值． 【答案】(1)； (2)13． 【分析】本题考查整式的化简和代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式和平方差公式的运算去括号，再合并同类项即可； （2）利变形得到，进而得到原代数式的值，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ． ( 题型0 4 )平方差公式与几何图形 15．（23-24七年级下·湖南永州·期末）图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形，利用完全平方公式的变形求出的值，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 故答案为：16． 16．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案． 【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为，右边一幅图阴影部分面积为， ∵两幅图阴影部分面积相等， ∴， 故选：D． 17．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式几何意义的理解，整式运算与几何图形结合，写出剪完剩下的图形面积，和右侧图形的面积是解题的关键． 分别表示出剪完剩下的图形面积、和右侧图形的面积，而两种情况的面积是相等的，故可得到结果． 【详解】解：将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，剩下的图形的面积是， 题中右图的面积为， 故得到的公式是． 故选：． 18．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积小正方形的面积矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：大正方形的面积小正方形的面积， 矩形的面积， 故． 故选：D． 19．（23-24七年级下·湖南茶陵县·期末）如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，并写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 【答案】(1)； (2) (3)①3；②，5 【分析】此题考查了平方差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （2）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （3）①根据平方差公式，进行计算即可求解；②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1） 拼接后的长方形长为、宽为． ∴ 故答案为：；； （2）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （3）解：①∵，， ∴ ∴， 故答案为：3． ②原式 又∵（为正整数）的个位数字依次是、、、、、、、以、、、为一个循环，， ∴的个位数字是，则的个位数字是5． 故答案为：，5． ( 题型0 5 )运用完全平方公式进行计算 20．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）下列各式从左到右的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式．分别根据完全平方公式逐一判断即可得出正确选项．熟记公式是解答本题的关键． 【详解】解：A．，故本选项错误，不符合题意； B．，故本选项错误，不符合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．互为相反数，故本选项错误，符合题意． 故选：C． 21．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式，掌握相关运算法则是集体关键．根据合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 22．（23-24七年级下·湖南永州·期末）化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】 ， 当时，原式 23．（23-24七年级下·湖南永州·期末）先化简，再求值：，其中，x满足 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式及幂的运算，解决本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式、完全平方公式及幂的运算法则，先进行计算，再运用幂的运算求出x的值，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， 当时， 原式 24．（23-24七年级下·湖南常德·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为24，求的面积． (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）设，，根据可求得，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）利用完全平方公式即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴，． ∴， ∴． （2）解：设，， ∴，． ∴， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∴． ( 题型0 6 )完全平方公式与几何图形 25．（23-24七年级下·湖南攸县·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 ， 故选：B． 26．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，C为线段上的一点，分别以为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，图中阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．设，，可得，，根据完全平方公式求出即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴， 又∵两正方形的面积之和为20， ∴， 由完全平方公式可得，， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 27．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______； (2)根据（1）中的等量关系解决下面的问题； ①若，，求的值； ②若，求的值； ③拓展应用：若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）用两种方式表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①根据完全平方公式化简再代数求值； ②根据完全平方公式化简求值； ③根据完全平方公式化简求值； 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，内部小正方形的边长为， 小长方形的长为b，宽为a， 大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， 由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和， 即关系式为：． （2）①，， ， ②， ， ， ； ③设，， ∴， ， 又， ． 28．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）某校举办数学开放日活动，创新学习小组的同学用两种边长分别为和的正方形摆放出三种图形，，其中图1非重叠部分(阴影)面积为，在图1中大正方形的右上角再摆放一个边长为的小正方形(如图2)，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为． (1)用含，的代数式分别表示，； (2)若，，求的值； (3)图③中阴影部分的面积，请找出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形求值； （1）可以看作两个正方形的面积差，即，是长为，宽为的长方形的面积，即； （2）将，变形为，再代入计算即可； （3）根据（2）得到，由图3可得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：可以看作两个正方形的面积差，即， 是长为，宽为的长方形的面积， 即； （2），， ； （3）解：∵， ∴ ( 题型0 7 )对完全平方公式变形求值 29．（23-24七年级下·湖南耒阳市正源学校·期末）已知，．求下列各值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式变形求出结果即可； （2）根据完全平方公式变形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， 即， ∴． 30．（23-24七年级下·湖南永州市冷水滩区·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式，由得，完全平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 31．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对称；若关于的多项式关于对称，则________； (2)关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为5，求时，求多项式的值． 【答案】(1)2；6 (2)6 【分析】（）对多项式进行配方，即可求出关于对称，求出的对称轴，由关于对称，即可求解； （）对多项式进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可； 本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键． 【详解】（1）解：由， 则是关于对称， 由，关于对称， 由题意得， 故答案为：，； （2）由， ∵关于的多项式关于对称， ∴， ∵当时，多项式的值为， ∴，解得， ∴关于的多项式为， ∴当时，． 32．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）求代数式的值： (1)先化简，后求值：，其中； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算平方差公式，单项式乘以多项式和完全平方公式，然后代数求解即可； （2）利于完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解： ， 因为， 所以原式； （2）因为， 所以 ． 33．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意利用完全平方公式变形得出，，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴a>0， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查完全平方公式的变形计算，平方根的求法等，熟练掌握运算法则是解题关键． 一、单选题 1．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法计算，幂的乘方计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键. 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算法则，完全平方公式以及合并同类项等知识点，分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，完全平方公式以及合并同类项法则逐一判断即可，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】A．，故本选项不合题意； B．，故本选项不合题意； C．，故本选项不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列各式能运用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记公式是解题的关键．运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 【详解】解：A、不符合平方差公式的特征，故不符合题意； B、符合平方差公式的特征，故符合题意； C、不符合平方差公式的特征，故不符合题意； D、不符合平方差公式的特征，故不符合题意； 故选：B． 4．（23-24七年级下·湖南郴州·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式的计算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，平方差公式的运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，不是同类项不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法法则、完全平方公式进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法法则、完全平方公式，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法法则、完全平方公式是解题的关键． 二、填空题 6．（23-24七年级下·湖南沅江市两校联考·期末）图中阴影部分的面积是 （用含，的代数式表示）．    【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，根据图形阴影部分面积大正方形面积减去小正方面积即可，熟练掌握完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】解：阴影部分的面积是， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果x，y满足方程组，那么的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平方差公式、代数式求值，把方程组化简得，再利用平方差公式进行整体代入求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∴， 故答案为：6． 三、解答题 8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）先化简再求值： 其中． 【答案】，1 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时, 原式 9．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试比较与的大小． 解：设，， 那么， _____ _____（填）． 填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！ 问题：计算． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，平方差公式，根据题意可得，则；设，，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：设，， 那么， ， ； 设，， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 利用完全平方公式，平方差公式进行乘法运算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入，原式． 11．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）现有一块长为米，宽为米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)求出当时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)63平方米 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式与图形面积，熟练掌握整式的运算法则和应用是解题关键． （1）利用长方形的面积减去正方形的面积即可得； （2）将代入计算即可得． 【详解】（1）解： （平方米）， 答：绿化的面积是平方米． （2）解：将代入得：（平方米）， 答：绿化的面积是63平方米． 12．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）（1）解二元一次方程组：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法、利用完全平方公式进行计算，熟练掌握二元一次方程的解法和完全平方公式是解题的关键． （1）利用加减法进行解答即可； （2）首先把转化为，然后根据完全平方式进行解答即可得出最终答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 故原方程组的解为． （2）解： . 13．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式进行变形，如：，． (1)根据以上变形填空： ①已知，，则______； ②已知，，则______； (2)若x满足，求代数式的值； (3)如图，已知数轴上从左到右依次有点A、B、C三点，它们表示的数分别是m、9、11．以为边在数轴上方作正方形，以为边在数轴上方作正方形，延长交于点P．若正方形与正方形面积的和为96，求长方形的面积． 【答案】(1)①17；②2024 (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． （1）根据完全平方公式求解即可；根据，即可求解； （2）设，，则，，根据计算即可； （3）正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为，则有，设，，则，，利用求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； （2）解：设，， 则，， ； （3）解：由题意得，正方形的边长为，面积为，正方形的边长为，面积为， 则有， 设，， 则，， 所以长方形的面积为：． 14．（23-24七年级下·湖南娄底第二中学·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算以及化简求值，先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式去掉括号，再合并同类项，最后把代入进去，进行运算即可作答． 【详解】解：， ， ， 当时，原式． 15．（23-24七年级下·湖南桃源县·期末）阅读材料： 已知：满足，求的值． 设，， 则，， 因此． 用上面的方法解下列问题： (1)已知：，求的值； (2)如图，已知正方形的边长为，、分别是边、上的点，、，分别以、为边作正方形． ①______，______（用含的式子表示）； ②若长方形的面积是48，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，平方差公式．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）设，则，再根据进行求解即可； （2）①正方形边长为x，则，再由结合图形可以表示出与； ②设，则，据此可得，则，阴影部分面积，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴ ； （2）解：①∵四边形是长方形、、四边形是正方形、 ， ，， 故答案为：． ②∵长方形的面积是4 8 ， ， 设， ∴，     ， ， 又， ， ∴阴影部分面积 即阴影部分的面积是 ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$