专题11.12 不等式与不等式组（6大类题型）（挑战综合压轴题分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.12 不等式与不等式组（6大类题型）（挑战综合压轴题分类专题） 第一部分【题型目录】 【题型1】含参数的一元一次不等式（组）..............................................1 【题型2】不等式（组）与方程组综合..................................................4 【题型3】实际问题中的最优化问题....................................................6 【题型4】绝对值不等式的初步应用...................................................11 【题型5】不等式（组）与数轴结合综合...............................................14 【题型6】不等式（组）整数解问题...................................................18 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】含参数的一元一次不等式（组） 【例题1】（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了取整函数，解一元一次不等式组，理解表示不大于a的最大整数是解题的关键，先求出，再利用可求x的取值范围． 解：∵， ∴， 由[a]表示不大于a的最大整数， 则， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）若，不等式为，根据已知该不等式组的所有整数解的和为，可得对应整数解为或，分别得出不等式求解即可； （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，两个整数不明确，设整数解为，，再利用m这个量的交叉传递，得到n的值，从而求解． 解：（1）若，即为， 已知该不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解为， ∴对应整数解为， ∴， 解得：； 当对应整数解为时， ， 解得：． 故答案为：或． （2）若，即为， 已知该不等式组有且只有两个整数解，设整数解为，， 不等式组的解为，且，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】B 【分析】分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数k，再将它们相加，即可得出结果． 解：由，可得：， ∵关于x的不等式组最多有2个整数解， ∴或无解， ∵不等式组的整数解最多时为：1，2， ∴，解得：； 解，得：， ∵方程的解为非正数， ∴，解得：， 综上：， 符合条件的的整数值为：，和为； 故选B． 【点拨】本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解，是解题的关键． 【题型2】不等式（组）与方程组综合 【例题2】（20-21七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x、y的二元一次方程 （1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2）-17 【分析】（1）解方程组求出x、y的值，根据列不等式组求出答案； （2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案． 解：（1）解方程组得， ∵， ∴, 解得； （2）由①+②得2x+y=-3， ∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9， ∴=-9-8=-17． 【点拨】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键． 【变式1】（19-20七年级下·重庆巴南·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是（    ）． A．－3 B．－4 C．－10 D．－14 【答案】D 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或，从而确定所有满足条件的整数的值的和． 解：， 不等式组整理得：， 由不等式组至少有4个整数解，得到， 解得：， 解方程组，得， 又关于，的方程组的解为正整数， 或， 解得或， 所有满足条件的整数的值的和是． 故选：． 【点拨】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型． 【变式2】（2022·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的范围，最后根据，为整数，舍去不符合题意的的值即可求解． 解： ①＋②得， 将代入①，得 ，是正整数， ， 解得， 解不等式③得： 解不等式④得： 有且仅有2个整数解， 解得 是整数 或 当时，，不合题意，故舍去 故答案为： 【点拨】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 【题型3】实际问题中的最优化问题 【例题3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： （1）求出、的值． （2）若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ （3）在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1）；（2）型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 （3）选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 解：（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 【变式1】（22-23七年级下·全国·单元测试）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）． （1）请你设计出所有的进货方案； （2）在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ （3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进型和型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买型电脑、型电脑和帐篷的方案． 【答案】（1）有3种购买方案，方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台；方案2：购A型电脑23台，B型电脑17台；方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台；（2）购A型电脑24台，B型电脑16台利润最大，为18400元；（3）有2种购买方案，方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶；方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶 【分析】（1）设A型电脑购进台，则型电脑购进台，由题意列依云一次不等式组，计算求解，然后作答即可；   （2）对（1）中的各方案分别求解利润，然后进行比较作答即可； （3）设再次购买A型电脑台，型电脑台，帐篷顶，，，，且、、为整数，根据条件建立方程运用讨论法求出其解即可． 解：（1）解：设A型电脑购进x台，则B型电脑购进台． 根据题意得：， 解得：． ∵x为整数， ∴x的值为22，23，24  ， ∴有3种购买方案： 方案1：购A型电脑22台，B型电脑18台； 方案2：购A型电脑23台，B型电脑17台； 方案3：购A型电脑24台，B型电脑16台； （2）解：方案1利润为：（元）； 方案2利润为：（元）； 方案3利润为：（元）； ∵， ∴购A型电脑24台，B型电脑16台利润最大，最大为18400元． （3）解：设再次购买A型电脑a台，B型电脑b台，帐篷c顶， 由题意，得， 解得， ∵，且a、b、c为整数， ∴，且是5的倍数．且c随a、b的增大而减小． 当时，，舍去； 当时，，故； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，故； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； ∴有2种购买方案： 方案1：购A型电脑2台，B型电脑3台，帐篷10顶， 方案2：购A型电脑3台，B型电脑3台，帐篷5顶． 【点拨】该题考查了一元一次不等式组的运用，不定方程的运用，分类讨论的思想．根据题意列等式、不等式是解题的关键，巧解三元一次不定方程是解答本题的难点． 【变式2】（2020·黑龙江·中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 【答案】（1）、的值分别为和；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；（3）的最大值为 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案； （3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案． 解：（1）由题意得 ， 解得：； 答：、的值分别为和； （2）根据题意， 解得：， 因为是整数 所以为、、； ∴共3种方案，分别为： 方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； （3）方案一的利润为：元， 方案二的利润为：元， 方案三的利润为：元， 利润最大值为元，甲售出，乙售出， ∴ 解得： 答：的最大值为； 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答． 【题型4】绝对值不等式（组）的初步应用 【例题4】（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 解： 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点拨】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 【答案】 【分析】首先根据题意表示出不等式的解，然后根据列方程求解即可． 解：∵ ∴，即， ∴ ∴或 ∴或 ∵不等式的解是， ∴应舍去， ∴，解得， 经检验，是方程的解． 故答案为：． 【点拨】此题考查了一元一次不等式含参数问题，解题的关键是根据题意表示出一元一次不等式的解． 【变式2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 （1）填空：的解集是 ； （2）求绝对值不等式的解集； （3）直接写出不等式的解集： ． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查解绝对值不等式，解题的关键是读懂题目中绝对值的几何意义,利用几何意义进行解题． （1）先根据绝对值的定义，再根据题意即可得； （2）将化为后，求出当时，或，根据以上结论即可得； （3）将化为，再根据题意即可得． 解：（1）解：根据题意可得，的解集是或． 故答案为：或； （2）解：由得到， 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点左边的点表示的数与的差的绝对值大于16； 点，之间的点表示的数与的差的绝对值小于16； 点右边的点表示的数与3的差的绝对值大于16 ∴的解集为或； ∴的解集为或； （3）解：∵ ∴ 根据绝对值的定义，当时，或，分界点把数轴分为三部分： 点的左边的点表示的数的绝对值大于8； 点，之间的点表示的数的绝对值小于8； 点8右边的点表示的数的绝对值大于8． 因此，绝对值不等式的解集是或． ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 【题型5】不等式（组）与数轴结合综合 【例题5】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    （1）在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； （2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； （3）若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 【答案】（1），2；（2）或或；；（3）a的取值范围是． 【分析】（1）根据连动数的定义即可确定； （2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得． 解：（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1， 又∵， ∴连动数Q的范围为：或， ∴连动数有，2； 故答案为：，2； （2）解：， 得：， 得：， 要使x，y均为连动数， 或，解得或， 或，解得或， ∴或或； （3）解：解得： ， ∵解集中恰好有3个解是连动整数， ∴四个连动整数解为，1，2， ∴， ∴ ∴a的取值范围是． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题是新定义型题目，主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，解不等式组，理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度，然后逐个分析即可． 解：点，，分别表示，，2， ，， ， 点是点到点的倍分点，故①正确； ， 点是点到点的倍分点．故②错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点A到点D的4倍分点，对应的数字为，则， ∵点在线段上， ∴， ∴，， ∴ ∴ 当时，， 解得， ∴，解得， 当时，， 解得， ∴，解得， 综上所述，或， ∴，故④正确； 正确的有2个， 故选：B． 【变式2】（18-19八年级下·陕西宝鸡·期末）表示1－2a和6－2a的点在数轴上的位置如图所示，a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由图中两点位置分别得出两个不等式，在原点右边的数大于0，左边的数小于0，联立这两个不等式求出不等式组的解集，再根据它们到原点的距离不同，列出关于绝对值的关系式，进一步求解即可． 解：由图可知： 由得， 由得， 所以该不等式组的解集为， 因为右边的数离原点更远 所以 所以 解得 综上可得： 故答案为：． 【点拨】本题考查了学生对数轴的认识以及对不等式（组）的应用，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征，列出相应的不等式，再解不等式（组）即可，解题过程中需要学生理解绝对值的意义，牢记解不等式的步骤，并能正确求出公共解集． 【题型6】不等式整数解问题 【例题6】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． （1）不等式 ______ 的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）． （2）若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围； （3）若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】（1）不是；（2）；（3）或 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得，解不等式即可求解； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式，解得即可． 解：（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式 与没有公共整数解， ∴不等式 不是的“和谐不等式”， 故答案为：不是 （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， ∴， 解得． 故m的取值范围是； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式，新定义“和谐不等式”，读懂“和谐不等式”的定义是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）若，不等式为，根据已知该不等式组的所有整数解的和为，可得对应整数解为或，分别得出不等式求解即可； （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，两个整数不明确，设整数解为，，再利用m这个量的交叉传递，得到n的值，从而求解． 解：（1）若，即为， 已知该不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解为， ∴对应整数解为， ∴， 解得：； 当对应整数解为时， ， 解得：． 故答案为：或． （2）若，即为， 已知该不等式组有且只有两个整数解，设整数解为，， 不等式组的解为，且，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出的值． 解：①若 当时，解得：，； 当时，解得：；； ②若 当时，解得：，； 当时，解得：，； 又方程有三个整数解， 可得：或，根据绝对值的非负性可得：． 即只能取． 故选：B． 【点拨】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.12 不等式与不等式组（6大类题型）（挑战综合压轴题分类专题） 第一部分【题型目录】 【题型1】含参数的一元一次不等式（组）..............................................1 【题型2】不等式（组）与方程组综合..................................................1 【题型3】实际问题中的最优化问题....................................................2 【题型4】绝对值不等式的初步应用....................................................3 【题型5】不等式（组）与数轴结合综合................................................3 【题型6】不等式（组）整数解问题....................................................4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】含参数的一元一次不等式（组） 【例题1】（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，若，则x的取值范围是 ． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ． 【变式2】（22-23七年级下·重庆北碚·期中）若关于x的不等式组最多有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【题型2】不等式（组）与方程组综合 【例题2】（20-21七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x、y的二元一次方程 （1）若方程组的解x、y满足，求a的取值范围； （2）求代数式的值． 【变式1】（19-20七年级下·重庆巴南·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是（    ）． A．－3 B．－4 C．－10 D．－14 【变式2】（2022·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ． 【题型3】实际问题中的最优化问题 【例题3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台万元，每月可以生产吨产品；型每台万元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： （1）求出、的值． （2）若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ （3）在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【变式1】（22-23七年级下·全国·单元测试）某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过元购进台电脑，其中型电脑每台进价元，型电脑每台进价元，型每台售价元，型每台售价元，预计销售额不低于元．设型电脑购进台、商场的总利润为（元）． （1）请你设计出所有的进货方案； （2）在上述的进货方案中，哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？ （3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进型和型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买型电脑、型电脑和帐篷的方案． 【变式2】（2020·黑龙江·中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 【题型4】绝对值不等式（组）的初步应用 【例题4】（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【变式1】（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知不等式的解是，则a＝ ． 【变式2】（24-25七年级下·安徽安庆·阶段练习）小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式． 求绝对值不等式的解集． 小明同学的思路如下： 先根据绝对值的定义，求出时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示． 观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于2；点A与点B之间的点表示的数的绝对值小于2；点B右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 （1）填空：的解集是 ； （2）求绝对值不等式的解集； （3）直接写出不等式的解集： ． 【题型5】不等式（组）与数轴结合综合 【例题5】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    （1）在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； （2）若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； （3）若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 【变式1】（23-24八年级下·全国·单元测试）对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（18-19八年级下·陕西宝鸡·期末）表示1－2a和6－2a的点在数轴上的位置如图所示，a的取值范围为 ． 【题型6】不等式整数解问题 【例题6】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． （1）不等式 ______ 的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）． （2）若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围； （3）若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式，新定义“和谐不等式”，读懂“和谐不等式”的定义是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为 ． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是 ． 【变式2】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1 学科网（北京）股份有限公司 $$