专题02 一元函数的导数及其应用（4大经典基础练+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01切线方程 题型02利用导数研究函数的单调性 题型03利用导数研究函数的极值 题型04利用导数研究函数的最值 ( 题型01 ) 切线方程 1．（23-24高二下·山西太原·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． ( 题型02 ) 利用导数研究函数的单调性 3．（23-24高二下·山西长治·期末）已知为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·山西晋城·期末）若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． ( 题型03 ) 利用导数研究函数的极值 6．（23-24高二下·山西长治·期末）给定正整数，已知对，有，，函数. (1)若，求； (2)若，记为的所有零点组成的集合，为的子集，它们各有个元素，且. 设，，，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 7．（23-24高二上·山西·期末）已知函数，且为极值点. (1)求实数的值； (2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 8．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． ( 题型04 )利用导数研究函数的最值 9．（23-24高二下·山西太原市小店区百校联考·期末）已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为. (1)证明：； (2)已知点，求面积的最大值. 10．（23-24高二下·山西长治·期末）设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是 ． 11．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知是定义在实数集上的偶函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A．对于 B．在上为减函数 C．的值域为 D． 12．（23-24高二下·山西浑源县第七中学·期末）已知函数 (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)求函数在区间上的最小值. 一、单选题 1．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   2．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 三、解答题 4．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． (1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； (3)求证：． 5．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知函数． (1)当时，证明：函数为增函数； (2)当时，证明：． 6．（23-24高二下·山西百校联盟·期末）对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，. (1)若是函数的“可移2相反数点”，求； (2)若，且是函数的“可移4相反数点”，求函数的单调区间； (3)设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数的取值范围. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01切线方程 题型02利用导数研究函数的单调性 题型03利用导数研究函数的极值 题型04利用导数研究函数的最值 ( 题型01 ) 切线方程 1．（23-24高二下·山西太原·期末）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，可得切点坐标和斜率，进而可得切线方程. 【详解】因为，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为. 故选：C. 2．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解. 【详解】设切点，则， 故切点处的切线方程为，故， 将代入得，故，解得或， 若，则，此时无解，故不符合题意， 若，则，故，此时满足题意， 故选：D ( 题型02 ) 利用导数研究函数的单调性 3．（23-24高二下·山西长治·期末）已知为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】给出，作为反例，即可否定A；给出，作为反例，即可否定B，C；构造函数并使用反证法，即可证明D正确. 【详解】对于A，当，时，有 ， 此时，存在，故A错误； 对于B，C，当，时，有 ， 此时，存在，故B，C错误； 对于D，设，，则 ， ， 且等号仅在时成立，故和单调递增. 由于，故. 假设，则或. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 所以，从而，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用导数工具证明单调性，进而证明选项中的不等式. 4．（23-24高二下·山西晋城·期末）若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑分段函数的两段函数的单调性，再结合题意列出不等式组，即可求得答案. 【详解】当时，为单调递增函数； 当时，，则， 令，即，而，则可得， 故要使得是R上的增函数， 需满足，解得， 故选：C 5．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案. 【详解】（1）当时，，则， ∴，， 曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题意得当时，恒成立， ∴在时恒成立， ∵，则，由于二次函数在上单调递减， ∴当时，， ∴，即实数a的取值范围是． ( 题型03 ) 利用导数研究函数的极值 6．（23-24高二下·山西长治·期末）给定正整数，已知对，有，，函数. (1)若，求； (2)若，记为的所有零点组成的集合，为的子集，它们各有个元素，且. 设，，，且，，证明： （ⅰ）； （ⅱ）. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）先根据已知条件得到，再根据的定义求和； （2）（ⅰ）构造恰当的函数，并利用导数工具证明的两根之和小于零；（ⅱ）先说明的取值与的选取无关，再利用函数证明相应的不等式. 【详解】（1）对，由于，， 故是的极小值点，所以. 而，所以，得. 故. （2）（ⅰ）对，由于，故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 利用，可将原条件化为. 注意到，故有一个零点，记. 而，故，所以. 又因为， 且，故在上还有一个零点，记为. 从而由的单调性，知恰有两个零点，且. 而为的子集，它们各有个元素，且，故至少有个元素. 而的元素只可能在之中，这表明它们两两不等， 且.所以包含个正数，个负数. 而为的子集，它们各有个元素，且， 故和恰好就是中的一对补集，即，. 设包含个负数，个正数，则包含个负数，个正数. 由于，，，. 故，. 从而. 由于，故. 设，则，而对有， 对有，故在上单调递减，上单调递增. 再设，则，且等号只在处取到. 故单调递增，从而， 即.而在上单调递增，故，即. 所以. 故. （ⅱ）不妨设，则根据的单调性有. 从而由有，再根据的单调性有. 由于，. 故的值，其实就是在这个数中， 选出对异号的数，再计算每对之间的距离之和. 在数轴上标出这个数后，可认为就是条端点在原点异侧且端点两两不重复的线段长之和， 故相邻两个数之间的线段被计算的次数，恰为该线段两侧的端点数目较少的一侧的端点数目. 这就说明的值和的具体元素的选取无关，而在， 时，有， 所以任何情况下都有. 由的单调性，知对有，故，即. 对，取，得；取， 得，从而. 由于，故由上面的结论知 ，. 所以. 从而由知 . 设，则. 设，则，故对有， 所以在上递增，从而对有. 所以对有，故在上递增， 从而对有. 又由于，故 . 所以，即. 故. 综上，有. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造恰当的函数，并利用导数工具证明相应的不等式. 7．（23-24高二上·山西·期末）已知函数，且为极值点. (1)求实数的值； (2)判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，即可得解； （2）根据极大值点，极小值点的定义即可判断出极大值点和极小值点，进而可求出极大值和极小值. 【详解】（1）， 因为为函数的极值点， 所以，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）得，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，极大值为， 为极小值点，极小值为. 8．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： ( 题型04 )利用导数研究函数的最值 9．（23-24高二下·山西太原市小店区百校联考·期末）已知抛物线，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为. (1)证明：； (2)已知点，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）结合题干条件，根据点差法即可证明； （2）分别求出，，再转化为，求导即可求出最值. 【详解】（1）设，，所以 所以， 又，，所以. （2）设直线的方程为，即， 联立，整理得， 所以，解得， ，， 则 . 又点A到直线的距离为， 所以， 记，因为，所以， 所以，． 令，，则，令，可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即. 10．（23-24高二下·山西长治·期末）设为函数的导函数的图象上一点，为函数的图象上一点，当关于直线对称时，称是一组对称点．若恰有3组对称点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，则，转化为有三个解，令，利用导数求出的单调性和极值可得答案. 【详解】，设，则， 所以，，所以， 因为与的图象若恰有3组对称点， 所以有三组解，可得即有三个解， 令，即函数与的图象有3个不同的交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键点是转化为有三个解，然后构造函数结合图象. 11．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知是定义在实数集上的偶函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A．对于 B．在上为减函数 C．的值域为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A,利用的奇偶性求得时的解析式，从而求得在实数集上的解析式；对于B,利用导数法结合指数函数的性质即可得解；对于C, D,利用奇偶性和单调性，得到的值域，也可解决函数值大小比较. 【详解】对于A,因为当时，， 所以当时，，则， 是定义在实数集R上的偶函数， ，从而，又当时， 综上可知，对于，，则A正确； 对于B,因为当时，， 所以， ，，从而，， 在上为减函数，故B正确； 对于C,由于在上为减函数，是定义在实数集上的偶函数， 则上单调递增，则时取得最大值, ,函数值域为，故C错误； 对于D, 是定义在实数集R上的偶函数， ， ， ， 又，， 由B可知，在上为减函数， ，故D正确． 故选：ABD. 12．（23-24高二下·山西浑源县第七中学·期末）已知函数 (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)求函数在区间上的最小值. 【答案】(1)1 (2)当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为. 【分析】（1）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直于直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为． （2）求出函数的导数，再讨论的范围，根据导数求出函数的最值 【详解】（1）解：曲线在点处的切线垂直于直线， 又直线的斜率为1，函数的导数为， （2）解： ①当时，在区间上此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. ②当即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. ③当，即时， 在区间上，此时函数在区间上单调递减， 在区间上，此时函数在区间上单调递增， 则函数在区间上的最小值为. ④当，即时， 在区间上此时函数在区间上单调递减， 则函数在区间上的最小值为. 综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为 一、单选题 1．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据导数的图象变化，判断函数的图象的变化情况，结合选项，即可得答案. 【详解】由的图象可知时，，且的值随x的增大逐渐减小， 此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越平缓， 当时，，且的值随x的增大逐渐增大， 此时的图象应是上升的，且上升趋势越来越陡峭， 结合选项，符合的图象特征的为选项D中图象， 故选：D 2．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由基本初等函数求导法则，导数四则运算以及复合函数求导法则运算即可逐一判断每个选项. 【详解】，，，. 故选：D. 二、多选题 3．（23-24高二下·山西怀仁市大地学校·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 【答案】BD 【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可. 【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确， 令，解得，可得只有一个零点，故C错误， 易知，且结合单调性知，即成立，故D正确. 故选：BD 三、解答题 4．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数． (1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）； (2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，； (3)求证：． 【答案】(1); (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可； （3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明. 【详解】（1）由题意，函数，且， 则， ， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： . （2）由（1）可知，， ， 所以函数在处的阶泰勒展开式为： ， 其中，介于与之间的常数， 所以， 因为为常数项，且， 所以函数为偶函数， 因为， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以， 故对任意的，. （3）由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为 ， 所以， 令， 则， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化. 5．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知函数． (1)当时，证明：函数为增函数； (2)当时，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，构造函数，利用导数证明，再放缩结合基本不等式证明即可； （2）利用导数证明即可. 【详解】（1）当时，，， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以函数为增函数； （2）当时，，， ， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以存在，使得，此时， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则， 所以函数在上单调递减， 所以， 即， 所以． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 6．（23-24高二下·山西百校联盟·期末）对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”.已知，. (1)若是函数的“可移2相反数点”，求； (2)若，且是函数的“可移4相反数点”，求函数的单调区间； (3)设若函数在上恰有2个“可移1相反数点”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)的单调递减区间为， (3) 【分析】（1）根据新定义可得，解方程即可求解； （2）根据新定义可得，求出，利用二阶导数讨论函数的单调性即可求解； （3）结合新定义，分类讨论当、、时方程的解，确定函数在上恰有2个“可移1相反数点”，且1个“可移1相反数点”，另一个“可移1相反数点”在区间内或在区间内，结合导数研究函数的性质即可求解. 【详解】（1）若是函数的“可移2相反数点”， 则，即. 所以，即， 解得或（舍去）. （2）因为是函数的“可移4相反数点”，所以， 即.解得.所以（且）， ，令，， 所以当时，，在上单调递增， 且，所以，所以在上单调递减； 当时，，在上单调递减， 且，所以，所以在上单调递减； 所以函数的单调递减区间为，； （3）记的“可移1相反数点”为. 当时，，解得（舍去）， 当时， 当时，，即. 因为函数在上恰有2个“可移1相反数点”，且其中1个“可移1相反数点”， 所以另一个“可移1相反数点”在区间内或在区间内. 若，则当时，方程有且仅有一个根， 令，则，所以在上单调递增， 由有且仅有一个根，得，即，解得. 当时，，， 所以存在唯一的，使得， 即时，方程有且仅有一个根， 此时方程在内无解，符合题意； 若，则当时，方程有且仅有一个根，即， 所以，此时方程在内无解，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是导数研究函数的单调性等相关知识点. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$