专题01 平面向量及其应用（5大考点经典基础练+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01求投影向量 题型02向量的数量积 题型03利用向量垂直求参数 题型04余弦定理 题型05正弦定理 ( 题型01 ) 求投影向量 1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知向量，，若，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西阳泉·期末）若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为 ． 3．（23-24高一下·山西长治·期末）在正中，为的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 ( 题型02 ) 向量的数量积 4．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知平面向量的夹角为，满足，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（23-24高一下·山西长治·期末）若非零向量，满足，，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为1 6．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． ( 题型03 ) 利用向量垂直求参数 7．（23-24高一下·山西阳泉·期末）已知向量，且，则（    ） A．1 B． C． D．0 8．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )余弦定理 9．（23-24高一下·山西长治·期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（    ） A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 10．（23-24高一下·山西长治·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 11．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（    ） A．2 B．4 C． D．3 12．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，，点是所在平面内的一点，且，，则的最小值为 ． 13．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积，且，则外接圆的面积为 ． ( 题型0 5 )正弦定理 14．（23-24高一下·山西长治·期末）已知的内角的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·山西长治·期末）中，，角的平分线交于点，若，则外接圆的面积是 ． 16．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）在中，角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若，，求的面积． 一、单选题 1．（23-24高一下·山西吕梁·期末）中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在梯形中，，点为边上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山西阳泉·期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（    ） A．80 B． C．160 D． 6．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）已知平面向量，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·山西吕梁·期末）正六边形瓷砖是一种常见的装饰材料，被广泛应用于室内和室外的墙壁、地面和装饰品的制作.正六边形瓷砖的设计能够形成美观的六边形花纹，增加空间的层次感和艺术感.如图是一块正六边形瓷砖，它的边长为1，点是内部（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为的中点，在上的投影向量为 D．的最大值为 8．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．1 B． C． D．2 9．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（　　） A．若，，，则符合条件的恰有两个 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 三、填空题 10．（23-24高一下·山西长治·期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 四、解答题 11．（23-24高一下·山西长治·期末）梯形中，，，，分别为，的中点，记，． (1)用，表示向量； (2)若，，求，的夹角． 12．（23-24高一下·山西长治·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，分别求周长与面积的最大值． 13．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，点是边上一点，且，，记，． (1)若，且，求的长； (2)若，，求的面积． 14．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点． (1)若，且，求的值； (2)求的取值范围． 15．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记. (1)求的值； (2)若，求的值. 16．（23-24高一下·山西大同·期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01求投影向量 题型02向量的数量积 题型03利用向量垂直求参数 题型04余弦定理 题型05正弦定理 ( 题型01 ) 求投影向量 1．（23-24高一下·山西长治·期末）已知向量，，若，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由可得，然后利用即可得到答案. 【详解】. 由，得，即=0，解得. 在方向上的投影向量是. 故选：B. 2．（23-24高一下·山西阳泉·期末）若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·山西长治·期末）在正中，为的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用图形求向量夹角判断选项A；利用向量数量积的运算验证选项B；由向量的线性运算验证选项C；由投影向量的计算验证选项D. 【详解】正中，为的中点，如图所示， ，A错误； ，则，正确． ，C正确． 在上的投影向量为，正确． 故选：BCD. ( 题型02 ) 向量的数量积 4．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知平面向量的夹角为，满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量垂直得出向量数量积为0，再应用数量积定义计算即可. 【详解】因为， 可得， 可得. 故选：B. 5．（23-24高一下·山西长治·期末）若非零向量，满足，，则（    ） A．的最大值为 B．的最大值为1 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】C 【分析】由两边平方化简可得，再根据数量积的不等式关系，结合为非零向量，得出答案； 【详解】因为，所以， 则， 即. 又为非零向量，. 所以，所以的最小值为，无最大值. 故选：C. 6．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． ( 题型03 ) 利用向量垂直求参数 7．（23-24高一下·山西阳泉·期末）已知向量，且，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由题意知，所以. 故选：D 8．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】已知向量，， 若，则， 解得. 故选：C. ( 题型0 4 )余弦定理 9．（23-24高一下·山西长治·期末）苏州双塔又称罗汉院双塔，位于江苏省苏州市凤凰街定慧寺巷的双塔院内，二塔“外貌”几乎完全一样（高度相等，二塔根据位置称为东塔和西塔）.某测绘小组为了测量苏州双塔的实际高度，选取了与塔底，（为东塔塔底，为西塔塔底）在同一水平面内的测量基点，并测得米.在点测得东塔顶的仰角为，在点测得西塔顶的仰角为，且，则苏州双塔的高度为（    ） A．30米 B．33米 C．36米 D．44米 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数可得，，即可根据余弦定理求解. 【详解】设苏州双塔的高度为h米，依题意可得米，米. 因为，所以由余弦定理得， 解得. 故选：B 10．（23-24高一下·山西长治·期末）在中，角，，所对应的边分别为，，，，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先根据求出C，然后利用余弦定理求出b. 【详解】由 得 , , , , 又, 所以 所以， , ,解得, 故选：B. 11．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在中，内角的对边分别为，若，则的面积是（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】由余弦定理求出，再由面积公式求解即可. 【详解】若，则， 由余弦定理得， 因为，所以， 则的面积是. 故选：C. 12．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，，点是所在平面内的一点，且，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】通过向量数量积求出，再用余弦定理，最后用基本不等式可解． 【详解】如图， 因为，， 所以，所以． 设，在中，由余弦定理得 ， 当且仅当时，即，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 13．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积，且，则外接圆的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由已知条件结合余弦定理和三角形的面积公式可求出，再利用正弦定理可求出三角形的外接圆半径，从而可求出三角形面积. 【详解】因为的面积，又， 所以，所以， 又，所以， 设外接圆的半径为，所以，解得， 所以外接圆的面积为． 故答案为： ( 题型0 5 )正弦定理 14．（23-24高一下·山西长治·期末）已知的内角的对边分别为，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理计算即得. 【详解】由正弦定理得,，则. 故选：A. 15．（23-24高一下·山西长治·期末）中，，角的平分线交于点，若，则外接圆的面积是 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，设，则，利用等面积法推出，即可求出，从而得到，再由正弦定理求出外接圆的半径，即可求出外接圆的面积. 【详解】因为角的平分线交于点，所以， 又，所以， 设，则， 所以，即， 即， 所以，即，又，所以，所以， 则，所以，所以， 所以外接圆的半径， 则外接圆的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由等面积法推导出，从而求出. 16．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）在中，角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解； （2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，所以. （2）因为，，且 由余弦定理知，即， 解得，所以的面积为． 一、单选题 1．（23-24高一下·山西吕梁·期末）中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由根据正弦定理和两角和的正弦公式可求得，再根据可得是等腰三角形，即可判断. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 如图所示， 在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则， 显然，因此平行四边形为菱形，平分， 又，则有，即， 于是得是等腰三角形，所以， 又，所以为等边三角形. 故选：. 2．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据且与不共线，可求出结果. 【详解】根据题意可得且与不共线， 则， 所以，解得， 当与共线时，即存在，使得， 解得， 因为与不共线，所以， 所以且， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3．（23-24高一下·山西吕梁·期末）在梯形中，，点为边上一动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设，从而得到，即可求出结果. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 因为，所以， 设，所以， 得到，因为，所以， 故选：C. 4．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理结合两角和的正弦公式得到，进而得到，然后利用正弦定理和三角恒等变换，由求解. 【详解】解：因为，由正弦定理得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又， 所以， 所以， 又，，则， 所以或，即或（舍去）， 则， 所以解得，则． 所以， ， ， 即的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是得到，从而利用确定角B的范围，由此得解. 5．（23-24高一下·山西阳泉·期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（    ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得各个角度，即可得长，根据正弦定理，可得长，根据余弦定理，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 又因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：D. 【点睛】思路点睛；解三角形应用题的一般步骤 （1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． （3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． （4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 6．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）已知平面向量，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得，， 又，所以，即， 所以，解得. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一下·山西吕梁·期末）正六边形瓷砖是一种常见的装饰材料，被广泛应用于室内和室外的墙壁、地面和装饰品的制作.正六边形瓷砖的设计能够形成美观的六边形花纹，增加空间的层次感和艺术感.如图是一块正六边形瓷砖，它的边长为1，点是内部（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若为的中点，在上的投影向量为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】选项A，根据图形，利用向量的几何运算，即可求解；选项B，因为，再利用数量积的定义，再利用正六边形的性质得，，即可求解；选项C，由正六边形的性质知，再利用数量积的几何意义，即可求解，选项D，建立平面直角坐标系，设，，得到，即可求解. 【详解】对于选项A，如图1，因为， 又，所以， 得到，所以选项A正确， 对于选项B，如图1，因为，又因为正六边形的边长为1， 所以，， 所以，所以选项B错误， 对于选项C，如图1，因为，所以在上的投影向量为，故选项C正确， 对于选项D，如图2，建立平面直角坐标系， 设，易知，，， 则，，所以， 得到，所以当， 即点与点重合时，取得最大，此时， 所以的最大值为，故选项D正确， 故选：ACD. 8．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】AD 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】如图，       由条件可知 根据余弦定理可知，， 所以，解得或. 故选：AD. 9．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（　　） A．若，，，则符合条件的恰有两个 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】ABD 【分析】对于A，求出与比较即可，对于B，利用正弦定理统一成角的形式再结合三角恒等变换公式化简判断，对于C，利用余弦定理统一成边的形式化简进行判断，对于D，利用三角函数恒等变换公式化简进行判断. 【详解】对于A，设边上的高为，则， 因为，， 所以，所以符合条件的恰有两个，故A正确； 对于B,若，由正弦定理得， 所以， 因为，所以，或（舍去）， 所以是等腰三角形，故B正确； 对于C,若，由余弦定理得， 所以，化简得， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D,若，所以， 所以 ， 所以， 因为，所以， 所以． 所以或， 因为，所以或， 所以是直角三角形，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 10．（23-24高一下·山西长治·期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 【答案】 【分析】根据向量夹角为锐角，得到不等式，求出答案. 【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 11．（23-24高一下·山西长治·期末）梯形中，，，，分别为，的中点，记，． (1)用，表示向量； (2)若，，求，的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）利用垂直关系可得，由数量积的运算，即可根据夹角公式求解. 【详解】（1）, 故， 又，故， 故, （2）由可得， 故， ，故，故 故， 由于，故 12．（23-24高一下·山西长治·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)若，分别求周长与面积的最大值． 【答案】(1)2 (2)6； 【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换结合正弦定理，余弦定理化简可得解； （2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算求得周长，面积的最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以，由正弦定理可得， 又结合余弦定理可得， 所以得，即. （2）由（1）结合，可得， 所以三角形的周长， 当且仅当时等号成立，所以周长的最大值为6. 由（1）得，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以， 所以， 当，即时，面积取得最大值. 13．（23-24高一下·山西大同·期末）在中，点是边上一点，且，，记，． (1)若，且，求的长； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意有，，又，代入求值即可； （2）由已知可得，在中中和中，利用余弦定理，构造关于的方程组，解出的值，可求的面积． 【详解】（1）因为，所以，， 又，所以，所以， 解得． （2）因为， 所以，所以，即， 又，所以，所以． 在中，由余弦定理得， 即． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 又，所以， 即， 又，解得， 所以的面积． 14．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点． (1)若，且，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可求解， （2）利用向量的线性运算表达，即可由数量积的运算律以及定义得，即可由二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意知， 因为点是线段的中点，所以， 又点是线段上的一点，且，所以，又， 所以， 所以．解得，， 所以． （2）设，所以， ， 所以 ， 所以当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为6． 所以的取值范围是． 15．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将作为基底，利用平面向量基本定理结合共线定理对化简，用基底表示，然后列方程组可求得的值； （2）把用基底表示，再作数量积运算即可. 【详解】（1）因为在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点， 所以，， 因为点在上，所以设（）， 因为，所以， 所以， 所以, 所以，解得，， （2）由（1）可知，， 因为，所以， 所以 . 16．（23-24高一下·山西大同·期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. (1)求角A； (2)若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知等式化简后，利用余弦定理可求出角A； （2）先求出角三角形外接圆的半径，再由正弦定理可求出，将已知等式利用正弦定理统一成边的形式可求出，再结合（1）可求出，从而可求出三角形的面积. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，即， 所以， 因为，所以； （2）因为△ABC的外接圆的面积为，所以△ABC的外接圆半径为， 由正弦定理得，， 因为，所以由正弦定理得， 由（1）知， 所以，得，则， 所以△ABC的面积为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$