专题03 立体几何初步（7大经典基础题+优选提升练）（山西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02斜二测画法 题型03简单几何体的表面积和体积 题型04空间直线、平面的平行 专题05多面体与球体内切外接问题 题型06直线与平面垂直 题型07平面与平面垂直 ( 题型01 ) 基本立体图形 1．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 3．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 斜二测画法 4．（23-24高一下·山西阳泉·期末）如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为 . ( 题型03 ) 简单几何体的表面积和体积 5．（23-24高一下·山西大同·期末）已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24π cm2，则该圆柱的体积为（    ） A．12π B．14π C．16π D．18π 6．（23-24高一下·山西长治·期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面半径分别为，且，则（    ） A．球的体积为 B．圆台的体积大于 C．圆台的侧面积小于 D．圆台母线与底面所成角的余弦值为 7．（23-24高一下·山西大同·期末）现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时 分钟． 8．（23-24高一下·山西大同·期末）在正四棱锥中，，，点是棱的中点，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． ( 题型0 4 )空间直线、平面的平行 9．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在长方体中，，为的中点，为棱上任意一点，直线与棱交于点.则下列结论正确的是（    ） A．四边形是平行四边形 B．当为的中点时，四边形是菱形 C．四边形的周长的最小值为9 D．四棱锥的体积为4 10．（23-24高一下·山西吕梁·期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，则. (1)已知为射线上一点，交于点，交于点，当时，证明以上三面角余弦定理； (2)如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. ( 题型0 5 )多面体与球体内切外接问题 11．（23-24高一下·山西大同·期末）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（　　） A．存在点，使得平面 B．二面角的余弦值为 C．三棱锥的内切球的体积为 D．的周长的最小值为 ( 题型0 6 )直线与平面垂直 13．（23-24高一下·山西阳泉·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的平面角的正切值． 14．（23-24高一下·山西太原·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ． ( 题型0 7 )平面与平面垂直 15．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，在正四棱锥中，. (1)证明：平面平面. (2)若以为球心，半径为的球与直线只有1个公共点，求二面角的正切值. (3)已知当时，取得最小值.请根据这条信息求正四棱锥体积的最大值. 16．（23-24高一下·山西吕梁·期末）如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面，点为线段的中点， (1)证明：平面平面； (2)设，求点到平面的距离. 17．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24高一下·山西长治·期末）若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 2．（23-24高一下·山西长治·期末）四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·山西运城·期末）已知平面，，直线，且，则“”是“∥”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·山西太原·期末）已知，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．（23-24高一下·山西太原·期末）已知平面，和直线，，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与异面 D．与无公共点 6．（23-24高一下·山西阳泉·期末）已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 二、多选题 7．（23-24高一下·山西吕梁·期末）正方体的棱长为分别为的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 8．（23-24高一下·山西长治·期末）在正四棱柱中，，，则（    ） A．正四棱柱的侧面积为24 B．与平面所成角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥内切球的半径为 9．（23-24高一下·山西太原·期末）如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）    A．的长是定值 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得平面平面 D．当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的表面积是 三、填空题 10．（23-24高一下·山西阳泉·期末）在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 11．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知正三棱台上、下底面边长分别为和，侧面与下底面所成的二面角为，则该正三棱台外接球的表面积为 . 12．（23-24高一下·山西长治·期末）在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则 ，四面体的外接球的表面积为 . 四、解答题 13．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，，分别为，，的中点，. (1)求点到平面的距离； (2)证明：平面平面. 14．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． (1)求； (2)证明，，三线共点，并求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，，二面角的大小为，求三棱台的体积． 15．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，. (1)求锐二面角的大小； (2)求AP与平面所成的角的正弦值. 16．（23-24高一下·山西太原·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，． (1)证明：平面； (2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 立体几何初步 题型概览 题型01基本立体图形 题型02斜二测画法 题型03简单几何体的表面积和体积 题型04空间直线、平面的平行 专题05多面体与球体内切外接问题 题型06直线与平面垂直 题型07平面与平面垂直 ( 题型01 ) 基本立体图形 1．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用四棱锥的侧面展开图，由余弦定理求解，即可得，进而可求解. 【详解】如图，将正四棱锥的侧面展开，则的最小值为， 在中，， ， 所以，故，则. 故选：A 2．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】将与同时展平形成一个四边形，对角线即为所求得答案，利用勾股定理和余弦定理求出答案. 【详解】连接， 将与同时展平形成一个四边形，如图， 则此时对角线达到最小， 在等腰直角三角形中，，， 在直角中，， 在中，，，， 所以，即， 对于展开形成的四边形，在中，，，， 由余弦定理有． 故选：A． 3．（23-24高一下·山西怀仁市大地学校·期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B. ( 题型02 ) 斜二测画法 4．（23-24高一下·山西阳泉·期末）如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据直观图与原图形面积之间的关系即可求解. 【详解】解：，且， 故， ∴. 故 答 案 为：. ( 题型03 ) 简单几何体的表面积和体积 5．（23-24高一下·山西大同·期末）已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24π cm2，则该圆柱的体积为（    ） A．12π B．14π C．16π D．18π 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆柱表面积公式求出底面圆半径，再求出体积即得. 【详解】设圆柱底面圆半径为，则圆柱母线长为， 由圆柱表面积为24π，得，解得， 所以该圆柱的体积为（）. 故选：C 6．（23-24高一下·山西长治·期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面半径分别为，且，则（    ） A．球的体积为 B．圆台的体积大于 C．圆台的侧面积小于 D．圆台母线与底面所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】画出圆台的截面图，由几何知识确定球的半径判断A，利用A中结论和圆台的体积公式、侧面积公式，结合基本不等式判断BC，根据余弦的定义和二倍角公式判断D即可. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆为等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底分别切于点，，球的半径为， 因为，所以与全等，所以平分， 同理可得平分，所以， 所以由得， 同理可得，所以， 所以，球的体积，A说法正确； 由圆台体积公式得该圆台的体积， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，故B说法正确； 因为， 所以，，当且仅当时等号成立， 又因为，当且仅当时等号成立， 所以由圆台的侧面积公式可得圆台的侧面积，当且仅当时等号成立，C说法错误； 因为， 所以圆台母线与底面所成角的余弦值， 又因为，所以，即圆台母线与底面所成角的余弦值为，D说法正确； 故选：ABD 【点睛】关键点睛：由该几何体的轴截面，利用几何关系可知，进而得到内切球半径与上、下底面半径的关系，再逐项判断即可. 7．（23-24高一下·山西大同·期末）现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时 分钟． 【答案】37 【分析】利用台体的体积公式，结合题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，由此得解. 【详解】设正四棱台的高为，所以， 即，解得． 因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 甲容器内水的体积为， 设注水的速度为，则，解得． 当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时， 水的体积为， 当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟． 故答案为：37. 8．（23-24高一下·山西大同·期末）在正四棱锥中，，，点是棱的中点，则三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥的体积公式求解即可. 【详解】记，连接， 则即为棱锥的高， 又，， 所以，， 因为点是棱的中点， 所以 ． 故选：D． ( 题型0 4 )空间直线、平面的平行 9．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在长方体中，，为的中点，为棱上任意一点，直线与棱交于点.则下列结论正确的是（    ） A．四边形是平行四边形 B．当为的中点时，四边形是菱形 C．四边形的周长的最小值为9 D．四棱锥的体积为4 【答案】ABD 【分析】对于A，根据面面平行的性质结平行四边形判定定理分析判断，对于B，根据已知条件可由三角形全等，得，从而可判断，对于C，设，则四边形的周长为，转化为平面上点之间的距离问题分析判断，对于D，利用等体积法分析判断. 【详解】对于A，因为为的中点，直线与棱交于点，所以四点共面， 因为平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥，同理可证得∥， 所以四边形是平行四边形，所以A正确， 对于B，因为为的中点，所以，因为，， 所以 ≌，所以， 因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，所以B正确， 对于C，设，则，， 所以四边形的周长为 ， 则看成平面上点到点的距离和， 设点关于轴的对称点为，则 所以 ，当时取等号， 所以四边形的周长为10，所以C错误， 对于D， ，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查面面平行的性质，考查棱柱的性质，考查棱锥的体积的计算，选项C解题的关键是将四边形的周长转化为平面上点到点的距离和的2倍，然后利用平面几何的知识求解，考查数学转化思想和空间想象能力，属于较难题. 10．（23-24高一下·山西吕梁·期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，则. (1)已知为射线上一点，交于点，交于点，当时，证明以上三面角余弦定理； (2)如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，点在的延长线上且 【分析】（1）在中和中分别用余弦定理得，两边同除以可得答案； （2）①由平面平面，知，由（1）得答案；②延长至，使，证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案. 【详解】（1）如图，依题意，交于点，交于点， 则是二面角的平面角． 在中和中分别用余弦定理，得 ， ， 两式相减得， 由，故， 由， 两边同除以，所以； （2）①由平面平面，知， 由（1）得， ，， ； ②在直线上存在点，使平面． 连结，延长至，使，连结， 在棱柱中，，，，， ，且，则四边形为平行四边形， ， 在四边形中，，， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面． 当点在的延长线上，且使时，平面． 【点睛】思路点睛：第二问②中，延长至，使，证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可. ( 题型0 5 )多面体与球体内切外接问题 11．（23-24高一下·山西大同·期末）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用外接球的体积公式和球心的几何性质，可利用球的半径来求出的长，再利用中位线平移思想来计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】设球的半径为，所以，解得． 设的外接圆的半径为，所以，解得， 根据球心的性质，假设底面的外接圆的圆心为，则外接球的球心一定满足平面， 又由于，取的中点为，连接，则， 又因为平面，所以， 而平面，所以，则， 即四边形是矩形，所以， 则由勾股定理得：，即，解得． 再取，的中点，，连接，，，， 因为平面，又，平面，所以，， 在等边中，，所以， 所以，， 又，，分别为，，的中点， 所以，， 又因为，，所以为直线与所成的角或其补角， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为． 故选：B． 12．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在棱长为4的正方体中，，分别为棱，的中点，点是棱上的一点，则下列说法正确的是（　　） A．存在点，使得平面 B．二面角的余弦值为 C．三棱锥的内切球的体积为 D．的周长的最小值为 【答案】ACD 【分析】当点是棱的中点时，平面，利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；取的中点，可得是二面角的平面角，由余弦定理可判断B；设三棱锥的内切球半径为，利用求出可判断C；将平面沿展开到与平面共面，此时当，，三点共线时，取得最小值可判断D． 【详解】对于A，当点是棱的中点时，平面，因为在正方形中， 点是棱的中点，点是棱的中点，所以． 在正方体中，平面，又平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可得，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连接，，， 在中，，， 所以，． 在中，，， 所以，， 所以是二面角的平面角． 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为，故B错误； 对于C，设三棱锥的内切球半径为， ， 又，又 ， 解得，所以三棱锥的内切球的体积为，故C正确； 对于D，将平面沿展开到与平面共面， 此时当，，三点共线时，取得最小值， 所以，又， 所以的周长的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点睛：解答关键点是要发挥空间想象，明确空间的点线面的位置关系，依据相关定理以及性质，准确求解. ( 题型0 6 )直线与平面垂直 13．（23-24高一下·山西阳泉·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判断方法可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质可得，则为二面角的平面角，即可求解. 【详解】（1）由题意知，，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）由平面，平面，得， 又平面， 所以平面，由平面， 得， 所以为二面角的平面角， 又平面，平面，得， 在中，， 所以， 即二面角的平面角的正切值为. 14．（23-24高一下·山西太原·期末）如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设是的中点，即可证明，过作，交于，过作，交于，连接，即可说明，从而得到，再求出的最小值，即可得解. 【详解】设是的中点，， 所以，则. 对任一点，的最小值是到直线的距离， 过作，交于， 过作，交于，连接， 由于，所以平面，平面， 所以， 由于，平面，所以平面， 又平面，所以， 则，易得. ，， ， 所以， 当三点共线，且是的中点，是与的交点， 此时取得最小值为，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是将转化为，从而求出的最小值，利用两点之间线段最短求出最小值. ( 题型0 7 )平面与平面垂直 15．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，在正四棱锥中，. (1)证明：平面平面. (2)若以为球心，半径为的球与直线只有1个公共点，求二面角的正切值. (3)已知当时，取得最小值.请根据这条信息求正四棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）与交于点，由正四棱锥结构特征，有，，可证平面，则有平面平面； （2）的中点为，依题意有，且为二面角的平面角，利用勾股定理求出，可求； （3）设，有，由已知得当时，正四棱锥的体积取得最大值，代入求值即可. 【详解】（1）证明：正四棱锥中，设与交于点， 连接，则底面． 因为平面，所以． 底面为正方形，所以， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）因为以为球心，半径为的球与直线BC只有1个公共点，所以点P到直线BC的距离为． 取的中点，连接，，因为，所以，， 所以，且为二面角的平面角． 则，， 所以，则， 即二面角的正切值为4． （3）设，则， 即，其中， 所以正四棱锥的体积 ，． 因为当时，取得最小值， 所以当时，取得最大值， 所以正四棱锥体积的最大值为． 16．（23-24高一下·山西吕梁·期末）如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面，点为线段的中点， (1)证明：平面平面； (2)设，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用线面垂直的性质得到，从而得到平面，再利用和面面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）法一，过作垂线，根据条件得到平面，利用几何关系得到，从而可求出结果；法二，过作垂线，根据条件得到平面，利用几何关系，即可求出结果；法三，利用等体积法求解. 【详解】（1）因是的直径，则， 因垂直于所在的平面，平面，则， 因，，平面，则平面， 又点为线段的中点，得到，所以平面， 又平面，则平面平面； （2）解1．如图，过作垂线，垂足为． 由（1）知平面，平面， 所以平面平面，平面平面，平面， 则平面， 即为点到平面的距离． 又，，垂直于所在的平面 则，所以， 则在中，， 得到，即点到平面的距离为． 因点为线段的中点，点到平面的距离为点到平面的距离的一半， 即点到平面的距离为． 解2．如图，过作垂线，垂足为． 由（1）知平面，平面， 所以平面平面，平面平面，平面， 则平面，即为点到平面的距离． 又，，垂直于所在的平面 则，得到， 则在中，， 得到，因为为的中位线， 所以，即点到平面的距离为. 解3：等体积法 设底面圆半径为， ，，, 的面积, , 又由（1）知，面，面 ，，与为直角三角形． ，， ，． 设到平面的距离为， 由，得， ，到平面的距离为． 17．（23-24高一下·山西大同·期末）如图1，在中，，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）由勾股定理逆定理求得，再借助三角形的中位线性质证得，，从而得到平面，进而得证； （2）先求出，再算出，根据等体积法，，从而得到点到平面的距离； （3）与平面所成的角为，设，在中，用余弦定理表示出，再在中，表示，，列方程求解即可. 【详解】（1）在中，，，所以， 所以，又点，分别为边，的中点， 所以，，，所以，， 所以，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2） 因为，，所以二面角的平面角为， 所以，又，所以是等边三角形， 取的中点，连接，如图所示，所以，，， 由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以，又，平面， 所以平面，因为，平面，平面， 所以平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 在中，，，， 所以， 设点到平面的距离为，又，所以， 解得，即点到平面的距离为． （3）由（2）知平面，所以与平面所成的角为． 在中，，，，设， 由余弦定理得． 因为平面，又平面，所以， 所以， 即，所以， 整理得，解得或， 故在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为， 的长为或． 【点睛】方法点睛：翻折问题的解题策略是确定翻折前后“变”与“不变”的关系，一般地，位于“折痕”同侧的线面之间的位置关系和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的线面之间的位置关系和数量关系可能会发生变化.对于不变的关系，可以在平面图形中处理，对于变化的关系，则要在立体图形中处理. 一、单选题 1．（23-24高一下·山西长治·期末）若某圆台的上底面半径、下底面半径分别为1，2，高为5，将该圆台的下底面半径扩大为原来的2倍，上底面半径与高保持不变，则新圆台的体积比原圆台的体积增加了（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】B 【分析】根据圆台体积公式即可求解. 【详解】设新圆台与原圆台的体积分别为，，则， 所以新圆台的体积比原圆台的体积增加了倍． 故选：B 2．（23-24高一下·山西长治·期末）四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，若四棱锥的外接球表面积为，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质，结合勾股定理即可求解，即可求解四棱锥的高，由体积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接， 又因为，所以， 又因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面. 设的中心为，球心为，则平面, 于是，. 设四棱锥的外接球半径为，其表面积为,故. 过作，则四边形为矩形， 故,， 在和中， ， ，, 所以，，. 当在平面的上方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 当在平面的下方，此时四棱锥的高为, 四棱锥的体积． 故选:C. 【点睛】本题关键要注意外心即可能在平面上方，也可能在下方，思考问题要周密. 3．（23-24高一下·山西运城·期末）已知平面，，直线，且，则“”是“∥”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据线面关系及充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当，时，∥或， 当，∥时，与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直， 所以“”是“∥”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．（23-24高一下·山西太原·期末）已知，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】由，，，则或或，为异面直线，可以判断选项A；由，，，则或或，为异面直线，可以判断选项B；若，，，则或，即可判断选项C；设直线，由，则，又，可得，又，则，所以，即可判断选项D. 【详解】对于选项A，若，，，则或或，为异面直线，故选项A错误； 对于选项B，若，，，则或或，为异面直线，故选项B错误； 对于选项C，若，，，则或，故选项C错误； 对于选项D，设直线，因为，则，又，所以， 因为，所以，所以，故选项D正确. 故选：D. 5．（23-24高一下·山西太原·期末）已知平面，和直线，，若，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与异面 D．与无公共点 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质可得，又，由线面平行的性质可得没有公共点，所以与可能异面、平行、垂直，从而确定正确答案. 【详解】依题意，若，，则， 又，所以没有公共点， 与可能异面、平行、垂直， 所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D. 6．（23-24高一下·山西阳泉·期末）已知两条不同直线m，n与三个不同平面，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】根据线线、线面与面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，，则，故A正确； B：若，则与可能平行或相交，故B错误； C：若，，则或，故C错误； D：若，，，则与可能相交、平行或异面，故D错误. 故选：A. 二、多选题 7．（23-24高一下·山西吕梁·期末）正方体的棱长为分别为的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与所成角的余弦值为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截正方体所得的截面周长为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点H，连接得，则求出的余弦值即为直线与所成角余弦值；对于B，连接、，证明即可得到平面截正方体所得的截面图形为四边形，证明平面结合棱锥的体积公式即可判断；对于C，由选项B即可得到截面的图形，进而根据数据直接求解即可；对于D，根据线面角定义以及正方体性质可得到是直线与平面所成的角，求出的正弦值即可得解. 【详解】对于A，取中点H，连接、、，    则由题意可知，，且， 所以是直线与所成角或补角，且， 所以直线与所成角余弦值为，故A正确； 对于B，连接、，由正方体几何性质可知且， 所以四边形是平行四边形，故，    又，所以，故与共面且过与的面有且只有一个， 故四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由、均为所在边的中点以及正方体性质得，且， 故，又平面，平面， 所以平面，故点到平面的距离即为到平面的距离， 所以为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项B正确； 对于C，由B可知平面截正方体所得的截面图形为四边形， 又由上以及题意得，，， 所以平面截正方体所得的截面周长为，故C正确； 对于D，连接，由正方体性质可知平面， 故是直线与平面所成的角， 又，所以， 所以，故直线与平面所成角的正弦值为，故D错.      故选：ABC. 8．（23-24高一下·山西长治·期末）在正四棱柱中，，，则（    ） A．正四棱柱的侧面积为24 B．与平面所成角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥内切球的半径为 【答案】ABD 【分析】由侧面积公式即可求解A，根据线面垂直可得与平面所成的角为，即可由三角形的边角关系求解B，根据线线平行可得异面直线与所成的角为或其补角，由三角形的边角关系求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】正四棱柱的侧面积为，正确． 设，由于四边形为正方形，故， 又平面，平面，故， 由平面，故平面， 则与平面所成的角为， 且，，则，B正确． 在正方体中，，则异面直线与所成的角为或其补角， ， 则，C错误． 三棱锥的表面积， 三棱锥的体积， 所以三棱锥内切球的半径为，D正确． 故选：ABD 9．（23-24高一下·山西太原·期末）如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（    ）    A．的长是定值 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得平面平面 D．当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的表面积是 【答案】ACD 【分析】对于A：取点作辅助线，分析可知，，结合余弦定理分析判断；对于B：假设，分析可得，，进而可得矛盾，即可得结果；对于C：取，分析可知平面，结合面面垂直的判定定理分析证明；对于D：分析可知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可. 【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，可知为中点，    则，可知， 且， 在△CEN中，由余弦定理得：为定值， 所以NC是定值，故B正确； 对于选项B：由选项A可知：， 因为，则， 假设，则， 但NE，NF，NC共面且有公共点， 这是不可能的，假设不成立，所以不相互垂直，故B错误； 对于选项C：例如，则，可知， 且，，平面， 可得平面， 又因为平面，可得平面平面， 所以存在某个位置，使得平面平面，故C正确； 对于选项D：根据题意知：当且仅当平面平面AMD时，三棱锥的体积最大， 取AM、AD的中点为O、E，连接，    因为，即，则， 平面平面，平面，可得平面， 且平面，则， 则，，， 可得，则， 可知AD的中点E就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为1， 所以球的表面积是，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：探索性问题求解的途径和方法 （1）对命题条件探索的三种途径： ①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； ③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件． （2）对命题结论的探索方法： 从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，现寻找与条件相容或者矛盾的结论． 三、填空题 10．（23-24高一下·山西阳泉·期末）在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 【答案】 【分析】由已知画出图形，连接上下底面中心，则的中点即为外接球球心，连接CO，求出CO即可计算得出外接球的面积． 【详解】由已知做出正三棱柱，则， 设点分别为正，正的中心，连接，则， 连接并延长交于于点，则，， 设点为中点，连接CO， 则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，， 因为点为正的中心， 所以， 所以，则， 因为平面， 所以， 则正三棱柱外接球半径， 所以该球的表面积为：， 故答案为： 11．（23-24高一下·山西吕梁·期末）已知正三棱台上、下底面边长分别为和，侧面与下底面所成的二面角为，则该正三棱台外接球的表面积为 . 【答案】/ 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径，即可求解. 【详解】如图，设正三棱台上、下底面的中心分别为，的中点分别为， 连接，由正三棱台的性质可知， 所以为侧面与下底面所成的二面角的平面角， 易知正三棱台外接球的球心在直线上，设球心为，如图所示，过作于， 因为正三棱台上、下底面边长分别为和，所以， 因为分别为的中心，所以，， 在中，，，所以， 又，设，正三棱台外接球的外接球半径为， 由，得到，解得， 所以球心在的延长线上，得到， 所以正三棱台外接球的表面积为. 故答案为：. 12．（23-24高一下·山西长治·期末）在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，，平面，则 ，四面体的外接球的表面积为 . 【答案】 /0.5 【分析】根据线面平行的性质定理可得，即可求解E为的中点，即可得，利用补形法，即可根据长方体的外接球的半径求解. 【详解】连接交于点，连接，因为，共面，且平面， 平面,平面平面，所以. 由于O为的中点，所以E为的中点，所以. 四面体可以补形为一个长方体，所以四面体的外接球的半径， 故四面体的外接球的表面积为. 故答案为：， 四、解答题 13．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，，分别为，，的中点，. (1)求点到平面的距离； (2)证明：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等体积法即可求解，或者由线面垂直的判定得平面，进而由等面积法求解距离， （2）根据线线平行证明线面平行，即可由面面平行的判定求证. 【详解】（1）（方法一）在正三棱柱中，侧棱垂直底面，底面，则，. 依题意得，，则， 所以的面积. 设点B到平面的距离为h，则由， 得，解得. （方法二）取的中点M，连接，. 因为，所以. 因为底面，底面，所以. 因为，平面，所以平面. 过B作于H，平面，则. 因为，平面,所以平面. 因为，，， 所以点B到平面的距离. （2）证明：因为D，E分别为，的中点，所以. 又，所以. 因为平面，平面，所以平面. 取的中点N，连接.因为，所以F为的中点. 又D为的中点，所以. 由于,故四边形为平行四边形， 故，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又，平面，所以平面平面. 14．（23-24高一下·山西长治·期末）如图，四棱柱中，平面，平面平面．过，，三点的平面记为，与的交点为，． (1)求； (2)证明，，三线共点，并求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； (3)若，，二面角的大小为，求三棱台的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）根据面面平行的性质得到，同理可证又，即可得到，从而得解； （2）设，再由平面平面，即可证明三线共点，设四棱柱的底面积为，高为，体积为，求出棱台的体积，即可得解； （3）作于，连接，即可证明，从而得到二面角的平面角为，求出，即可求出，从而求出四棱柱的体积，结合（2）即可得解. 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可证， 在四棱柱中，所以，， 所以，所以； （2）显然与相交，设， 因为平面，平面，因为平面平面， 所以，所以，，三线共点， 由（1）可得，所以，所以， 则，所以， 所以，设四棱柱的底面积为，高为，体积为， 所以棱台的体积， 则另一部分的体积， 所以四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为. （3）作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 所以二面角的平面角为，即， 所以，所以， 所以，，所以， 所以四棱柱的体积， 所以三棱台的体积. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用整体思想，根据三角形相似得到线段比、从而得到面积、体积之比. 15．（23-24高一下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，. (1)求锐二面角的大小； (2)求AP与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，利用二面角的定义求解即得. （2）取的中点，利用等体积法求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离，再利用公式法求出线面角的正弦值. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 在菱形中，，则是正三角形，，由，得， 由是正三角形，得，则是二面角的平面角， 而，则， 所以锐二面角的大小为. （2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 取中点，连接，由为正三角形，得，， 而平面平面，平面，则平面， 三棱锥的体积， 显然，，又平面，即有， 于是， 又，底边上的高， 设点到平面的距离为，由，得， 即，于是，解得， 由平面，平面，得平面， 因此点到平面的距离等于点到平面的距离， 令AP与平面所成的角为，则， 所以AP与平面所成的角的正弦值. 【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 16．（23-24高一下·山西太原·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，． (1)证明：平面； (2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定推理即得； （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 显然，则，即， 由，，，得，则，即， 又，平面，所以平面. （2）取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，，即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则，， 于是，，而， 则，，，于是， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面，于是， 而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 中，，， 且，则， 所以直线BD与平面夹角为. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$