专题5.7 图形的轴对称（挑战综合压轴题分类专题）（2大考点8类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
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内容正文：
专题5.7 图形的轴对称（挑战综合压轴题分类专题）（2大考点8类题型）
第一部分【考点与题型目录】
【考点一】轴对称与动点压轴题
【题型1】折叠+动点..................................................................1
【题型2】轴对称+动点................................................................2
【题型3】动点+最值..................................................................3
【题型4】轴对称性质+全等三角形......................................................4
【考点二】简单的轴对称图形
【题型5】等边对等角+三线合一........................................................5
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定.................................................6
【题型7】角平分线的性质.............................................................7
【题型8】尺规作图——线段垂直平分线与角平分线.......................................8
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】轴对称与动点压轴题
【题型1】折叠+动点
【例题1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ．
【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）
【问题情境】
动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．
【问题初探】
（1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____；
（2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____；
【问题再探】
（3）若，求的度数（用含的代数式表示）；
【问题深探】
（4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）．
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．2
【题型2】轴对称+动点
【例题2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点D是边上的动点（点D与点B，C不重合），连接，作关于对称的，设．
（1）当平分时，
①求的值；
②求证：；
（2）若点E与点C不重合，连接，当时，求的值．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），射线和射线分别平分和，分别交射线于点，．
（1）求的度数．
（2）当点运动到使时，求的度数．
（3）作射线关于对称的射线，射线关于对称的射线，如果和始终在的内部，请直接写出的范围．
【变式2】（19-20七年级下·广东深圳·期末）在中，，直线l过点C．
（1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：．
（2）当时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．
① ，当N在路径上时， ．（用含t的代数式表示）
②当与全等时，求出t的值．
【题型3】动点+最值
【例题3】（20-21七年级下·重庆万州·期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．
【变式1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设．
（1）若，且，则 ；
（2）当最小时，则之间的数量关系是 ．
【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【题型4】轴对称性质+全等三角形
【例题4】（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数．
【变式1】（2025·湖南永州·一模）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ．
【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．n B． C． D．
【考点二】简单的轴对称图形
【题型5】等边对等角+三线合一
【例题5】（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，，点为的中点．
（1）若，两边分别交于两点．
①如图1，当点分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______．
（2）如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定
【例题6】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【变式2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，．
（1）若，的周长为，求的长度；
（2）若，求的度数；
（3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由．
【题型7】角平分线的性质
【例题7】（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为
【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）中，，射线交射线于，过作垂直射线于点E，点在射线上，．
（1）如图1，若是的角平分线，求证：；
（2）如图2，若射线平分的外角，且点在射线上，则线段、和的数量关系是______；
（3）如图3，在（2）的条件下，把沿翻折至处，若，，，直接写出的面积．
【题型8】尺规作图——线段垂直平分线与角平分线
【例题8】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．连结，根据可判定
C．
D．的最小值是的长
【变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为 ．
【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线．
（1）若，则______．
（2）如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______．
（3）如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗）
（4）某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______．
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专题5.7 图形的轴对称（挑战综合压轴题分类专题）（2大考点8类题型）
第一部分【考点与题型目录】
【考点一】轴对称与动点压轴题
【题型1】折叠+动点..................................................................1
【题型2】轴对称+动点................................................................7
【题型3】动点+最值.................................................................14
【题型4】轴对称性质+全等三角形.....................................................18
【考点二】简单的轴对称图形
【题型5】等边对等角+三线合一.......................................................22
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定................................................28
【题型7】角平分线的性质............................................................31
【题型8】尺规作图——线段垂直平分线与角平分线......................................37
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】轴对称与动点压轴题
【题型1】折叠+动点
【例题1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ．
【答案】108或72
【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案．
解：由题意可知，，，
，，
①当在的外部，如图
，且，
，
，
∴；
②当在的内部，如图
，且，
，
，
．
故答案为：108或72．
【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角）
【问题情境】
动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和．
【问题初探】
（1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____；
（2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____；
【问题再探】
（3）若，求的度数（用含的代数式表示）；
【问题深探】
（4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）．
【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4）
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据折叠可得，即可求解；
（2）根据折叠可得，进而即可求解；
（3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解．
解：（1）图2中，由折叠得，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）图3中，由折叠得∶，，
，
，
，即，
故答案为：；
（3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
，
当与重叠时，如图所示，
由折叠的性质得：，，
，
又，
，
，
故答案为：或；
（4）当点在的左侧，在的右侧时，如图，
折叠，
，
又，
，
射线是的角平分线，
，
，
∵折叠，
∴，
∴；
当点在的右侧，在的左侧时，如图，
折叠，
，
又，
，
射线是的角平分线，
，
，
∵折叠，
∴，
∴；
综上，的度数为．
【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则， ，求出，即可求解．
解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查折叠变换，三角形的面积，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【题型2】轴对称+动点
【例题2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，点D是边上的动点（点D与点B，C不重合），连接，作关于对称的，设．
（1）当平分时，
①求的值；
②求证：；
（2）若点E与点C不重合，连接，当时，求的值．
【答案】（1）①；②见分析
（2）或．
【分析】本题主要考查了对称的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）①由题易得，再根据平分得到，进而利用平角性质求解；
②要证线段和差，优先考虑截长补短，过点A作，证即可得证；
（2）分类讨论：当点E在上方时可证出，此时，当点E在下方时可证出，进而得到．
解：（1）解：①∵与关于对称，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
解得；
②如图，过点A作，
则，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵与关于对称，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：①当点E在上方时，如图所示，设与交于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与关于对称，
∴，，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点E在下方时，如图所示，设与交于点H，
同理可得，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
综述所述：或．
【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），射线和射线分别平分和，分别交射线于点，．
（1）求的度数．
（2）当点运动到使时，求的度数．
（3）作射线关于对称的射线，射线关于对称的射线，如果和始终在的内部，请直接写出的范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了轴对称的性质、平行线的性质，分类讨论是解答本题的关键．
（1）利用平行线性质得到，利用角平分线得到；
（2）根据，，得出，进而得到，根据，，可求得的度数；
（3）分两种情况讨论①当位于上时，②如图2，当位于射线上时，分别画出图形进行计算推导即可．
解：（1），，
，
平分，平分，
；
（2），
，
又，
，
，
由（1）可得，，，
;
（3）根据题意，分两种情况讨论：
当位于上时，如图1，
为的角平分线，
，
又与关于对称，
，
，，
，
，
，
，
又，
；
②如图2，当位于射线上时，
同①可得：，
，
，
又，
，
综上分析，．
【变式2】（19-20七年级下·广东深圳·期末）在中，，直线l过点C．
（1）当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：．
（2）当时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．
① ，当N在路径上时， ．（用含t的代数式表示）
②当与全等时，求出t的值．
【答案】（1）证明见解答过程；（2）①；；②当与全等时，秒或5秒或秒
【分析】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、折叠的性质、以及分类讨论等知识；掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
（1）根据垂直的定义得到，利用定理证明；
（2）①由折叠的性质可得出答案；
②动点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动，点N沿路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．
解：（1）证明：∵直线l，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ；
（2）解：①由题意得，，
则，
根据题意得，
由折叠的性质可知，，
∴．
故答案为：；．
②由折叠的性质可知，，
∵，，
∴，
∴当时，与全等，
当点N沿路径运动时，，
解得，（不合题意），
当点N沿路径运动时，，
解得，，
当点N沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
当点N沿路径运动时，由题意得，，
解得，，
综上所述，当与全等时，秒或5秒或秒．
【题型3】动点+最值
【例题3】（20-21七年级下·重庆万州·期末）已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．
【答案】（1）∠MCN =2∠MEN，理由见分析；（2）∠OPM+∠OQN．
【分析】（1）根据角平分线的性质以及平行线的性质得到∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，利用三角形的外角性质得到2∠2+∠MCN=2∠O①和∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，计算可得∠MCN =2∠MEN；
（2）过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，根据轴对称的性质得到PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，利用轴对称的性质和三角形的外角性质即可计算得到∠OPM+∠OQN．
解：（1）∠MCN =2∠MEN，理由如下：
如图，
∵NE是∠MNC的平分线，MDOB，∠O=∠OMN，
∴∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，
在△OMN中，∠MNB=∠O+∠OMN，
∴∠1+∠2+∠MCN=2∠O，即2∠2+∠MCN=2∠O①，
又∠3=∠2+∠MCN =∠4+∠MEN，即∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，
由①②得：∠MCN =2∠MEN；
（2）如图，过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，
∴PM+PQ+NQ=PM1+PQ+QN1，
由两点之间，线段最短，可得PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，
由对称的性质，知：∠MPO=∠M1PO，∠NQA=∠N1QA，
设∠OQP=，∠ONQ=，
由对顶角的性质得∠MPO=∠M1PO=∠QPN，∠NQA=∠N1QA=∠OQP=，
在△OQN中，∠NQA=∠O+∠ONQ，即，
在△OPQ中，∠QPN =∠O+∠OQP，即∠OPM，
∠OQN=180°-∠NQA=180°，
∴∠OPM+∠OQN=160°．
【点拨】本题主要考查了轴对称-最短路径问题，平行线的性质，角平分线的定义，掌握轴对称-最短路径的确定方法是解题的关键．
【变式1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设．
（1）若，且，则 ；
（2）当最小时，则之间的数量关系是 ．
【答案】 5
【分析】（1）由题易得，，因为，根据三线合一可知，根据中位线可知，进而即可得到答案．
（2）要想的值最小，需要把这三条三段转化到一条线段上，进而分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，再根据外角的性质即可得到答案．
解：（1）∵，
∴，，
在中，，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
故答案为：5．
（2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为．
由题意和对称性可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称——最短问题、三角形的外角的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值．
解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，，
，，，
，
、、共线，
根据对称的性质可知，，
，
，
当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小，
由对称性可知，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
当时，的值最小，最小值为，
，
的最小值为．
故选：C．
【题型4】轴对称性质+全等三角形
【例题4】（2025七年级下·江苏·专题练习）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查轴对称的性质，及三角形全等的判定及性质，根据对称性可判断出，先求出，再根据对称的性质判断，最后根据即可求解．
解：如图，连接，设与的交点为O．
因为关于的对称线段是，
所以．
因为，
所以
因为边关于的对称线段是，
所以，
所以，
所以，
所以．
又因为点落在所在的直线上，，
所以，
所以，
所以．
【变式1】（2025·湖南永州·一模）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是 ．
【答案】先变小后变大
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，由全等三角形的性质可得，，可得周长，即可求解．
解：∵点A与点F关于过点D的某条直线对称，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴周长，
∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大，
∴周长的变化规律是先变小后变大，
故答案为：先变小后变大．
【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．n B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
解：∵和关于直线对称，
∴，，
在与中，
，
∴．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴图2中有对三角形全等；
同理：图3中有对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
【考点二】简单的轴对称图形
【题型5】等边对等角+三线合一
【例题5】（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过作于，作，交于，过作于，根据角平分线性质求出，，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出①；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出②④；由得到，然后根据即可得到，进而可判断③；证得，得到，，即可求出⑤，即可求解．
解：如图，过作于，作，交于，过作于，
，平分，
，
，，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，④正确；
∵
∴
∵
∴
∴，故③错误，
，
，
，
平分，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即，故⑤正确．
正确的结论有4个．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的特，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式1】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质．令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题．
解：，，
．
令，
和关于直线对称，
，，
．
，且平分，
．
，，
．
同理可得，，
．
当时，
，即，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
．
综上所述，的度数为：或或．
故答案为：或或．
【变式2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，，点为的中点．
（1）若，两边分别交于两点．
①如图1，当点分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点分别在和的延长线上时，连接，若，则______．
（2）如图3，若，两边分别交边于，交的延长线于，连接，若，，试求的长．
【答案】（1）①见分析；②18
（2）2
【分析】（1）①连接，证明即可；②连接，，得出，利用三角形面积公式进行计算即可；
（2）连接，过点作，交的延长线于点，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案．
解：（1）证明：①如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵，，点为的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：如图，连接，过点作，交的延长线于点，
∵，，点为的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
【题型6】线段垂直平分线的性质与判定
【例题6】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了最短距离问题、三线合一、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据点A与点C关于对称可得，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此即可求得周长的最小值．
解：∵是以为底边的等腰三角形，平分，
∴垂直平分，
∴点A与点C关于对称，
∴，
如图所示，当点P与点E重合时，，
此时的周长最小，
∵，，，
∴周长的最小值为：，
故选：B．
【变式1】（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】15
【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
解：连接，
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短．
故答案为：15．
【变式2】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，．
（1）若，的周长为，求的长度；
（2）若，求的度数；
（3）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点在边的垂直平分线上，理由见分析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即；
（2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以；
（3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解．
解：（1）解：直线垂直平分边，
，
的周长为，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
直线垂直平分边，
，
；
（3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下：
连接、，
直线垂直平分边，点在直线上，
，
点在边的垂直平分线上，
，
，
点在边的垂直平分线上．
【题型7】角平分线的性质
【例题7】（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、三角形中线和高的定义，平行线的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质定理是解题的关键．
根据角平分线的定义以及平行线的性质得到，那么，即可判断①；证明，即可判断②；证明即可判断③；证明，则，同理可知，再根据线段和差即可判断④．
解：∵平分，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，即是的高，故①正确；
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，即是的中线，故②正确；
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
但不能证明，故③错误；
过点D作于点G，如图所示：
∵平分，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可知，
∵，
∴，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：B．
【变式1】（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为
【答案】4
【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案．
解：如图，延长交于，延长交于，
，
∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∵，，
∴，，
在与中，
∵，
∴
∴， ，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：4．
【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）中，，射线交射线于，过作垂直射线于点E，点在射线上，．
（1）如图1，若是的角平分线，求证：；
（2）如图2，若射线平分的外角，且点在射线上，则线段、和的数量关系是______；
（3）如图3，在（2）的条件下，把沿翻折至处，若，，，直接写出的面积．
【答案】（1）见分析；（2）；（3）18
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，折叠的性质，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。
（1）由角平分线的定义得到，证明得到，再证明，从而有，则可得结论成立；
（2）由角平分线的定义得到，证明，得到，再证明，从而有，则可得；
（3）由全等三角形的性质得到，，， 设，则，根据建立方程求出，由折叠的性质可得，则.
解：（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
即；
（2）解：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
即；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
由折叠的性质可得，
∴.
【题型8】尺规作图——线段垂直平分线与角平分线
【例题8】（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．连结，根据可判定
C．
D．的最小值是的长
【答案】B
【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项．
解：连接，，
由作图过程可得，，
∵，
∴，
∴根据可判定，
故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意；
由作图过程可知，射线为的平分线，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
由题意知，当时，取得最小值，
∵为的平分线，，
∴此时，
即的最小值是的长，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【变式1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点E，D；②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点M；③作射线，交于点F；④过点F作，垂足为点G．若的面积为9，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积等知识点，得到是的平分线是解答的关键．
根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可．
解：如图∶ 过F作于H，
由作图过程可得：是的平分线，
又∵，，
∴，
∵，的面积为9，
∴，解得：．
故答案为：4．
【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线．
（1）若，则______．
（2）如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______．
（3）如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗）
（4）某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______．
【答案】（1）40；（2）46；（3）见详解；（4）2.5
【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得．
（2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解．
（3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可．
（4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值．
解：（1）解：根据题意可知：，
∵，
则，
∴，
故答案为：40．
（2）解：由题意可得：，
∴，
∴．
故答案为：46．
（3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求．
（4）解：如下图：
小球从长方形的点A沿射出，到的点E，．
从E点沿与成射出，到边的F点，，
从F点沿与成射出，到边的G点，，
从G沿与成射出，到边的H点，
从H点沿与成射出，到边的M点，
从M点沿与成射出，到B点，
由（1）中的结论以及轴对称的性质可知：
，，．
根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，
∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了实际问题中的角度计算，作已知线段垂直平分线，轴对称性质等知识，掌握这些性质以及作图的方法是解题的关键．
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