专题5.6 图形的轴对称（常考知识点分类专题）（2大考点12类题型）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
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内容正文：
专题5.6 图形的轴对称（中考常考点分类专题）（2大考点12类题型）
第一部分【考点与题型目录】
【考点一】轴对称及性质
【题型1】轴对称图形的识别........................................................1
【题型2】轴对称图形的性质特征求值证明............................................2
【题型3】折叠问题................................................................3
【题型4】利用轴对称性质求最值....................................................3
【考点二】轴对称及性质
【题型5】等边对等角..............................................................5
【题型6】三线合一................................................................5
【题型7】线段垂直平分线性质......................................................6
【题型8】线段垂直平分线判定......................................................7
【题型9】角平分线的性质..........................................................8
【题型10】尺规作图——作线段垂直平分线...........................................8
【题型11】尺规作图——作角平分线.................................................9
【题型12】最短路径问题..........................................................10
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】轴对称及性质
【题型1】轴对称图形的识别
【例1】（2024·四川巴中·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】轴对称图形的性质特征求值证明
【例2】（2019·台湾·中考真题）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在三角形中，为边上一点，将三角形沿直线折叠后，点C落到点E处．若，求的度数．
【题型3】折叠问题
【例3】（2019·山东烟台·中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是 .
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，，．点是边上一点，连接，将沿对折，点落在点处，与交于点．当时， （用含的代数式表示）．此时若的面积是2，则重叠部分的面积为 ．
【变式2】 （24-25七年级下·全国·单元测试）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，平分，，求的度数．
【题型4】利用轴对称性质求最值
【例4】（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ．
【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是 ．
【变式2】（21-22七年级下·四川乐山·期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【考点二】轴对称及性质
【题型5】等边对等角
【例题5】（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【变式1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ；
【变式2】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
【题型6】三线合一
【例题6】（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，D为边上一点，连接，，过点D作的垂线，垂足为E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为24，求的长．
【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ．
【题型7】线段垂直平分线性质
【例题7】（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，点是边上一点，连接，，于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ．
【题型8】线段垂直平分线判定
【例题8】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
【变式1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．
【题型9】角平分线的性质
【例题9】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
【题型10】尺规作图——作线段垂直平分线
【例题10】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【变式1】（2025·四川·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和F；
②作直线，分别交，于点D，M；
③连接，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，则的度数为 ．
【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为 ．
【题型11】尺规作图——作角平分线
【例题11】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【变式1】（2025·吉林四平·二模）如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交，边于点，，再分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为 ．
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ．
【题型12】最短路径问题
【例题12】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ．
【变式1】（2025·河南开封·一模）如图，在中，，，．为上的一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长是 ，线段的长的最大值是 ．
【变式2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ．
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专题5.6 图形的轴对称（中考常考点分类专题）（2大考点12类题型）
第一部分【考点与题型目录】
【考点一】轴对称及性质
【题型1】轴对称图形的识别........................................................1
【题型2】轴对称图形的性质特征求值证明............................................3
【题型3】折叠问题................................................................5
【题型4】利用轴对称性质求最值....................................................8
【考点二】轴对称及性质
【题型5】等边对等角.............................................................12
【题型6】三线合一...............................................................14
【题型7】线段垂直平分线性质.....................................................16
【题型8】线段垂直平分线判定.....................................................18
【题型9】角平分线的性质.........................................................22
【题型10】尺规作图——作线段垂直平分线..........................................24
【题型11】尺规作图——作角平分线................................................26
【题型12】最短路径问题..........................................................28
第二部分【题型展示与方法点拨】
【考点一】轴对称及性质
【题型1】轴对称图形的识别
【例1】（2024·四川巴中·中考真题）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【变式1】（2024·甘肃·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上）
【答案】A或C
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以，
故答案为：A或C．
【变式2】（23-24七年级下·全国·课后作业）在一些字体中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面个汉字中，可以看成轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故B选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【题型2】轴对称图形的性质特征求值证明
【例2】（2019·台湾·中考真题）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为何？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，利用轴对称的性质解答即可．
解：连接，
点分别以、为对称轴，画出对称点、，
，，
，，
，
，
故选D．
【点拨】本题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点．下列结论：①；②；③；④，其中说法错误的是 ．
【答案】②
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定，由轴对称的性质即可得①④正确，再证明可得③正确，由现有条件无法证明②，据此可得答案．
解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
根据现有条件无法证明，
∴正确的有①③④，错误的有②，
故答案为：②．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在三角形中，为边上一点，将三角形沿直线折叠后，点C落到点E处．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此计算即可得到答案．
解：∵，，
∴．
由折叠的性质，得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【题型3】折叠问题
【例3】（2019·山东烟台·中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是 .
【答案】45°
【分析】根据折叠过程可知，在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.
解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
故答案为45°
【点拨】考核知识点：轴对称.理解折叠的本质是关键.
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，，，．点是边上一点，连接，将沿对折，点落在点处，与交于点．当时， （用含的代数式表示）．此时若的面积是2，则重叠部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，最后求出即可；延长交于点Q，证明，根据三角形面积求出，，证明，得出，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
解：根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
延长交于点Q，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点拨】本题主要考查了三角形面积的计算，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
【变式2】 （24-25七年级下·全国·单元测试）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）若，，求的度数；
（2）若，平分，，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质可知，，可得，进一步可得的度数即可；
（2）根据，可得，根据平分可得，进一步可得，从而可得的度数．
解：（1）解：和关于直线对称，
，
．
，
．
（2）解：∵，
，．
，
，，
．
由对称性可知：．
又平分，
．
，
，
，
，
．
【题型4】利用轴对称性质求最值
【例4】（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ．
【答案】2
【分析】根据题意，，当点与点重合时，符合题意，据此即可求解．
解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，
∴，
而,
当点与点重合时，，此时的长最小，
∴．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键．
【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出符合条件的点P的位置．连结，根据垂直平分线的性质，可得，所以，当点P在点D处时，的值最小，最小值为的长，即可得到答案．
解：连结，
垂直平分，
，
，
当点P在点D处时，的值最小，最小值为的长，
所以的最小值是8．
故答案为: 8．
【变式2】（21-22七年级下·四川乐山·期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）的最小值为
【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点拨】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
【考点二】轴对称及性质
【题型5】等边对等角
【例题5】（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解．
解：∵，
∴，
在和中，，
在中，，
在中，，
在中，
综上所述，共有4对“伪全等三角形”，
故选：D．
【变式1】（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，则的度数为 ；
【答案】/100度
【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．
根据三角形的内角和可得，根据，得到，，从而，根据角的和差有，即可解答．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴．
故答案为：
【变式2】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．
【答案】
【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【题型6】三线合一
【例题6】（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；
A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断；
B.不一定等于，即可判断；
C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断；
D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断；
掌握轴对称的性质是解题的关键．
解：A.，
，
由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，
，，
，
，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，
∵点 E ，F分别是底边的中点，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过作，
，
，
，由对称得，
，
同理可证，
，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，D为边上一点，连接，，过点D作的垂线，垂足为E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为24，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】该题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质．
（1）根据，，求出，根据，得出，再根据三角形外角的性质即可求解．
（2）根据等腰三角形的性质得出，结合和的周长为24，即可求解．
解：（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．由等腰三角形的性质可得，，最后根据，即可求解．
解：在中，，平分交于点，
，，
，
故答案为：．
【题型7】线段垂直平分线性质
【例题7】（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选：．
【变式1】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，点是边上一点，连接，，于点，若，，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线性质、等角对等边、三角形外角的性质等知识点，
根据是的垂直平分线可知，进而可得，结合三角形外角的性质得，从而可得，由此证明，即
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．
解：为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
【题型8】线段垂直平分线判定
【例题8】（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：．
（2）若，求证：
【答案】（1）见分析
（2）见分析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：
（1）由中点，得到，由，得到，即可得证；
（2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证．
解：（1）证明：为的中点，
．
；
在和中，
；
（2）证明：
垂直平分，
．
【变式1】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
解：延长至点，延长至点，连接，
则：，
∵，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴当四点共线时，的周长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【变式2】（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，在四边形中，，，．连接，过点D作分别交，于点E，F．若，，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，含角直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的关键．
连接交于点，利用垂直平分线的判定方法证出垂直平分，得到，，证出为等边三角形，即可利用平行的性质判定出为等边三角形，设，分别用表示出和的长，再利用含角直角三角形的定义列式运算即可．
解：连接交于点，如图所示：
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【题型9】角平分线的性质
【例题9】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】
本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
【变式1】（2025·陕西西安·二模）如图，在中，是它的角平分线，是它的中线，，，，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理，等高的三角形面积的计算方法是关键．
如图，过点作于，于，，，，由中点得到，根据即可求解．
解：如图，过点作于，于，
平分，，，
，
，
，
，
，
是的中线，，
，
∴，
故选：C．
【变式2】
【题型10】尺规作图——作线段垂直平分线
【例题10】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．
解：由作图知，垂直平分，
，
的周长，
，，
的周长，
故选：C．
【变式1】（2025·四川·二模）如图，在中，，按以下步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E和F；
②作直线，分别交，于点D，M；
③连接，以点D为圆心，长为半径画弧，交于点G，连接，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、尺规作图，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
解：由作图可知：是线段的垂直平分线，
，，
，
，
由作图可知：，
，
，
故答案为：．
【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，按步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②连接M，N交于点D，连接．若，，则的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】本题考查了等腰三角形性质，垂直平分线作图及其性质，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据等腰三角形性质得到，，再结合垂直平分线作图及其性质，以及三角形外角性质得到，最后根据求解，即可解题．
解：，，
，，
由作图过程可知，为的垂直平分线，
，
，
则，
即有，
，
故答案为：．
【题型11】尺规作图——作角平分线
【例题11】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．
解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以,
所以，
故答案为：．
【变式1】（2025·吉林四平·二模）如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交，边于点，，再分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，根据题意得平分，再根据平行线的性质求解．
解：由题意得：平分，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18．
【变式2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
过点作于点，可知点到的最短距离为，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
解：过点作于点，点到的最短距离为，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
故答案为：2．
【题型12】最短路径问题
【例题12】（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为 ．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6<BE<8+6，
∴2<BE<14，
∴2<AD<14．
∴则的最大值与最小值的差为12．
故答案为：12
【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
【变式1】（2025·河南开封·一模）如图，在中，，，．为上的一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长是 ，线段的长的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，关键掌握角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可．
解：连接，过点F作于H，
，，，
．
垂直平分，
．
若要使最大，则需要最小，
设，则，
，
．
（垂线段最短），
，
解得．
最小值为，的最大值为．
故答案为：．
【变式2】（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长、交于点，首先利用“ASA”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案．
解：在中，，
，
解得；
如下图，延长、交于点，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
当时，的面积取最大值，
即，
．
故答案为：；．
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