9.2.4总体离散程度的估计同步训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章　统计 9.2.4总体离散程度的估计 同步训练 一、单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填在上面表格上. 1. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.故选B. 2.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解析】由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C. 3.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由题意这组数据的平均数为10，方差为2，可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8， 设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4. 故选D.　 4．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【解析】不妨设9位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分后剩余，中位数仍为，A正确； ②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确； ③，，由②易知，C不正确； ④原极差，后来极差，由于，所以，得，显然极差变小，D不正确．故选A． 5.（2020全国III卷）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为，故选C. 6．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：℃)： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均值为24； ③丙地：5个数据中有一个是32，平均值为26，方差为10．8． 则满足进入夏季标志的地区有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据特征得，甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为22,22,24,25,26，其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃，满足条件； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度有低于22 ℃的，故不确定； ③丙地：5个数据中有一个是32，平均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10．8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22 ℃，满足条件．故满足进入夏季标志的地区有甲、丙两地．故选C． 二、多项选择题：本题共2 小题，每小题 6 分，共 12 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 请把正确的选项填在上面表格上. 7. 关于一组样本数据的平均数、中位数、方差与频率分布直方图，下列说法正确的是 （ ） A.改变其中一个数据，平均数和中位数会发生改变 B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 C.若数据的频率分布直方图为单峰“不对称”，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数 D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小 【解析】选项A，改变其中一个数据，平均数会发生改变，中位数不一定改变，A错误； 选项B，频率分布直方图中，中位数（即50%分位数）左边和右边的直方图的面积应该相等，B正确;选项C，若数据的频率分布直方图为单峰“不对称”，且在左边“拖尾”，则与中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边，所以平均数小于中位数，C正确；选项D，样本数据的方差表示数据偏离平均数的程度，所以方差越小，说明样本数据的离散程度越小，D正确. 故选BCD. 8.（2021新高考I卷）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到的新样本数据，，…，，其中，为非零常数，则（ ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【解析】设样本数据，，…，的平均数为，，，…，的平均数为，则， ，因为为非零常数，则，选项A错误； 不妨设样本数据<<…<,中位数为，则<<…<,中位数为，则，选项B错误； 显然，两组样本数据的样本标准差相同，两组样本数据的样本极差相同，故选CD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把正确的选项填在上面表格上. 9.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 . 【解析】 一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为， 所以该组数据的方差为． 【答案】 10.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________． 【解析】甲＝乙＝9，s＝×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝， s＝×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，故甲的成绩更稳定． 【答案】甲 11.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________. 【解析】由题意知＝4，x＋x＋…＋x＝200，所以 s＝＝ ＝＝2. 答案：2 12.已知数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2，方差为8，则数据3x1，3x2，…，3xn的平均数为2，方差为8，则数据3x1，3x2，…，3xn的平均数为 ，方差为 . （第1空2分，第2空3分） 【解析】因为数据2x1，2x2，…，2xn的平均数=2，方差s2=8，所以数据(2x1)，(2x2)，…，(2xn)的平均数为 =×2=3, 方差为s2=×8=18. 答案：3,18 四、解答题：本题共4 小题，共 38 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.（8分）如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次． (1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； (2)请用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较． 【解析】 (1)甲、乙两人的射击成绩统计表如下： 环数 6 7 8 9 10 甲命中次数 0 0 2 2 2 乙命中次数 0 1 0 3 2 (2)由上述数据，得甲＝×(8×2＋9×2＋10×2)＝9(环)， 乙＝×(7×1＋9×3＋10×2)＝9(环)， s＝×[(8－9)2×2＋(9－9)2×2＋(10－9)2×2]＝， s＝×[(7－9)2＋(9－9)2×3＋(10－9)2×2]＝1， 因为甲＝乙，s<s，所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定． 14.（8分）某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下： 甲 127 138 130 137 135 131 乙 133 129 138 134 128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，再从中选出一位参加数学竞赛． 【解析】设甲、乙二人成绩的平均数分别为甲、乙，方差分别为s、s. 则甲＝130＋(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133， 乙＝130＋(3－1＋8＋4－2＋6)＝133， s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝， s＝[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝. 因此，甲、乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应选乙参加竞赛较合适． 15.（10分）一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下: 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 经计算,已知两个组的平均分都是80分,请根据所学过的统计知识,进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀,并说明理由. 【解析】(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数这一角度看,甲组成绩好些. (2)两组参加数学竞赛的人数都是50， s＝×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172. 同理s＝256. 因为s<s,所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定. (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分,其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有26人,从这一角度看,甲组成绩总体较好. (4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的有20人,乙组成绩大于或等于90分的有24人,所以乙组成绩在高分段的人数多.同时,乙组满分比甲组多6人,从这一角度看,乙组成绩较好. 16.（12分）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示： (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力． 【解析】(1)乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，所以乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大． ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好． ③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好． ④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章　统计 9.2.4总体离散程度的估计 同步训练 一、单项选择题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填在上面表格上. 1. 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 2.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 5.（2020全国III卷）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 6．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位：℃)： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，平均值为24； ③丙地：5个数据中有一个是32，平均值为26，方差为10．8． 则满足进入夏季标志的地区有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、多项选择题：本题共2 小题，每小题 6 分，共 12 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 请把正确的选项填在上面表格上. 7. 关于一组样本数据的平均数、中位数、方差与频率分布直方图，下列说法正确的是 （ ） A.改变其中一个数据，平均数和中位数会发生改变 B.频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等 C.若数据的频率分布直方图为单峰“不对称”，且在左边“拖尾”，则平均数小于中位数 D.样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小 8.（2021新高考I卷）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到的新样本数据，，…，，其中，为非零常数，则（ ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请把正确的选项填在上面表格上. 9.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 . 10.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)： 甲 10 8 9 9 9 乙 10 10 7 9 9 如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________． 11.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是________. 12.已知数据2x1，2x2，…，2xn的平均数为2，方差为8，则数据3x1，3x2，…，3xn的平均数为2，方差为8，则数据3x1，3x2，…，3xn的平均数为 ，方差为 . （第1空2分，第2空3分） 四、解答题：本题共4 小题，共 38 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.（8分）如图所示的是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中时所得的环数)，每人射击了6次． (1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来； (2)请用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较． 14.（8分）某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下： 甲 127 138 130 137 135 131 乙 133 129 138 134 128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，再从中选出一位参加数学竞赛． 15.（10分）一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下: 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 经计算,已知两个组的平均分都是80分,请根据所学过的统计知识,进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀,并说明理由. 16.（12分）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示： (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$