1.4.2空间向量的应用（2）空间的角问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

-----利用向量解决空间的角问题 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 1 向量方法求距离的相关公式 距离问题 图示 向量法距离公式 两点间的距离 点到直线 的距离 两平行线之间 的距离 点到平面 的距离 P Q l A u a P Q n α A P Q 投影向量+勾股定理 l1 l2 A P Q a u 复习回顾： 2 2 引入 与距离类似,角度是立体几何中另一个重要的度量,下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角。 1.两条异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a1∥a, b1∥b,则a1, b1所夹的锐角或直角叫a与b所成的角. (2)范围: 空间三种角的向量求解方法 a α b O a1 b1 l1 l2 l1 l2 不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系. 注意: 例1.如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值. 如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面 ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝120°，F为CD的中 点，PB＝2，以B为坐标原点， 的方向为x轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 解：因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝120°，F为CD的中点， 例2 (2)求异面直线PD，BF所成角θ的余弦值． 练习．如图，在空间直角坐标系中有正方体 ABCD-A′B′C′D′，点E是A′D′的中点，求直线A′B 与直线CE所成角的余弦值． 以上我们用向量解决了异面直线所成角的问题,你能用向量方法求直线与平面所成的角吗？ 2.直线与平面所成的角 (1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围: P P1 A 斜线 正射影 直线与平面 所成的角 13 2 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点．求直线BE与平面EAC所成角的正弦值． 解：连接MC，因为EA＝EB，M是AB的中点，所以EM⊥AB， 因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM⊂平面ABE， 所以EM⊥平面ABCD，又CM⊂平面ABCD， 所以EM⊥CM， 菱形ABCD中，∠ABC＝60°， 所以△ABC是正三角形， 所以MC⊥AB．所以ME，MC，MB两两垂直． 所以以点M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 例3 设m＝(x，y，z)是平面ACE的一个法向量， 设直线BE与平面EAC所成的角为θ， 变式探究　(变条件、变结论)若点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出 的值． 解：由题意可知，平面ABE的一个法向量为n＝(0，1，0)， 因为直线AP与平面ABE所成的角为45°， 求直线与平面所成角的思路与步骤 1．思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)； 思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量． 2．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤 第一步(建系)：建立空间直角坐标系； 第二步(求方向向量)：求直线的方向向量 ； 第三步(求法向量)：求平面的法向量n； 第四步(计算)：设线面角为θ，则sin θ＝ .　　 规律方法 练习2．如图所示的几何体中，底面ABCD是平行四边形， AB＝AC＝ ，BC＝2，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥ 平面ABCD，AF＝1，点M是线段EF的中点． (1)求证：AB⊥平面ACEF； 证明：由四边形ACEF是矩形，得AF⊥AC，而平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，AF⊂平面ACEF， 则AF⊥平面ABCD， 又AB⊂平面ABCD，于是AB⊥AF， 由AB＝AC＝ ，BC＝2，得AB2＋AC2＝BC2， 则AB⊥AC， 而AC∩AF＝A，AC，AF⊂平面ACEF， 所以AB⊥平面ACEF. (2)求直线ED与平面BFM所成角的正弦值． 解：由(1)知，直线AB，AC，AF两两垂直， 以点A为坐标原点，直线AB，AC，AF分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 设平面BFM的法向量为m＝(x，y，z)， 设直线ED与平面BFM所成角为θ，则直线ED与平面BFM所成角的正弦值为： 以上我们用向量解决了异面直线所成角的问题和直线与平面所成角问题,你能用向量方法求平面与平面所成的角吗？ 3.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角的大小用它的平面角来度量 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。   l O A B (2)范围: 同进同出互补 一进一出相等 l α β l α β x y z O 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 x y z O F x y z O F x y z O F x y z O F x y z O F 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 x y z O F 练习．如图所示，正四棱锥S-ABCD，SA＝SB＝SC＝SD＝2 ，AB＝2，P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD． 求二面角P-AC-B的大小． 解：连接BD，设AC交BD于O，在正方形ABCD中，有AC⊥BD， 连接SO，因为SA＝SC，SB＝SD，点O是AC，BD的中点， 所以SO⊥AC，SO⊥BD，AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面 ABCD，所以SO⊥平面ABCD； 如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 因为SO⊥平面ABCD，易知平面ABC的法向量为m＝(0，0，1)， 设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)， 由图可知二面角P-AC-B的平面角为钝角， (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的. (2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 反思与感悟 用向量方法解决立体几何中夹角问题的一般步骤是什么？ 向量化 向量运算 几何化 向量夹角问题 向量夹角 结论 线线角、线面角、面面角问题 线线角、线面、面面角结论 35 小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角： 关键:观察二面角的范围 课后练习:1.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ， ，则直线 与直线 夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】设 ，则 ， ，故选A. x y z A A B C P D y x z O 课后练习： 2. 如图,在三棱锥P-ABC中, ∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC. (1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值； (2)求二面角B-AP-C的余弦值. E A B C P D x y z O 2. 如图,在三棱锥P-ABC中, ∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC. (1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值； (2)求二面角B-AP-C的余弦值. 课后练习： A B C P D x y z O 2. 如图,在三棱锥P-ABC中, ∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC. (1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值； (2)求二面角B-AP-C的余弦值. 课后练习： A B C P D x y z O 2. 如图,在三棱锥P-ABC中, ∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC. (1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值； (2)求二面角B-AP-C的余弦值. 课后练习： 课后练习3．如图，在三棱锥P-ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC，点D为BC中点．问：在线段AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为 ，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由． 解：存在，M是AB的中点． 因为PC⊥AC，所以∠PCA＝90°， 因为AC＝BC，PA＝PB，PC＝PC， 所以△PCA≌△PCB， 所以∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥BC， 又AC∩BC＝C，AC，BC⊂平面ACB， 所以PC⊥平面ACB，所以PC，CA，CB两两垂直，故以C点为坐标原点， 分别以CB，CA，CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，因为AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，则AB＝2 ，又AP＝BP＝AB， 则C(0，0，0)，A(0，2，0)，D(1，0，0)，P(0，0，2)， 设平面PAD的法向量为n＝(x，y，z)， 取x＝2，得n＝(2，1，1)， 所以M是AB的中点． 小结 4、利用坐标法的求空间角的步骤如下： ①建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． ②求点和方向向量的坐标 ③求法向量:在建立的坐标系下求两个面的法向量。 ④计算空间角 作业 P41 练习 2、3 设直线 的方向向量分别为 ,则 两直线 , 所成的角为 ( )； 设直线 的方向向量分别为 ,则 两直线 , 所成的角为 ( )； 设直线 方向向量分别为 ,平面 的法向量分别为 ,则 直线 与平面 所成的角为 ( ), ； 二面角 ─l ─ 的大小为 ( ), 设直线 的方向向量分别为 ,平面 的法向量分别为 ,则 分析：（1）设PD与CE所成角为 ， ，则 例4.在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝eq \r(5),E为PB的中点． (1)求异面直线PD与CE所成角的余弦值； (2)求PD与平面PCB所成角的正弦值； (3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角 的大小． 【解析】取AB的中点O,CD的中点F, 连接PO,OF,由PA＝PB得PO⊥AB 又平面PAB⊥平面ABCD,则PO⊥平面ABCD, 所以PO⊥OF,PO⊥AB, 又底面ABCD为正方形,则OF⊥AB. 以O为坐标原点,OF,OB,OP所在直线. 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O—xyz, 从而AB＝CD＝2,PA＝eq \r(5),则PO＝2 从而O(0,0,0),P(0,0,2),A(0,－1,0),B(0,1,0),F(2,0,0), D(2,－1,0),C(2,1,0),E 例4.在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为2的正方形, 平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝eq \r(5),E为PB的中点． (1)求异面直线PD与CE所成角的余弦值; (1)∵ ＝(2,－1,－2), ＝ ∴ ＝eq \f(－\f(11,2),3×\f(\r(21),2))＝－eq \f(11\r(21),63) 故异面直线PD与CE所成角的余弦值为eq \f(11\r(21),63). 从而AB＝CD＝2,PA＝eq \r(5),则PO＝2 从而O(0,0,0),P(0,0,2),A(0,－1,0),B(0,1,0),F(2,0,0), D(2,－1,0),C(2,1,0),E 例4.在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝eq \r(5),E为PB的中点． (1)求异面直线PD与CE所成角的余弦值； 分析：（2）求PD与平面PCB所成角正弦值， 则需以下步骤 求 求平面PCB的法向量 计算：设PD与平面PCB所成角为 ， 则 例4.在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝eq \r(5),E为PB的中点． (2)求PD与平面PCB所成角的正弦值； (2)∵ ＝(2,－1,－2)， ＝(2,1,－2)， ＝(0,1,－2),设平面PBC的法向量n＝(x，y，z) 由 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝2z))令z＝1得 ＝(0，2，1) 故直线PD与平面PCB所成角的正弦值为eq \f(4\r(5),15). 从而AB＝CD＝2,PA＝eq \r(5),则PO＝2 从而O(0,0,0),P(0,0,2),A(0,－1,0),B(0,1,0),F(2,0,0), D(2,－1,0),C(2,1,0),E 例4.在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝eq \r(5),E为PB的中点． (2)求PD与平面PCB所成角的正弦值； 例4.在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝eq \r(5),E为PB的中点． (3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小． 从而AB＝CD＝2，PA＝eq \r(5)，则PO＝2 从而O(0，0，0)，P(0，0，2)，A(0，－1，0)， B(0，1，0)，F(2，0，0)， D(2，－1，0)，C(2，1，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，1)). (3)由题设可知OF⊥平面PAB 则平面PAB的法向量为 ＝(2，0，0) 又 ＝(2，1，－2)， ＝(2，－1，－2) 设平面PCD的法向量为 ＝(x1，y1，z1) 由 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝0,x1＝z1))令z1＝1得 ＝(1,0，1) 故平面PAB与平面PCD所成锐二面角为eq \f(π,4). 例4.在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA＝PB＝eq \r(5),E为PB的中点． (3)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小． 点评：利用空间向量求空间角时，要注意： (1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意它们的区别与联系； (2)直线与平面的夹角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，要注意它们的区别与联系； (3)求二面角的方法很多，采用向量法求二面角时，一般利用平面的法向量，但要注意求平面的法向量，应首先着眼于找(作)出平面的法向量，尽量减少运算量，作不出时再设出法向量的坐标再求解，同时也要注意，求出两个法向量所成角的余弦值后，要观察二面角的大小． 所以 为平面ABC的一个法向量 由（1）得 设平面APC的一个法向量为 ，则 $$