第1部分 专项14 拓展题型（Word教参）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

专项十四　拓展题型 题型1　数学文化类试题 通过此类题型可以了解数学史上的重要事件和著名数学家的贡献，这有助于了解数学知识的来龙去脉和背后的思想．将数学知识与日常生活相结合，通过实际问题的解决来加深对数学文化的理解．解题时要认真阅读题目，明确题目要求，注意将问题中的模型与我们所学的数学知识联系起来，弄清题中的问题是要考查我们所学的什么数学知识是解题的关键． 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　B　) A.斐波那契螺旋线 　　 B.科克曲线 C.彭罗斯筝形 D.笛卡尔心形线 (2024烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？(　C　) A．45尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺 (2024宜宾改编)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是20天． (2024黄石调考)《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是弦AB的中点，M在上，MN⊥AB.“会圆术”给出长l的近似计算公式：l＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，l＝－2.(结果保留根号) (2024武汉)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE(k＞1)，则用含k的式子表示的值是. 题型2　跨学科试题 数学本身是一门基础学科，数学可以与物理、化学、生物、计算机科学、经济学等结合产生跨学科试题，这展现了数学与其他学科的紧密联系．跨学科教育的目的是为了适应未来社会对复合型人才的需求．但是在我们中学阶段，此类题型不会涉及很深的学科知识，无论是数学本身还是其他学科，在此题中都应考查基础知识、基本技能．解题的关键就是我们通过阅读题目弄清它考查的数学知识是什么，可能涉及求简单概率、找对称图形等． (2024重庆A)下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是(　C　) A B C D (2024内江)如图所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，灯泡能发光的概率为(　A　) A. B. C. D. 如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项1920×1080调整成1400×1050时，由于比例改变(1920∶1080≠1400∶1050)，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从1920×1080调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域？(　B　) A．1680×1050 B.1600×900 C．1440×900 D.1280×1024 (2024达州)“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是. 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个100 g的砝码，右侧托盘可以在BC段滑动．已知AC＝15 cm，BC＝50 cm，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m(牛 奶盒＋水)/g 120 60 50 40 150 CD的 距离l/cm 12.5 25 30 37.5 10 问题解决： 任务一：根据表中数据可知，CD的长度随着总质量的增大而______，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：______(填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”)； 任务二：某同学给空牛奶盒里加入了65 g的水，移动托盘使天平保持平衡，此时CD＝20 cm，求这个空牛奶盒的质量； 任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含65 g水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 解：任务一：减小，反比例函数； 任务二：设l关于m的函数解析式为l＝(k≠0)，∴k＝ml，代入(60,25)，得k＝60×25＝1 500，∴l关于m的函数解析式为l＝. 设空牛奶盒的质量为a g， 根据题意，得(65＋a)＝，解得a＝10. 答：这个空牛奶盒的质量为10 g. 任务三：由任务二得含65 g水的牛奶盒总质量为75 g， ∵将含65 g水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为75×15＝100·l，解得l＝11.25， 20－11.25＝8.75， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动8.75 cm. 题型3　情境类试题 情境类试题一般分为两大类：实际生活情境与纯数学情境(凡是涉及其他学科情境的我们暂且归到跨学科类试题)．数学情境又包含代数类情境和几何类情境，但无论是哪种情境，它一定是考查初中阶段的数学知识、数学核心素养．我们的策略是先审题建模，再求解检验．通过认真读题把握关键条件往往是建立数学模型的基础，代数模型往往考查整式的运算、方程或不等式的求解，几何模型往往考查解直角三角形、相似、求阴影面积或三角函数的实际应用． (2024遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积(　A　) 　 A.π－ B.π－ C.π－ D.π－ 根据收集的素材，探索完成任务. 探究太阳能热水器的安装 素 材 一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装 素 材 二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76° sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25， sin 29°≈0.48，cos 29°≈0.87，tan 29°≈0.55， sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93， sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24，tan 76°≈4.01 素 材 三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，AE为某时刻的太阳光线 问题解决 任 务 一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择____日(填冬至或夏至)时，α为____(填14°，29°，43°，76°中的一个)进行计算 任 务 二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器 解：任务一：冬至，14°. 任务二：过点E作EF⊥AB于点F， 则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE. 在Rt△AFE中，tan α＝，∴AF＝EF·tan 14°≈54×0.25＝13.5(米)． ∵AB＝11×3.3＝36.3(米)，∴DE＝BF＝AB－AF＝36.3－13.5＝22.8(米)， ∴22.8÷3.3≈7(层)． 答：乙楼中7层(含7层)以下不能安装该品牌太阳能热水器． (2024自贡)为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3 m，据此可得旗杆高度为____m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面的高度DE＝1.5 m，小李到镜面的距离EC＝2 m，镜面到旗杆的距离CB＝16 m，求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 　 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线的交点C，测得标高CG＝1.8 m，DG＝1.5 m．将观测点D后移24 m到D′处．采用同样的方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝2 m．求雕塑高度．(结果精确到1 m) 解：(1)11.3. (2)由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB， 又∠DEC＝90°＝∠ABC，∴△DEC∽△ABC， ∴＝，即＝，解得AB＝12， ∴旗杆高度为12 m. (3)由题意和题图6可得∠CDG＝∠ADB， ∠CGD＝90°＝∠ABD，∴△DCG∽△DAB，∴＝，设AB＝x m，BD＝y m，则＝，∴y＝x，同理可得＝，∴＝，∴＝，解得x＝28.8. 经检验，x＝28.8是原方程的解，且符合题意，故AB≈29 m，∴雕塑高度AB约为29 m． 题型4　开放性试题 开放性试题有这样几个显著特点：答案不唯一、解题方向不确定、条件或结论开放．具体可分为四类： (1)条件开放性试题：只给出部分条件，需要学生构造或发现新条件从而解决问题； (2)结论开放性试题：只给条件且结论不唯一，需要学生通过推理计算得出多种可能结论； (3)选择开放性试题：在给定条件下学生需要从多种情况中选择合适的答案或解题路径； (4)综合开放性试题：综合前面提到的，既要构造条件又要得出多种可能的结果． 开放性试题需要学生全方位、多层次、多角度思考，对问题进行全面深入分析，且要灵活运用所学的数学知识，善于构造和发现，注重分类讨论思想的培养与考查． (2024武汉)某反比例函数y＝具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是1(答案不唯一). (2024甘肃)围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点A(或C)的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上) 例15题图 例16题图 如图，已知AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是OA＝OD(答案不唯一). (2024德阳)数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a，b，你认为a可以是1(或8).(填上一个数字即可) (2024陕西)小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，－2，－1,1,2这五个数分别填在小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数字可以是0(答案不唯一，填2或－2也可以). (2024陕西)如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上．(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，△ABC即为所求作的三角形．(答案不唯一) 某中学为加强对学生的交通安全教育，组织七、八年级进行“两轮车道路安全知识”测试(满分100分)，并从两个年级中各随机抽取50名学生的成绩进行整理分析，信息如下： a．七年级成绩频数分布表： 成绩x/分 频数 50≤x<60 5 60≤x<70 10 70≤x<80 12 80≤x<90 a 90≤x≤100 7 b.八年级成绩频数分布直方图： c．七、八年级成绩统计表： 平均数 中位数 七年级 79.3 b 八年级 77.5 79 d.七年级成绩在70≤x<80这一组的分别是：70,71,72,72,74,76,77,78,78,78,79,79. e．成绩不低于80分为优秀． 根据以上信息，回答下列问题： (1)a＝____，b＝____； (2)根据上述数据，你认为哪个年级学生的成绩较好？请说明理由(写出一条即可)． (3)已知该校七、八年级各有600名学生，估计这次测试成绩为优秀的学生总人数． 解：(1)16；78.5. (2)八年级成绩较好．理由：八年级学生成绩的中位数高于七年级学生成绩的中位数，故八年级学生的成绩较好．(答案不唯一，言之有理即可) (3)600×＋600×＝504(人)． 答：估计这次测试成绩为优秀的学生总人数为504人． (2024新疆)数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： (1)准备测量工具 ①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪(图1)，利用它可以测量仰角或俯角； ②皮尺． (2)实地测量数据 ①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点(图2)； ②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8 m，眼睛到地面的距离为1.6 m. (3)计算旗杆高度 ①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为______； ②根据测量数据，画出示意图4，AB＝1.6 m，BC＝16.8 m，求旗杆CD的高度(精确到0.1 m)； (参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43) ③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角α？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角α，请写出测量方法． 解：①35°. ②∵BC＝16.8 m，∴AE＝16.8 m. 在Rt△ADE中，tan α＝， ∴DE＝AE·tan α≈16.8×0.7≈11.76 m， ∴CD＝CE＋DE≈13.4 m. 即旗杆CD的高度为13.4 m. ③∵三角板只有30°，60°的三角板和45°的三角板，而B点的仰角为35°， ∴三角板测不出仰角α的度数． 测量方法：测量者可以改变水平距离(沿BC方向前进或者沿CB方向后退)，使视线沿着三角板的斜边刚好到达旗杆的最高点且构成仰角α的直角边保持水平时，此时仰角α可以为三角板上的30°或45°或60°.(方法不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$