第13讲 二次函数的实际应用(含答案)（Word练习）-【指点中考】2025年湖北中考数学分层特训

第13讲　二次函数的实际应用

1. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度(即CD的长)为40米．

2．(2024南充)2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价为50元/件，B类特产进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．

(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？

(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价)．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？(利润＝售价－进价)

解：(1)设每件A类特产的售价为m元，则每件B类特产的售价为(132－m)元．

根据题意得3x＋5(132－m)＝540，解得m＝60，

则每件B类特产的售价为132－60＝72(元)．

答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．

(2)由题意得y＝10x＋60.

∵A类特产进价为50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价，∴0≤x≤10.

∴y与x的函数关系式为y＝10x＋60(0≤x≤10)．

(3)w＝(60－50－x)(10x＋60)＋100×(72－60)

＝－10x2＋40x＋1 800＝－10(x－2)2＋1 840.

∵－10<0，∴当x＝2时，w有最大值1 840.

答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1 840元．

3．(2024湖北模拟)某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平距离x(单位：m)满足的关系式近似为y＝a(x－h)2＋k(a<0)．

(1)在某次安装调试过程中，测得x与y的部分对应值如下表：

根据表格中的数据，解答下列问题：

①水管的长度是____m；

②求出y与x满足的函数解析式y＝a(x－h)2＋k(a<0)；

(2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试：

①不改变喷水头的角度，将水管长度增加0.63 m；

②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足y＝a(x－1.2)2＋3.6.若要使两种调试的水柱落地点相同(即水柱落地时与池中心的距离相等)，求出a的值．

解：(1)①2.25.

②分析题意可知h＝1，k＝3.

把(3,0)代入y＝a(x－1)2＋3中得

a(3－1)2＋3＝0，解得a＝－0.75，

∴y＝－0.75(x－1)2＋3.

(2)调试①：y＝－0.75(x－1)2＋3＋0.63

＝－0.75(x－1)2＋3.63.

由－0.75(x－1)2＋3.63＝0，

解得x＝3.2(负值舍去)．

调试②：y＝a(x－1.2)2＋3.6，

把(3.2,0)代入上式，得0＝a(3.2－1.2)2＋3.6，

解得a＝－0.9.

4．根据以下素材，完成探索任务．

[问题提出]根据以下提供的素材，在总费用(新墙的建筑费用与门的价格之和)不高于5 900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？

素材一　如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16 m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22 m，开两个门，且门宽均为1 m.

素材二　每个门的价格为250元．

素材三　与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米．

[问题解决]

任务1　设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，则S关于x的函数表达式为______.

任务2　探究自变量x的取值范围为____.