第1部分 专项10 函数实际应用型问题（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

题型专项攻略 第一部分 专项十　函数实际应用型问题 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 函数的实际应用型问题是中考试卷的常考问题，主要考查学生利用所学的函数知识解决实际生活中的最值问题，方案抉择问题，面积型问题，以及抛物线型问题等，通常以解答题的形式出现，分值在8分左右，选择题也有出现．培养学生的抽象能力，运算能力，数据观念，应用意识等学科素养．解答此类问题的关键是把实际问题转化成数学问题，准确的分析出变量之间的函数关系式，从而利用函数解决问题． 题型1　增长率问题 (2024湖北模拟)(8分)在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%.求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； (2)某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 规范答题 解：(1)设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为(1＋96%)a辆， 根据题意得a(1＋x)2＝(1＋96%)a，………………………2分 解得x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4(不符合题意，舍去)． 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%.…………………………………………………………4分 (2)设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为(y－15)万元，平均每周可售出8＋×1＝(58－2y)辆， 根据题意得(y－15)(58－2y)＝96，……………………6分 整理得y2－44y＋483＝0，解得y1＝21，y2＝23， 又∵要尽量让利于顾客，∴y＝21. 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． ……………………………………………………………8分 题型2　最大利润型问题 (2024湖北模拟)某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克． 小强：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元． 小红：通过调查验证，我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(x>8)之间存在一次函数关系． (1)求y(千克)与x(元/千克)(x>8)的函数解析式； (2)当销售单价为何值时，该超市销售这种水果每天获取的利润达到600元？【利润＝销售量×(销售单价－进价)】 (3)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于225千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的最大利润是多少？ 解：(1)当销售单价为13元/千克时，销售量为＝150(千克)． 设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 把(10,300)，(13,150)分别代入得 解得∴y与x的函数解析式为y＝－50x＋800(x>8)． 答：该超市销售这种水果每天获取的最大利润是787.5元． (2)由题意得(－50x＋800)(x－8)＝600， 解得x＝14或10. 答：当销售单价为每千克10元或14元时，每天获取的利润达到600元． (3)设这种水果每天获取的利润为W元， 则W＝(－50x＋800)(x－8)＝－50(x－12)2＋800，∴当8<x≤12时，W随x的增大而增大．又∵水果每天的销售量均不低于225千克，∴－50x＋800≥225，∴x≤11.5. ∴当x＝11.5时，Wmax＝－50×(11.5－12)2＋800＝787.5(元)． (2024德阳)罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A，B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A，B两种组合的进价和售价如下表： 价格 A B 进价(元/件) 94 146 售价(元/件) 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？ 解：(1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价为x元，每个肉粽的进价为y元． 根据题意可得解得 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为16元，每个肉粽的进价为5元． (2)设该超市应准备m件A种组合，利润为W元，则B种组合数量是(3m－5)件， 根据题意得m＋(3m－5)≤95，解得m≤25， 则W＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)＝152m－210， 可以看出利润W是m的一次函数，W随着m的增大而增大， ∴当m最大时，W最大， 即当m＝25时，Wmax＝152×25－210＝3 590. 答：为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元． 题型3　方案抉择问题 (2024襄城适应考)某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 　　类别 产品　　 成本价 (元/件) 售价 (元/件) 每日需支付的 专利费(元) A m(m为常数， 且4≤m≤6) 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y(元)与每日产销x(件)满足关系式y＝80＋0.01x2. (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝(售价－成本)×产销数量－专利费】 解：(1)根据题意，得w1＝(8－m)x－30(0≤x≤500)． w2＝(20－12)x－(80＋0.01x2) ＝－0.01x2＋8x－80(0≤x≤300)． (2)∵4≤m≤6，∴8－m＞0， ∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500， ∴当x＝500时，w1有最大值，即w1最大＝－500m＋3 970(元)． ∵w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01(x－400)2＋1 520，且－0.01＜0，对称轴为x＝400， ∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大， ∴当x＝300时，w2最大＝－0.01×(300－400)2＋1 520＝1 420(元)． (3)①若w1最大＝w2最大，即－500m＋3 970＝1 420，解得m＝5.1； ②若w1最大＞w2最大，即－500m＋3 970＞1 420，解得m＜5.1； ③若w1最大＜w2最大，即－500m＋3 970＜1 420，解得m＞5.1. 又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m＝5.1时，选择A，B两种产品产销均可； 当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销； 当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销． 答：当A产品成本价为5.1元/件时，工厂选择A种或B种产品产销日利润一样大；当A种产品的成本价为4≤m＜5.1时，工厂选择A种产品产销日利润最大；当A种产品的成本价为5.1＜m≤6时，工厂选择B种产品产销日利润最大． 题型4　面积型问题 数学来源于生活，同时数学也服务于生活． 【知识背景】 如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一棵古树与墙CD，AD的距离分别是13 m和6 m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m. 【方案设计】 设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将这棵古树P围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)． 【解决问题】 思路：把矩形ABCD的面积S与边长x(即AB的长)的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． (1)请用含有x的代数式表示BC的长； (2)花园的面积能否为192 m2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． (3)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 解：(1)由题意知AB＝x m，AB＋BC＝28，∴BC＝(28－x)(m)． (2)依题意，得x(28－x)＝192， 即x2－28x＋192＝0，解得x1＝12，x2＝16， 当x1＝12时，28－x＝16＞13，成立； 当x2＝16时，28－x＝12＜13舍去． 答：花园的面积可能是192 m2，此时边AB的长为12米． (3)依题意，得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196. ∵点P与CD，AD的距离分别是13 m和6 m， ∴x≥6,28－x≥13，∴6≤x≤15， ∴面积S与x的函数解析式为S＝－(x－14)2＋196(6≤x≤15)． ∵－1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝14， ∴当x＝14时，S取到最大值为－(14－14)2＋196＝196， 即当x＝14时，花园面积S最大，最大值为196 m2. 工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计) (1)若长方体底面面积为12 dm2，求裁掉的正方形的边长； (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，求制作的长方体容器的底面面积的最小值； (3)在(2)的条件下，由于实际需要，将容器内侧和内底面进行防锈处理，侧面每平方分米需要的费用为0.5元，底面每平方分米需要的费用为2元，当裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少？ 解：(1)设裁掉的正方形的边长为x dm， 由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6(舍去)． 答：裁掉的正方形的边长为2 dm，底面积为12 dm2. (2)由题意得10－2x≤5(6－2x)， 解得0<x≤2.5. 设长方体容器的底面面积为S dm2， ∴S＝(10－2x)(6－2x)＝4x2－32x＋60＝4(x－4)2－4， ∴当x＝2.5时长方体容器的底面面积有最小值，S最小＝4×(2.5－4)2－4＝5. (3)设总费用为w元， 由题意可知w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24， ∵对称轴为x＝6，开口向上， ∴当0<x≤2.5时，w随x的增大而减小， ∴当x＝2.5时，w最小为25元，∴当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，为25元． 题型5　抛物线形问题 如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a(x－20)2＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墙，其竖直截面为ABCD，墙宽BC＝2 m，BC与x轴平行，点B与点O的水平距离为28 m，垂直距离为6 m. (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10 m. ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)，求a的取值范围． 　 解：(1)①根据题意可得石块运行的函数解析式为y＝a(x－20)2＋10， 把(0,0)代入解析式，得400a＋10＝0， 解得a＝－， ∴抛物线的解析式为y＝－(x－20)2＋10. ②石块能飞越防御墙AB．理由如下： 由题意得C(30,6)， 把x＝30代入y＝－(x－20)2＋10， 得y＝－×(30－20)2＋10＝7.5>6， ∴石块能飞越防御墙． (2)由题意可知B(28,6)，抛物线y＝a(x－20)2＋k， 把O(0,0)，B(28,6)代入得 解得a＝－. 把C(30,6)，O(0,0)代入得 解得a＝－. ∵石块恰好落在防御墙顶部BC上(包括端点B，C)， ∴a的取值范围为－≤a≤－. (2024湖北模拟)根据以下素材，探索完成任务. 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20 m，拱顶离水面5 m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8 m达到最高 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布 问题解决 任务1 确定桥 拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数解析式 任务2 探究悬 挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围 任务3 拟定设 计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标 解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为(0,0)，且过点B(10，－5)， 设抛物线的解析式为y＝ax2， 把点B(10，－5)代入得100a＝－5， ∴a＝－， ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2. (答案不唯一，建立的坐标系合理即可)． 任务2： ∵该河段水位再涨1.8 m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1 m，灯笼长0.4 m， ∴当悬挂点的纵坐标y≥－5＋1.8＋1＋0.4＝－1.8， 即悬挂点的纵坐标的最小值是－1.8 m. 当y＝－1.8时，－x2＝－1.8，∴x＝±6， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是－6≤x≤6. 任务3： 方案一：如图2(坐标轴的横轴)，从顶点处开始悬挂灯笼(黑点表示灯笼悬挂点的横坐标)， ∵－6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼． ∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为－1.6×3＝－4.8. 方案二：如图3，若不在顶点处悬挂灯笼(黑点表示灯笼悬挂点的横坐标)． ∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8＋1.6×(5－1)＞6， 若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8＋1.6×(4－1)＜6， ∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼． ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼， ∴最左边一盏灯笼的横坐标为－0.8－1.6×3＝－5.6. $$