第1部分 专项9 圆的证明与计算（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

题型专项攻略 第一部分 专项九　圆的证明与计算 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 此类题以圆的基本性质、切线的判定与性质、弧长和扇形面积为起点，结合直角三角形、等腰三角形、特殊四边形的相关知识，综合考查勾股定理的运用、锐角三角函数、三角形全等和相似等核心知识．在湖北今年中考里出现在第21题的位置，分为2小问，分值为8分，难度属于中档题，主要考查学生的推理能力、运算能力和几何直观等核心素养．解题的关键是掌握基本图形的性质，根据相关性质构造直角三角形、全等三角形或相似三角形，运用等量代换、方程思想、面积公式等解决问题． 题型1　证明与长度的计算 (8分)如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，FC． (1)求证：AE为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长． 规范答题 (1)证明：∵AB∥CE，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠ECD． 又AD＝CD，∴△ABD≌△CED(AAS)， ∴AB＝CE. ∴四边形ABCE是平行四边形，……………………2分 ∴AE∥BC．如图，作AH⊥BC于点H. 又∵AB＝AC，∴AH为BC的垂直平分线． ∴点O在AH上，∴AH⊥AE，即OA⊥AE.又点A在⊙O上， ∴AE为⊙O的切线. ……………………………………3分 (2)解：如图，过点D作DM⊥BC于M，连接OB． ∵AH为BC的垂直平分线， ∵AH为BC的垂直平分线， ∴BH＝HC＝BC＝3， ∴OH＝＝＝4，AH＝OA＋OH＝5＋4＝9， ………………………………………………………………4分 ∴AB＝AC＝＝＝3， ∴CD＝AC＝. ∵AH⊥BC，DM⊥BC，∴DM∥AH， ∴△CMD∽△CHA. …………………………………5分 又AD＝CD，∴＝＝＝， ∴MH＝HC＝，DM＝AH＝. ∴BM＝BH＋MH＝3＋＝.…………………………6分 ∴BD＝＝＝. ∵∠CFD＝∠BAD，∠FDC＝∠ADB， ∴△FCD∽△ABD， ∴＝，∴＝， ∴FC＝5.…………………………………………8分 如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD． (1)求证：∠OCA＝∠ADC； (2)若AD＝2，tan B＝，求OC的长． (1)证明：连接OA，如图所示： ∵AB与⊙O相切于点A，∴∠OAB＝90°. ∵OC∥AB，∴∠AOC＝90°， ∴∠ADC＝45°.∵OC＝OA， ∴∠OCA＝45°，∴∠OCA＝∠ADC． (2)解：过点A作AH⊥BC，过点C作CF⊥BA交BA的延长线于点F，如图所示： 由(1)得∠OCA＝∠ADC＝45°. ∴△AHD为等腰直角三角形． ∵AD＝2，∴AH＝DH＝.∵tan B＝， ∴BH＝3，∴AB＝＝2. 由(1)得∠AOC＝∠OAF＝90°， ∵CF⊥BA，∴四边形OCFA为矩形． ∵OA＝OC，∴四边形OCFA为正方形， ∴CF＝FA＝OC． ∵∠B＝∠B，∠AHB＝∠CFB＝90°， ∴△ABH∽△CBF，∴＝， 即＝，解得OC＝. ∴S阴影＝S四边形ADOE－S扇形DOE＝2S△ODA－S扇形DOE＝2××3×－＝3－π.……………………………………………8分 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点M，弦MN∥AC且MN交BC于点E，ME＝2，BM＝4，BE＝2. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)求劣弧的长． (1)证明：∵ME＝2，BM＝4，BE＝2， ∴ME2＋BE2＝4＋12＝16，BM2＝16， ∴ME2＋BE2＝BM2，∴∠BEM＝90°. ∵MN∥AC，∴∠ACB＝∠BEM＝90°. 又∵BC为⊙O的直径， ∴AC是⊙O的切线． (2)解：如图，连接 OM. ∵∠BEM＝90°，ME＝2，BM＝4， ∴sin B＝＝，. ∴∠B＝30°，∴∠COM＝60°， ∴OM＝＝， ∴劣弧的长为2×＝. 题型2　证明与阴影面积的计算 (2024湖北一模)(8分)如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若BC＝12，∠BAC＝120°，求图中阴影部分的面积． 规范答题 (1)证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD． ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径． ∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，注意格式规范 ∴AC是⊙O的切线.4分 (2)解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∠BAC＝120°，∴∠DOE＝60°. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，OB＝BC＝×12＝6. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°，∴OA＝OB＝2. ∵Rt△ADO中，∠OAD＝60°，OA＝2， ∴AD＝OA＝×2＝，OD＝OA＝2×＝3， (2024山东联考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2.以点A为圆心，AD长为半径作交AB于点E，以点B为圆心，BE长为半径作交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG. (1)求证：CG为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分的面积．(结果保留π) (1)证明：连接BG，如图1. 根据题意可知AD＝AE，BE＝BF. 又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD． ∵BC＝2AD，∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF. ∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形， ∴∠BFD＝∠DAB＝60°. ∵BG＝BF，∴△BFG是等边三角形， ∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC， ∴G在以BC为直径的圆上，∴∠BGC＝90°， ∴CG为所在圆的切线． (2)解：过D作DH⊥AB于点H，连接BG，如图2. 由图可得S阴影＝S▱ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG， 在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°， ∴DH＝AD·sin∠DAB＝1×＝， ∴S▱ABFD＝AB·DH＝2×＝， 由题可知，扇形ADE和扇形BGE全等， ∴S扇形AED＝S扇形BGE＝＝＝＝， 又等边三角形BFG的面积为GF·DH＝×1×＝， ∴S阴影＝S▱ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG＝－－－＝－. 题型3　圆的其他问题 综合探究 如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′. (1)求证：AA′⊥CA′； (2)以点O为圆心，OE为半径作圆． ①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′＝CA′； ②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积． (1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′， ∴点E是AA′的中点，∠AEO＝90°. 又∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC的中点， ∴OE是△ACA′的中位线，∴OE∥A′C， ∴∠AA′C＝∠AEO＝90°，∴AA′⊥CA′. (2)①证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点G，则∠OFA＝90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AO＝BO＝CO＝DO， ∴∠OCG＝∠OAF，∠OGC＝∠OFA＝90°. ∵∠OCG＝∠OAF， ∠OGC＝∠OFA＝90°，AO＝CO， ∴△OCG≌△OAF(AAS)，∴OG＝OF. ∵⊙O与CD相切，OE为半径，∠OGC＝90°， ∴OG＝OE，∴OE＝OF. 又∵∠AEO＝90°，即OE⊥AE，OF⊥AB， ∴AO是∠EAF的平分线，即∠OAE＝∠OAF. 设∠OAE＝∠OAF＝x，则∠OCG＝∠OAF＝x， 又∵CO＝DO，∴∠OCG＝∠ODG＝x， ∴∠AOE＝∠OCG＋∠ODG＝2x. 又∵∠AEO＝90°，即△AEO是直角三角形， ∴∠AOE＋∠OAE＝90°，即2x＋x＝90°，解得x＝30°， ∴∠OAE＝30°，即∠A′AC＝30°. 在Rt△A′AC中，∠A′AC＝30°， ∠AA′C＝90°，∴AC＝2CA′， ∴AA′＝＝＝CA′. ②如图，过点O作OH⊥A′C于点H. ∵⊙O与CA′相切，∴OE＝OH，∠A′HO＝90°. ∵∠AA′C＝∠AEO＝∠A′EO＝∠A′HO＝90°， ∴四边形A′EOH是矩形． 又∵OE＝OH，∴四边形A′EOH是正方形， ∴OE＝OH＝A′H. 又∵OE是△ACA′的中位线，∴OE＝A′C， ∴A′H＝CH＝A′C，∴OH＝CH. 又∵∠A′HO＝90°，∴∠OCH＝45°. 又∵OE∥A′C，∴∠AOE＝45°. 又∵∠AEO＝90°，∴△AEO是等腰直角三角形，AE＝OE. 设AE＝OE＝r，则AO＝DO＝＝r， ∴DE＝DO－OE＝r－r＝(－1)r. 在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2，AD＝1，即r2＋(－1)2r2＝12， ∴r2＝＝＝， ∴⊙O的面积为πr2＝π. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，若EF＝2BF. 　 (1)如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE； (2)如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN.请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论． (1)证明：∵CF⊥OE，OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． ∵BE是⊙O的切线，∴BF＝CF. ∵EF＝2BF，∴EF＝2CF， ∴sin E＝＝， ∴∠E＝30°，∠EOB＝60°. ∵CD＝CB，∴ ，∴OC⊥BD． ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°＝∠EBO. ∵∠E＋∠EBD＝90°，∠ABD＋∠EBD＝90°， ∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO＝AB，∴△ADB≌△OBE(AAS)． (2)解：MN＝BM＋DN，理由如下： 延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图所示． ∵∠CBM＋∠NDC＝180°，∠HDC＋∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC． ∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC(SAS)，∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH. 由(1)可得∠ABD＝30°，又AB是直径，则∠ADB＝90°， ∴∠A＝60°，∴∠DCB＝180°－∠A＝120°. ∵∠MCN＝60°，∴∠BCM＋∠NCD＝120°－∠NCM＝120°－60°＝60°， ∴∠DCH＋∠NCD＝∠NCH＝60°， ∴∠NCH＝∠NCM. ∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM(SAS)， ∴NH＝MN， ∴MN＝DH＋DN＝BM＋DN. $$