第2部分 第7单元 微课(13) 与对称有关的最值模型（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第七单元　图形与变换 微课(十三)　与对称有关的最值模型 分层特训　微课(十三) 模型一 模型二 模型三 模型四 返回目录 指点中考　数学 5 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 3 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 80° 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 (4,1) 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 6 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 C 返回目录 指点中考　数学 C 返回目录 指点中考　数学 分层特训　微课(十三) 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 模型一　求两条线段和的最小值 问题 在直线l上求点P，使AP＋BP最短 作法 将点A对称到点A′，连接A′B与l的交点即为点P 图形 原理 AP＋BP＝AB′ 两点之间，线段最短 (2024成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为___. [思路分析]取点A关于直线l的对称点A′，连接A′O，推出PO＋PA的最小值为A′O的长，再利用勾股定理求出A′O的长即可． 1．(2024广安)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为____. 模型二　求两条线段差的最大值 问题 在直线l上求点P，使|AP－BP|最大 作法 将点B对称到点B′，作直线AB′与l的交点即为点P 图形 原理 |AP－BP|＝AB′ 三角形任意两边之差小于第三边 如图，点A，B在直线MN的同侧，点A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA＋PB的最小值为a，|PA－PB|的最大值为b，则a2－b2的值为(　 　) A．160 B．150 C．140 D．130 2．如图，在等边△ABC中，E是AC边的中点，P是△ABC的中线AD上的动点，且AB＝6，则BP－PE的最大值是___. 模型三　求三条线段和的最小值 1．一定两动 问题 在直线l1，l2上分别求点M，N，使△PMN周长最小 作法 分别将点P关于两直线对称得到点P′，P″，连接P′P″与两直线交点即为点M，N 图形 原理 PM＋MN＋PN＝P′P″ 两点之间，线段最短 2．两定两动 问题 在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PMNQ周长最小 作法 将点P，Q分别关于两直线对称得到点P′，Q′，连接P′Q′与直线的交点即为M，N 图形 原理 PM＋MN＋NQ＝P′Q′ 两点之间，线段最短 3．造桥模型 问题 在直线l上求两点M，N(M在左)，使得MN＝a，并使AM＋MN＋NB最短 作法 将点A向右平移a个单位到点A′，对称点A′到点A″，连接A″B与l交点即为点N，左平移a个单位即为点M 图形 原理 AM＋MN＋NB＝a＋A″B 两点之间，线段最短 (2024绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝_________. [思路分析]连接OP，作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM，得ME＝MP，∠MPO＝∠OEM；作P点关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF，得PN＝FN，∠OPN＝∠OFN；根据PM＋PN＋MN＝EM＋NF＋MN≥EF，当E，M，N，F共线时，△PMN周长最小，再根据对称性质，即可求出∠MPN的角度． 3．(2024新疆改编)如图，抛物线y＝x2－4x＋6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方)，且CD＝3.当AD＋DC＋BC的值最小时，点C的坐标为_________. 模型四　利用“垂线段最短”求最值 1．“两动一定”型(一个定点＋两个动点) 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA＋PB最小； (1)如图1，点A在外侧，过点A作AB⊥n，垂足为B，AB与直线m交于点P； (2)如图2，点A在内侧，作点A关于直线m的对称点A′，过点A′作A′B⊥n，垂足为B，A′B与直线m交于点P. 2．“胡不归”问题：在求形如“PA＋kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA＋kPB”型问题转化为“PA＋PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，则CP＋BP的最小值为___. [思路分析]过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA＝OB＝4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE＝OA＝2，进而求出BE＝BO＋EO＝6，然后利用CP＋BP＝CP＋PD≥CF代入求解即可． 4．(2024宜昌模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋PB的最小值是(　 　) A．4 B．3 C．3 D．5 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是边AB上的动点，点F是射线BC上的动点，且BF＝2AE，连接AF，CE.若AF＋CE＝m，则m的最小值为(　 　) A．3 B．3 C．6 D．6 $$