第2部分 第7单元 微课(12) 与折叠有关的常见模型（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第七单元　图形与变换 微课(十二)　与折叠有关的常见模型 分层特训　微课(十二) 模型一 模型二 模型三 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 (3，－5)或(－3,0) 返回目录 指点中考　数学 114 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 B 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　微课(十二) 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 模型一　折痕过对角线 折叠图形(以矩形折叠为例)，有如下结论： ①△BC′D≌△BCD； ②∠3＝∠4，AD∥BC⇒△BED为等腰三角形(由“平行线＋角平分线”可以找到等腰三角形)，△BAE≌△DC′E. (1)如图，长方形ABCD中，BC＝10，CD＝5，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则 线段DE的长为________. (2)如图，在平面直角坐标系中把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点B′处．AB′与x轴相交于点D，OA＝4，OC＝8，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为_____________________. 1．(2024武汉模拟)如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝_________度． 模型二　折痕过一边 折叠图形(以矩形折叠为例)，有如下结论： ①直角三角形有：△AB′P，△BCP，△B′CP，△CDB′； ②△BCP≌△B′CP；③△AB′P∽△DCB′. 图形演变： 　　 (2024眉山)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　 　) A． B． C． D． 2．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2CD＝10，点E在CD上，把纸片沿AE折叠，点D的对应点D′恰好落在BC上，则DE的长度为(　 　) A．3 B．20－10 C．10－5 D．2.5 3．(2024内江)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点 F处，那么tan∠EFC＝_____. 模型三　折痕过两边 折叠图形(以矩形折叠为例)，有如下结论： ①B′F＝BF，∠B′FE＝∠BFE； ②角平分线遇平行线时出现等腰三角形⇒ △B′EF为等腰三角形(B′E＝B′F)； ③对称点的连线被对称轴垂直平分⇒折痕EF垂直平分BB′； ④四边形EB′FB为菱形． 图形演变： 　　 (2024湖北)在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H. 图1 图2 (1)如图1，求证：△DEP∽△CPH； (2)如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长． (1)证明：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠1＋∠3＝90°， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，∴∠EPH＝∠A＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∴∠3＝∠2，∴△DEP∽△CPH. (2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∵P为CD的中点，∴DP＝CP＝×2＝1. 设EP＝AE＝x，∴ED＝3－x， 在Rt△EDP中，EP2＝ED2＋DP2， 即x2＝(3－x)2＋1，解得x＝，∴EP＝AE＝， ∴ED＝AD－AE＝，∵△EDP∽△PCH， ∴＝，即＝，∴PH＝， ∵PG＝AB＝2，∴GH＝PG－PH＝. 4．(2024威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D落在点D′处，C′D′交AD于点E.若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3， 则DN＝______. 5．(2024宜昌期中)综合与实践 【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F. 　 【活动猜想】(1)如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并说明理由． 【问题解决】(2)如图3，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由． 【深入探究】(3)在(2)的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，直接写出答案． 解：(1)当点B′与点D重合时，四边形BEDF是菱形．理由：如图，设EF与BD交于点O， 由折叠得EF⊥BD，OB＝OD， ∴∠BOF＝∠DOE＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠OBF＝∠ODE， ∴△BFO≌△DEO(ASA)，∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是菱形． (2)当BC＝AB时，始终有A′B′与对角线AC平行．理由：如图，设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， ∵BC＝AB，∴tan∠BAC＝＝， ∴∠BAC＝60°，∴△OAB是等边三角形， ∴∠ABO＝∠AOB＝60°， 由折叠得∠A′B′B＝∠ABO＝60°， ∴∠A′B′B＝∠AOB，∴A′B′∥AC， 故当BC＝AB时，始终有A′B′与对角线AC平行． (3)EF＝2(AP＋B′D)，理由如下： 如图，过点E作EG⊥BC于G，设EF交BD于H， 由折叠得EF⊥BD，B′F＝BF，∠BFE＝∠B′FE. 设AE＝m，EF＝n，由(2)得∠BAC＝60°＝∠ABD， ∴∠BB′F＝∠DBC＝30°， ∴∠BFE＝∠B′FE＝60°， ∴EG＝EF·sin 60°＝n，FG＝EF·cos 60°＝n， ∵∠EAB＝∠ABG＝∠BGE＝90°， ∴四边形ABGE是矩形， ∴AB＝EG＝n，BG＝AE＝m，AD∥BC， ∴BF＝B′F＝m＋n， ∴BH＝BF·cos 30°＝， ∴BB′＝2BH＝， ∵BD＝2AB＝n， ∴B′D＝BD－BB′＝n－＝n－m， ∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝60°， ∴∠APE＝∠DEF－∠DAC＝60°－30°＝30°＝∠DAC， ∴AP＝2AE·cos 30°＝m， ∴AP＋B′D＝m＋＝n， ∴AP＋B′D＝EF，即EF＝2(AP＋B′D)． $$