第2部分 第6单元 微课(10) 圆中常见辅助线的作法（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第六单元　圆 微课(十)　圆中常见辅助线的作法 分层特训　微课(十) 类型一 类型二 类型三 类型四 返回目录 指点中考　数学 62 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 40 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 C 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 26 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 65° 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　微课(十) 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 类型一　连半径，构等腰 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理，解决角度的计算问题． (2024苏州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若 ∠OBC＝28°，则∠A＝______°. 1．(2024宿迁月考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则∠BAO＝(　 　) A．25° B．50° C．60° D．65° 2．(2024枣庄)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝______°. 3．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB. (1)写出图中一个度数为30°的角：______， 图中与△ACD全等的三角形是______； (2)求证：△AED∽△CEB； (3)连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由． (1)解：∠1(或∠2，∠3，∠4均可)；△BCD. (2)证明：由题意和(1)的结果可得∠5＝∠6，∠3＝∠2＝30°，∴△AED∽△CEB. (3)解：四边形OAEB是菱形，理由如下： 连接OA，OB，∵OA＝OE＝OB＝r，∠5＝∠6＝60°， ∴△OAE，△OBE是等边三角形，∴OA＝OB＝AE＝EB＝r，∴四边形OAEB是菱形． 4．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD. (1)判断△BDE的形状，并证明你的结论； (2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 解：(1)△BDE为等腰直角三角形．证明如下： ∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC. ∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE， ∴∠BED＝∠DBE. ∴BD＝ED.∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形． 另解：计算∠AEB＝135°也可以得证． (2)如图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝DC.∵OB＝OC，∴OD垂直平分BC. ∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2， ∴BD＝2.∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设OF＝t，则DF＝5－t. 在Rt△BOF和Rt△BDF中， 52－t2＝(2)2－(5－t)2，解得t＝3， ∴BF＝＝4.∴BC＝8. 类型二　遇90°的圆周角，添加直径； 遇直径，构造直径所对的圆周角 1．遇直径时，常构造直径所对的圆周角．如图1，AB为直径，连接AC，BC⇒∠C＝90°. 2．遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径．如图2，∠C＝90°，连接AB⇒AB为直径． 如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos∠ABC＝，OC＝OB. (1)求⊙O的半径； (2)求∠BAC的正切值． 解：(1)如图，延长BC，交⊙O于点D，连接AD. ∵BD是直径，∴∠BAD＝90°， ∵弦AB的长为8，且cos∠ABC＝， ∴＝＝，解得BD＝10， ∴⊙O的半径为5. (2)如图，过点C作CE⊥AB于点E， ∵⊙O的半径为5，∴OB＝5， ∵OC＝OB，∴BC＝OB＝， ∵cos∠ABC＝，∴＝，即＝，解得BE＝6， ∴AE＝AB－BE＝2，CE＝＝，∴∠BAC的正切值为＝＝. 5．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB＝(　 　) A．10° B．14° C．16° D．26° 6．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，BC.若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为(　 　) A．34° B．56° C．68° D．102° 类型三　遇弦，作弦心距或连半径； 遇中点，连圆心利用垂径定理 遇弦求圆的半径或弦长时：①有半径，作弦心距(圆心到弦的距离d)；②有弦心距，连过弦的端点的半径，构造直角三角形并结合垂径定理解题．由图易知AC＝BC＝，d2＋2＝r2，h＋d＝r. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC. (1)求证：∠AOB＝2∠BOC； (2)若AB＝4，BC＝，求⊙O的半径． (1)证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC， ∠ACB＝2∠BAC， ∴∠AOB＝2∠BOC. (2)解：如图，过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB. ∴AE＝BE，∵∠AOB＝2∠BOC， ∠DOB＝∠AOB，∴∠DOB＝∠BOC. ∴BD＝BC. ∵AB＝4，BC＝，∴BE＝2，DB＝， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴DE＝＝1，在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，OB2＝(OB－1)2＋22，解得OB＝，即⊙O的半径是. 7．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是(　 　) A． B．3 C．3 D．4 8. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是______寸． 类型四　遇切线，连接圆心和切点 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，再利用直角有关性质解题． 如图，△ABC内接于⊙O. (1)若∠C＝45°，⊙O的半径是2，求AB的长； (2)过A点作⊙O的切线DE，求证：∠BAE＝∠C. (1)解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB＝2， ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°， ∴AB＝＝2，∴AB的长为2. (2)证明：∵DE是⊙O的切线， ∴∠OAE＝90°，则∠OAB＋∠BAE＝90°， 同理(1)∠AOB＝2∠C，∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝＝90°－∠C， ∴∠BAE＝90°－∠OAB＝90°－(90°－∠C)＝∠C， ∴∠BAE＝∠C. 9．如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是_________. 10．在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点． (1)如图1，求∠AOB和∠CEB的大小； (2)如图2，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长． 解：(1)∵半径OC垂直于弦AB， ∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝120°， ∵∠CEB＝∠BOC，∴∠CEB＝30°. (2)如图，连接OE，∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠CEB＝∠AOC＝30°， ∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF＝75°， ∴∠DFC＝∠EFB＝75°，∴∠DCF＝90°－∠DFC＝15°， ∵OE＝OC，∴∠DCF＝∠OEC＝15°， ∴∠EOG＝∠DCF＋∠OEC＝30°， ∵GE切⊙O于点E，∴∠OEG＝90°， ∴tan∠EOG＝＝， ∵OE＝OA＝3，∴EG＝. $$