第2部分 第6单元 微课(9) 与圆的切线有关的常见模型（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第六单元　圆 微课(九)　与圆的切线有关的常见模型 分层特训　微课(九) 模型一 模型二 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　微课(九) 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 模型一　切线的判定常考模型 等角代 换模型 条件：AB是⊙O的直径， ∠CAE＝∠B. 思路：由∠B＋∠BAC＝90°，可得∠CAE＋∠BAC＝90°. 结论：AE是⊙O的切线． 平行 线模型 条件：点O在AB上，AC⊥BC，BC与⊙O交于点E. 思路：连接OE，证OE∥AC，则OE⊥BC. 结论：CB是⊙O的切线． 等腰 三角形 模型 条件：OA＝OB. 思路：作OC⊥AB于点C，证OC等于半径． 结论：AB是⊙O的切线． 切线 长模型 已知切点 条件：AC⊥BC，OA平分∠COD，AB与⊙O交于点D. 思路：连接OD，证△ACO≌△ADO，则∠ADO＝∠ACO＝90°. 结论：AB是⊙O的切线． 切线 长模型 未知切点 条件：AC⊥BC，AO平分∠COD. 思路：过点O作OD⊥AB于点D，证DO＝CO，则OD为⊙O的半径． 结论：AB是⊙O的切线. 如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长． (1)证明：如图，连接OC. ∵点C为的中点，∴＝， ∴∠DAC＝∠CAF， ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠OCA.∴OC∥AD，∴∠OCF＝∠D＝90°， ∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线． (2)解：如图，连接BC，CE. ∵CD⊥AD，∴∠D＝90°， ∵DE＝1，DC＝2， ∴CE＝＝＝， ∵C是的中点，∴＝， ∴EC＝CB＝， ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵∠DEC ＋∠AEC＝180°， ∠ABC＋∠AEC＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC，∴△DEC∽△CBA， ∴＝，∴＝， ∴AB＝5，∴AO＝AB＝. ∴⊙O的半径长为. 1．(2024广安)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA. (1)求证：DC是⊙O的切线； (2)点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sin D＝，DA＝FG＝2，求CE的长． (1)证明：如图，连接OC，∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB，∵∠DCA＝∠OBC， ∴∠DCA＝∠OCB，而AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DCA＋∠OCA＝∠OCA＋∠OCB＝90°， ∴∠OCD＝90°，∴DC是⊙O的切线． (2)解：设OC＝OA＝r， ∵sin D＝＝，∴＝， ∴r＝8，∴OC＝OA＝8，在Rt△OCD中，CD＝＝＝6， ∵∠DCA＋∠ECF＝∠BFG＋∠CBA＝90°， ∴∠ECF＝∠BFG，又∵∠BFG＝∠EFC， ∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF. 设EC＝EF＝x，∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE， ∴△DOC∽△DEG，∴＝，则＝，解得x＝14，经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，∴CE的长为14. 2．(2024南充)如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，＝，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长． (1)证明：∵＝，∴∠ABF＝∠BAE， ∵∠CAD＋∠BAE＋∠CDA＋∠ABF＝180°， 且∠CAD＝∠CDA， ∴∠CAD＋∠BAE＋∠CAD＋∠BAE＝180°， ∴∠OAD＝∠CAD＋∠BAE＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，∴AD是⊙O的切线． (2)解：连接AF，∵＝，BE＝4，AD＝2，∴AF＝BE＝4， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFD＝∠AFB＝90°，∴DF＝＝＝2， ∵∠BAD＝∠AFD＝90°， ∴＝＝tan D＝＝2，∴AD＝AB， ∴OA＝AB＝AD＝2，∴⊙O的半径长为2. 模型二　切线性质的常作辅助线及常考设问 1．常作辅助线 (1)已知切线：连接圆心和切点． 如图，已知AB是⊙O的切线，点B是切点，连接OB，得 ∠OBA＝90°. (2)已知切线和直径：连接直径端点与切点，连接圆心和切点． 如图，已知AB是⊙O的切线，点B是切点，CD是⊙O的直径，连接OB，BC，BD，得Rt△BCD，∠ABO＝90°. 2．常考设问 (1)求角度：连接圆心和切点，构造直角三角形，由两锐角互余和圆周角定理进行角度转化求解． (2)求线段长：①利用直角三角形的边角关系求解；②利用勾股定理求解，注意直径所对的圆周角是直角也是构造直角三角形的常用方法；③利用相似三角形求解，找出与所求线段相关的两个三角形相似；④利用等面积法求解． (3)求锐角三角函数值：①构造直角三角形，根据边角关系求解； ②若所求角不在构造的直角三角形中，则将所求角转化到直角三角形中求解． (2024天津)已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C. (1)如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小； (2)如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长． 解：(1)∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO， ∵∠OAB＋∠ABO＋∠AOB＝180°， ∠ABO＝30°， ∴∠AOB＝180°－2∠ABO＝120°， ∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径，∴∠ECM＝90°， ∵AB∥MN，∴∠CDB＝∠ECM＝90°， ∴∠BOE＝90°－∠ABO＝60°， ∵∠BCE＝∠BOE，∴∠BCE＝30°. (2)如图，连接OC.同(1)，得∠COB＝90°，∵CG⊥AB，∴∠FGB＝90°， ∵∠ABO＝30°，∴∠BFG＝90°－∠ABO＝60°，∴∠CFO＝∠BFG＝60°，在Rt△COF中，tan∠CFO＝，又OC＝OA＝3，∴OF＝＝＝. 3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D，若CD＝12，PA＝8，求sin∠ADB的值． 解：如图，连接OA. ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA＝PB，PO平分∠APB，OA⊥AP.∴∠APD＝∠BPD， 在△APD 和△BPD中， ∴△APD≌△BPD(SAS)，∴∠ADP＝∠BDP，∵CD＝12，∴OA＝OD＝6，∴∠OAD＝∠ADP＝∠BDP，∴∠AOP＝∠ADP＋∠OAD＝∠ADP＋∠BDP＝∠ADB，在Rt△AOP 中， OP＝＝10. ∴sin∠ADB＝sin∠AOP＝＝＝. 4．(2024盐城)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC. (1)求证：△ABC∽△ACD； (2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径． (1)证明：连接OC，∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l，∵AD⊥l， ∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ABC∽△ACD. (2)解：∵AC＝5，CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AD＝＝3，∵△ABC∽△ACD，∴＝，即＝，∴AB＝，∴⊙O的半径为. $$