第2部分 第4单元 微课(6) 相似三角形的常见模型（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第四单元　三角形 微课(六)　相似三角形的常见模型 分层特训　微课(六) 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 C 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 B 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　微课(六) 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 题型一　A字型 1．正A字型：根据同位角相等可得另外一组对应角相等，得这两个三角形相似． 2．斜交型：根据条件找除公共角外另一组角也相等或者公共角的两边对应成比例，得这两个三角形相似． 3．当没有说明对应角的关系时，需分情况讨论． 如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD＝2，BD＝3，则的值是(　 　) A． B． C． D． 1．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判定△ABC∽△AED的是(　 　) A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝ 2．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB的中点，E在线段AC上，＝，则的值为(　 　) A． B． C．或 D．1 题型二　8字型 有一组隐含的等角(对顶角)，需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相等．若题中未明确指出相似三角形对应顶点，则需要分类讨论． (1)如图，某零件的外径为10 cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC＝OB∶OD＝3，且量得CD＝3 cm，则零件的厚度x为(　 　) A．0.3 cm B．0.5 cm C．0.7 cm D．1 cm (2)如图，线段AE，BD交于点C，如果AC＝9，CE＝4，BC＝CD＝6，DE＝3，则AB的长为(　 　) A． B．3 C．4 D． 3．(2024吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF.若∠FEO＝45°，则的值为___. 题型三　一线三等角型 1．点P在线段AB上(同侧型) 已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP. 2．点P在线段AB的延长线上(异侧型) 已知：∠1＝∠2＝∠3，结论：△APC∽△BDP. 3．以等腰三角形或等边三角形为背景，三个等角顶点在同一直线上，也形成“一线三等角”模型，其中∠1＝∠2＝∠3，可根据三角形内角和及补角得到另一组等角，可得图中两阴影部分三角形相似． 如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4. (1)求证：△ABC∽△DEB； (2)求线段BD的长． (1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE， ∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°， ∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB. (2)解：∵△ABC∽△DEB， ∴＝，∴＝， ∴BD＝3. 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，点D在BC边上由点C向点B运动(不与点B，C重合)，过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E.若AB＝6，当＝时，求AE的长． 解：如图，分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，易证△EGD∽△DHA(一线三垂直)． 设DE＝a，AD＝2a，则AE＝＝a，∴BE＝6－a，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，则AC＝＝2，BC＝2AC＝4.在Rt△BEG中，∠EBG＝30°，BE＝6－a，则EG＝＝3－a.在Rt△AHC中， ∠C＝60°，AC＝2，AH＝＝3， DH＝＝，由△EGD∽△DHA，得＝，∴＝， 解得a1＝，a2＝－3(舍)， 故AE＝a＝. 题型四　“手拉手”旋转型 根据两组对应边之比始终相等，以及旋转角相等得到两个三角形相似．该模型的难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对考生的综合能力要求较高，考查知识点有相似、旋转、勾股定理、锐角三角函数等． [问题发现] (1)如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD，CE的关系是______(填“相等”或“不相等”)； [类比探究] (2)如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠DAE＝∠BAC＝30°，(1)中的结论还成立吗？请说明理由． 解：(1)相等 (2)不成立，理由：在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠DAE＝ ∠BAC＝30°，∴∠DAE＋∠BAE＝∠BAC＋∠BAE，即∠BAD＝ ∠CAE. ∵cos∠DAE＝cos 30°＝＝. 同理：＝，∴＝.∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.∴＝＝.∴BD＝CE.故(1)中的结论不成立． 5．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝ ∠EFC＝90°，点E在△ABC内，连接BF，AE.若AE＝2，则BF的长为___. 题型五　母子型 有一个公共角，又已知一对角相等，可以得到两个三角形相似．不仅要熟记模型，还要熟记模型的结论，当题目中给出三角形边的乘积或比例关系时，要能快速地判断题中的相似三角形，模型中由△ACD∽△ABC可以得到AC2＝AD·AB. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD， 则AD∶AC的值为______. 6．如图，已知∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝4，BD＝9，则CD的长为(　 　) A．2 B． C．3 D．6 题型六　对角互补型 利用角度互补关系找等角，得到相似三角形，通常过一直角顶点向边或边的延长线作垂线，构造相似三角形．如图，△ODE∽△OHF. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，且＝(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F. [初步感知](1)如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE＋BF＝AB. [深入探究](2)当n＝2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明． 解：AE＋BF＝AB，证明如下： 如图，过点D作DN⊥AC于点N，DH⊥BC于点H. ∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°， ∵DN⊥AC，DH⊥BC， ∴△ADN和△BDH是等腰直角三角形， ∴AN＝DN，DH＝BH，AD＝AN，BD＝BH，∠A＝∠B＝45°＝∠ADN＝∠BDH，∴△ADN∽△BDH，∴＝＝. 设AN＝DN＝x，则BH＝DH＝2x， ∴AD＝x，BD＝2x，∴AB＝3x， ∵DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB＝90°， ∴四边形DHCN是矩形， ∴∠NDH＝90°＝∠EDF， ∴∠EDN＝∠FDH，又∵∠END＝∠FHD， ∴△EDN∽△FDH，∴＝＝， ∴FH＝2EN，∴AE＋BF＝x＋EN＋(2x－FH)＝2x＝AB. 7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上的点P处，求证：PC·PD＝PB·PE. 证明：过点P作PM⊥AB于点M， PN⊥AC于点N，则四边形PNAM为矩形， ∴PM＝AN.由折叠可知，∠DPE＝∠A＝90°， ∴∠ADP＋∠AEP＝180°，∵∠PEN＋∠AEP＝180°，∴∠ADP＝∠PEN. 又∵∠DMP＝∠ENP＝90°， ∴△DMP∽△ENP.∴＝，∵∠C＝45°， ∴△PNC是等腰直角三角形，∴PN ＝NC. ∵∠PNC＝∠A＝90°，∴PN∥AB， ∴＝，即＝， ∴＝，∴PC·PD＝PB·PE. $$