第2部分 第4单元 微课(4) 角平分线的常见模型（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第四单元　三角形 微课(四)　角平分线的常见模型 分层特训　微课(四) 题型一 题型二 题型三 题型四 返回目录 指点中考　数学 1 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 2 返回目录 指点中考　数学 9 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 3或7 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 分层特训　微课(四) 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 题型一　角平分线＋边的垂线双垂直 过角平分线上一点P向角两边作垂线，这两条垂线段相等，两个垂足到角顶点的距离相等． 如图，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA. 辅助线作法：作PE⊥OB. 结论：PD＝PE. 原理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D.若点D到AB的距离为1，则CD的长为___. 1．[感知]如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC. [探究]如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°.求证：DB＝DC. [应用]如图3，在四边形ABDC中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝______.(用含a的代数式表示) [探究]证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. ∵AD平分∠BAC， DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF， ∠F＝∠DEB＝90°. ∵∠EBD＋∠ACD＝180°， ∠ACD＋∠FCD＝180°， ∴∠EBD＝∠FCD. 在△DFC和△DEB中， ∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DB＝DC. [应用] a 题型二　角平分线＋平行线等腰三角形 过角平分线上一点P作平行线，构造等腰三角形． 已知OC平分∠AOB. 情况1：如图1，点P在角平分线OC上． 辅助线作法：作PD∥OB. 结论：△ODP是等腰三角形． 情况2：如图2，点P在角的一边上． 辅助线作法：作PD∥OC. 结论：△ODP是等腰三角形． 注：若已知△ODP是等腰三角形，可证DP∥OC. 如图，在△ABC中，AC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB.若CE＝3，则DE的长是___. 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为___. 题型三　角平分线＋角平分线的垂线等腰三角形 过角平分线上一点P作垂线，构造等腰三角形． 如图，点P在∠AOB的平分线上，DP⊥OP. 辅助线作法：延长DP交OB于点E. 结论：△ODE是等腰三角形． 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，F为AB的中点，则EF的长等于_________. －1 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分 ∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD. 证明：如图，延长BE交CA的延长线于点F. ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠FCE. 在△BEC和△FEC中， ∴△BEC≌△FEC(ASA)．∴BE＝FE＝BF. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠CFE＋∠ACD＝90°，∴∠CDA＝∠CFE，即∠CDA＝∠BFA. 在△CAD和△BAF中， ∴△CAD≌△BAF(AAS)．∴CD＝BF. ∴BE＝CD. 题型四　利用角平分线作对称轴全等三角形 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB>AC.在AB上截取AF＝AC，连接DF.结论：△ACD≌△AFD. 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为_________. [思路分析]过点P作PE⊥OA于点E，分点D在线段OE上，点D在射线EA上两种情况讨论，利用角平分线的性质可得PN＝PE，即可求OE＝ON＝5，由题意可证△PMN≌△PDE，可求OD的长． 解法提示：过点P作PE⊥OA于点E，∵点P是∠AOB的平分线OC上一点， 可得OE＝ON＝5，①如图1，若点D在线段OE上，连接PD，易证△PMN≌△PDE， 则DE＝MN＝2，∴OD＝OE－DE＝3. ②如图2，若点D在射线EA上，连接PD， 易证△PMN≌△PDE，则DE＝MN＝2， ∴OD＝OE＋DE＝7.综上，OD＝3或7. 4．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝3，ON＝5，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是(　 　) A． B． C．－2 D．－2 $$