第2部分 第4单元 微课(3) 全等三角形的常见模型（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第四单元　三角形 微课(三)　全等三角形的常见模型 分层特训　微课(三) 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 题型七 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 120° 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 4 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　微课(三) 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 题型一　平移型 平移模型中，有一组边共线或部分重合，另外两组边分别平行，常要在移动方向上加(或减)公共线段，得到线段相等，或利用平行线的性质得到对应角相等． (2024内江)如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF. (1)求证：△ABC≌△DEF； (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． (1)证明：∵AD＝BE， ∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE. ∵AC＝DF，BC＝EF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． (2)解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝55°， ∴∠A＝∠FDE＝55°，∵∠E＝45°， ∴∠F＝180°－∠FDE－∠E＝80°. 1．已知：如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：∠B＝∠E. 证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝DC，∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠B＝∠E. 题型二　轴对称型(折叠型) 所给图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，重合的点就是全等三角形的对应点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．此模型分为以下两类情况： 1．共边(共直线)型 2．共顶点(共角)型 (2024镇江)如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB. (1)求证：△ABC≌△BAD； (2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝______°. (1)证明：在△ABC和△BAD中， ∴△ABC≌△BAD(AAS)． (2)20. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC和AB的中点．求证：BD＝CE. 证明：∵AB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，∴AD＝AE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE. 题型三　旋转型 1．共顶点旋转型(含手拉手模型) 此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角．(注：遇到共顶点，等线段考虑用旋转) (1)无重叠型 (2)有重叠型 2．不共顶点旋转型 所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转180°，则可得到另一个三角形，两个三角形有一组边共线，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等． 如图，AB，CD相交于点O，AO＝BO，AC∥DB.求证：AC＝BD. [思路分析]有公共顶点O，有一对相等的对顶角∠AOC＝ ∠BOD，由AC∥DB可得到两组内错角相等，本题有多种证明方法，用角角边或者角边角都可以证明△AOC≌△BOD，再由全等三角形的性质可得AC＝BD. 证明：∵AC∥DB，∴∠A＝∠B. 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD.∴AC＝BD. 3．如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝ ∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G.求证：AB＝AE. 证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠CAF＋∠EAC＝∠BAE＋∠EAC， 即∠EAF＝∠BAC. 在△BAC和△EAF中， ∴△BAC≌△EAF(ASA)，∴AB＝AE. 题型四　一线三等角 同在一条直线上出现三个相等的角，其中两个角的一边落在该直线上，第三个角的顶点落在该直线上．在一线三等角模型中，常利用三角形的内角和等于180°和同角(等角)的余角(补角)相等证明角相等． 基本图形有以下三种：(已知∠1＝∠2＝∠3，两个三角形中有一组边相等) 1．一线三等锐角型：△APC≌△BDP. 2．一线三等钝角型：△APC≌△BDP. 3．一线三垂直型：△ACB≌△CDE. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，连接AE，DE，∠AED＝90°.若AB＝EC，求证：△ADE是等腰直角三角形． 证明：∵∠B＝∠C＝90°，∠AED＝90°， ∴∠BAE＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED. 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD(ASA)，∴AE＝ED. ∵∠AED＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B，若∠APB＝120°，则∠CDP的度数为____________. 题型五　手拉手模型 双等腰：AB＝AC，AD＝AE. 共顶点：线段AB，AC，AD，AE交于点A. 顶角相等：∠BAC＝∠DAE. 旋转得全等：连接CE，BD，△ACE绕点A旋转得△ABD≌△ACE. 如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE. (1)求∠ACE的度数； (2)猜想线段AC，CD，CE之间的数量关系，并加以证明． [思路分析]找顶点：等腰三角形两腰的交点A，构造等角证全等三角形． 解：(1)∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∴△BAD≌ △CAE(SAS)． ∴∠ACE＝∠B＝60°. (2)AC＝CD＋CE.证明如下： 由(1)得△BAD≌△CAE，∴BD＝CE. ∵AC＝BC＝BD＋CD，∴AC＝CD＋CE. 5．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥AD，连接DC，当点D在AC右侧时，求∠ADC的度数． 解：如图，延长AD到点P，使得AP＝BD，连接CP，设AC与BD的交点为O. ∵∠ACB＝90°，∴∠DBC＋∠BOC＝90°.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.∴∠PAC＋∠AOD＝90°. ∵∠BOC＝∠AOD，∴∠PAC＝∠DBC. ∵AP＝BD，AC＝BC，∴△APC≌△BDC(SAS)． ∴CP＝CD，∠ACP＝∠BCD.∴∠ACD＋∠PCD＝∠ACD＋ ∠ACB.∴∠PCD＝∠ACB＝90°.∴△PCD是等腰直角三角形． ∴∠CDP＝45°.∴∠ADC＝135°. 题型六　对角互补模型 图形特点：有一组对角互补，且有一组邻边相等． 常见四边形对角互补模型：90°的对角互补模型，120°的对角互补模型． 常用辅助线作法： 1．通过旋转构造全等三角形：将△COD绕点C旋转，使CD与CE重合，得到△CFE； 2．过顶点作垂线：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为M，N. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点， E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F.如图，当AD＝BD时，求证：AE＋BF＝AB. [思路分析]连接CD，构造全等三角形． 证明：如图，连接CD， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝DB， ∴AB＝AC，∠A＝∠B＝∠ACD＝45°，AD＝CD＝BD，CD⊥AB，∵ED⊥FD， ∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF， ∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴CE＝BF， ∴AE＋BF＝AE＋CE＝AC＝AB. 6．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则正方形ABCD的面积为___. 题型七　半角模型 当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等． 如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，求证：EF＝BE＋DF. [思路分析]利用旋转将△ABE与△ADF拼接到一起，再利用全等三角形解决问题． 证明：如图，由于AB＝AD，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，AB与AD重合， 则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG. 在正方形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°＝ ∠ADG，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线． ∴∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝90°－∠EAF＝45°＝∠EAF. 在△EAF和△GAF中， ∴△EAF≌△GAF(SAS)． ∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF. 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，猜想线段BD，DE，EC满足的等量关系，并说明理由． 解：BD2＋CE2＝DE2. 理由：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， 连接DF，则∠BAF＝∠CAE，BF＝CE. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠ABD＝∠C＝45°，∠BAD＋∠CAE＝45°. 又∵∠BAF＝∠CAE， ∴∠FAD＝∠BAF＋∠BAD＝45°＝∠DAE. 在△ADF和△ADE中， ∴△ADF≌△ADE(SAS)．∴DF＝DE. ∵∠ABD＝∠C＝∠ABF＝45°. ∴∠DBF＝90°.∴△BDF是直角三角形． ∴BD2＋BF2＝DF2，∴BD2＋CE2＝DE2. $$