第2部分 第4单元 第19讲 锐角三角函数（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

图形与几何 第二部分 第四单元　三角形 第19讲　锐角三角函数 返回目录 指点中考　数学 基础知识梳理 考点素养精讲 分层特训　第19讲 基础知识梳理 知识点1　锐角三角函数的定义 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点2　特殊角的三角函数值 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点3　解直角三角形 返回目录 指点中考　数学 a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90° 返回目录 指点中考　数学 已知元素 未知元素 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点4　解直角三角形的实际应用 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 考点1　锐角三角函数的定义 考点素养精讲 A 返回目录 指点中考　数学 B 返回目录 指点中考　数学 考点2　特殊角的三角函数值 A 返回目录 指点中考　数学 考点3　解直角三角形及其应用 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 B 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　第19讲 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 1．(人教九下教材P68习题T1)分别求出图中∠A，∠B的正弦值、余弦值和正切值． 解：(1)sin A＝，cos A＝，tan A＝； sin B＝，cos B＝，tan B＝2. (2)sin A＝，cos A＝，tan A＝；sin B＝，cos B＝，tan B＝3. (3)sin A＝，cos A＝，tan A＝，sin B＝，cos B＝，tan B＝. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则tan A＝＝___，sin A＝＝___，cos A＝＝___. [注意](1)注意自变量的范围：锐角三角函数的自变量是角度，其取值范围是0°＜α＜90°. (2)注意函数值的范围：锐角三角函数的值是直角三角形各边的比值，0＜sin A＜1,0＜cos A＜1，tan A＞0. 2．(人教九下教材P69T3)求下列各式的值： (1)sin 45°＋eq \f(\r(2),2)；(2)sin 45°cos 60°－cos 45°； (3)cos245°＋tan 60°cos 30°；(4)eq \f(1－cos 30°,sin 60°)＋tan 30°. 解：(1)原式＝＋＝.(2)原式＝×－＝－.(3)原式＝2＋×＝2. (4)原式＝＋＝－1. α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 [注意](1)互余两角三角函数之间的关系：∠A＋∠B＝90°时，sin A＝cos B，cos A＝sin B；(2)同角三角函数之间的关系：sin2A＋cos2A＝1，tan A＝； (3)不同锐角三角函数增减的区别：在锐角范围内，sin A和 tan A的值随∠A的增大而增大，cos A的值随∠A的增大而减小． 3．(人教九下教材P77习题T1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． (1)c＝8，∠A＝30°；　(2)b＝7，∠A＝15°； (3)a＝5，b＝12. 解：(1)∠B＝60°，a＝4，b＝4. (2)∠B＝75°，a≈1.9，c≈7.2. (3)c＝13，∠A≈23°，∠B≈67°. 1．直角三角形的边角关系 (1)三边之间的关系：__________________(勾股定理)； (2)两锐角之间的关系：_______________________； (3)边角之间的关系：sin A＝cos B＝___，cos A＝sin B＝___，tan A＝___，tan B＝___. 2．解直角三角形：由直角三角形中____________求出____________的过程，叫做解直角三角形． 3．解直角三角形的四种基本类型和解法 已知条件 图形 解法 一边 一角 一直角边和一锐角(已知a，∠A) ∠B＝90°－∠A，c＝，b＝(或b＝) 斜边和一个锐角(已知c，∠A) ∠B＝90°－∠A，a＝c·sin A，b＝c·cos A(或b＝) 已知条件 图形 解法 两 边 两直角边(已知a，b) c＝，由tan A＝求∠A，∠B＝90°－∠A 斜边和一条直角边(已知c，a) b＝，由sin A＝求∠A，∠B＝90°－∠A 4．(人教九下教材P77练习T1)如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：如图，过点A作AC⊥BD于点C. ∵在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，在D点测得小岛A在北偏东30°的方向上， ∴∠ABD＝90°－60°＝30°，∠ADC＝90°－30°＝60°，∴∠BAD＝∠ADC－∠ABD＝60°－30°＝30°，∴∠BAD＝∠ABD，∴BD＝AD＝12 n mile，∵在Rt△ADC中， sin∠ADC＝sin 60°＝，∴AC＝AD·sin 60°＝12×＝ 6(n mile)>8 n mile. 答：如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 1．仰角、俯角：如图1，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角． 2．坡度(坡比)、坡角：如图2，通常把坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)，用字母i表示，即i＝；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，则有i＝＝tan α. 3．方向角：如图 3，一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)．如A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(也称西北方向)． (2024长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　 　) A．asin θ千米 B．eq \f(a,sin θ)千米 C．acos θ千米 D．eq \f(a,cos θ)千米 1．(2024临夏)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(　 　) A．3 B．6 C．8 D．9 (2024天津) eq \r(2)cos 45°－1的值等于(　 　) A．0 B．1 C．eq \f(\r(2),2)－1 D．eq \r(2)－1 2．(2024北京)计算：(π－5)0＋eq \r(8)－2sin 30°＋|－eq \r(2)|. 解：原式＝1＋2－2×＋＝3. (2024浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. (1)求BC的长； (2)求sin∠DAE的值． 解：(1)在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8， 在Rt△ADC中，tan∠ACB＝＝1， ∴DC＝6，∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14. (2)∵AE是BC边上的中线，∴BE＝BC＝7，∴DE＝BD－BE＝8－7＝1，∴AE＝＝＝， ∴sin∠DAE＝＝＝. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案 示意 图 活动项目 测量校园中树AB的高度 实施 过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD. ①选取与树底B位于同一水平地面的E处； ②测量E，B两点间的距离； ③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； ④测量E，D两点间的距离； ⑤测量C到地面的高度CD. 活动项目 测量校园中树AB的高度 测量 数据 ①DB＝10 m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6 m. ①EB＝10 m； ②ED＝2 m； ③CD＝1.6 m． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据： tan 32.5°≈0.64. ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB. 请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度． 解：“测角仪”方案：∵CD⊥BD，AB⊥BD，CF⊥AB，∴四边形CDBF是矩形， ∴CF＝BD＝10 m，BF＝CD＝1.6 m. ∵∠ACF＝32.5°，∴AF＝CF·tan 32.5°≈10×0.64＝6.4(m)， ∴AB＝AF＋BF＝6.4＋1.6＝8(m)． 答：树AB的高度约为8 m. “平面镜”方案：∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠CDE＝∠ABE＝90°， ∵∠CED＝∠AEB，∴△CDE∽△ABE， ∴＝，∴＝，∴AB＝8. 答：树AB的高度约为8 m. 3．(2024德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为(　 　) A．20米 B．15米 C．12米 D．10＋5米 4．(2024深圳)如图，在△ABC中，AB＝BC，tan B＝，D为BC上一点，且满足＝，连接AD，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E，则＝___. $$