第1部分 第3单元 第13讲 二次函数的实际应用（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

数与代数 第一部分 第三单元　函数 第13讲　二次函数的实际应用 返回目录 指点中考　数学 基础知识梳理 考点素养精讲 分层特训　第13讲 基础知识梳理 知识点1　二次函数在面积问题中的应用 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点2　二次函数在销售问题中的应用 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点3　实物抛物线 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 考点1　二次函数在面积问题中的应用 考点素养精讲 46.4 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 考点2　二次函数在销售问题中的应用 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 考点3　实物抛物线 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 能 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　第13讲 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 1．(人教九上教材P57T7)如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设平行于墙的一边长为x m，菜园面积为y m2，则垂直于墙的一边长是 m，由题意，得y＝x·＝＝－x2＋15x(0<x≤18)，∴当x＝－＝－＝15时，＝，y最大，最大值为＝＝，∴当平行于墙的一边长和垂直于墙的一边长分别为15 m， m时，菜园有最大面积，最大面积是 m2. 图形面积问题：利用几何知识用变量x表示出图形的面积y，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解． 2．(人教九上教材P52T8)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，房价定为多少时，宾馆利润最大？ 解：设房价为(180＋10x)元，利润为y元，则定价增加了10x元，此时空闲的房间为x间，由题意得，y＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x2＋340x＋8 000＝－10(x－17)2＋10 890，故可得当x＝17，即房价为180＋170＝350元时，利润最大，最大利润是10 890元． 答：房价定为350元时，利润最大，最大利润是10 890元． 销售利润问题：理清变量之间的关系，找出问题中的数量关系，列出函数关系式，确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值或建立方程求解． 3．(人教九上教材P52T3)飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s＝60t－1.5t2，飞机着陆后滑行多远才能停下来？ 解：s＝60t－1.5t2＝－1.5(t2－40t＋400)＋1.5×400＝－1.5(t－20)2＋600，∴当t＝20时，s取最大值，且最大值是600，即飞机着陆后滑行600 m才能停下来． 1．实物抛物线问题的求解步骤 (1)根据实际问题的条件建立适当的平面直角坐标系； (2)指出已知点的坐标(长度转化为坐标)； (3)设出适当的解析式； (4)用待定系数法求出解析式； (5)根据条件解决相应问题． 2．常见类型：隧洞，桥梁，体育运动等． (2024自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m．班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是_____m2. (2024湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 解：(1)y＝－2x＋80，S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x. (2)∵y≤42，∴－2x＋80≤42，∴x≥19， ∴19≤x＜40，当S＝750时，－2x2＋80x＝750，解得x＝25或x＝15(舍去)， ∴当x＝25 m时，矩形实验田的面积S能达到750 m2. (3)∵S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800， ∴当x＝20时，S有最大值800. 答：当x的值是20时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是800 m2. 1．(2024湖北模拟)习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙(如图)，另外三边用长为30 m的篱笆围成，已知墙长为18 m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x m，平行于墙的一边的长为y m，矩形劳动实践基地的面积为S m2. (1)请直接写出y与x，S与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)能否围成一个100 m2的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说明理由． (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14 m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 解：(1)y＝－2x＋30(6≤x＜15)， S＝－2x2＋30x(6≤x＜15)． (2)能围成一个100 m2的矩形劳动实践基地． 令－2x2＋30x＝100，整理得x2－15x＋50＝0，解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x＜15，∴x＝10， 答：当垂直于墙的一边长为10 m时，能围成一个100 m2的矩形劳动实践基地． (3)∵－2x＋30≤14，解得x≥8， ∴8≤x＜15. S＝－2x2＋30x＝－22＋， ∵－2＜0，∴抛物线开口向下． ∵对称轴为x＝，＜8， ∴8≤x＜15在对称轴右侧，S随x的增大而减小，∴当x＝8时，S最大值＝112. 答：当垂直于墙的一边长为8 m时，矩形劳动实践基地的面积最大，最大值为112 m2. 2. 如图，有长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB的长为x m，面积为y m2. (1)求y与x的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)如果要围成面积为63 m2的花圃，AB的长是多少？ 解：(1)由题意，得y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x. (2)当y＝63时，－3x2＋30x＝63， 解得x1＝7，x2＝3. 当x＝7时，30－3x＝9<10，符合题意； 当x＝3时，30－3x＝21>10，不符合题意，舍去． ∴当AB的长是7 m时，花圃的面积为63 m2. (2024滨州)春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x(元/张) 40 50 售出电影票数量y(张) 164 124 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润(利润＝票房收入－运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b， 由表格可得，解得 即y与x之间的函数关系式是y＝－4x＋324(30≤x≤80，且x是整数)． (2)由题意可得，w＝x(－4x＋324)－2 000＝－4x2＋324x－ 2 000， 即w与x之间的函数关系式是w＝－4x2＋324x－2 000(30≤x ≤80，且x是整数)． (3)由(2)知w＝－4x2＋324x－2 000＝－4(x－40.5)2＋4 561， ∵30≤x≤80，且x是整数， ∴当x＝40或41时，w取得最大值，wmax＝4 560. 答：该影院将电影票售价x定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4 560元． (2024贵州)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 解：(1)设y与x的函数表达式为y＝kx＋b， 把x＝12，y＝56；x＝20，y＝40代入，得解得 ∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋80. (2)设日销售利润为w元，根据题意，得w＝(x－10)·y＝(x－10)(－2x＋80)＝－2x2＋100x－800＝－2(x－25)2＋450，∴当x＝25时，w有最大值为450，∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元． (3)设日销售利润为w元，根据题意，得w＝(x－10－m)·y＝(x－10－m)(－2x＋80)＝－2x2＋(100＋2m)x－800－80m， ∴当x＝－＝时，w有最大值为－22＋(100＋2m)－800－80m，∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴－22＋(100＋2m)－800－80m＝392，化简得m2－60m＋116＝0， 解得m1＝2，m2＝58，当m＝58时，对称轴为x＝54，则每盒的利润为54－10－58<0，舍去，∴m的值为2. 3．(2024烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 解：(1)由题意，得y＝(200－x)＝－x2＋20x＋12 000＝－(x－25)2＋12 250. ∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴200－x≥180，∴x≤20.∵－<0，∴当x<25时，y随x的增大而增大，∴当x＝20时，每天的利润最大，为－×(20－25)2＋12 250＝12 240(元)． 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，最大利润为12 240元． (2)当y＝12 160时，－x2＋20x＋12 000＝12 160，解得x1＝10，x2＝40(不合题意，舍去)， ∴60＋×4＝64(辆)． 答：这天售出了64辆轮椅． 4．(2024内江)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5 000元购进的猪肉粽盒数与3 000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价为52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价为x元(52≤x≤70)，y表示该商家销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数表达式并求出y的最大值． 解：(1)设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为(n＋20)元．由题意得＝，解得n＝30，经检验，n＝30是原方程的解且符合题意，∴n＋20＝50. 答：猪肉粽的进价为每盒50元，豆沙粽的进价为每盒30元． (2)由题意得y＝(x－50)[180－10(x－52)]＝－10x2＋1 200x－35 000＝－10(x－60)2＋1 000. ∵52≤x≤70，－10<0， ∴当x＝60时，y取得最大值为1 000元． (2024武汉)16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km. ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 解：(1)①a＝－，b＝8.1. ②由①得y＝－x2＋x＝－2＋(0≤x≤9)，∴火箭运行的最高点是 km， ∴－1.35＝2.4(km)．∴2.4＝－x2＋x，整理得x2－15x＋36＝0.解得x1＝12＞9(不合题意，舍去)，x2＝3.由①得y＝－x＋8.1，∴2.4＝－x＋8.1，解得x＝11.4. ∴11.4－3＝8.4(km)． 答：这两个位置之间的距离为8.4 km. (2)－＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. (2024陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2 m(桥塔的粗细忽略不计)． (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6 m，FO<OD，求FO的长． 解：(1)由题意得顶点P的坐标为(50,2)，点A的坐标为(0,17)，设缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝a(x－50)2＋2，把(0,17)代入得17＝a(0－50)2＋2，解得a＝，∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝(x－50)2＋2. (2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，∴缆索L2所在抛物线的函数表达式为y＝(x＋50)2＋2. ∵EF＝2.6，∴把y＝2.6代入得，2.6＝·(x＋50)2＋2，解得x1＝－40，x2＝－60， ∴FO＝40 m或FO＝60 m，∵FO<OD， ∴FO的长为40 m. 5．(2024甘肃)如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6,2.68)在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车___完全停到车棚内(填“能”或“不能”)． 　 6．(2024广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时， 水平距离是5 m，高度是4 m．若实心球落地点为M，则OM＝___m. 7．(2024江西)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①m＝______，n＝______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系y＝－5t2＋vt. ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 解：(1)①3,6. ②由表可得，抛物线的顶点坐标为(4,8)， ∴解得 ∴二次函数的解析式为y＝－x2＋4x. 联立得解得或 ∴点A的坐标是. (2)①8. ②y＝－5t2＋vt＝－52＋，则＝8，解得v＝4(负值已舍去)． $$