第1部分 第2单元 第7讲 一元二次方程及其应用（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

数与代数 第一部分 第二单元　方程(组)与不等式(组) 第7讲　一元二次方程及其应用 返回目录 指点中考　数学 基础知识梳理 考点素养精讲 分层特训　第7讲 基础知识梳理 知识点1　一元二次方程及其解法 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 一个 一 2 二 ax2＋bx＋c＝0 a b c 返回目录 指点中考　数学 相等 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点2　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 b2－4ac ＝ < 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点3　一元二次方程的实际应用 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 未知量 间接设 返回目录 指点中考　数学 a(1＋ x)2＝b a(1－ x)2＝b 返回目录 指点中考　数学 a＋ax a＋ax＋x(a＋ax)＝a(1＋x)2 返回目录 指点中考　数学 n(n－1) 返回目录 指点中考　数学 (a－2x)(b －2x) (a－x)(b－x) 返回目录 指点中考　数学 考点1　一元二次方程及其解法 考点素养精讲 B 返回目录 指点中考　数学 2 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 考点2　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 C c>4 返回目录 指点中考　数学 p 1 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 0(答案不唯一) 3 返回目录 指点中考　数学 考点3　一元二次方程的实际应用 B 返回目录 指点中考　数学 780(1＋a)2＝960 返回目录 指点中考　数学 B 返回目录 指点中考　数学 36 返回目录 指点中考　数学 分层特训　第7讲 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 1．(人教九上教材P4习题T1节选)将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)3x2＋1＝6x；　(2)4x2＋5x＝81； (3)x(x＋5)＝0；　(4)(2x－2)(x－1)＝0. 解：(1)一般形式为3x2－6x＋1＝0，其中二次项系数是3，一次项系数是－6，常数项是1. (2)一般形式为4x2＋5x－81＝0，其中二次项系数是4，一次项系数是5，常数项是－81. (3)一般形式为x2＋5x＝0，其中二次项系数是1，一次项系数是5，常数项是0. (4)一般形式为2x2－4x＋2＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－4，常数项是2. 2．(人教九上教材P17T3节选)用配方法解下列方程： (1)x2＋10x＋16＝0；　(2)x2－x－＝0. 解：(1)移项得x2＋10x＝－16，配方得x2＋10x＋52＝－16＋52，即(x＋5)2＝9，开平方得x＋5＝±3，即x＋5＝3或x＋5＝－3，所以x1＝－2，x2＝－8. (2)移项得x2－x＝，配方得x2－x＋2＝＋2，即2＝1，开平方得x－＝±1，即x－＝1或x－＝－1，所以x1＝，x2＝－. 3．(人教九上教材P17T5节选)用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0；　(2)x2－x－＝0. 解：(1)a＝1，b＝1，c＝－12， ∴b2－4ac＝12－4×1×(－12)＝49， ∴x＝＝＝， ∴x1＝3，x2＝－4. (2)a＝1，b＝－，c＝－， ∴b2－4ac＝(－)2－4×1×＝2＋1＝3， ∴x＝＝＝， ∴x1＝，x2＝. 4．(人教九上教材P17T6节选)用因式分解法解下列方程： (1)3x2－12x＝－12；　(2)4x2－144＝0. 解：(1)方程整理为x2－4x＋4＝0， 即(x－2)2＝0，得x－2＝0，解得x＝2， ∴原方程的解为x1＝x2＝2. (2)方程整理为x2－36＝0，即(x＋6)(x－6)＝0，得x＋6＝0或x－6＝0，解得x＝－6或x＝6， ∴原方程的解为x1＝－6，x2＝6. 1．定义：等号两边都是整式，只含有______未知数(___元)，并且未知数的最高次数是___(___次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一般形式：______________(a≠0，a，b，c为常数)，其中二次项系数是___，一次项系数是___，常数项是___. [注意](1)a≠0；(2)各项都包括前面的符号． 3．一元二次方程的解(根)：使方程左右两边______的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 4．一元二次方程的解法 解法 形式 方程的解 适用情况 直接 开平 方法 ax2＋c＝0(a≠0，ac<0) _________________________ 方程缺少一次项时 (mx＋n)2＝p(m≠0， p≥0) _________________________ 可化成(mx＋n)2＝p(m≠0，p≥0)形式的方程 x1＝，x2＝－ x1＝， x2＝ 解法 形式 方程的解 适用情况 配方法 可化为 (x－m)2＝ n(n≥0) _______________________ 适用于所有一元二次方程，将二次项系数化为1后，一次项系数为绝对值较小的偶数时，优先考虑使用配方法 x1＝＋m x2＝－＋m x1＝－，x2＝－ 解法 形式 方程的解 适用情况 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0 且Δ＝b2－4ac≥0) ___________________ 适用于所有的一元二次方程 因式 分解 法 x(ax＋b)＝ 0(a≠0) ____________________ 适用于化成一般形式后，方程左边可因式分解的一元二次方程 (ax＋b)(cx＋d)＝0 (ac≠0) ____________________ x＝ x1＝0，x2＝－ 5．(人教九上教材P17T4)利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)2x2－3x－＝0； (2)16x2－24x＋9＝0； (3)x2－4＋9＝0； (4)3x2＋10＝2x2＋8x. 解：(1)∵Δ＝(－3)2－4×2×＝21>0，∴方程有两个不相等的实数根． (2)∵Δ＝(－24)2－4×16×9＝0，∴方程有两个相等的实数根． (3)∵Δ＝(－4)2－4×1×9＝－4<0，∴方程无实数根． (4)原方程可化为x2－8x＋10＝0.∵Δ＝(－8)2－4×1×10＝24>0，∴方程有两个不相等的实数根． 6.(人教九上教材P25T4)求下列方程两个根的和与积： (1)x2－5x－20＝0；　(2)2x2＋7x＋1＝0； (3)3x2－1＝2x＋5；　(4)x(x－1)＝3x＋7. 解：(1)方程两个根的和为5，两个根的积为－20. (2)方程两个根的和为－，两个根的积为. (3)原方程化为3x2－2x－6＝0， ∴方程两个根的和为，两个根的积为－2. (4)原方程化为x2－4x－7＝0， ∴方程两个根的和为4，两个根的积为－7. 1．一元二次方程的根的判别式：Δ＝_________叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．使用判别式的前提条件是a≠0，判别式的值与0的大小关系决定了一元二次方程根的情况． (1)b2－4ac>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac___0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac___0⇔一元二次方程无实数根． 2．一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)有两个根x1，x2，则x1＋x2＝______，x1x2＝___. [注意]Δ≥0是前提条件． － 3．常用公式变形 (1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2. (2)＋＝. (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2. (4)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1. (5)＋＝＝. (6)|x1－x2|＝. 7．(人教九上教材P25T7)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请x个球队参加比赛，依题意，得x(x－1)＝15，解得x＝6或x＝－5(不合题意，舍去)．∴应邀请6个球队参加比赛． 8．(人教九上教材P22T7)青山村种的水稻2010年平均每公顷产7 200 kg,2012年平均每公顷产8 450 kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率． 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x. 由题意，得7 200(1＋x)2＝8 450， 解得x1＝，x2＝－(舍)． 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为. 9．(人教九上教材P26T11)用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？能围成一个面积为101 cm2的矩形吗？如能，说明围法；如不能，说明理由． 解：设围成面积为75 cm2的矩形的长为x cm，则宽为(20－x)cm，依题意，得x(20－x)＝75， 解得x1＝5，x2＝15.∵长>宽，∴x＝15， 即这个矩形的长为15 cm，宽为5 cm. 同理，设围成面积为101 cm2的矩形的长为y cm，依题意得y(20－y)＝101， ∵Δ＝－4<0，∴此方程无解，故不能围成面积为101 cm2的矩形． 1．列方程解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，明确问题中的已知量和_________； (2)设：设未知量，可以直接设也可以_________； (3)列：依题意构建方程； (4)解方程：求出未知量的值； (5)检验作答． 2．常见类型 (1)平均增长率(下降率)问题：设原来的量为a，变化后的量为b. ①当连续两次增长，平均每次增长率为x时，列方程为______ ______； ②当连续两次下降，平均每次下降率为x时，列方程为______ ______. (2)传播问题：若开始数量为a，每轮感染的数量为x，经1轮传染后感染者的数量为_________，经2轮传染后感染者的数量为________________________. (3)销售问题：①利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量；②销售问题中，单价每涨价a元，就少卖出b件，若涨价y 元，则少卖出_____件． ·b (4)赛制问题(握手问题)：单循环赛，n支球队总比赛次数为 _______(若x人中每两人之间握一次手，则握手总次数为______)；双循环赛，n支球队总比赛次数为__________. (5)面积问题：如图1，设空白部分宽为x，则S阴影＝_________ _____；如图2,3,4，设空白部分宽为x，则S阴影＝_____________. (2024贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1 (2024安徽)解方程：x2－2x＝3. 解：∵x2－2x＝3，∴x2－2x－3＝0， ∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1. (2024深圳)已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，则m＝___. [思路分析]本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可． 1．(2024凉山)若关于x的一元二次方程(a＋2)·x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D． (2024北京)若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为(　　) A．－16 B．－4 C．4 D．16 若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0没有实数根，则实数c的取值范围是_____. (2024内江)已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空：x1＋x2＝___，x1x2＝___； (2)求＋，x1＋； (3)已知x＋x＝2p＋1，求p的值． 解：(2)∵x1＋x2＝p，x1x2＝1，∴＋＝＝p.∵x－px1＋1＝0，∴x1－p＋＝0，∴x1＋＝p. (3)由根与系数的关系得x1＋x2＝p，x1x2＝1， ∵x＋x＝2p＋1，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝2p＋1， ∴p2－2＝2p＋1，∴p2－2p－3＝0， 解得p＝－1或p＝3， ∴一元二次方程x2－px＋1＝0为x2＋x＋1＝0或x2－3x＋1＝0.当p＝－1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，不合题意，舍去；当p＝3时，Δ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，符合题意． ∴p的值为3. 2．(2024上海)以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　) A．x2－6x＝0 B．x2－9＝0 C．x2－6x＋6＝0 D．x2－6x＋9＝0 3. 关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个不相等的实数根，且c为整数，则c＝_____________.(写出一个满足条件的值) 4．(2024十堰二模)若a，b是一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则代数式＋的值为___. (2024眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为(　　) A．670×(1＋2x)＝780 B．670×(1＋x)2＝780 C．670×(1＋x2)＝780 D．670×(1＋x)＝780 在例6条件下，若要使眉山市东坡区永丰村的水稻亩产量在2025年达到960千克，设2023年到2025年该村水稻亩产量年平均增长率为a，则可列方程为_________________. 5．中考将至，九(1)班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1 640张，问九(1)班共有多少名学生？设九(1)班共有x名学生，那么所列方程为(　　) A．x2＝1 640 B．x(x－1)＝1 640 C．x(x＋1)＝1 640 D．x(x－1)＝1 640 6. 《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为____岁． $$