第1部分 第2单元 第5讲 一次方程(组)及其应用（课件PPT）-【指点中考】2025年湖北中考数学知识精讲

数与代数 第一部分 第二单元　方程(组)与不等式(组) 第5讲　一次方程(组)及其应用 返回目录 指点中考　数学 基础知识梳理 考点素养精讲 分层特训　第5讲 基础知识梳理 知识点1　等式的性质 返回目录 指点中考　数学 ②③ 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 相等 a±c＝b±c 移项 相等 ac＝bc 去分母，化系数为1 a＝c 返回目录 指点中考　数学 知识点2　方程的有关概念 －6 x＝0 x＝－2 x＝3 返回目录 指点中考　数学 含有未知数的等式 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 求方程解的过程 返回目录 指点中考　数学 知识点3　一元一次方程及其解法 C 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 一 1 ax＋b＝0(a≠0) 返回目录 指点中考　数学 不含分母的项 改变 变号 不变 返回目录 指点中考　数学 知识点4　二元一次方程(组) 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 两 1 相等 两 1 两 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 知识点5　一次方程(组)的实际应用 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 未知量 等量 未知数 题意 单位 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 考点1　等式的性质 考点素养精讲 C 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 D 返回目录 指点中考　数学 考点2　方程(组)的解与解方程(组) B 2 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 3 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 考点3　实际问题与一次方程(组) B 返回目录 指点中考　数学 A 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 C 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 返回目录 指点中考　数学 分层特训　第5讲 返回目录 指点中考　数学 制 作 者：指点中考 适用对象：初中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 1．(人教七上教材P81内容改编)下列变换： ①若a2＝b2，则a＝b； ②若－m＝－n，则m＝n； ③若＝，则a＝b； ④若ac＝bc，则a＝b； ⑤若a＝b，则＝. 其中正确的有______.(填序号) 2．(人教七上教材P83T4节选)用等式的性质解下列方程： (1)x－4＝29；　　(2)3x＋1＝4. 答：(1)x＝33　(2)x＝1 1．等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式． 2．等式的基本性质 (1)性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍_____，即如果a＝b，那么____________._______是它在解方程中的应用． (2)性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍______，即如果a＝b，那么__________；如果a＝b(c≠0)， 那么________.__________________是它在解方程中的应用． ＝ 3．等式的传递性：如果a＝b，b＝c，那么______. 3．(人教七上教材P80内容改编)已知方程3x＋m＝4－7x的解为x＝1，则m＝______. 4．(人教七上教材P83习题T3改编)x＝3，x＝0，x＝－2，各是下列哪个方程的解？ (1)5x＋7＝7－2x：______； (2)6x－8＝8x－4：_________； (3)3x－2＝4＋x：______. 1．___________________叫做方程． 2．____________________________________叫做方程的解． 3．_______________叫做解方程． 5．(人教七上教材P79内容改编)下列方程中，一元一次方程的个数是(　　) ①x＝0；②2x－y＝1；③n2＋n＝0；④2y＝5y＋3；⑤x－2＝2x＋1. A．1 B．2 C．3 D．4 6．(人教七上教材P98练习节选) 解方程：－2＝. 解：去分母，得2(x＋1)－8＝x， 去括号，得2x＋2－8＝x， 移项，得2x－x＝8－2， 合并同类项，得x＝6. 1．一元一次方程 (1)定义：只含有___个未知数(元)，未知数的次数都是___，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． (2)一般形式：_______________. (3)方程一般形式的解：__________. x＝－ 2．一元一次方程的解法步骤与注意事项 步骤 注意事项 去分母 不要漏乘_______________ 去括号 若括号前面是“－”号，去括号后括号内的每一项都要______符号 移项 移项要______ 合并同类项 系数相加，字母及其指数均______ 系数化为1 分子、分母不要颠倒 7．(人教七下教材P93T2节选)用代入法解方程组： 解： 把①代入②，得3x＋4x－6＝8，解得x＝2. 把x＝2代入①，得y＝2×2－3＝1. ∴原方程组的解为 8．(人教七下教材P96T1节选)用加减法解方程组： 解： ①×2－②，得7x＝35，即x＝5，将x＝5代入②，得y＝0，则方程组的解为 1．二元一次方程(组) (1)二元一次方程的定义：一个方程含有___个未知数，并且含有未知数的项的次数都是___，像这样的方程叫做二元一次方程． (2)二元一次方程的解的定义：使二元一次方程两边的值_____的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． (3)二元一次方程组的定义：方程组中有___个未知数，含有每个未知数的项的次数都是___，并且一共有___个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． (4)二元一次方程组的解的定义：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2．解二元一次方程组的基本思想：消元思想，即将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想． 3．二元一次方程组的解法 (1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组．这种方法叫做代入消元法，简称代入法．当方程组中一个方程的常数项为0或者方程组中某个未知数的系数为1或者－1时，用代入消元法比较简单． (2)加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法．当两个方程中某个未知数的系数相同、互为相反数或成整数倍数关系时，用加减消元法比较简单． 4．三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的思想是“转化”，通过消元将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”． 9．(人教七下教材P102T8)打折前买60件A商品和30件B商品用了1 080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，买500件A商品和500件B商品用了9 600元，比不打折少花多少钱？ 解：设打折前A商品的单价为x元/件，B商品的单价为y元/件， 依题意，得解得 ∴500x＋500y－9 600＝400. 答：比不打折少花400元． 1．一次方程(组)实际应用的一般步骤 (1)审：弄清题意，分清题中的已知量、_________； (2)设：可设直接未知数，也可设间接未知数，并注意单位； (3)列：找出适当的______关系，列方程(组)； (4)解：解这个方程(组)，求出_________的值； (5)验：检验方程(组)的解是否正确且是否符合______； (6)答：写出答案(包括______名称)． 2．常考类型 常考类型 关系式 购买问题 总价＝单价×数量；甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量＝总价； 甲数量＋乙数量＝总数量 销售利 润问题 售价＝标价×折扣，销售额＝售价×销量，利润＝售价－进价＝进价×利润率，利润率＝×100%，售价＝进价＋进价×利润率＝进价×(1＋利润率) 常考类型 关系式 工程问题 工作总量(常设为“1”)＝工作效率×工作时间＝人均效率×人数×工作时间，甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率 常考类型 关系式 行程问题 基本量间的关系：路程＝速度×时间； 相遇问题(相向而行)：全路程＝速度和×相遇所用时间； 追及问题：(1)同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；(2)同时不同地出发：前者走的路程＋两者间的距离＝追者走的路程； 环形问题：(1)环形追及：快者路程－慢者路程＝环形周长；(2)环形相遇：甲路程＋乙路程＝环形周长； 航行问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度 (2024贵州)小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是(　　) A．x＝y B．x＝2y C．x＝4y D．x＝5y [思路分析]本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式x＋y＝y＋2a，x＋a＝x＋2y，然后化简代入即可． 1．若＝，则ab＝(　　) A． B． C．6 D．12 (1)(2024武汉二模)若x＝－5是方程a＋3x＝－16的解，则a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－5 D．－31 (2)(2024荆州二调)已知是二元一次方程组的解，则3a－b的立方根为___. [思路分析]本题考查的是二元一次方程组的解及解法，把方程组的解代入方程组，得到关于a，b的二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式求值． 若例2(2)的条件不变，则a＋3b的算术平方根是___. (2024广西)解方程组： 解：①＋②得2x＝4，解得x＝2，把x＝2代入①得y＝， ∴方程组的解为 2．(1)(2024苏州)解方程组 (2)(2024乐山)解方程组 解：(1) ①－②得4y＝4，解得y＝1，将y＝1代入①得x＝3.∴方程组的解是 (2)①＋②得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入②，得y＝1，∴原方程组的解是 (1) 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为(　　) A．＋＋＝1 B．＋＋＝100 C．3x＋4x＋5x＝1 D．3x＋4x＋5x＝100 (2) 《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为(　　) A． B． C． D． 某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A，B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15 000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．求A，B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ 解：方法一　设A种外墙漆每千克的价格是x元，则B种外墙漆每千克的价格是(x－2)元， ∴300x＋300(x－2)＝15 000，解得x＝26， ∴x－2＝24. 方法二　设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，由题意得解得 答：A种外墙漆每千克的价格为26元，B种外墙漆每千克的价格为24元． 3．(2024宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为(　　) A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 4．(2024安徽)乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元) A 4 8 B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 解：设A种农作物的种植面积为x公顷，B种农作物的种植面积为y公顷，由题意可得解得 答：A种农作物的种植面积为3公顷，B种农作物的种植面积为4公顷． 5．(2024北京)为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”)．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 解：符合“标准”．理由：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为x mg/km，则B类物质排放量为(40－x)mg/km，由题意得＋＝92，解得x＝34. ∵34<35，∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”． $$