第十章 二元一次方程组同步练习2024-2025学年苏科版数学七年级下册

二元一次方程组练习 一．选择题 1．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣1 B．x+2y＝3 C．2x﹣y＝3 D．2x+3y＝﹣4 2．如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y的值分别是（　　） A．﹣1，0 B．1，﹣1 C．﹣1，1 D．1，0 3．《中华人民共和国森林法》规定每年的3月12日为植树节．在植树节当天七年级（1）班共种树99棵，已知该班共有学生40名，每名男生种3棵，每名女生种2棵．设男生有x名，女生有y名，根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 4．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　） A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得 B．设有x名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有13个盘子 5．在平面直角坐标系中，对于任意一点P（x，y），规定：例如f（﹣4，3）＝4， f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P围成的图形的面积为（　　） A．4 B．8 C．4π D．16 6．如图，将正方形ABCD沿AE（点E在边CD上）所在直线折叠后，点D的对应点为点D'，∠BAD'比∠EAD'大20°，若设∠BAD'＝x°，∠EAD'＝y°，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个宽为80cm的大长方形，则每个小长方形的面积为（　　） A．2000cm2 B．1200cm2 C．4800cm2 D．1600cm2 8．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2 9．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（　　） A．122 B．66 C．178 D．以上答案都错误 10．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论正确的有（　　） ①a＝2，b＝3；②若，则；③若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则；④若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题 11．已知x，y，k为有理数，观察表中的运算和运算结果，则k＝　 　 ． x，y的运算 x﹣y x+y 3x﹣2y 运算结果 ﹣3 1 k﹣5 12．若方程组的解是，则方程组的解是　 　 ． 13．定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．当满足等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数时，则m的正整数值为　 　 ． 14．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 　 　 ． 三．解答题 15．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值． 16．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下： 解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y， 则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）已知方程组的解为则方程组的解为　 　 ； （2）仿照上述“整体换元”的解法，解方程组； （3）若，求2a+b+c的值． 17.定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 　 　 ； （2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 　 　 ； （3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值． 18. 对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 19．对于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一个解给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x﹣2y＝2的“关联值”；若|m|＜|n|，则称|n|为方程x﹣2y＝2的“关联值”． （1）当m＝2时，此方程的“关联值”是 　 　 ； （2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； （3）当m≥2时，探究方程x﹣2y＝2是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由． 20．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c的“交换系数方程”为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为 　 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求m+p+n+2024的值； （3）已知m，n，t都是整数，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求9m﹣n的值． 21．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 22．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的A、B两种货车，具体信息如表所示： 第一次 第二次 A型货车辆数 2 1 B型货车辆数 1 2 累计运货量/t 10 11 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ （2）该果园现有31吨水果，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． （3）在第（2）问的条件下，若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 23．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　 张，正方形铁片 　 　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 24．甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级二元一次方程组练习 一．选择题 1．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（　　） A．x﹣y＝﹣1 B．x+2y＝3 C．2x﹣y＝3 D．2x+3y＝﹣4 【解答】解：将代入方程组可得：﹣1+y＝1， 解得：y＝2， 方程组的解为：， 将代入x﹣y＝﹣1，方程不成立，不是方程的解； 将代入x+2y＝3，方程成立，是方程的解； 将代入2x﹣y＝3，方程不成立，不是方程的解； 将代入2x+3y＝﹣4，方程不成立，不是方程的解； 所以*表示的方程可能是x+2y＝3． 故选：B． 2．如图，3×3的格子内填写了一些数和代数式，为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，x，y的值分别是（　　） A．﹣1，0 B．1，﹣1 C．﹣1，1 D．1，0 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 3．《中华人民共和国森林法》规定每年的3月12日为植树节．在植树节当天七年级（1）班共种树99棵，已知该班共有学生40名，每名男生种3棵，每名女生种2棵．设男生有x名，女生有y名，根据题意，列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据某班有40名同学共种了99棵树苗，可以分别得到方程x+y＝40、3x+2y＝99，由题意可得： ， 故选：D． 4．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　） A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得 B．设有x名客人，根据题意可得 C．有20名客人 D．有13个盘子 【解答】解：A、设有x名客人，y个盘子，根据题意可得，故不符合题意； B、设有x名客人，根据题意可得，故不符合题意； C、设有x名客人， 根据题意可得23， 解得x＝30， 所以有30名客人，故不符合题意； D、∵有30名客人， ∴盘子有2＝13（个），故符合题意． 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，对于任意一点P（x，y），规定：例如f（﹣4，3）＝4，f（﹣2，﹣3）＝3．当f（x，y）＝2时，所有满足该条件的点P围成的图形的面积为（　　） A．4 B．8 C．4π D．16 【解答】解：∵f（x，y）＝2， ∴|x|＝2，|y|≤2或|y|＝2，|x|＜2． ①当|x|＝2，|y|≤2时，点P满足x＝2，﹣2≤y≤2或x＝﹣2，﹣2≤y≤2， 在图象上，线段x＝2，﹣2≤y≤2即为图中正方形的右边，线段x＝﹣2，﹣2≤y≤2即为图中正方形的左边； ②当|y|＝2，|x|＜2时，点P满足y＝2，﹣2＜x＜2，或y＝﹣2，﹣2＜x＜2， 在图象上，线段y＝2，﹣2＜x＜2即为图中正方形的上边，线段y＝﹣2，﹣2＜x＜2即为图中正方形的下边． 所以所有满足该条件的点P围成的图形的面积为4×4＝16． 故选：D． 6．如图，将正方形ABCD沿AE（点E在边CD上）所在直线折叠后，点D的对应点为点D'，∠BAD'比∠EAD'大20°，若设∠BAD'＝x°，∠EAD'＝y°，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠EAD′＝∠EAD＝y°， ∵∠BAD′比∠EAD′大20°， ∴x﹣y＝20， ∵∠BAD′+∠EAD′+∠EAD＝90°， ∴x+2y＝90， ∴， 故选：A． 7．如图，用8块相同的小长方形地砖拼成一个宽为80cm的大长方形，则每个小长方形的面积为（　　） A．2000cm2 B．1200cm2 C．4800cm2 D．1600cm2 【解答】解：设小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，由图可知： ， 解得：， ∴小长方形地砖的面积为60×20＝1200cm2； 故选：B． 8．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2 【解答】解：设小长方形花圃的长为x m，宽为y m， 由题意得：， 解得：， ∴xy＝7×4＝28， 即一个小长方形花圃的面积为28m2， 故选：D． 9．如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注问号的圆圈中的数应是（　　） A．122 B．66 C．178 D．以上答案都错误 【解答】解：根据题意解方程组可得， ∴顺时针方向按2n+6的规律转换后得到下一个圆圈中的数， 当n＝26时，2n+6＝2×26+6＝58； 当n＝58时，2n+6＝2×58+6＝122， 故圆圈中的数应是122， 故选：A． 10．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4，若T（3，1）＝11，T（﹣1，3）＝﹣13，则下列结论正确的有（　　） ①a＝2，b＝3；②若，则；③若无论k取何值时，T（kx，y）的值均不变，则；④若T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立，则k＝0． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：由题意可得：， 解得，故①正确； ∵a＝2，b＝3， ∴T（x，y）＝2xy+3x﹣4， ∵T（m，n）＝0， ∴2mn+3m﹣4＝0， ∴（2n+3）m＝4， ∵， ∴，故②正确； T（kx，y）＝2kxy+3kx﹣4＝kx（2y+3）﹣4， ∵T（kx，y）的值均不变， ∴x＝0或2y+3＝0， 即x＝0或，故③错误； 当T（kx，y）＝T（ky，x）时， 则2kxy+3kx﹣4＝2kxy+3ky﹣4， ∴2kxy+3kx﹣2kxy﹣3ky＝0， ∴3kx﹣3ky＝0， 即3k（x﹣y）＝0， ∵T（kx，y）＝T（ky，x）对任意有理数x、y都成立， ∴k＝0，故④正确． 故选：B． 二．填空题（共4小题） 11．已知x，y，k为有理数，观察表中的运算和运算结果，则k＝　﹣2　 ． x，y的运算 x﹣y x+y 3x﹣2y 运算结果 ﹣3 1 k﹣5 【解答】解：根据题意列方程组得：， 解得， 所以3x﹣2y＝3×（﹣1）﹣2×2＝﹣7， 整理得，k﹣5＝﹣7， 解得k＝﹣2， 所以k的值为﹣2， 故答案为：﹣2． 12．若方程组的解是，则方程组的解是　　 ． 【解答】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故答案为：． 13．定义：对于任意两个有理数a，b组成的数对（a，b），我们规定（a，b）＝a+b﹣1．例如（﹣2，5）＝﹣2+5﹣1＝2．当满足等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数时，则m的正整数值为　3　 ． 【解答】解：由条件可知﹣5+3x+2m﹣1＝6， ∴， ∵等式（﹣5，3x+2m）＝6的x是正整数， ∴m的正整数值为3， 故答案为：3． 14．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 　　 ． 【解答】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共11小题） 15．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值． 【解答】解：（1）由定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by可得， 解得：； （2）由定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by可得， 解得：， 由条件可知m+1+3m﹣2＝3， 4m＝4， 解得m＝1． 16．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下： 解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y， 则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）已知方程组的解为则方程组的解为　　 ； （2）仿照上述“整体换元”的解法，解方程组； （3）若，求2a+b+c的值． 【解答】解：（1）根据题意列式，计算解得：a＝3，b＝0， 故答案为：； （2）， 设m+n＝x，m﹣n＝y， ∴， ①+②得：6x＝24，即：x＝4， 将x＝4代入①得：12﹣2y＝﹣2，即：y＝7， ∴，解得； ∴原方程组的解为； （3）， ①﹣②得：2a+2b＝5，即：， 将代入②得：，即：a+c＝3， ∴， 故答案为：． 17．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by＝c”变更方程”为cx+by＝a． （1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为 　4x+2y＝3　 ； （2）方程2x+3y＝4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 　　 ； （3）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2025的值． 【解答】解：（1）方程3x+2y＝4的“变更方程”为4x+2y＝3； 故答案为：4x+2y＝3； （2）方程2x+3y＝4的“变更方程”为4x+3y＝2， 联立得：， ②﹣①得：2x＝﹣2， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入①得：﹣2+3y＝4， 解得：y＝2， 则方程组的解为； 故答案为：； （3）方程ax+by＝c的“变更方程”为cx+by＝a， 联立得：， 解得：， ∵a+b+c＝0， ∴a+c＝﹣b，即y＝﹣1， ∴把代入方程mx+ny＝p得：m+n＝﹣p， 则原式＝﹣pm﹣p（n+p）+2025 ＝﹣p（m+n）﹣p2+2025 ＝p2﹣p2+2025 ＝2025． 18．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由． （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 【解答】解：（1）具有“邻好关系”， ∵x﹣y＝1，即满足|x﹣y|＝1． ∴方程组的解x，y具有“邻好关系”， （2）方程组， ②+①得：6x＝6+6m，即x＝1+m， 把x＝1+m代入①得y＝2m﹣4， ∴x﹣y＝1+m﹣2m+4＝5﹣m． ∵方程组的解x，y具有“邻好关系”， ∴|x﹣y|＝1，即5﹣m＝±1， ∴m＝6或m＝4． 19．对于二元一次方程x﹣2y＝2的任意一个解给出如下定义：若|m|≥|n|，则称|m|为方程x﹣2y＝2的“关联值”；若|m|＜|n|，则称|n|为方程x﹣2y＝2的“关联值”． （1）当m＝2时，此方程的“关联值”是 　2　 ； （2）若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； （3）当m≥2时，探究方程x﹣2y＝2是否有最小“关联值”，若有，求出最小“关联值”，若没有，请说明理由． 【解答】解：（1）当x＝m＝2时，2﹣2y＝2， 解得y＝0， ∴n＝0， ∵2＞0， ∴此时方程的“关联值”为2； 故答案为：2； （2）根据“关联值”为4，可分以下四种情况： ①当x＝4时，即4﹣2y＝2，解得y＝1， ∵4＞2，符合题意， ∴方程的解为； ②当x＝﹣4时，即﹣4﹣2y＝2，解得y＝﹣3， ∵|﹣4|＞|﹣3|，符合题意， ∴方程的解为； ③当y＝﹣4时，即x﹣2×（﹣4）＝2，解得x＝﹣6， ∵|﹣6|＞|﹣4|， ∴不符合题意，应舍去； ④当y＝4时，即x﹣2×4＝2，解得x＝10， ∵|10|＞|﹣4|， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵x﹣2y＝2， ∴yx﹣1， 当x＝2时，y＝0， 当m≥2，即x≥2时，y≥0，且y随x的增大而增大， ∴当m≥2时，方程x﹣2y＝2的最小“关联值”为2． 20．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c的“交换系数方程”为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为 　4x+2y＝3或3x+4y＝2　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求m+p+n+2024的值； （3）已知m，n，t都是整数，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求9m﹣n的值． 【解答】解：（1）根据“交换系数方程”的定义可知方程“3x+2y＝4”的交换系数方程为4x+2y＝3或3x+4y＝2． 故答案为：4x+2y＝3或3x+4y＝2． （2）当ax+by＝c的“交换系数方程”为ax+cy＝b时， 联立，解得：， ∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a， ∴， 当ax+by＝c的“交换系数方程”为cx+by＝a时， 联立，解得：， 由条件可知b+c＝﹣a， ∴． 综上：ax+by＝c与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程mx+ny＝p得：﹣m﹣n＝p，即p+m+n＝0， ∴m+p+n+2024＝0+2024＝2024． （3）由条件可知或， ①当时，整理得：，解得：； 9m﹣n3； ②当时，解得：， ∵m，n为整数， 故不符合题意； 综上：9m﹣n＝3． 21．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔（A，B两种头盔均购买），销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元； （2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：75m+30n＝450， 整理得：n＝15m， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为35×2+15×10＝220（元）； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为35×4+15×5＝215（元）； ∵220＞215， ∴最大利润是220元． 22．某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某物流公司的A、B两种货车，具体信息如表所示： 第一次 第二次 A型货车辆数 2 1 B型货车辆数 1 2 累计运货量/t 10 11 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运多少吨？ （2）该果园现有31吨水果，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，可一次运完这批水果，且恰好每辆车都载满水果，请你帮该果园设计租车方案． （3）在第（2）问的条件下，若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【解答】解：（1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 根据题意得， 解得， 答：1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨． （2）由（1）得，3a+4b＝31， ∴， ∵a，b都是正整数， ∴当a＝1时，b＝7， 当a＝5时，b＝4， 当a＝9时，b＝1， ∴有3种租车方案： 方案一：A型车1辆，B型车7辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车9辆，B型车1辆； （3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：1×100+7×120＝940元； 方案二需租金：5×100+4×120＝980元； 方案三需租金：9×100+1×120＝1020元； ∵1020＞980＞940， ∴最省钱的租车方案是方案一，租车费用是940元． 答：租A型车1辆，B型车7辆最省钱，最少租车费为940元． 23．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　 张，正方形铁片 　3　 张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 解法二：设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，则（35﹣m﹣n）按1个长方形铁片和2个正方形铁片截． 由题意2[3m+（35﹣m﹣n）]＝4[4n+2（35﹣m﹣n）]， 整理得6m﹣5n＝105，其中1m+n≤35且m，n是正整数， 解得或， 可以加工成铁盒的数量为， 当m＝20，n＝3时，18（个）， 当m＝25，n＝9时，19（个）． 答：25张铁板按3个长方形截，9张铁板按4个正方形截，1张铁板按1个长方形2个正方形截，最多可以加工成19个铁盒． 24.甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费5600元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【解答】解：（1）买80套所花费为：80×60＝4800（元）， 最多可以节省：5600﹣4800＝800（元）． （2）解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人． 根据题意，得 解得 答：甲乐团有40人；乙乐团有35人． （3）由题意，得3a+5b＝65 变形，得b＝13a 因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数 得：或． 所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调7人． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$