高一下学期期末考模拟卷（中等）- 《温故知新》2025-2026学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）

高一下学期期末考模拟卷（中等） 考试内容：必修第二册 考试时间：150分钟 1、 单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（2025·青海海东）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】向量，，则， 又与垂直，则，解得，， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）记的内角的对边分别为.若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，即， 由正弦定理，， 其中是外接圆半径， 由于，两边约分后可得. 故选：A 3．（24-25高一下·广东广州·期中）若复数z满足（其中是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得 故选：C 4．（24-25高一下·山西·期中）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 【答案】D 【解析】如图，是正四棱锥的高，所以， 是斜高，由可得， 所以，在中，， ，所以，所以， 所以， 所以． 故选：D 5．（2025北京）通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（    ）    A． B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36 C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33 D．估计夜间提供急诊时长的众数为14 【答案】C 【解析】对于A，由频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A正确； 对于B，估计夜间提供急诊时长的平均数为 ，所以B正确； 对于C，第三四分位数为第75百分位数， 因为，所以第三四分位数一定位于内， 由，则估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为14，所以C错误； 对于D，估计夜间提供急诊时长的众数为，所以D正确. 故选：C. 6．（24-25高一下·山西·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理得，所以，又，所以． 由，得，可化为， 所以，所以，所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：C. 7．（2025·湖南 ）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D， ，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与NM是异面直线 B． C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点 【答案】C 【解析】连接， 点，，均在平面上，点不在平面上，所以与是异面直线，A正确． 连接，因为，所以，B正确． 平面，平面平面， 因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误． 连接，由，知共面，且平面平面， 如图1，因为，所以. 如图2，因为，所以，则两点重合，所以，，相交于一点，D正确． 故选：C 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分） 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B．已知，，则在上的投影向量的坐标是 C．若两非零向量，满足，则 D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】对于A，因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误； 对于B，在上的投影向量的坐标为，故B正确； 对于C，因为，所以，化简得，又，是非零向量，所以，故C正确； 对于D，因为，，，所以，， 所以，所以，所以不是锐角三角形，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一下·广东东莞·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（    ） A．共有18个顶点 B．共有32条棱 C．表面积为 D．体积为 【答案】CD 【解析】由图知该多面体有24个顶点，36条棱，AB错误； 该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成， 则该多面体的表面积为，C正确； 正八面体可分为两个全等的正四面体，其棱长为， 过作平面于，连接，如下图：    由平面，且平面，得， 正方形中，由边长为，则对角线长为，则， 在中，，则， 正八面体的体积为， 切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为， 所以该阿基米德多面体的体积为，D正确． 故选：CD 11．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若的周长为，内切圆半径为，则 C．若，，则有两解 D．若，则外接圆的面积为 【答案】ABC 【解析】在中，由及正弦定理得， 则， 整理得， 即，而，则， 则，而，， 解得，因此，A正确； 对于B，若的周长为6，内切圆半径为，由，得，B正确； 对于C，当时，满足，有两解， 此时，即，有两解，C正确； 对于D，由，得外接圆半径，此圆面积为，D错误. 故选：ABC 三、填空题(每题5分，4题共20分) 12．（24-25高一下·江西·阶段练习）2025年，从春晚扭秋歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为 . 【答案】/0.6 【解析】设从甲公司购买的3台记为，从乙公司购买的2台记为， 从中任取2台的情况为共10种， 其中这2台来自于不同公司的情况分别为，共6种， 故概率. 故答案为： 13．（23-24高一下·广东东莞·期中）东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      【答案】50.76 【解析】在中，由，，得，而， 由正弦定理得， 在中，，， 所以塔高CD为约为50.76米. 故答案为：50.76 14．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作，当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时，，. 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分） 15．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）已知，，分别是的内角，，的对边，且. (1)求; (2)若,且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，， 由正弦定理得:，则， 即，即， 由正弦定理得，即; （2）由，,得， 则，得， 由余弦定理得， 即，整理得， 即，解得， 则，     所以的周长为. 16（2025·云南昭通·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 【答案】(1) (2)众数为65，中位数为67.69，平均成绩为67.60 (3)第70的分位数为75.83 【解析】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图知：众数为65，设中位数为x， 因为，，故中位数位于内， 则有，解得. 所以中位数为67.69. 这次数学考试的平均成绩为 . （3）成绩小于70分所占的比例为， 成绩小于80分所占的比例为， 所以第70的分位数在内， 所以第70的分位数为. 17．（24-25 重庆·阶段练习）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率； (2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； (3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 【答案】(1)乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； (2)； (3)23次. 【解析】（1）记甲投篮一次命中为事件，乙投篮一次命中为事件，丙投篮一次命中为事件， 依题意，，，则， ，解得， 所以乙投篮一次命中的概率为，丙投篮一次命中的概率为. （2）记甲、乙、丙各投篮一次恰有两人命中为事件，则， 则 ， 所以甲、乙、丙各投篮一次恰有一人命中的概率. （3）设乙投篮次，则至少有一命击中的概率为， 由，得，两边取常用对数得， 因此，则， 所以乙至少要投篮次. 18．（24-25高一下·天津津南·期中）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【解析】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. （2）由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理，因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由为的中点，所以， 所以 ，当且仅当时，等号取得到， 所以，则，故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 所以， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故，故的最大值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期末考模拟卷（中等） 考试内容：必修第二册 考试时间：150分钟 1、 单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（2025·青海海东）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C．3 D．2 2．（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）记的内角的对边分别为.若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东广州·期中）若复数z满足（其中是虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山西·期中）若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（    ） A．12 B．24 C．32 D．48 5．（2025北京）通过调查某省100家能够提供儿科夜间急诊服务的医疗机构，并统计其夜间提供急诊的时长（单位：h），绘制得到频率分布直方图如图所示，根据图中数据，下列结论错误的是（    ）    A． B．估计夜间提供急诊时长的平均数为12.36 C．估计夜间提供急诊时长的第三四分位数为11.33 D．估计夜间提供急诊时长的众数为14 6．（24-25高一下·山西·期中）在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形 7．（2025·湖南 ）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与NM是异面直线 B． C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点 二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分） 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B．已知，，则在上的投影向量的坐标是 C．若两非零向量，满足，则 D．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形 10．（23-24高一下·广东东莞·期中）“阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（    ） A．共有18个顶点 B．共有32条棱 C．表面积为 D．体积为 11．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若的周长为，内切圆半径为，则 C．若，，则有两解 D．若，则外接圆的面积为 三、填空题(每题5分，4题共20分) 12．（24-25高一下·江西·阶段练习）2025年，从春晚扭秋歌的机器人，到广场舞狮的机器狗，中国人把高科技玩出了新花样儿.为紧跟社会热点，某商场推出了机器人服务，其从甲公司购买了3台不同的机器人，从乙公司购买了2台不同的机器人，现计划从这5台机器人中随机挑选2台在商场一楼服务，则这2台机器人来自于不同公司的概率为 . 13．（23-24高一下·广东东莞·期中）东莞市金鳌洲塔是广东省文物保护单位，塔处江心陆洲，三面环水．东莞实验中学某数学兴趣小组准备测量塔的高度．如图选取与塔底D在同一个水平面内的两个测量基点A与B，小组同学测得，，米，在点A处测得塔顶C的仰角为，则塔高CD为 米．（结果保留2位小数，参考数据：，）      14． （24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角的对边分别为，，，且，，则的最小值为 . 四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分） 15．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）已知，，分别是的内角，，的对边，且. (1)求; (2)若,且的面积为，求的周长. 16（2025·云南昭通·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）. (1)求a的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）； (3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）. 17．（24-25 重庆·阶段练习）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，其中甲投篮一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次且都命中的概率为，乙、丙两人各投篮一次且都命中的概率为，且任意两次投篮互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各投篮一次且都命中的概率； (2)求甲、乙、丙各投篮一次且恰有两人命中的概率； (3)若乙想命中的概率不低于0.9999，乙至少需要投篮多少次？（参考数据：，） 18．（24-25高一下·天津津南·期中）如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 19．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$