必修第二册归纳总结与测试- 2024-2025学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）

必修第二册归纳总结与测试 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 【答案】B 【解析】由题知，每个数出现的次数都是一次，A错误； 将这10个数据从小到大排列为31，32，38，41，47，48，58，63，68，82； 易知为整数，所以分位数是第1个数与第2个数的平均值， 即为，B正确； 极差为，C错误； 中位数为第5个数和第6个数的平均数，即，D错误. 故选：B. 2．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上的投影向量为. 故选：A 3．（2025云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 【答案】C 【解析】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知平面向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【解析】对于A，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，则，显然该方程无解，故A错误； 对于B，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，则，显然时符合要求，故B正确； 对于C，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，显然不存在使得上式成立，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，同上，显然不存在使得上式成立，故D错误. 故选：B 5．（24-25 上海·期中）某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 【答案】B 【解析】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确. 根据题意可得，∴， B选项错误. ∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3， ∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确. ∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为， ∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确． 故选：B． 6．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 【答案】C 【解析】由题意，用表示选择物理，用表示选择历史，用数字分别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间， 共有12个样本点，即，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 对于A，， 则事件，所以事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，因为，所以， 则，故B错误； 对于C，， 则，且，所以事件与事件对立，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误， 故选：C. 7．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 8．（24-25高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且与的夹角为钝角，则 C．若平面向量两两的夹角相等，且，则 D．若，且，则四边形为菱形 【答案】D 【解析】若，虽然有，，但不一定有，A错； 若与的夹角为钝角，则，得， 但当时，，两向量反向，夹角为不是钝角，B错； 若平面向量两两的夹角相等，则夹角为或， 当夹角为时，， 当夹角为时， 即，C错误； 若，即， 则，所以是平行四边形， 则， 又，即， 所以， 所以，所以是菱形，D正确． 故选：D． 二、多选题 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知虚数z满足，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【解析】因，则，故z的实部为，虚部为， ，z在复平面内对应的点为，在第三象限， 故AC正确；BD错误； 故选：AC 10．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．若为中点，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A：因为，则， 且，可知为钝角， 所以是钝角三角形，故A错误； 对于选项B：因为， 且，所以，故B正确； 对于选项C：的面积为，故C正确； 对于选项D：若为中点，则， 可得 ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（    ） A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面 C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4 【答案】BCD 【解析】对于A，由正方体的性质可知， 两条异面直线和所成的角即为，所以A错误； 对于B，当点P与点重合时， 由题可知， 所以，四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，则平面，所以B正确； 对于C，连接，由于平面，平面，故， 又，故， 故，即，故， 又相交，平面，故平面， 又平面，故对任意点，平面平面，所以C正确； 对于D，由正方体的性质可得， ， 所以， 又，所以， 所以点到直线的距离，所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（23-24高一下·湖北武汉·期末）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为 ． 【答案】 【解析】甲得分超过乙得分的事件，即得2分，乙得0分的事件，其概率为， 所以甲得分不超过乙得分的概率为. 故答案为： 13．（24-25 安徽阜阳·期末）如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为 . 【答案】 【解析】设的面积为，三棱台的高为， 易知，且，则， 则，可得， ， 所以，沿平面截去三棱锥， 则剩余的部分几何体的体积为. 故答案为：. 14．（2025江苏·期中）兴国寺塔（江苏省江阴市古塔）始建于北宋太平兴国（976～983）年间，新中国成立以后，人民政府对塔基、塔身数次进行整修加固.现塔身共存8层，如图所示，古塔高，点在地面上，某次整修前，测量人员（身高不计）在地面的处测得古塔顶在南偏西方向，仰角为，他沿南偏东方向前进40m到点处，测得塔顶的仰角为.则那次整修前，古塔高为 . 【答案】40 【解析】点在点南偏西方向，点在点南偏东方向， ， 在处测得古塔顶仰角为，垂直于地面， 为等腰直角三角形，， 点处测得塔顶的仰角为，，即， 在中，，，，， 由余弦定理得，， 解得，或(舍)，古塔高为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25四川遂宁·阶段练习）新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；    (1)试估计这名学生成绩的第百分位数； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由频率分布直方图可得 成绩小于的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这名学生成绩的第百分位数在内， 所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为 （2）因为成绩在，，的学生人数所占比例为, 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取人，人，人． 记抽取成绩在的人为，成绩在为，，． 从这人中随机抽取人的所有可能为： ， ，共种， 抽取的人成绩都在的是，共种， 抽取的人成绩都在的概率为· 16．（24-25安徽）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. （2）在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 17．（24-25 湖南 ）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求四棱柱被平面截得的截面周长； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）因为四边形是菱形，，为的中点，所以， 在直四棱柱中，平面平面， 因为平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是矩形，，，，分别为，的中点， 所以，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，且平面，所以平面. （2）因为平面， 所以平面与平面的交线与平行，所以交线为， 连接，，， 则四棱柱被平面截得的截面为四边形， ，， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以四边形的周长为. （3）过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以点在平面上的射影必在上，所以直线与平面所成角为， 因为，，，， 所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为. 18．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角的对边分别为，若． (1)求角的大小； (2)若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 【答案】(1)； (2)3. 【解析】（1）由题和正弦定理得，整理得， 所以由余弦定理得， 又，所以. （2）因为，所以由题， 所以由得， 即， 又，设，则， 所以， 又，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为3. 19．（24-25 山东·期中）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． (1)若甲队先主场后客场，且， （ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 【答案】(1)（i）；（ii） (2)“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠. 【解析】（1）（i）记甲队通过点球大战获得冠军为事件， 此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜， 故， 因为，所以， 所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为. （ii）记甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜， 所以， 将代入得，， 所以甲队获得冠军的概率为 （2）由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件， 事件包含甲队胜、甲队平同时点球胜， 所以， 因为，所以，此时满足题意， ， 因为，所以， 故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 必修第二册归纳总结与测试 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法.某研究学习小组共10人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为68，58，38，41，47，63，82，48，32，31，则这组数据的（   ） A．众数仅是31 B．分位数是 C．极差是38 D．中位数是44 2．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（2025云南昭通·期末）从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 4．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知平面向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 5．（24-25 上海·期中）某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（   ） A．估计数学成绩的众数为75 B． C．估计数学成绩的75百分位数约为85 D．估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50 6．（24-25高一下·江西赣州·开学考试）新高考选科要求，语数外＋（物理，历史）二选一＋（政治，地理，化学，生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B选历史”，事件C选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B． C．事件与事件对立 D． 7．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且与的夹角为钝角，则 C．若平面向量两两的夹角相等，且，则 D．若，且，则四边形为菱形 二、多选题 9．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知虚数z满足，则（   ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 10．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．若为中点，则 11．（24-25高一下·湖南长沙·期中）如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（    ） A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面 C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4 三、填空题 12．（23-24高一下·湖北武汉·期末）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分．若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击1次，则甲得分不超过乙得分的概率为 ． 13．（24-25 安徽阜阳·期末）如图所示，三棱台的体积为，，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分几何体的体积为 . 14．（2025江苏·期中）兴国寺塔（江苏省江阴市古塔）始建于北宋太平兴国（976～983）年间，新中国成立以后，人民政府对塔基、塔身数次进行整修加固.现塔身共存8层，如图所示，古塔高，点在地面上，某次整修前，测量人员（身高不计）在地面的处测得古塔顶在南偏西方向，仰角为，他沿南偏东方向前进40m到点处，测得塔顶的仰角为.则那次整修前，古塔高为 . 四、解答题 15．（24-25四川遂宁·阶段练习）新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；    (1)试估计这名学生成绩的第百分位数； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率． 16．（24-25安徽）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 17．（24-25 湖南 ）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求四棱柱被平面截得的截面周长； (3)求直线与平面所成角的正切值. 18．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角的对边分别为，若． (1)求角的大小； (2)若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 19．（24-25 山东·期中）甲乙两支足球队进入某次杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为，平局的概率为，其中；甲队在客场获胜和平局的概率均为；点球大战甲队获胜的概率为，且不同对阵的结果互不影响． (1)若甲队先主场后客场，且， （ⅰ）求甲队通过点球大战获得冠军的概率； （ⅱ）求甲队获得冠军的概率； (2)除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为，平局的概率为，点球大战甲队获胜的概率为．问哪种赛制更有利于甲队夺冠？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$