专题05 二项式定理常见考题（7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题05 二项式定理常见考题 【题型归纳目录】 题型一：求展开式某项的系数 题型二：三项及多项展开式 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 题型四：展开式系数和问题 题型五：整除与余数问题 题型六：二项式系数与系数最大问题 题型七：杨辉三角问题 题型八：有理项问题 【知识点梳理】 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 3、二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 4、二项式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 考点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． （2）展开式中的系数求法（的整数且） 考点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 5、二项式定理的应用 （1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． （2）利用赋值法进行求有关系数和． （3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． （4）证明有关的不等式问题． （5）进行近似计算． 【典型例题】 题型一：求展开式某项的系数 【典例1-1】（24-25高二下·河南周口·期中）的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高二下·湖北·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【变式1-2】（24-25高二上·北京大兴·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 题型二：三项及多项展开式 【典例2-1】（21-22高二下·江苏南通·期末）在的展开式中，含项的系数为（    ） A．50 B．35 C．24 D．10 【典例2-2】（24-25高二下·山东烟台·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·期中）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·山东·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例3-1】（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【典例3-2】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知展开式中的常数项为40，则a等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，若，则的值为（    ） A．3 B．22 C．43 D．45 【变式3-2】（24-25高二下·江苏苏州·期中）的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（   ） A． B．75 C．135 D．165 题型四：展开式系数和问题 【典例4-1】（多选题）（23-24高二下·江苏连云港·期中）若，且，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【典例4-2】（多选题）（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选题）（24-25高二下·陕西西安·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选题）（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A．的值为 B．的值为160 C．的值为 D． 题型五：整除与余数问题 【典例5-1】（24-25高二下·广东广州·期中）除以15的余数是 . 【典例5-2】（24-25高二下·湖北武汉·期中）除以26所得余数为 . 【变式5-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）（1） ；（2）被5除所得的余数是 . 【变式5-2】（24-25高二上·安徽亳州·期末）若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 题型六：二项式系数与系数最大问题 【典例6-1】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【典例6-2】（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【变式6-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值 题型七：杨辉三角问题 【典例7-1】（24-25高二下·福建福州·期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ，令，则前n项和 ． 【典例7-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是 ． 【变式7-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 【变式7-2】（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 题型八：有理项问题 【典例8-1】（23-24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例8-2】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【变式8-1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【强化训练】 1．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（   ） A．第行第个数是 B．当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C． D． 3．（24-25高二下·广东·期中）已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则（   ） A．40 B．41 C．-40 D．-41 4．（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（    ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9 5．（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）关于二项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项二项式系数之和为 B．各项系数之和为 C．有理项共有4项 D．常数项为 6．（多选题）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若展开式中的常数项为60，则（   ） A．展开式中第4项的二项式系数最大 B．实数a的值为4 C．展开式中奇数项的二项式系数和为64 D．展开式中系数最大的项是第5项 7．（多选题）（24-25高二下·广东·期中）已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（   ） A． B．展开式的各项系数的和为 C．展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D．展开式的常数项为第5项 8．（多选题）（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 9．（多选题）（24-25高二下·广东深圳·期中）已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二下·山西吕梁·期中）已知则下列说法正确的是（   ） A．若仅第5项的二项式系数最大，则 B．若第2项与第6项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 C．若展开式中二项式系数和为256，则展开式中系数最大值为 D．若第5项、第6项、第7项的二项式系数成递减等差数列，则 11．（24-25高二下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 12．（24-25高二下·安徽池州·期中）在的展开式中，常数项为 . 13．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中含项的系数为 . 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列. (1)求展开式中的一次项； (2)证明展开式中没有常数项； (3)求展开式中所有的有理项. 15．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式二项式系数和为64． (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项． 16．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知，求 (1)求，的值； (2)求的值. 17．（24-25高二下·安徽池州·期中）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 18．（24-25高二下·福建泉州·期中）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有的无理项的系数和. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二项式定理常见考题 【题型归纳目录】 题型一：求展开式某项的系数 题型二：三项及多项展开式 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 题型四：展开式系数和问题 题型五：整除与余数问题 题型六：二项式系数与系数最大问题 题型七：杨辉三角问题 题型八：有理项问题 【知识点梳理】 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 3、二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 4、二项式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 考点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． （2）展开式中的系数求法（的整数且） 考点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 5、二项式定理的应用 （1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． （2）利用赋值法进行求有关系数和． （3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． （4）证明有关的不等式问题． （5）进行近似计算． 【典型例题】 题型一：求展开式某项的系数 【典例1-1】（24-25高二下·河南周口·期中）的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 故选：B 【典例1-2】（24-25高二下·湖北·期中）在的展开式中，常数项为（    ） A．160 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得二项式展开式的通项公式为， 令，所以展开式中的常数项为. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．20 D．60 【答案】D 【解析】的展开式中的常数项为. 故选：D 【变式1-2】（24-25高二上·北京大兴·期末）在的展开式中，常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，展开式通项为，， 令，则常数项. 故选：B 题型二：三项及多项展开式 【典例2-1】（21-22高二下·江苏南通·期末）在的展开式中，含项的系数为（    ） A．50 B．35 C．24 D．10 【答案】D 【解析】展开式的项是4个因式中任取3个用x，另一个因式用常数项相乘积的和， 则展开式中的项为， 所以含项的系数为10. 故选：D 【典例2-2】（24-25高二下·山东烟台·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的通项公式为， 当时，， 中，含项的系数为， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二下·福建泉州·期中）的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的展开式通项为， 的展开式通项为， 故的展开式通项为， 由可得， 因此，展开式中的系数. 故选：B. 【变式2-2】（24-25高二下·山东·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为可看成个相乘， 由多项式的乘法及组合，得展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为， 故选：B. 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例3-1】（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】可先求展开式通项公式，. 当中与展开式相乘时，令，，，系数为. 当中与展开式相乘时，令，，，系数为. 将两项系数相加，.所以展开式中的系数为12. 故选：C. 【典例3-2】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知展开式中的常数项为40，则a等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】对于可知：， 可知展开式中的常数项为， 即，解得或（舍去）， 且，所以. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，若，则的值为（    ） A．3 B．22 C．43 D．45 【答案】C 【解析】已知， 而. . 等式两边对求导数可得，， 再令，可得，即. 故选：C 【变式3-2】（24-25高二下·江苏苏州·期中）的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（   ） A． B．75 C．135 D．165 【答案】D 【解析】展开式的通项， 则， 的展开式中的项为，则， 所以. 故选：D 题型四：展开式系数和问题 【典例4-1】（多选题）（23-24高二下·江苏连云港·期中）若，且，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】AC 【解析】令，得到， 令，得到， ∴，即，， 解得或. 故选：AC 【典例4-2】（多选题）（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，得，因为， 当时，所以， 所以，A选项正确； 对于B，， 当时，所以， 令，则， 所以两式相加化简得，所以B错误； 所以其展开式的通项公式为， 当时，，所以C正确， 对于D，由， 得， 令，得， 所以，所以D正确， 故选：ACD 【变式4-1】（多选题）（24-25高二下·陕西西安·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，令，可得，即A正确； 对于B，由二项展开式的通项可知： 当为奇数时，，当为偶数时，； 所以， 令，可得，即B正确； 对于C，令可得， 又，所以，即C错误； 对于D，由选项BC中的分析可知， 两式相加可得，即D错误. 故选：AB. 【变式4-2】（多选题）（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A．的值为 B．的值为160 C．的值为 D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，令，则， 令，则， 则 ，故C正确； 对于D，令，则， 即，故D正确. 故选：ACD. 题型五：整除与余数问题 【典例5-1】（24-25高二下·广东广州·期中）除以15的余数是 . 【答案】 【解析】由题意有 ， 所以除以15的余数为1，则除以15的余数是. 故答案为：. 【典例5-2】（24-25高二下·湖北武汉·期中）除以26所得余数为 . 【答案】1 【解析】 ， 因为都能被26整除， 所以除以26所得余数为1. 故答案为：1 【变式5-1】（24-25高二下·江苏徐州·期中）（1） ；（2）被5除所得的余数是 . 【答案】 【解析】（1）对于，即为的展开式的偶数项的二项式系数之和， 根据二项式系数的性质，可得偶数项的二项式系数转化为； （2）由， 除了最后一项外，其余各项都能被5整除，所以它被5除所得的余数为. 故答案为：；. 【变式5-2】（24-25高二上·安徽亳州·期末）若满足能被5整除的的最小值为，设，，则方程表示的不同直线的条数为 . 【答案】13 【解析】依题意，， 当时，都不能被5整除，能被5整除， 则n的最小值为4，， 当，时，方程表示直线； 当，时，方程表示直线； 当且时，方程表示直线； 当且时，方程表示的直线条数为 （方程与表示同一条直线，方程与表示同一条直线）， 所以方程表示的不同直线的条数为13. 故答案为：13 题型六：二项式系数与系数最大问题 【典例6-1】（24-25高二下·上海闵行·期中）已知的二项展开式中系数最大的项为 ． 【答案】 【解析】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 【典例6-2】（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【解析】展开式的通项为且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6，故展开式中系数最大的项是第6项或第7项， 且该项系数为． 故答案为：7 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【解析】的展开式的通项为，且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6， 故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，且该项系数为. 故答案为：7 【变式6-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值 【答案】/ 【解析】由题意可得，又展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则， 即，解之得， 求得或6，此时，， 故答案为： 题型七：杨辉三角问题 【典例7-1】（24-25高二下·福建福州·期中）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ，令，则前n项和 ． 【答案】 【解析】根据莱布尼茨三角形可看出，下一行两个分数之和等于肩上的上一行的那个分数， 故可得； 又 ； 所以前n项和 . 故答案为：； 【典例7-2】（24-25高二下·江苏南京·期中）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是 ． 【答案】 【解析】根据题意，将锯齿形数列两个一组进行分组，可知其成如下规律： 第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 因此第37项是第19组的第一个数，易知第19组的两个数为； 可得第37项是. 故答案为： 【变式7-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角．杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章．杨辉三角如图所示： 如上图，杨辉三角第行的个数依次为，，…，．现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如下图： 在这个新的三角数阵中，第行的第个数为 ；第行的所有数的和为 ． 【答案】 【解析】由题可得杨辉三角中第行的第个数为， 则新的三角数阵中第行的第个数为，故第10行的第3个数为， 新的三角数阵中第行的和为：， 设，， 两边求导得，， 令得，， 所以新的三角数阵中第行的和为. 故答案为：90，． 【变式7-2】（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 【答案】32 【解析】第 行从左到右第 11个数为 , 第 12个数为 , 依题意得 , 即 , 解得 . 故答案为： 32 题型八：有理项问题 【典例8-1】（23-24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式， 由，且，，得或， 所以有理项的项数为2． 故选：B. 【典例8-2】（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，记作， 非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消. 故有. 令，则所求的系数之和为. 故选：D. 【变式8-2】（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）展开式的二项式系数和64，则展开式中的有理项个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】二项系数和为，则，所以的通项为：，其中， 则展开式中的有理项满足，故，共3项. 故选：C. 【强化训练】 1．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】展开式通项为， 因为要求的指数为， 所以，所以， 所以系数为. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（   ） A．第行第个数是 B．当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值 C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，由题意可知第行第个数是，A对； 对于B选项，当是偶数时，中间的一项的二项式系数最大，此时中间的一项取得最小值取得最小值， 当是奇数时，中间的二项式系数相等且取到最大值，则中间的两项相等，且同时取得最小值，B对； 对于C选项，因为，故，C对； 对于D选项，由于每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 则，D错. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东·期中）已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则（   ） A．40 B．41 C．-40 D．-41 【答案】A 【解析】∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴. ∵， 令，可得， 令，可得， 再令，可得， 即， ∴. 故选：A 4．（24-25高二下·安徽池州·期中）在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（    ） A．8 B．7或8 C．8或9 D．7，8或9 【答案】D 【解析】若的展开式中只有第五项的二项式系数最大可知； 当时，展开式有8项，则第四项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 当时，展开式有10项，则第六项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 故选：D. 5．（多选题）（24-25高二下·福建三明·期中）关于二项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项二项式系数之和为 B．各项系数之和为 C．有理项共有4项 D．常数项为 【答案】BD 【解析】对于A，二项式系数之和为，故A错误； 对于B，令，得各项系数之和为，故B正确； 对于C，因为二项式通项公式为， 所以当为偶数时，展开式为有理项，所以时为有理项，共5项，故C错； 对于D，二项式展开式的通项为， 令，可得常数项为，故D正确． 故选：BD 6．（多选题）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若展开式中的常数项为60，则（   ） A．展开式中第4项的二项式系数最大 B．实数a的值为4 C．展开式中奇数项的二项式系数和为64 D．展开式中系数最大的项是第5项 【答案】ABD 【解析】A选项，因为展开式共7项，第4项的二项式系数最大，故A正确； B选项， ，其中为整数，且， 令，解得，此时，所以，B正确； C选项，展开式中奇数项的二项式系数和为，故C错误； D选项，由得，，又，所以， 且时， ，系数为正， 所以展开式中系数最大的项为是第5项，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选题）（24-25高二下·广东·期中）已知的展开式的第2项与第3项系数的和为3，则（   ） A． B．展开式的各项系数的和为 C．展开式中奇数项的二项式系数的和为128 D．展开式的常数项为第5项 【答案】ACD 【解析】因为的展开式的通项为， ， 则根据题意可得，即， 解得或（舍去），故A正确； 由A选项得，， 则当，即时，为常数项，故D正确； 令，则，则展开式的各项系数的和为，故B错误； 展开式中奇数项的二项式系数的和为，故C正确． 故选：ACD． 8．（多选题）（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】ABC 【解析】对于A, ，故A正确， 对于B,由组合数的性质可得，B正确， 对于C, ,C正确， 对于D, 第29行中从左到右第14个数为,第15个数为，两者不相等，D错误， 故选：ABC 9．（多选题）（24-25高二下·广东深圳·期中）已知不等式对任意恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因为，所以， 则，故，故A正确， 对于B，由二项式定理得， 因为，令，所以， 得到，即，左右两侧取指数得， 当时，可化为，故B正确， 对于C，因为，令，所以， 即，则，而， 得到， 注意到，则，故C正确， 对于D，因为，令，所以， 则，故， 两边取指数得，即， 则，易得是首项为，公比为的等比数列， 则， 注意到， 得到，故D正确. 故选：BCD 10．（多选题）（24-25高二下·山西吕梁·期中）已知则下列说法正确的是（   ） A．若仅第5项的二项式系数最大，则 B．若第2项与第6项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 C．若展开式中二项式系数和为256，则展开式中系数最大值为 D．若第5项、第6项、第7项的二项式系数成递减等差数列，则 【答案】ABD 【解析】对于A，若仅第5项的二项式系数最大可知为唯一最大项，因此可得，即A正确； 对于B，由第2项与第6项的二项式系数相等可得，解得； 展开式中二项式系数最大的项为第4项，即， 可知其系数为，即B正确； 对于C，若展开式中二项式系数和为256，可得，解得， 由通项可知，当为奇数时，系数为负，不可能最大； 因此为偶数时系数才有可能最大， 易知为项的系数，可知，即； 而，即，因此C错误； 对于D，若第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列， 可得，整理可得，解得或； 又因为成递减，可得； 令可得，即D正确. 故选：ABD 11．（24-25高二下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由，则展开式的通项， 可得，，， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高二下·安徽池州·期中）在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【解析】由题得的通项为， 令得的常数项为, 令，得的的系数为. 所以的常数项为. 故答案为: . 13．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）的展开式中含项的系数为 . 【答案】10 【解析】由的展开式的通项为， 令，，令，， 则的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列. (1)求展开式中的一次项； (2)证明展开式中没有常数项； (3)求展开式中所有的有理项. 【解析】（1）设该二项式展开式通项为，则， 由题意可得：或， 显然不符题意，舍去，故. 令，即含x的一次项为：； （2）由（1）展开式通项为 ，则， 所以不满足，所以展开式中没有常数项； （3）由（1）知二项式展开式通项，由题意知， 令得为展开式中所有的有理项. 15．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式二项式系数和为64． (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项． 【解析】（1）由题意得，故； （2）的展开式通项公式为 ， 令，解得， 所以展开式中的常数项为； （3），展开式共有7项，二项式系数最大的项为第四项， 由（2）可知， 故展开式中二项式系数最大的项为. 16．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知，求 (1)求，的值； (2)求的值. 【解析】（1）令，得，又，， 所以，有. （2）令，得， 又，所以. 17．（24-25高二下·安徽池州·期中）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【解析】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 18．（24-25高二下·福建泉州·期中）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中所有的无理项的系数和. 【解析】（1）展开式的通项为：， 由展开式中的前三项系数成等差数列，得， 整理得：，而，解得， 所以的值为8. （2）由（1）知，展开式中第5项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大项为. （3）展开式的通项为， 当时，为无理项，即展开式的偶数项， 令展开式的奇数项系数和为，偶数项系数和为， 则，，解得， 所以展开式中所有的无理项的系数和为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$