专题07 二项式定理的综合运用（7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题07 二项式定理的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：求展开式某项的系数 题型二：三项及多项展开式 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 题型四：展开式系数和问题 题型五：整除与余数问题 题型六：二项式系数与系数最大问题 题型七：杨辉三角问题 题型八：有理项问题 【知识点梳理】 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 3、二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 4、二项式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 考点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． （2）展开式中的系数求法（的整数且） 考点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 5、二项式定理的应用 （1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． （2）利用赋值法进行求有关系数和． （3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． （4）证明有关的不等式问题． （5）进行近似计算． 【典型例题】 题型一：求展开式某项的系数 【典例1-1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）二项式 展开式的第项的系数是（） A． B． C． D． 【典例1-2】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（　　） A．210 B．252 C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·天津西青·期中）在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 【变式1-2】（24-25高二下·浙江杭州·期中）若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型二：三项及多项展开式 【典例2-1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 【典例2-2】（24-25高二下·河南·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·重庆·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B．30 C． D．60 【变式2-2】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例3-1】（24-25高二下·安徽·期中）的展开式中的系数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【典例3-2】（24-25高二下·安徽·期中）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．100 C．80 D．60 【变式3-1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）在的展开式中，的系数为（        ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·湖北·期中）若的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 题型四：展开式系数和问题 【典例4-1】（多选题）（24-25高二下·安徽池州·期中）已知，下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（多选题）（24-25高二下·福建莆田·期中）若，则（    ） A． B． C． D．| 【变式4-1】（多选题）（23-24高二下·重庆巴南·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中第8项为常数项 【变式4-2】（多选题）已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32 D．展开式中二项式系数最大的项为 题型五：整除与余数问题 【典例5-1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）被8整除的余数为 . 【典例5-2】（24-25高二下·江苏连云港·期中）被9除所得的余数是 . 【变式5-1】（24-25高二下·江西抚州·期中）已知数列满足，现从中随机抽取两个不同项，则这两项之和为3的倍数的概率为 ． 【变式5-2】（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 题型六：二项式系数与系数最大问题 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 【典例6-2】（22-23高二下·河北张家口·期末）在的展开式中，系数最大的项的系数为 （用数字作答）. 【变式6-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 ． 【变式6-2】（24-25高二下·贵州黔南·期中）若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ． 题型七：杨辉三角问题 【典例7-1】（23-24高二下·山西·期中）如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【典例7-2】（23-24高二下·山西长治·期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表示） 【变式7-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    【变式7-2】（23-24高二下·山东聊城·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是 . 题型八：有理项问题 【典例8-1】（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【典例8-2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中有理项的个数为 . 【变式8-1】（22-23高二下·湖北·期中）的展开式中所有有理项的系数和为 . 【变式8-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有 项． 【强化训练】 1．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．60 B．20 C．-20 D．-60 2．（24-25高二下·湖南娄底·期中）的展开式中的系数为（   ） A．2 B．6 C．4 D． 3．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知，则（   ） A．80 B．81 C．242 D．243 4．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则的值为（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 5．（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 6．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项 7．（24-25高二下·河南新乡·期中）二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（   ） A．8 B．10 C．16 D．32 8．（24-25高二下·福建三明·期中）已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 9．（多选题）（24-25高二下·山东泰安·期中）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高二下·福建泉州·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 11．（多选题）（24-25高二下·云南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·湖北·期中）已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数 . 13．（23-24高二下·云南大理·期中）“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为 ． 14．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知，则 ． 15．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为 16．（24-25高二下·天津滨海新·期中）展开式中的系数为 . 17．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在 的二项展开式中的系数为 ，所有项的二项式系数和为 . 18．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）若，则 ， .（结果用数字表达） 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二项式定理的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：求展开式某项的系数 题型二：三项及多项展开式 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 题型四：展开式系数和问题 题型五：整除与余数问题 题型六：二项式系数与系数最大问题 题型七：杨辉三角问题 题型八：有理项问题 【知识点梳理】 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： （）， 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：， 其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数 2、二项式（a+b）n的展开式的特点： （1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n； 3、二项展开式的通项： （） 公式特点： ①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； ②字母b的次数和组合数的上标相同； 4、二项式系数及其性质 （1）的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大． ③各二项式系数之和为，即； ④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和， 即． 考点诠释： 二项式系数与展开式的系数的区别 二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等． （2）展开式中的系数求法（的整数且） 考点诠释： 三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决． 5、二项式定理的应用 （1）求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）． （2）利用赋值法进行求有关系数和． （3）利用二项式定理证明整除问题及余数的求法． （4）证明有关的不等式问题． （5）进行近似计算． 【典型例题】 题型一：求展开式某项的系数 【典例1-1】（24-25高二下·天津滨海新·期中）二项式 展开式的第项的系数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二项式的展开式的第项是：， 所以第项的系数是：. 故选：C. 【典例1-2】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（　　） A．210 B．252 C． D． 【答案】C 【解析】对于二项式，根据二项式展开式通项公式得： ， 对进行化简： ， 令， 解得． 将代入到中可得： 故选：C． 【变式1-1】（24-25高二下·天津西青·期中）在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 【答案】D 【解析】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D 【变式1-2】（24-25高二下·浙江杭州·期中）若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】因为， 所以的第上四分位数是，即， 则， 由解得， 所以常数项为， 故选：D. 题型二：三项及多项展开式 【典例2-1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．120 B．240 C．274 D．282 【答案】C 【解析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个， 所以含的项为， 所以含的项的系数是. 故选：. 【典例2-2】（24-25高二下·河南·期中）的展开式中含项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由可得， 故展开式中项的系数为． 故选：C． 【变式2-1】（24-25高二下·重庆·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B．30 C． D．60 【答案】C 【解析】展开式的通项为， 令，得，则， 又的展开式的通项为，令，得， 故中含的项为， 所以的展开式中的系数为. 故选：C 【变式2-2】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中的系数为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】B 【解析】因为， 所以通项公式， 因为要求的系数，所以令， 此时， 又的通项公式， 令，解得， 则的展开式中的系数为， 因此，的展开式中的系数为. 故选：B. 题型三：两个二项式乘积展开式的系数问题 【典例3-1】（24-25高二下·安徽·期中）的展开式中的系数为（    ） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【解析】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含的项为 即展开式中的系数为． 故选：B． 【典例3-2】（24-25高二下·安徽·期中）的展开式中的系数为（    ） A．120 B．100 C．80 D．60 【答案】D 【解析】因为， 其中展开式的通项为（，1，…，5）， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为． 故选：D． 【变式3-1】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期中）在的展开式中，的系数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】展开式的通项为， 所以当时，该项为有理项，的指数分别为0，1，2， 展开式的通项为， 所以的展开式中，的系数为 . 故选：D 【变式3-2】（24-25高二下·湖北·期中）若的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为展开式的通项公式为， 令，得；令，得． 所以的展开式中的系数为，解得． 故选：B． 题型四：展开式系数和问题 【典例4-1】（多选题）（24-25高二下·安徽池州·期中）已知，下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】选项A：令，得；令，得，所以，故A正确； 选项B：绝对值系数和等价于展开式的所有系数和，令，得，所以，故B正确. 选项C：对原式两边求导得：. 令，得，故C错误. 选项D：令，得左边， 右边为 故，故D正确. 故选：ABD. 【典例4-2】（多选题）（24-25高二下·福建莆田·期中）若，则（    ） A． B． C． D．| 【答案】BD 【解析】A．令，所以，故A错误； B．， 展开式通项公式为， 令得：，故，故B正确； C．令，所以，所以，故C错误； D．令，所以，又， 所以，， 又因为的展开式通项为，所以当为奇数时，项的系数为负数， 所以，故D正确. 故选：BD. 【变式4-1】（多选题）（23-24高二下·重庆巴南·期中）已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ） A． B．展开式中奇数项的二项式系数和为256 C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中第8项为常数项 【答案】AC 【解析】对于A，由已知得，，故， 令，，解得，故A正确； 对于B，由二项式定理可知，展开式中奇数项的二项式系数和为，故B错误； 对于C，根据二项式定理可知，展开式的通项为， 显然，系数最大为，即展开式中第6项的系数最大，故C正确； 对于D，当时，即时，， 所以展开式的第9项为常数项，故D错误； 故选：AC． 【变式4-2】（多选题）已知二项式的展开式中所有项的系数的和为64，则（    ） A． B．展开式中的系数为 C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32 D．展开式中二项式系数最大的项为 【答案】ACD 【解析】令，则，可得，A对； ， 当时，，B错； 由原二项式的二项式系数和为，则奇数项的二项式系数的和为32，C对； 由上知：二项式系数最大为，即，则，D对. 故选：ACD 题型五：整除与余数问题 【典例5-1】（24-25高二下·江苏无锡·期中）被8整除的余数为 . 【答案】 【解析】由于， 由于均能被8整除，所以除以8的余数为7， 故答案为：7 【典例5-2】（24-25高二下·江苏连云港·期中）被9除所得的余数是 . 【答案】2 【解析】因为 又能被9整除， 所以被9除所得的余数为2， 故答案为：2. 【变式5-1】（24-25高二下·江西抚州·期中）已知数列满足，现从中随机抽取两个不同项，则这两项之和为3的倍数的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意可得．记抽到的两项为， 则， 其中，为整数， 当为奇数时，，此时二者之和为3的倍数； 当为偶数时，，此时二者之和不为3的倍数． 下面讨论，当为奇数时，共有个符合要求， 则符合要求的可能共有种， 当为偶数时，共有个符合要求， 则符合要求的可能共有种， 故总数为种，故所求概率． 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 题型六：二项式系数与系数最大问题 【典例6-1】（24-25高二上·上海·期末）的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 【答案】12和13 【解析】的二项展开式的通项公式为，系数为， 由得，， ∴系数最大的项是第12和13项. 故答案为：12和13. 【典例6-2】（22-23高二下·河北张家口·期末）在的展开式中，系数最大的项的系数为 （用数字作答）. 【答案】20 【解析】∵的展开式的通项为， 设第项的系数最大，则， 根据公式，解得，又， ∴， ∴展开式中系数最大的项为， 即展开式中系数最大的项的系数为20， 方法二：比较的大小，选择最大值即可； 故答案为：20； 【变式6-1】（24-25高二下·北京顺义·期中）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 ． 【答案】 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 又，所以二项式系数最大的项是第项，即， 故答案为： 【变式6-2】（24-25高二下·贵州黔南·期中）若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ． 【答案】 【解析】由题意知，则的展开式通项为，令，则， 所以展开式中的系数为． 故答案为：60 题型七：杨辉三角问题 【典例7-1】（23-24高二下·山西·期中）如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为 . 【答案】 【解析】第三行的第三位数字是，第四行的第三位数字是， 第五行的第三位数字是，，第十五行的第三位数字是， 由 ， 则 . 故答案为：. 【典例7-2】（23-24高二下·山西长治·期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，在他所著的《详解九章算法》中把二项式系数写成一张表，借助它发现了很多有趣的性质，利用这些性质，解决了很多数学问题.如图所示，由杨辉三角左腰上的各数出发引一组平行线，第条线上的数字是；第2条线上的数字是；第3条线上的数字是；第4条线上的数字是，那么第21条线上的数共有 个，其中最大的数是 .（用数字表示） 【答案】 11 【解析】依据给定条件我们发现第8条线为，第9条线为， 第10条线为，第11条线为， 第12条线为，第13条线为， 第14条线为，第15条线为， 第16条线为，第17条线为， 第1条线和第2条线有1个数，第3条线和第4条线有2个数， 第5条线和第6条线有3个数，第7条线和第8条线有4个数， 所以线的个数每增加2，其含有数字的个数增加1， 所以第21条线上的数共有11个 我们发现第1条线只有数字1，所以它的最大数字为1， 第5条线有，所以最大数字为3， 第9条线有，所以最大数字为15， 第13条线有，所以最大数字为84， 第17条线有，所以最大数字为495， 若设线的条数为，则第21条线中的最大数字也满足 第条线上的最大数字的规律， 而我们继续写杨辉三角，我们可以得到剩下的行， 第8行为，第9行为， 第10行为， 第11行为， 第12行为， 第13行为， 第14行为， 第15行为， 第16行为， 我们观察第1条线的最大值，它是第1行第1个数， 第5条线的最大值是第4行的第2个，第9条线的最大值是第7行的第3个， 第13条线的最大值是第10行的第4个，第17条线的最大值是第13行的第5个， 所以我们归纳出如下规律，在线的条数为时， 其包含的数字的最大值在杨辉三角中行数每增加3，数字的位置向右平移1位， 所以第21条线的最大值是第16行的第6个，为. 故答案为：11； 【变式7-1】（23-24高二下·福建泉州·期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示.那么，在“杨辉三角”中，第 行会出现三个相邻的数，其比为2:3:4.    【答案】34 【解析】由题意可知第行第个数为， 根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，， 有且．化简得，， 联立解得，． 故第34行会出现满足条件的三个相邻的数． 故答案为：34. 【变式7-2】（23-24高二下·山东聊城·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是 . 【答案】或 【解析】根据题意可得， 因为 ， 即，所以或. 故答案为：或. 题型八：有理项问题 【典例8-1】（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项． 【答案】6 【解析】由题意知，展开式的通项公式为， 当（）为整数时，的系数为有理数， 所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个. 故答案为：6 【典例8-2】（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中有理项的个数为 . 【答案】3 【解析】展开式的通项为， 要为有理项，则为整数，故可取，共有3项有理项. 故答案为： 【变式8-1】（22-23高二下·湖北·期中）的展开式中所有有理项的系数和为 . 【答案】 【解析】的展开式的通项公式为：， 由题意可知，为整数且， 所以或或， 所以，，， 所以所有有理项系数和为. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知的展开式的各项系数之和为，则展开式中有理项共有 项． 【答案】6 【解析】令，得，则或（舍去）． ∴的展开式的通项为． 当时，为有理项，故有理项共有6项． 故答案为：6. 【强化训练】 1．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．60 B．20 C．-20 D．-60 【答案】D 【解析】，展开式的通项公式为， 令，故， 的展开式的通项公式为， 令，则， 故的系数为， 故选：D. 2．（24-25高二下·湖南娄底·期中）的展开式中的系数为（   ） A．2 B．6 C．4 D． 【答案】D 【解析】的展开式中的系数即为的展开式中的系数， 又二项式的展开式的通项为， 令，可得，则的系数为. 故选：D. 3．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知，则（   ） A．80 B．81 C．242 D．243 【答案】C 【解析】， 令，得； 令，得； 所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·宁夏银川·期中）已知的展开式中的所有二项式系数之和为32，则的值为（    ）． A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】由题意，展开式中的所有二项式系数之和为，所以. 故选：C. 5．（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解析】对于A，由杨辉三角性质得在第行里，有共个数， 所以第10行中正中间即第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角性质得第行第个数为， 则在第行中，第个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误， 对于C，由组合数运算性质得，故C错误. 对于D，由已知得第12行中第8个数为，第9个数为， 则它们的比为，则第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：D 6．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中二项式系数最大的项为第5项 【答案】A 【解析】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，可得①，故B错误； 对于C：令，可得②， 联立①②可得，故C错误； 对于D：由题意可知展开式共有项，则第项的二项式系数最大，故D错误． 故选：A． 7．（24-25高二下·河南新乡·期中）二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（   ） A．8 B．10 C．16 D．32 【答案】D 【解析】二项式的展开式的各项二项式系数的和是. 故选：D 8．（24-25高二下·福建三明·期中）已知，且恰能被6整除，则的取值可以是（    ） A．1 B．4 C．11 D．16 【答案】C 【解析】依题意，， 而能被6整除，则是6的正整数倍，ABD不满足，C满足. 故选：C 9．（多选题）（24-25高二下·山东泰安·期中）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式.利用算两次的思想方法或其他方法，可以得出下面有关组合数的等式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，， 左边的系数为， 右边， 故的系数为， 故，A正确； B选项，在个人中选人搞卫生工作，其中人擦窗户，人拖地，共有多少种不同的方法？ 方法一：先从在个人中选人，再从选出的人中选出人擦窗户，共有种不同的方法； 方法二：先从在个人中选人擦窗户，再从剩余的人中选人拖地， 故共有种方法； 故，B正确； C选项，， ， 左边的系数为， 右边的系数为，故，C错误； D选项，由题干可得， 故， 即①， 由C可知，，则②， 故①-②得， 所以，D正确. 故选：ABD 10．（多选题）（24-25高二下·福建泉州·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第行的所有的数字之和为 B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第个数最大 C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ACD 【解析】对于A，第行的所有的数字之和为，故A正确； 对于B，第行的数中，从左到右共有个数，则第个数最大，故B错误； 对于C，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为， 因 ，故C正确； 对于D，依题意，，则， 下面证明. 分别从两个角度考虑二项式展开式中的系数，由的通项可知的系数为， 由考虑，的系数为：， 故有，而第行的中间一项为第项，即，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）（24-25高二下·云南·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令，得，A正确. 对于B，令，得，又 所以，B错误. 对于C，因为，所以，C正确. 令，得，D正确. 故选：ACD 12．（24-25高二下·湖北·期中）已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数 . 【答案】5 【解析】因为为偶数，为奇数，结合二项式系数的最值可得， 又因为，即， 可得，整理可得，解得， 故答案为：5. 13．（23-24高二下·云南大理·期中）“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为 ． 【答案】252 【解析】依题意，第10行中各数是二项式展开式的二项式系数，最大数为. 故答案为：252 14．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知，则 ． 【答案】365 【解析】中， 令得①， 令得②， 式子①+②得. 故答案为：365 15．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知的展开式中第5项和第9项的二项式系数相等，则n的值为 【答案】12 【解析】二项式展开式的通项为（且）， 所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为， 依题意可得，所以. 故答案为:12. 16．（24-25高二下·天津滨海新·期中）展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】因为， 又展开式的通项为（）， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 17．（24-25高二下·天津滨海新·期中）在 的二项展开式中的系数为 ，所有项的二项式系数和为 . 【答案】 【解析】二项式展开式的通项为（）， 令，解得， 所以，所以二项展开式中的系数为， 所有项的二项式系数和为. 故答案为：； 18．（24-25高二下·贵州黔东南·期中）若，则 ， .（结果用数字表达） 【答案】 1 2047 【解析】令，则， 再令，得， 故， 故答案为：1，2047 14 学科网（北京）股份有限公司 $$