专题一 函数探究与综合应用-【中考宝典】2025年中考数学（深圳专用版）

第四部分题型专题突破口 题型四 满分解答突破 专题一函数探究与综合应用 一、函数综合应用 1.(2023·深圳)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反 季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形 成了一个温室空间（如图1）.如图2，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构 成，其中AB=3m,BC=4m,取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于 点E,以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系. B O C B O 图1 图2 图3 4 请回答下列问题： (1)如图2，抛物线AED的顶点E(0,4),则抛物线的解析式为 (2)如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若 FL=NR=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长； (3)如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK,求BK的长. 259 口中考宝典·数学（深圳专用版） 2.(2024·南山二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=一x2十bx+十c的图象与x轴交于A,B两 点，与y轴交于点C(0,3),点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点， (1)求这个二次函数的解析式； (2)点P在直线CB上方运动，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标 和△BPC面积的最大值； (3)连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到△P'OC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱 形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 260 第四部分题型专题突破门 二、函数探究 1.(2021·深圳)探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、2倍、k倍。 (1)若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？ (填“存在”或“不存在”). (2)继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？ 同学们有以下思路： x+y=10, 设新矩形长和宽为x,y,则依题意x十y=10,xy=12,联立 得x2-10x十12=0，再探 xy=12, 究根的情况 根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的2倍；如图，也可用反比 例函数y=与一次函数y=一x十10证明，那么， ①是否存在一个新矩形，其周长和面积为原矩形的2倍？ ②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图象表达： ③请直接写出存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的倍时，k的取值范围： 261 口中考宝典·数学（深圳专用版】 2.(2024·深圳)为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分 别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，该数学小组选 择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x,CD读数为y,抛物线的顶点为C 0123456789￥ 因1 图2 图3 图4 (1)(I)列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 v 3 4 5 6 y 0 1 2.25 6.25 (Ⅱ)描点：请将表格中的(x,y)描在图2中； (Ⅲ)连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，直接写出y与x的关系式为 (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x一h)2+k的顶点为C,该数学兴趣小组用水平 和竖直直尺测量其水平跨度为AB,竖直跨度为CD,且AB=m,CD=n,为了求出该抛物线的开 口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数y=a(x一h)2十k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y=ax2. ①此时点B'的坐标为 ②将点B坐标代入y=ax2中，解得a= (用含m,n的式子表示)： 方案二：设C点坐标为(h,k). ①此时点B的坐标为 ②将点B坐标代入y=a(x一h)2十k中解得a= (用含m,n的式子表示)： (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A,B两点，AB=4,且AB∥x轴，二次函数C:y1= 2(x+h)十k和C2:y2=a(x十h)2十b都经过A,B两点，且C和C2的顶点P,Q距线段AB的距 离之和为10，求a的值. 262参考著来 同理可得，∠0DC=∠0CD=180°一45= .二次函数的表达式为y=一x2十2x十3： 2 (2)如答图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q, 67.5, 设P(x,-x+2z+3),设直线BC的函数关系式为y= :EC∥AD,·∠DHF=∠ADO= mx十n, 67.5°： DF是⊙O的切线，.OD⊥DF, 则/3m+n=0, n=3, ∠ODF=90, ∴.∠FDC=∠ODF-∠ODC=22.5°， 答图 解得/m=一1， 1n=3, ∠F=90°-∠DHF=22.5, ∴.DC=CF,∠DCE=45°： 得直线BC的解析式为y一十3，A0 则Q(x,一x十3)， 由(1)知，DC=DE,.∠DEC=∠DCE=45°， ∴△DCE是等腰直角三角形， San=Sae+Saow=专QP 答图1 :AD=D,AD=2,.DE=DC=CF=AD=√2： 0=是×(-+3a)x3=-2(e-昌)广+器， 在等腰直角△DCE中，EC=√DC+DE=2, ∴.EF=EC+CF=2+2 当x=号时，△BPC的面积最大，此时，点P的坐标 题型四满分解答突破 为（受） 专题一 函数探究与综合应用 一、 △BPC的面积的最大值为？， 1.解：0y=-子+4 (3)存在点P,使四边形POPC为菱形， 如答图2，设P(x,一x十2x十3)， (2)"四边形LFGT,四边形SMNR均为正方形，FL=NR= 连接PP交CO于点E, 0.75 m,FG-MN-FL-NR-0.75 m. 若四边形POPC是菱形，则 如答图，延长LF交BC于点H,延长RN交BC于点J,则 PC=PO,PE⊥CO, 四边形FHJN,四边形ABHF均为矩形， ..FH=AB=3 m,FN=HJ, OE=CE=是 0 ∴.HL=HF+FL=3.75m, “y-2+4,当y-35时， -+2x+3=2 答图2 35=一十4，解得x=士1， 解得玉-2汁0 2 ∴.H(-1,0),J(1,0), 答图 5-2-西 2 ..FN=HJ=2 m,:.GM=FN-FG-MN=0.5 m; (3):BC=4m,OE垂直平分BC,∴OB=OC=2m, 六点P的坐标为（牛，是）成(2厘，) .B(-2,0),C(2,0),且A(-2,3), 二、 设直线AC的解析式为y=kx十6，则(2+6=0， 1.解：(1)不存在 -2k+b=3, (2)①存在 3 「k= ②设新矩形的长和宽为x,y,则依题意x十y=?xy=3, 解得 3 ∴y= 3 4x+2 5 b=2' 联立+2得-名x+3=0, :太阳光为平行光，设过点K平行于AC的光线的解析式 xy=3, 为y=-是m 因为△<0，此方程无解 故这样的新矩形不存在： 由盟意，得y=一是x十m与抛物线相切，联立 如答图，从图象来看，y=一x十 -2+4， 和y一子在第一象限无交点，故 整理得x2一3x十4m一16=0， y--rtm. 不存在. @>器 答困 则4=(-3)-44m-16)=0,解得m-得 y=-是+得当y=0时-设K(得0 2.解：1y= 描点，连线，函数图象如答图 y B(-2,0.4BK-2+7径-0m 所示； 2.解：(1)把点B,点C的坐标代人解析式，得 (20(侵m,n）9 9+36+6=0解得2： 1c=3, 1c=3, ①(h+zmk+n）@架 23 0123456789x 答图 新爆标中考宝典数学（深圳专用版） (3)根据题意，C和C的对称轴为x=一h, 太阳光线 太阳光线 则A(一h一2,8+k),B(一h十2,8十)，C的顶点坐标为 D P(-h,k), F ,C的顶点距线段AB的距离为(8+)一k=8, .C的顶点距线段AB的距离为10一8=2， 652 657 .C的顶点坐标为Q(一h,10十k)或Q(一h,6+k), B B ①当C的顶点坐标为Q(一h,10+)时，为=a(x十h)+ 答图1 答图2 10+k, 则∠ABE=∠EKP=65°，∠PEK=∠CPK=90 将A(-h一2,8十)代入得4a十10十k=8+k, ∴.∠EPK=90°-65°=25°， ∠DPE=15,.∠FPC=90°-25°-15°=50°， 解得a=一2 “F为PD的中点，PF=号PD=1米， ②当C的顶点坐标为Q(一h,6+k)时， .CF=PF=1米，FG⊥AC, 为■a(x十h)产十6+k, .PC=2PG,在Rt△PGF中， 将A(-h-2,8+k)代入得4a十6+为=8+k,解得a=z PG=PF·cos∠CPF=1·c0s50°≈0.64（米）， .PC=2×0.64=1.28(米)， 缘上“的位为宁或-一子 又，AC=2.8米，.PA-2.8-1.28≈1.5（米）， 答：立柱上的滑动调节点P离地而AB的距离约1.5米； 专题二项目式学习 ②如答图2所示，过点D作DN LPE于点N, 1.解：任务1：一辆购物车车身长1m,每增加一辆购物车， .DP-DE,DNLPE,..PE-2PN. 车身增加0.2m, PD=2米，∠DPE=15,'.PN=2·cos15°≈1.94（米）， .L=0.2(m-1)+1=(0.2n+0.8)m: .PE=2×1.94=3.88(米)， 任务2：依题意，：已知该商场的直立电梯长为2.6m,且 ,∠ABE=∠EKP=65°，∠PEK=∠CPK=90°， 一次可以运输两列购物车， 令2.6≥0.2n+0.8,解得n≤9,9×2=18（辆） PK-品得 ≈4.3（米），PQ∥BK,PK∥BQ, .一次性最多可以运输18辆购物车： .四边形PQBK是平行四边形，，BQ=PK=4.3米。 任务3：设用扶手电梯运输x次，则用直立电梯运输(5一x)次， 答：伞体在地面上留下的影子BQ的长为4.3米. :该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运 4.解：(1)45 输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次， (2)如答图1，过点B作BE⊥AO于点E,则∠BEO=90°， 可列方程为24x+18(5-)≥10，解得>号 :x为整数，且x≥1,5-x≥1，即1≤x≤4，.x=2,3,4, 方案一：用直立电梯运输3次，用扶手电梯运输2次： 方案二：用直立电梯运输2次，用扶手电梯运输3次； 方案三：用直立电梯运输1次，用扶手电梯运输4次. 答：共有三种方案. 答图1 答图2 2.解：任务1：：点0坐标为(0,0)，点M坐标为(4,0)， ∠AOB=45,OB=60米， ∴抛物线的对称轴为直线x■2， ∴.0E=0B·cos45°=30,2米， ,抛物线的最高点为3， 点A为最高128米，OA=60米，∴点0高度为68米， .顶点坐标为(2,3)， ∴点B高度为(68+30√②)米： 设抛物线的函数表达式为y=a(x一2)2十3，过点(0,0)， (3)如答图2，连接OB,OC,BC,过点D作DG⊥BC于点G, 解得a=一子 由题意，得∠COB=90°，OB=OC=60米，.∠OBC= ∠0CB=45°， 抛物线的函数表达式为y=一(x一2+3 ∴.BC=60√2米 任务2：当喷水管OA最高可伸长到2.25m时，设此时的抛 由题意，得DG=5BG.则0G=号DG=2BG, 物线的函数表达式为y=一是（红一m)+3, .BC=3BG=60,√2，解得BG=20√2米， 当x=0时，y=2.25,解得m=1, .DN=68+30√2-20√2=68+10√2≈82（米） 由y=0,得-红-10+3=0 答：写字楼的实际高度DN约为82米 5.解：(1)由运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)满足 解得x=3或x■一1（舍）， 二次函数关系， .0B=3m 设二次函数关系式为y=a2+br十c,代人(0,10)，(1,10)， 任务3：1.3 (1.5,6.25), 3.解：任务-，CF=DE,CF∥DE fc=10, 得a,十6+c-10, a0=-5, 任务二：①如答图1所示，过点F作FG⊥AC于点G,过点 解得6=5， 9 3 P作PK∥AB交BE于点K, 4a+ b+c=6.25, c=10, 24