专题07 实数及其简便运算【10个基础题型+2个培优题型】- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教2024版）（原卷+解析版）
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内容正文：
【精准提分】专题07 实数及其简便运算（人教2024）
【10个基础题型+2个培优题型】
【基础题型一】判断是否为无理数 1
【基础题型二】对无理数进行估算 5
【基础题型三】无理数整数部分和小数部分相关计算（选填） 9
【基础题型四】利用实数的定义进行分类 13
【基础题型五】实数的性质相关求解 19
【基础题型六】实数与数轴综合应用 23
【基础题型七】实数比较小的相关计算 32
【基础题型八】实数的混合运算（计算题） 37
【基础题型九】程序设计与实数综合应用 42
【基础题型十】实数的实际应用 46
【培优题型十一】实数中新定义类题型 56
【培优题型十二】实数中相关找规律题型 70
【基础题型一】判断是否为无理数
例题1（24-25七年级下·云南昆明·期中）下列实数是无理数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解 ：、是分数，属于有理数，该选项不合题意；
、是无理数，该选项符合题意；
、，是整数，属于有理数，该选项不合题意；
、，是整数，属于有理数，该选项不合题意；
故选：．
【变式1-1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）下面选项所给数中是无理数的是（ ）
A． B．2025 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、2025是整数，它是有理数，不符合题意；
C、是分数，它是有理数，不符合题意；
D、是整数，它是有理数，不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）在实数，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的识别，根据无理数的定义解答即可，熟练掌握无理数的定义是解答本题的关键．
【详解】解：，，
在实数，，，，中，无理数有，，共个，
故选：B．
【变式1-3】（24-25七年级下·河南信阳·期中）在下列各数：，，，，，，，（每个之间依次多一个）中，无理数的个数（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】此题这样考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，（每两个之间依次多个等形式．根据无理数的定义判定即可．
【详解】解：在，，，，，，，中，无理数有、、、，共有个，
故选：B．
【变式1-4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）实数：，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查无理数的定义，立方根与算术平方根． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：实数：，，，，，中，和是无理数，共2个，其他数都是有理数，
故选：B．
【变式1-5】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在，，，，2025这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
无理数有，，共2个，
故选：A
【变式1-6】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）下列实数：，0，，，其中无理数为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数即为无限不循环小数是解题的关键．根据无理数即为无限不循环小数进行判定即可．
【详解】解：，
其中无理数为，
故选C．
【变式1-7】（24-25七年级下·北京·期中）下列实数，，0.101001000100001……（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查无理数的定义，求一个数的立方根和算术平方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【详解】解：开方开不尽，是无理数；
是分数，是有理数；
0.101001000100001……（相邻两个1之间依次多一个0），是无限不循环小数，为无理数；
是无理数；
是分数，为有理数；
是整数，为有理数，
∴无理数有3个，
故选：C．
【变式1-8】（24-25七年级下·广东惠州·期中）在实数，，，0，，，（相邻两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数．
根据无理数是无限不循环小数进行求解即可．
【详解】解：，
∴，，（相邻两个1之间依次增加一个0）是无理数，共3个，
故选：B．
【基础题型二】对无理数进行估算
例题2（24-25七年级下·重庆·期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
则
∴，
故选：B
【变式2-1】（24-25八年级下·重庆綦江·期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的减法、无理数的估算，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键．利用二次根式的减法化简，再根据无理数的大小估算即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
估计的值应在1和2之间．
故选：B．
【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若整数满足，则等于（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的取值范围，解题的关键是熟练掌握确定二次根式取值范围的方法．
分别判断出和的取值范围，然后确定的取值范围即可．
【详解】解：∵，即，
，即，
，即，
∴，即
∴，
故选：B．
【变式2-3】（24-25七年级下·广西玉林·期中）介于两个连续的整数与之间，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算及代数式求值，熟练掌握算术平方根的概念是解答本题的关键．
先估算出的值的范围，然后即可进行解答．
【详解】解：∵，
，
∴，
介于两个连续的整数与之间，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式2-4】（24-25七年级下·四川南充·期中）若正整数a、b分别满足，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】本题主要考查了无理数的估算、代数式求值、有理数乘方等知识点，掌握无理数的估算方法成为解题的关键．
先估算无理数可得，然后代入运用乘方运算即可．
【详解】解：∵正整数a、b分别满足，，
∴，
∴．
故选D．
【变式2-5】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）已知，m为整数，且，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，则，再结合题意即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m为整数，且，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2-6】（2025·辽宁辽阳·一模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】本题考查算术平方根的估值，先求出，根据即可解答．
【详解】解：当，时，，
∵，
∴，
∴能量E的值在5和6之间．
故选：B
【变式2-7】（24-25七年级下·山东济宁·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．4－ B．－ C． D．4
【答案】A
【分析】本题考查无理数的估值，代数式计算等．根据题意可得，，继而可得本题答案．
【详解】解：∵，整数部分为，小数部分为，
∴，，
∴，
故选：A．
【变式2-8】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）介于与之间的整数是 ．
【答案】和
【分析】本题考查无理数的估算，先估算和，进而得，，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴介于与之间的整数是和，
故答案为：和．
【变式2-9】（2025·河南·一模）若，则整数m的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案．
【详解】解：，
，
m为正整数，且，
．
故答案为：．
【变式2-10】（24-25七年级下·四川广安·期中）已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键．
根据平方根及立方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可．
【详解】解：的一个平方根是5，
，
解得：．
的立方根是，
，
解得：．
是的整数部分，而，
，
，
的平方根为．
【基础题型三】无理数整数部分和小数部分相关计算（选填）
例题3（24-25七年级下·吉林·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分是3，
∴的小数部分为：，
故答案为：．
【变式3-1】（24-25七年级下·天津·期中）若为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ．
【答案】 3 0
【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可．
【详解】解：∵，
，
的整数部分，小数部分，
，
故答案为：，
【变式3-2】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ．
【答案】11或35
【分析】此题考查了平方根定义，立方根定义及无理数的估算，正确掌握各定义并利用进行计算是解题的关键．
根据平方根定义，立方根定义及无理数的估算，分别求出m、n、p，由此计算．
【详解】解：∵正数m的平方根为和，
∴，
解得或；
∴或
∵是n的立方根，
∴，解得，
∴，
∴，即2是n的立方根，
∴；
∵p是的整数部分，，
∴，
∴当时，，
当时，，
综上，的值为11或35．
故答案为：11或35．
【变式3-3】（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了无理数的估算以及求代数式的值，先估算出m，n的值，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式3-4】（24-25七年级下·广东汕头·期中）若为整数，且，是的小数部分，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可．
【详解】解：∵，
，
的整数部分，小数部分，
，
故答案为：．
【变式3-5】（24-25七年级上·山东泰安·期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，先模仿题干的过程，得出，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是的小数部分，
故答案为：．
【变式3-6】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）对于一个无理数，我们把不超过的最大整数叫做的整数部分，把减去整数部分的差叫做的小数部分．设，是的小数部分，是的小数部分，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，根据题意得出的值是解题的关键．
根据无理数的估算求出，，进而得出，将代数式变形得到，将代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【变式3-7】（23-24八年级上·陕西西安·期中）若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ．
【答案】/3和/和3
【分析】根据可得，即可得到的整数部分是9，小数部分是，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，,
∴的整数部分是9，则，的小数部分是，则，
∴，
∴9的平方根为．
故答案为：．
【基础题型四】利用实数的定义进行分类
例题4（24-25七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，．
整数集合：{ …}
负有理数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
【答案】；；．
【详解】解： 整数集合：；
负有理数集合：；
无理数集合：．
【变式4-1】（24-25七年级下·河南许昌·期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，206，0，，，，
正分数集合｛ …｝
负有理数集合｛ …｝
无理数集合｛ …｝
【答案】，，；，；，
【分析】本题考查实数的分类，掌握其分类的本质是关键．根据分数、负有理数和无理数的定义质，依次对各个数字分析分类，即可求解．
【详解】解：正分数集合｛，，， …｝
负有理数集合{ ，，…}
无理数集合｛，，…｝
故答案为：，，；，；，．
【变式4-2】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里．
，…．
(1)正实数：{ ，…}；
(2)负实数：{ ，…}；
(3)有理数：{ ，…}；
(4)无理数：{ ，…}．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．
（1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可；
（2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可；
（3）根据有理数包括整数和分数解答即可；
（4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可．
【详解】（1）正实数：{，…}．
故答案为：；
（2）负实数：{，…}，
故答案为：；
（3）有理数：{，…}
故答案为：；
（4）无理数：{，…}，
故答案为：．
【变式4-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①，②，③，④，⑤．
(1)整数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}；
【答案】(1)②④(2)⑤(3)①③
【分析】本题主要考查了实数的分类． 熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．
（1）根据整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）根据无理数的定义求解即可．
【详解】（1）解：整数有：，，
故答案为：②④．
（2）解：分数有：，
故答案为：⑤．
（3）解：无理数有：，，
故答案为：①③．
【变式4-4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①，②0，③，④，⑤．
(1)整数集合{ ……}；
(2)分数集合{ ……}；
(3)无理数集合{ ……}．
【答案】(1)②，④；(2)①；(3)③，⑤．
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．
（1）根据整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）根据无理数的定义求解即可．
【详解】（1）④，
整数集合{ ②，④，……}．
故答案为：②，④；
（2）分数集合{①，……}．
故答案为：①；
（3）无理数集合{③，⑤，……}．
故答案为：③，⑤．
【变式4-5】（24-25七年级下·吉林·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧．
整数 { ．．．}；
分数 { ．．．}；
无理数 { ．．．}．
【答案】②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类解答即可．
【详解】解：，，
整数 { ② ， ③， ⑥，．．．}；
分数 { ⑦，⑧，．．．}；
无理数 { ①， ④ ， ⑤ ， ．．．}
故答案为：②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤．
【变式4-6】（24-25七年级下·河南商丘·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
①，②，③0.31，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧0．
整数：;
非负实数：;
无理数：;
【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤
【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根，先计算算术平方根，再根据实数的分类解答即可．
【详解】解：①，
整数：；
非负实数：；
无理数： ．
【变式4-7】（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
（2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：．
【答案】（1）①；②；③1；④；⑤0；⑥；（2）
【分析】本题主要考查了实数的分类，实数的混合运算．
（1）根据实数的分类填写即可；
（2）将，0代入计算即可求解．
【详解】解：（1）填数如下：
即①；②；③1；④；⑤0；⑥；
（2）∵，①，⑤0，
∴．
【变式4-8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）将下列各数，，，，0，，填在相应的大括号内.
整数：{ …}；
负分数：{ …}；
无理数：{ …}.
【答案】，，；，；，
【分析】本题考查了实数的分类，算术平方根与立方根，根据实数的分类求解；掌握分类的方法是解题的关键．
【详解】解：
整数：{，，；…}；
负分数：{ ，； …}；
无理数：{，； …}.
故答案：，，；，；，．
【基础题型五】实数的性质相关求解
例题5（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是5 B．的相反数是
C．的绝对值是 D．的相反数是
【答案】C
【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误；
B、的相反数是，故说法错误；
C、的绝对值是，故说法正确；
D、的相反数是，故说法错误；
故选：C．
【变式5-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题是正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查看实数的性质，根据算术平方根与立方根的定义以及实数的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
B. 若，则或，故该选项不正确，不符合题意；
C. 若，则，故该选项正确，符合题意；
D. 若，则，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式5-2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，立方根定义，绝对值化简，实数的运算法则，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键．根据算术平方根，立方根定义，绝对值化简，实数的运算法则解答即可．
【详解】解：A. ，此选项不符合题意；
B. ，此选项符合题意；
C. ，此选项不符合题意；
D. ，此选项不符合题意；
故选：B．
【变式5-3】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【分析】本题考查平方根，立方根，实数的性质，先开方，再跟只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：A、，，故与互为相反数，符合题意；
B、，，两数相等，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，，两数相等，不符合题意；
故选A．
【变式5-4】（24-25七年级下·陕西安康·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．互补的角是邻补角
B．若实数a，b满足，则
C．若实数a，b满足，则，
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【分析】本题考查命题，解题的关键是熟练掌握基本概念，根据邻补角的定义，实数的性质及平行公理逐项判断即可．
【详解】解：A．互补的角不一定是邻补角，则原命题是假命题，不符合题意；
B．实数a，b满足，则，则原命题是假命题，不符合题意；
C．若实数a，b满足，则，则原命题是假命题，不符合题意；
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则原命题是真命题，符合题意；
故选：D．
【变式5-5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）列说法①的相反数是；②相等的角叫对顶角；③若，则；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤立方等于它本身的数有0和；⑥在同一平面内，不重合的两条直线位置关系只有两种：平行或相交，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，对顶角的定义，立方根的概念，相交线等知识点．根据相反数的定义对①进行判断；根据对顶角的定义对②进行判断；根据平方特点对③进行判断；根据垂直的性质对④进行判断；根据立方特点对⑤进行判断；根据同一平面内两直线的位置关系对⑥进行判断．
【详解】解：的相反数是，所以①错误；
具有公共顶点，且一个角的两边正好是另一个角的两边的反向延长线，则这两个角叫做对顶角，所以②错误；
若，则，所以③错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以④错误；
立方等于它本身的数有0和，所以⑤正确；
在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交，所以⑥正确；
综上分析可知，正确的有2个．
故选：B．
【变式5-6】（24-25七年级下·天津·期中）（1）的相反数是 ，（2） ．
【答案】 /
【分析】本题考查了求一个数的相反数，求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的运算法则及相反数的概念．
根据立方根的运算法则及相反数的概念计算即可．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：；
，
故答案为：．
【变式5-7】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的性质，实数的混合运算，根据相反数，倒数和绝对值的意义，得到，分和，两种情况进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴
或；
故答案为：．
【变式5-8】（24-25七年级下·四川南充·期中）设、是有理数，且满足等式则 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了实数的性质、利用平方根解方程，熟练掌握实数的性质是解题的关键．对等式整理得，结合、是有理数得出，，解出的值即可解答．
【详解】解：，
，
、是有理数，
，，
解得：或，，
当时，，
当时，，
综上所述，或
故答案为：1或．
【基础题型六】实数与数轴综合应用
例题6（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，数轴上有，，，四个点，则下列说法正确的是（ ）
A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是
C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是
【答案】C
【详解】解：A．，点表示的数小于，故选项说法错误，不符合题意；
B． ，点表示的数在和2之间，故选项说法错误，不符合题意；
C．，点表示的数在和之间，故选项说法正确，符合题意；
D．，点表示的数大于4，故选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查正方形的面积，实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键．根据已知条件求出正方形的边长再确定点所表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为7
∴正方形的边长为，即
根据题意，
∴
∵点A是数轴上表示1的点
∴点E所表示的数为
故选：D．
【变式6-2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根与立方根，无理数的估算，弄清数轴上的点表示的数是解本题的关键．根据A与B表示的数表示出范围，确定整数解个数即可．
【详解】解：，，即
，之间表示整数的点有和两个，
故选：D．
【变式6-3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，实数的运算，根据题意，得到表示的数为2，进而得到，得到表示的数为，进而得到表示的数为，得到，进行求出表示的数即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴表示的数为2，
∴，
∴表示的数为：，
∵，
∴表示的数为：，
∴，
∴表示的数为：；
故选：D．
【变式6-4】（24-25七年级下·北京·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．表示数的点在线段上
C．是无理数 D．是有理数
【答案】B
【分析】此题考查了实数在数轴的上表示方法，首先求出正方形对角线的长度，然后得出，，逐一判断即可，解题的关键是根据题意求出正方形对角线的长度．
【详解】解：由题意可得：正方形的对角线长为，
∴，，故A选项不符合题意；
∵，
∴表示数的点在线段上，故B选项符合题意；
∵，
∴是有理数，故C选项不符合题意；
∵，
∴是无理数，故D选项不符合题意；
故选：B．
【变式6-5】（2024·北京石景山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，实数的加法、实数的乘法运算，先由数轴得，再运算出，，即可作答．
【详解】解：结合数轴得，
故A选项不符合题意；
∴，
故B选项符合题意；
则，，
故C选项和D选项不符合题意；
故选：B
【变式6-6】（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、数轴上点表示的数等知识，确定点的位置表示的实数是解题关键．首先确定点的位置表示的实数，然后计算线段的中点表示的数即可．
【详解】解：圆滚动一周，点到达了点的位置，则即为圆周长，
∴点的位置表示的实数为，
∴中点表示的实数为．
故答案为：．
【变式6-7】（24-25七年级下·广东广州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键．
根据正方形的面积为5得到，再结合，点表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∵，
∴，
∵点A表示的数为1，点在数轴上（点在点A左侧），
∴点E所表示的数为：．
故答案为：．
【变式6-8】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了算术平方根，实数与数轴，根据正方形的面积是5，先求出边长，再在数轴上求出点E对应的数．
【详解】解：∵面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1
∴
∵以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，
∴，
∴点E所表示的数为．
故答案为：．
【变式6-9】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．先求得的长度，根据点、点到点的距离相等，即可得出的长，再用的长度加上即可得出点C所对应的实数．
【详解】解：∵A、B两点对应的实数是和，
∴，
∵点、点到点的距离相等，，
∴，
∴点C所对应的实数是，
故答案为：．
【变式6-10】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点表示，设点所表示的数为．
(1)的值是_________；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】(1)(2)2(3)
【分析】本题考查实数与数轴，非负性，求一个数的平方根：
（1）根据数轴上点的移动规则，左减右加，求出的值即可；
（2）根据点的位置，确定式子的符号，进而化简即可；
（3）根据非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可．
【详解】（1）解：由题意，可知：；
（2）由图可知：，
∴，
∴；
（3）由题意，得：，
∴，，
∴，
∴，
∴的平方根为．
【变式6-11】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）实数在数轴上对应的位置如图所示，化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了绝对值以及二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题的关键．直接根据数轴上a，b，c的位置得出，进而化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：，
，
∴
．
【变式6-12】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点：
(1)那么点对应的数是______________；
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由．
【答案】(1)(2)，见解析
【分析】本题考查了实数与数轴，实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离等于圆的周长，即可解答；
（2）根据，然后利用不等式的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：∵圆从原点沿数轴向右滚动一周的距离为圆的周长，
∴点对应的数是，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，即，
∴．
【变式6-13】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4．
(1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ；
(2)请在数轴上表示下列各数：，，；
(3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来．
【答案】(1)2，(2)见详解(3)．
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，用数轴表示实数，以及利用数轴比较实数的大小．
（1）由题意知一个小正方形的面积为1，则阴影部分的面积为：，边长为；
（2）由，，在数轴上表示出各实数即可；
（3）根据数轴比较实数的大小即可．
【详解】（1）解：∵由题意知：一个小正方形的面积为1，
∴阴影部分的面积为：，边长为．
故答案为：2，；
（2）解：，，
则在数轴上表示如下：
；
（3）解：由（2）可知：．
【变式6-14】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示．化简：．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，先根据点在数轴上的位置得，则，，进而化简运算即可．
【详解】解：由数轴可得：，则，，则
．
【基础题型七】实数比较小的相关计算
例题7（24-25八年级下·广西贺州·期中）设，，则x，y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵，
∴，即，
故选：A．
【变式7-1】（24-25七年级下·四川广安·期中）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查实数的大小比较，根据算术平方根的定义把c变为带根号的数，再比较大小即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【变式7-2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知实数满足，记，若，则的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】C
【分析】本题考查比较实数的大小，根据，得到，进而得到，，，推出，根据，得到即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，即：的值一定是非正数；
故选C．
【变式7-3】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）比较大小： （填、或）
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的比较大小，根据实数大小比较的法则进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【变式7-4】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）比较大小：2 ， （填“”或“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查实数比较大小，熟练掌握实数比较大小是解题的关键．根据实数比较大小即可得到答案．
【详解】解：，，，
，
故答案为：，．
【变式7-5】（24-25七年级下·福建南平·期中）比较实数的大小 3， ．（填“”或“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，解题关键是掌握实数的大小比较法则．根据两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：；．
【变式7-6】（24-25七年级下·山东滨州·期中） ， ， ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了无理数大小比较，二次根式的大小比较．先作差，再利用二次根式的估算，从而可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；；；
【变式7-7】（24-25七年级下·广东广州·期中）在低温实验中，甲设备的温度下限是，乙设备的温度下限是．实验人员要知晓哪个设备能达到更低的温度，以便选择合适设备开展对低温要求严苛的实验项目，试比较： ．（填“”，“ ”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先求出这两个数的绝对值，然后根据两个负数比较，绝对值大的数反而小，进行比较即可．解题关键是熟练掌握两个负数比较，绝对值大的数反而小．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【变式7-8】（24-25七年级下·天津滨海新·期中）比较大小： ； ； ．（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据实数的大小比较方法解答即可．
【详解】解：，
；
∵，
，
；
∵，
，
；
故答案为：，，．
【变式7-9】（24-25九年级下·江苏南京·期中）若，则a，，的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法．
根据实数大小的比较方法进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴a，，的大小关系是．
故答案为：．
【变式7-10】（24-25七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“>”，“<”或“=”连接：
(1)______；
(2)______；
(3)1______．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查比较实数的大小，熟练掌握比较实数的大小方法：作差法，估算法，平方法，是解题的关键：
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）估算法比较大小即可；
（3）估算法比较大小即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
，
即：；
故答案为：；
（3）∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式7-11】（24-25七年级下·陕西西安·期中）将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来．
，，，．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．先对各数化简，对无理数取近似值，再借助近似值在数轴上确定它们的大至位置即可．然后根据数轴上的数从左到右逐渐增大排列大小．
【详解】解：，，
如图所示：
∴
【基础题型八】实数的混合运算（计算题）
例题8（24-25七年级下·重庆开州·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)6(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式8-1】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查的是实数的混合运算，求解算术平方根，立方根，掌握以上运算的运算方法是解题的关键．
（1）先分别求解算术平方根与立方根，再合并即可得到答案；
（2）先化简算术平方根与绝对值，再合并同类即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)1
【分析】本题考查了实数的运算，涉及立方根和算术平方根的运算，化简绝对值等知识点，掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别化简绝对值，计算算术平方根和立方根，再进行加减计算；
（2）分别计算有理数的乘方，去括号，化简绝对值，再进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先根据算术平方根、实数的混合运算、立方根化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
【变式8-4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可．
【详解】解：原式
=．
【变式8-5】（24-25七年级下·北京海淀·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及求一个数的算术平方根，立方根，掌握运算法则是解题的关键．
分别化简绝对值，求一个数的算术平方根，立方根，再进行加减计算．
【详解】解：
【变式8-6】（24-25七年级下·北京大兴·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握去括号法则是解题的关键．本题首先进行括号展开运算，然后加减运算即可得出答案．
【详解】解：
．
【变式8-7】（24-25七年级下·天津·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先乘方，化简绝对值，再计算加减即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
【变式8-8】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)1(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算．
（1）先算乘方并化简绝对值，再算加减法即可；
（2）先开平方、立方，并算乘法，最后算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式8-9】（24-25七年级下·北京大兴·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数混合运算，解题的关键步骤包括：立方根符号的处理、平方根的非负性、绝对值的化简．本题首先分别处理每个根号和绝对值，再将结果相加即可得出答案．
【详解】解：
．
【变式8-10】（24-25七年级下·广东江门·期中）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握立方根定义，算术平方根定义是解题的关键．根据立方根定义，算术平方根定义，进行计算即可．
【详解】解：
．
【基础题型九】程序设计与实数综合应用
例题9（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【详解】解：当时：
输入8：，
输入2：，输出；
故；
故选B．
【变式9-1】（24-25七年级下·山东日照·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查流程图与实数的计算，理解流程图是解题的关键．根据流程图，列出算式进行计算即可．
【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得，
8是有理数，再取立方根得，
2是有理数，再取算术平方根得，
由于是无理数，
所以输出的值是．
故选：B．
【变式9-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了程序计算，算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根，无理数的计算与判定是解题的关键．根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可．
【详解】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出，
故选：A．
【变式9-3】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可．
【详解】解：根据程序第一步计算，
再次计算得，
是无理数，直接输出，
故选：C．
【变式9-4】（24-25七年级下·重庆开州·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出81的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可．
【详解】解：第一次输入81时，计算的结果为，是有理数
第二次输入9时，计算的结果为，是有理数
第二次输入3时，计算的结果为，是无理数，
∴输出的值是，
故答案为：．
【变式9-5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是一个数值转换器，当输入为8时，输出的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可．
【详解】解：第一次输入8时，是有理数，
第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为，
故答案为：．
【变式9-6】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为81时，则输出的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根，有理数无理数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：当输入的x的值为81时，
其算术平方根为9，它是有理数，返回继续运算，
9的算术平方根为3，它是有理数，返回继续运算，
3的算术平方根为，它是无理数，输出结果，
故答案为：．
【变式9-7】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图所示的是一个数值转换器．
当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 ．
【答案】100
【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据输出的结果可知第一次取算术平方根后的运算结果，再把这个运算结果平方即可得到答案．
【详解】解：∵经过两次取算术平方根运算，输出的y值为，
∴第一次输入取算术平方根运算的结果为
∴第一次输入的数为，输入的的值为100，
故答案为：100．
【变式9-8】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ．
【答案】 或或负数
【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．
（1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
（2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数．
【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为；
（2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值，
因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值，
故答案为：或或负数．
【基础题型十】实数的实际应用
例题10（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：）
【答案】13
【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为，
瓶子中小圆柱容积，
杯子的容积为，
则所需杯子个数为，
则一共需要13个这样的杯子.
【变式10-1】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为．
(1)分别求出排球场的长和宽；
(2)若排球场的左右两侧必须留出至少宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？
【答案】(1)宽为，长为(2)能按规定在这块空地上建一个排球场
【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够根据题意求出排球场的长和宽．
（1）先设排球场的宽为，则长为，列出方程求得排球场的长和宽；
（2）求出正方形空地的边长，再结合题意即可判断能否按规定在这块空地上建排球场了．
【详解】（1）解：设排球场的宽为，则长为，
则，即，
解得：（负值已舍去），即，
排球场的宽为，长为；
（2）解：能按规定在这块空地上建一个排球场，理由如下：
正方形空地的面积为，
正方形空地的边长为，
排球场的左右两侧必须留出至少宽的空地，
，
，
能按规定在这块空地上建一个排球场．
【变式10-2】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）某小区有一个的长方形场地，且长和宽之比为3：2．
(1)求这个长方形场地的长和宽分别是多少m？
(2)小区准备把这个长方形场地用实木棚栏围起来．小区原有可以围成的正方形场地的实木栅栏未使用，那么这些实木栅栏是否够用？并说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)这个长方形场地的长为，宽为
(2)这些实木栅栏够用，理由见解析
【分析】本题主要考查了算术平方根，正方形和长方形的面积、周长，根据题意设出合适未知数，依据相等关系列出方程，是解题的关键．
（1）设这个长方形场地宽为，则长为，根据面积为，列式进行计算即可得到答案；
（2）先求出正方形的边长，再求出正方形、长方形的周长，进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设这个长方形场地宽为，则长为，
由题意有：，
解得：，
表示长度，
，
，
，
答：这个长方形场地的长为，宽为；
（2）解：正方形棚栏的面积为，
正方形棚栏的边长为：，
正方形棚栏的周长为：，
这个长方形场地的周长为：，
，
，
这些实木棚栏够用．
【变式10-3】（24-25七年级下·北京大兴·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明．
【答案】小兴同学的想法不可行，理由见解析．
【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行．
【详解】解：设长方形的长为厘米，则宽为厘米，
由题意得：，
解得：或 (舍去)，
长方形的宽为，
，
又，半径为的圆形画纸其直径为，
不能裁出半径为的圆形画纸，小兴同学的想法不可行．
【变式10-4】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：s）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位）
【答案】
【分析】本题考查求代数式的值，把代入代数式，计算即可．
【详解】解：当时，，
即．
答：当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是秒．
【变式10-5】（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为．
(1)求长方形相框的长和宽．
(2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明．
【答案】(1)长方形相框的长为，宽为．
(2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长．
（1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可；
（2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可．
【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为，
由题意得，
，
．
答：长方形相框的长为，宽为．
（2）解；面积为的正方形拼图的边长是，
，
，
，即相框的宽小于正方形拼图的边长，
小明不能将拼图放入这个相框中．
【变式10-6】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，小华用两个面积为小正方形拼成一个大的正方形．
(1)大正方形的边长为___________cm；
(2)若小华手中有一张面积为圆形纸片，则这张圆形纸片___________（“能”或“不能”）完全覆盖拼成的大正方形；
(3)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为
【答案】(1)(2)能3)无法裁出这样的长方形，见解析
【分析】本题考查正方形、圆、长方形的面积公式以及算术平方根的应用，解题的关键是根据不同图形的面积公式求出相应的边长、半径等关键量，并进行比较和计算．
（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）由圆面积公式求出半径，进而得到直径，与大正方形边长比较判断能否覆盖；
（3）先求出长方形的长，再再与大正方形边长比较判断能否剪出．
【详解】（1）解： 由题意得，大正方形的面积为，
边长为：；
（2）解：能；
理由：设圆的半径为，
，
圆的直径为30，
小正方形的面积为，
小正方形的边长为，
大正方形的对角线长为，
，
这个圆能完全覆盖拼成的大正方形；
（3）解：根据题意设长方形长为，宽为，
由题意得：，则，
，
，
长为，
，
无法裁出这样的长方形．
【变式10-7】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形．
(1)则大正方形的边长是_________；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（参考数据：）
【答案】(1)4(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的实际应用：
（1）求出大正方形的面积，再开方求出边长即可；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，求出长方形的长和宽，与正方形的边长进行比较即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为，
∴大正方形的边长：；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：（负值已舍掉），
，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
【变式10-8】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）（1）如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积，则每块正方形基地的边长为______．
（2）计划在厂房的东边围一个面积为的长方形基地，做仓库存放设备，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为5：2．若可以围成，请通过计算设计出方案，若不能围成，请通过 计算说明理由．
【答案】（1）；（2）当与厂房共一面墙的长度为时，可以围成的长方形基地
【分析】本题考查由平方根运算列方程解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键．
（1）根据题意，设正方形的边长为，则由长方形面积公式得到，由平方根运算解方程即可得到答案；
（2）根据题意，分类讨论，由长方形面积公式列方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意，设正方形的边长为，
则，
，
解得或（边长不能为负值，舍去），
每块正方形基地的边长为，
故答案为：；
（2）由（1）知正方形基地的边长为，
设长方形基地与厂房共一面墙的长度为，则另一边长为，
，
则，
解得或（边长不能为负值，舍去），
，
当与厂房共一面墙的长度为时，可以围成的长方形基地；
设长方形基地与厂房共一面墙的长度为，则另一边长为，
，
则，
解得或（边长不能为负值，舍去），
，
当与厂房共一面墙的长度为时，不能围成的长方形基地；
综上所述，当与厂房共一面墙的长度为时，可以围成的长方形基地．
【变式10-9】（24-25七年级下·天津南开·期中）在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
(1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）；
(2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？
(3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由．
【答案】(1)；；(2)长：，宽(3)总预算5100元不够；理由见解析
【分析】本题主要考查了平移的性质，算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质．
（1）根据长方形面积公式进行解答即可；
（2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可；
（3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：；；
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则：
，
（负值舍负），
长方形场地的长，
长方形场地的宽．
（3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，
则，
（负值舍去），
长方形场地的宽，
长方形场地的长，
则两条小路的总面积为：，
将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元，
∵
，
∴
∴
∴
答：总预算5100元不够．
【变式10-10】（24-25七年级下·福建龙岩·期中）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示运动物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒）．
探究太空探测器的动能：“天问一号”火星探测器质量为5000千克，进入火星轨道时速度为4000米/秒．科学家计划通过减速将其动能减少到焦耳以调整轨道．（参考数据：，，，．）
(1)求探测器进入火星轨道时的动能；（结果用科学记数法表示．）
(2)减速后的速度应降至约多少米/秒？
【答案】(1)焦耳(2)2828米/秒
【分析】本题考查了算术平方根的应用，科学记数法．
（1）将相关数据代入求解，结果用科学记数法表示即可；
（2）根据公式，列得方程，据此求解即可．
【详解】（1）解：（焦耳）；
∴探测器进入火星轨道时的动能为焦耳；
（2）解：由题意得：，
解得：（米/秒），
∴减速后的速度应降至约2828米/秒．
【培优题型十一】实数中新定义类题型
例题11（2025年湖南省怀化市初中学业水平考试模拟数学试卷）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，规定，，，
∴，
∵记为与的距离，为与的距离，
∴，
∴，
∴
∴，
则，
解得，，
则
∴
故选：A．
【变式11-1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：
①对进行“差绝对值运算”的结果是8；
②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查绝对值计算，定义新运算问题，实数计算等．根据题意将代入题中式子计算即可判断①的结论正确；对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，再由绝对值几何意义得到的最小值为6，即可判断②的结论不正确；对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，再根据绝对值几何意义即可得到本题答案．
【详解】解：对进行“差绝对值运算”的结果是，
①的结论正确；
对x，2，5进行“差绝对值运算”得到，
由绝对值的几何意义知，当时，取得最小值为3，
的最小值为6，
②的结论不正确；
对a，b，c进行“差绝对值运算”得到，
而利用绝对值的意义去绝对值后，的不同表达式一共有7种，
，，，，，，0，
③的结论不正确，
以上说法中正确的个数为1个．
故选：B．
【变式11-2】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作：
这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ）
①对130进行两次操作后的结果为3；
②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1；
③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】此题考查了新定义，无理数的估算大小的应用，主要考查学生理解能力与计算能力．先整理，结合新定义，再估算出，则，据此可判断①；结合正整数的概念以及新定义的运算法则，得出对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，据此可判断②；设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s，因为，故，同理得到的范围，进而得到的范围，据此可判断③．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
设n为一个正整数，则，即，
∴对一个正整数一直进行操作，最终得到的结果是1，故②正确；
设经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为m，经过第三次操作后的数为s，
∵正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，
∴正整数进行4次操作后变为1，
∴，
∴．
∴，
∴
∴．
∴，
同理可得，
∴
∵是正整数．
∴的最大值为65535．故③不正确；
故选：B。
【变式11-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）对于任意正实数，均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．若，，则
C．若，，则的值为6或7
D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的运算，属于新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．根据表示不超过的最大整数，称为的小数部分，逐一选项进行判断即可．
【详解】解：A、由题意得，故本选项正确，不符合题意；
B、若，，
，
，
，
则，故本选项正确，不符合题意；
C、若，，
，，
，
，
的值为6或7，故本选项正确，不符合题意；
D、若，，则，
，
，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【变式11-4】（重庆市重庆市大足区2024-2025学年九年级下学期4月期末数学试题）若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“升数”．例如是“升数”；例如不是“升数”．则最小的“升数”是 ．若“升数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，并规定：，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“升数”N的最大值是 ．
【答案】 300 854
【分析】本题主要考查了新定义，要使“升数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小，据此确定十位的数字，从而确定百位的数字，再保证个位数字为0即可得到最小的“升数”；先求出，，再根据题意得到和都是整数，据此可得或或，或或，求出c的值，进而确定a的值即可得到答案．
【详解】解：要使“升数”最小，首先要保证百位数字最小，则十位数字要最小，
∵十位数字最小为0，
∴百位数字最小为3，
∴当百位数字为3，十位数字为0，且个位数字为0时，此时有最小的“升数”，即最小的“升数”为300；
由题意可知：，
∵，
∴，，
∵是整数，且是整数，
∴或或，或或，
∴或或，
∴当时， ；
当时，或；
当时，；
∴当，时，N最大，最大为854，
故答案为：300；854．
【变式11-5】（24-25八年级下·重庆·期中）若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，，则称这个四位数为“海纳百川数”，例如：四位数9527，因为，所以9527不是“海纳百川数”；又如：四位数4326，因为，，所以4326是“海纳百川数”．若是最小的“海纳百川数”，则这个数为 ，若是“海纳百川数”，将的千位去掉，再将百位与十位数字对调后，得到一个三位数记为，记，，若能被3整除，则满足条件的的最大值为 ．
【答案】 2135
【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用．
根据“海纳百川数”的定义可得，，即，，再根据确定的最小值及d的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“海纳百川数”的定义，得出，再由能被3整除可知能被3整除，理一步计算即可得到的最大值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是最小的“海纳百川数”，
∴，，
∵且四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴的最小值为3，则，
∴最小的“海纳百川数”为2135；
由题意得，，
∴，
∵能被3整除，
∴能被3整除，
∵一定能被3整除，
∴能被3整除，即能被3整除，
∴或6或9，
即的值为2或5或8，
当时，，组合为，或，，
∴或；
当时，，
组合为，或，或，或，，
∴或或或；
当时，，
组合为，或，或，或，，
∴或或或；
综上，满足条件的的最大值为，且，
故答案为：2135；．
【变式11-6】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
【答案】256
【分析】本题考查实数的运算、估计无理数的大小、实数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
从后往前推导，根据的定义，先确定最后一次操作结果为时前一次操作结果的最大值，再依次类推，求出第一次操作前的最大值．
【详解】根据例题操作可知：
要使最大，最后一次操作，这里p是第二次操作的结果．因为，
根据定义可知，两边同时平方可得，
所以p最大取．
对于第二次操作，设第一次操作的结果为，此时，
根据定义，两边同时平方得到，
所以最大取16．
对于第一次操作，设经过第一次操作后变为，此时，根据定义，两边同时平方可得，
所以最大为256．
验证：
对256进行如下操作：
∴如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；
故答案为：256．
【变式11-7】（2025·福建龙岩·一模）若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数．
(1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）；
(2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数；
(3)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除．
【答案】(1)不是(2)或；(3)见详解
【分析】本题考查了新定义，整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“和谐四位数”的定义对3122进行分析，即可作答．
（2）先根据以及千位数字为1，十位数字为9，得出，结合，且为整数，得，且为整数，则或，即可作答．
（3）先理解得，，则，根据为整数，且，故一定能被101整除．
【详解】（1）解：∵四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”，且，
∴3122不是和谐四位数；
故答案为：不是
（2）解：设这个和谐四位数为，即，
∵一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，
即，
∴，
∴
∵，且为整数，
∴，且为整数，
∴当时，则，
此时这个和谐四位数为；
∴当时，则，
此时这个和谐四位数为；
综上：这个和谐四位数为或；
（3）解：∵是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，
∴，，
则，
，
∵，
∴
，
∵为整数，且，
∴一定能被101整除．
【变式11-8】（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【知识运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对_______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】本题考查了新定义运算，涉及立方根和算术平方根的概念理解，理解新定义是解题的关键．
（）根据新定义运算解答即可求解；
（）先得到，，再根据新定义即可求解；
（）根据新定义，分两种情况解答即可求解；
【详解】（1）解：，，
∴数对的开方对称数对，；
（2）解：∵，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”，
∴，
∵数对的一个开方对称数对是，
∴，；
（3）解：若，，
则，，
∴；
若，，
则，，
∴；
的值为或．
【变式11-9】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有______：（填序号）
①；②；③；④．
(2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为______；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键．
（1）根据对称式的定义对各式进行判断即可；
（2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，求解即可；
（3）把代入，求出的值，即可求解．
【详解】（1）解：①，交换后为，结果不变，是对称式，故①符合题意；
②，交换任意字母后指数和不变，是对称式，故②符合题意；
③，交换字母后指数积不变，是对称式，故③符合题意；
④，交换字母后为，结果不同，不是对称式，故④不符合题意；
故答案为：；
（2）解：，
交换的位置为：
，
∵关于m，n的代数式为对称式，
∴，
∴，，
解得：；
（3）解：将代入得：
，
整理得：，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【变式11-10】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【数学材料】
“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底．
【初步运用】
（1）请把下列算式改写成对数的形式：
，对数的形式为______；，对数的形式为______；
（2）若，则______；，则______；
【理解应用】
（3）若，若，求的值．
【问题解决】
（4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值．
【答案】（1），；（2）3，；（3）当，时，，当，时，；（4）的值为
【分析】本题考查定义新运算，立方根，算术平方根的化简；
（1）根据对数的定义求解即可；
（2）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可；
（3）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可；
（4）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式，再结合数轴化简算术平方根即可．
【详解】解：（1）∵，
∴对数的形式为；
∵，
∴对数的形式为；
故答案为：，；
（2）若，则，解得；
若，则，解得（负数舍去），
故答案为：3，；
（3）∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
当，时，，；
当，时，，；
（4）∵，
∴，，，，
∴，
∵由图形可得，
∴
．
【培优题型十二】实数中相关找规律题型
例题12（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
．
【答案】A
【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根，
前行的数据个数为，
∴第n（n是整数，且）行从左向右数第个数为，
故选：A
【变式12-1】（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
……，
以此类推可知，，
∴，
∴，
∴原式
，
故选：C．
【变式12-2】（23-24九年级下·重庆·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，，，
∴，故①正确；
∵
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，
故②正确；
由①②可得分别是以3和6为周期的数列，
当为奇数时：
，
，
∴，
当为偶数时：
，
，
∴，
故③正确；
故选：D．
【变式12-3】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律：
；
；
；
……
【实践探究】
（1）计算：______，______；
（2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）；
【迁移应用】
（3）计算：．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键．
（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用式子的规律解答即可；
（3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可．
【详解】解：（1），；
故答案为：，；
（2）由（1）得：；
故答案为：
（3）
【变式12-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)请写出第④个等式：_________；
(2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示）
(3)根据上述规律计算：
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了数字的变化规律，掌握题干规律是解答本题的关键．
（1）观察所给的几个等式直接写出第④个等式即可；
（2）观察所给的几个等式的规律直接写出第n个等式即可；
（3）根据（2）中规律化简即可．
【详解】（1）解：∵①；②；③
根据以上规律可得第④个等式是：．
（2）解：根据以上规律可得第n个等式是：．
（3）解：
．
【变式12-5】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）设 ，，，
(1) ；
(2)，，…，
则 ；
(3)求 的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了与实数运算相关的规律题，关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
（1）观察题中的几个计算结果，即可求解；
（2）观察题中的几个计算结果，即可求解；
（3）根据（2）中的规律解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：∵，，…，
∴，
故答案为：；
（3）解：可得，
∴
．
【变式12-6】（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②-①得，
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1) ；
(2) ；
(3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）．
【答案】(1)(2)
(3)当时，；当时，；见解析
【分析】此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键．
（1）设式子等于S，将方程两边都乘以2后进行计算即可；
（2）设式子等于S，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案；
（3）设式子等于S，将方程两边都乘以a后进行计算即可.
【详解】（1）解：令， 则，
得，，
解得：．
（2）解：令，则，
得，，
解得：．
（3）解：当时，；
当时，令，则，
得，，
∴．
综上所述：当时，；
当时，．
1．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）在实数，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据实数的大小比较法则进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
故选：A．
2．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查立方根、算术平方根，熟练掌握求一个数的立方根与算术平方根是解题的关键；因此此题可根据运算程序图可直接代入进行求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴2的算术平方根为；
∴输出的y值是；
故选B．
3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列四个选项中正确的是（ ）
A．是无理数 B．0没有平方根
C． D．的绝对值是
【答案】D
【分析】本题考查了立方根，算术平方根的化简，实数的性质，掌握立方根，算术平方根的计算，无理数的概念及识别是关键．
根据立方根，算术平方根的性质化简，再根据无理数的概念识别即可．
【详解】解：A. 是有理数，故该选项不正确，不符合题意；
B. 0的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 的绝对值是，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4．（24-25七年级下·北京·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．实数与数轴上的点一一对应
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D．如果，，那么
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线的性质、判定、平行公理是解此题的关键．
根据平行线的性质、判定、平行公理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原选项是假命题，不符合题意；
B. 实数与数轴上的点一一对应，是真命题，符合题意；
C. 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，原选项是假命题，不符合题意；
D. 如果，，则不能判断 的大小，原选项是假命题，不符合题意；
故选：B．
5．（23-24七年级下·四川南充·期中）估算在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9
【答案】B
【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．
【详解】解：∵
∴，
∴，
故选B．
6．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查了实数的运算，代数式求值，等式的性质，根据题意逐项分析判定，即可求解．
【详解】解：A. 若，则，故A正确，不合题意；
B. 若，则，
∵
∴，即，故B正确，不合题意；
C.∵，
∴
若，则
∴，故C正确，不合题意
D.根据C可得， 若，则
∴
∵
∴
∴，即所以D选项不正确，符合题意．
故选：D．
7．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，结合数轴即可得解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴数轴上表示的点可能是点，
故选：C．
8．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的估算，根据题意可求出大正方形的面积，进而可求出大正方形的边长，再根据无理数的估算方法估算出大正方的边长的范围即可得到答案．
【详解】解：由题意得，大正方形的面积为，
∴大正方形的边长为，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是6，
故选：C．
9．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例如：当，，当时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，实数大小比较，根据新定义得当时，在，，x中最小，即，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴当时，在，，x中最小，即，
∴．
故选：D．
10．（24-25七年级下·云南昆明·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据可得求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ．
【答案】9
【分析】本题考查实数的运算，根据新定义列式计算即可．
【详解】解：∵对于任意实数，，都有，
∴
，
故答案为：9．
12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如果，那么叫做的平方根，如果，那么叫做的4次方根．如果，那么16的4次方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，平方根．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
结合，利用四次方根的定义，求解即可．
【详解】解：∵
∴16的4次方根是
故答案为：．
13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于、、、四个实数定义新运算：，若，，，，，则 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用平方根解方程，理解新定义运算法则是解题关键．根据新定义运算列方程，整理后利用平方根求解即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
解得：或，
故答案为：3或．
14．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根，算术平方根化简即可得出答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
15．（24-25七年级下·四川凉山·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算求出a的值，再根据无理数的估算求出b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∴．
故答案为：．
16．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分；
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，则的算术平方根．
【答案】(1)，，(2)
【分析】本题考查平方根，立方根和无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键；
（1）根据平方根和立方根的定义和无理数的估算方法，进行求解即可；
（2）先求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴；
（2）∵x是的小数部分，
∴，
∴，
3的算术平方根为，
即的算术平方根为．
17．（24-25七年级下·山东德州·期中）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根解方程，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘法、化简绝对值，再计算加减即可；
（2）方程整理得到，直接开平方得到，进而求解，即可解题．
【详解】解：（1）
；
（2）
整理得：，
直接开平方得：，
解得：或．
18．（24-25七年级下·陕西延安·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”号把它们连接起来．
【答案】见解析，
【分析】本题考查了数轴上的有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根．
将各数化简后在数轴上表示出来，再将各数用连接起来即可，掌握数轴上的数右边的大于左边的是解答本题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴各数在数轴上表示如下：
由数轴可知，．
19．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)直接写出a，b，m的值；
(2)求的平方根；
(3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值．
【答案】(1)，，；(2)；(3)．
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义即可求解；
（2）根据平方根的定义即可求解；
（3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身，
∴，
∵的立方根是3，
∴，
解得：，
∵的算术平方根是4，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是；
（3）解：∵，，
∴，
∵，即，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴．
20．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为．
(1)_____．
(2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪．
【答案】(1)(2)；；能
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案；
（2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，
∴；
（2）解：由（1）可得，点B表示的数为，
∵点所表示的数为5，
∴；
∵的速度是1个单位长度/秒，
∴从到达时的运动时间为秒，
∴运动的路程是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴能逃脱的魔爪
21．（24-25七年级下·吉林·期中）创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了震惊世界的具有超强创新能力的智能机器人、，其创始人分别为王兴兴、梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小智猜想出了一个新的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积可能存在相等关系？小智用自己的方法进行了验证：，而，，
∴，即．
请你根据小智的猜想，解答下列问题．
(1)比较大小：_____（填“”“”或“”）．
(2)当，时，直接写出和之间关系．
(3)运用（）的结论，计算：
．
已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
(4)直接写出的值．
【答案】(1)；(2)或；
(3)；这个长方形的面积为；(4)．
【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．
（）分别计算，然后比较即可；
（）根据题例即可求解；
（）由（）式子即可求解；
利用即可求解；
（）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：或；
（3）解：
；
这个长方形的面积
；
（4）解：
．
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【精准提分】专题07 实数及其简便运算（人教2024）
【10个基础题型+2个培优题型】
【基础题型一】判断是否为无理数 1
【基础题型二】对无理数进行估算 2
【基础题型三】无理数整数部分和小数部分相关计算（选填） 4
【基础题型四】利用实数的定义进行分类 4
【基础题型五】实数的性质相关求解 7
【基础题型六】实数与数轴综合应用 8
【基础题型七】实数比较小的相关计算 11
【基础题型八】实数的混合运算（计算题） 12
【基础题型九】程序设计与实数综合应用 14
【基础题型十】实数的实际应用 15
【培优题型十一】实数中新定义类题型 19
【培优题型十二】实数中相关找规律题型 23
【基础题型一】判断是否为无理数
例题1（24-25七年级下·云南昆明·期中）下列实数是无理数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）下面选项所给数中是无理数的是（ ）
A． B．2025 C． D．
【变式1-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）在实数，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（24-25七年级下·河南信阳·期中）在下列各数：，，，，，，，（每个之间依次多一个）中，无理数的个数（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1-4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）实数：，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-5】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在，，，，2025这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-6】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）下列实数：，0，，，其中无理数为（ ）
A． B．0 C． D．
【变式1-7】（24-25七年级下·北京·期中）下列实数，，0.101001000100001……（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-8】（24-25七年级下·广东惠州·期中）在实数，，，0，，，（相邻两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【基础题型二】对无理数进行估算
例题2（24-25七年级下·重庆·期中）估计的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【变式2-1】（24-25八年级下·重庆綦江·期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间
C．2和3之间 D．3和4之间
【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若整数满足，则等于（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【变式2-3】（24-25七年级下·广西玉林·期中）介于两个连续的整数与之间，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-4】（24-25七年级下·四川南充·期中）若正整数a、b分别满足，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【变式2-5】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）已知，m为整数，且，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-6】（2025·辽宁辽阳·一模）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
【变式2-7】（24-25七年级下·山东济宁·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ）
A．4－ B．－ C． D．4
【变式2-8】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）介于与之间的整数是 ．
【变式2-9】（2025·河南·一模）若，则整数m的值为 ．
【变式2-10】（24-25七年级下·四川广安·期中）已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是 ．
【基础题型三】无理数整数部分和小数部分相关计算（选填）
例题3（24-25七年级下·吉林·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ．
【变式3-1】（24-25七年级下·天津·期中）若为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ．
【变式3-2】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）已知正数m的两个不同的平方根为和，是n的立方根，p是的整数部分，求的值为 ．
【变式3-3】（2025·山东聊城·二模）已知是的整数部分，是的小数部分，则的值为 ．
【变式3-4】（24-25七年级下·广东汕头·期中）若为整数，且，是的小数部分，则 ．
【变式3-5】（24-25七年级上·山东泰安·期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为 ．
【变式3-6】（24-25八年级上·河南洛阳·期末）对于一个无理数，我们把不超过的最大整数叫做的整数部分，把减去整数部分的差叫做的小数部分．设，是的小数部分，是的小数部分，则的值为 ．
【变式3-7】（23-24八年级上·陕西西安·期中）若a是的整数部分，b是的小数部分．则的平方根是 ．
【基础题型四】利用实数的定义进行分类
例题4（24-25七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，．
整数集合：{ …}
负有理数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
【变式4-1】（24-25七年级下·河南许昌·期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：，，，206，0，，，，
正分数集合｛ …｝
负有理数集合｛ …｝
无理数集合｛ …｝
【变式4-2】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里．
，…．
(1)正实数：{ ，…}；
(2)负实数：{ ，…}；
(3)有理数：{ ，…}；
(4)无理数：{ ，…}．
【变式4-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①，②，③，④，⑤．
(1)整数集合{ …}；
(2)分数集合{ …}；
(3)无理数集合{ …}；
【变式4-4】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①，②0，③，④，⑤．
(1)整数集合{ ……}；
(2)分数集合{ ……}；
(3)无理数集合{ ……}．
【变式4-5】（24-25七年级下·吉林·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧．
整数 { ．．．}；
分数 { ．．．}；
无理数 { ．．．}．
【变式4-6】（24-25七年级下·河南商丘·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内．
①，②，③0.31，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧0．
整数：;
非负实数：;
无理数：;
【变式4-7】（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数．① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
（2）“*”表示一种新运算，它的意义是，在（1）的条件下，求：．
【变式4-8】（24-25七年级下·云南昆明·期中）将下列各数，，，，0，，填在相应的大括号内.
整数：{ …}；
负分数：{ …}；
无理数：{ …}.
【基础题型五】实数的性质相关求解
例题5（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是的数是5 B．的相反数是
C．的绝对值是 D．的相反数是
【变式5-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题是正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式5-2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式5-4】（24-25七年级下·陕西安康·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．互补的角是邻补角
B．若实数a，b满足，则
C．若实数a，b满足，则，
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【变式5-5】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）列说法①的相反数是；②相等的角叫对顶角；③若，则；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤立方等于它本身的数有0和；⑥在同一平面内，不重合的两条直线位置关系只有两种：平行或相交，其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式5-6】（24-25七年级下·天津·期中）（1）的相反数是 ，（2） ．
【变式5-7】（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）实数，互为相反数，，互为倒数，x的绝对值为，式子的值是 ．
【变式5-8】（24-25七年级下·四川南充·期中）设、是有理数，且满足等式则 ．
【基础题型六】实数与数轴综合应用
例题6（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，数轴上有，，，四个点，则下列说法正确的是（ ）
A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是
C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是
【变式6-1】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式6-3】（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（24-25七年级下·北京·期中）如图，以单位长度为边长画一个正方形，正方形的两个顶点在数轴上，分别表示数1和2，以表示数1的顶点为圆心，以正方形的对角线为半径画弧，分别交数轴于点，，设点，表示的数为，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．表示数的点在线段上
C．是无理数 D．是有理数
【变式6-5】（2024·北京石景山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-6】（24-25七年级下·广东珠海·期中）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周点A到达了点B的位置，则线段的中点表示的数是 ．
【变式6-7】（24-25七年级下·广东广州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E表示的数为 ．
【变式6-8】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．以点A为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作E，则点E所表示的数为 ．
【变式6-9】（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ．
【变式6-10】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点表示，设点所表示的数为．
(1)的值是_________；
(2)求的值；
(3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【变式6-11】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）实数在数轴上对应的位置如图所示，化简：．
【变式6-12】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，周长为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点：
(1)那么点对应的数是______________；
(2)从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，利用以上知识，比较和的大小，并说明理由．
【变式6-13】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，数轴上存在一个由4个相同的小正方形组成的大正方形，这个大正方形的面积为4．
(1)该图形中阴影部分为正方形，则阴影部分的面积为 ，正方形的边长为 ；
(2)请在数轴上表示下列各数：，，；
(3)请比较（2）中三个数的大小，并用“<”号将它们连接起来．
【变式6-14】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示．化简：．
【基础题型七】实数比较小的相关计算
例题7（24-25八年级下·广西贺州·期中）设，，则x，y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式7-1】（24-25七年级下·四川广安·期中）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知实数满足，记，若，则的值一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【变式7-3】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）比较大小： （填、或）
【变式7-4】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）比较大小：2 ， （填“”或“”或“”）．
【变式7-5】（24-25七年级下·福建南平·期中）比较实数的大小 3， ．（填“”或“”或“”）
【变式7-6】（24-25七年级下·山东滨州·期中） ， ， ．（填“”“”或“”）
【变式7-7】（24-25七年级下·广东广州·期中）在低温实验中，甲设备的温度下限是，乙设备的温度下限是．实验人员要知晓哪个设备能达到更低的温度，以便选择合适设备开展对低温要求严苛的实验项目，试比较： ．（填“”，“ ”或“”）
【变式7-8】（24-25七年级下·天津滨海新·期中）比较大小： ； ； ．（填“”、“”或“”）．
【变式7-9】（24-25九年级下·江苏南京·期中）若，则a，，的大小关系是 ．
【变式7-10】（24-25七年级下·天津河西·期中）比较下列各组数的大小，用“>”，“<”或“=”连接：
(1)______；
(2)______；
(3)1______．
【变式7-11】（24-25七年级下·陕西西安·期中）将下列各数近似的表示在数轴上，并用“”把它们连接起来．
，，，．
【基础题型八】实数的混合运算（计算题）
例题8（24-25七年级下·重庆开州·期中）计算：
(1)
(2)
【变式8-1】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）计算：
(1)
(2)
【变式8-2】（24-25七年级下·甘肃庆阳·期中）计算：
(1)；
(2)
【变式8-3】（24-25七年级下·陕西延安·期中）计算：．
【变式8-4】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）计算：
【变式8-5】（24-25七年级下·北京海淀·期中）计算：．
【变式8-6】（24-25七年级下·北京大兴·期中）计算：．
【变式8-7】（24-25七年级下·天津·期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式8-8】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算
(1)；
(2)．
【变式8-9】（24-25七年级下·北京大兴·期中）计算：．
【变式8-10】（24-25七年级下·广东江门·期中）计算：．
【基础题型九】程序设计与实数综合应用
例题9（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
【变式9-1】（24-25七年级下·山东日照·期中）在如图所示的运算程序中，当输入的值是64时，输出的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式9-2】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式9-3】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（ ）
A．3 B． C． D．
【变式9-4】（24-25七年级下·重庆开州·期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的值为81时，输出的值是 ．
【变式9-5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是一个数值转换器，当输入为8时，输出的值是 ．
【变式9-6】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为81时，则输出的值是 ．
【变式9-7】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图所示的是一个数值转换器．
当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 ．
【变式9-8】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ．
【基础题型十】实数的实际应用
例题10（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：）
【变式10-1】（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为．
(1)分别求出排球场的长和宽；
(2)若排球场的左右两侧必须留出至少宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？
【变式10-2】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）某小区有一个的长方形场地，且长和宽之比为3：2．
(1)求这个长方形场地的长和宽分别是多少m？
(2)小区准备把这个长方形场地用实木棚栏围起来．小区原有可以围成的正方形场地的实木栅栏未使用，那么这些实木栅栏是否够用？并说明理由．（参考数据：）
【变式10-3】（24-25七年级下·北京大兴·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明．
【变式10-4】（24-25七年级下·吉林·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：s）与钟摆的长度（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位）
【变式10-5】（24-25七年级下·安徽池州·期中）为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为．
(1)求长方形相框的长和宽．
(2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明．
【变式10-6】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，小华用两个面积为小正方形拼成一个大的正方形．
(1)大正方形的边长为___________cm；
(2)若小华手中有一张面积为圆形纸片，则这张圆形纸片___________（“能”或“不能”）完全覆盖拼成的大正方形；
(3)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为
【变式10-7】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形．
(1)则大正方形的边长是_________；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（参考数据：）
【变式10-8】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）（1）如图，计划在空地上设计3块并排的正方形基地做厂房存放生产物资，基地总面积，则每块正方形基地的边长为______．
（2）计划在厂房的东边围一个面积为的长方形基地，做仓库存放设备，仓库一边靠在正方形的边上（计划与厂房共一面墙，且共用部分不超过正方形的边长，不考虑门窗），另外三边用材料围成，并且它的长与宽之比为5：2．若可以围成，请通过计算设计出方案，若不能围成，请通过 计算说明理由．
【变式10-9】（24-25七年级下·天津南开·期中）在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
(1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）；
(2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？
(3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由．
【变式10-10】（24-25七年级下·福建龙岩·期中）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能（单位：焦耳），表示运动物体的质量（单位：千克），表示物体的运动速度（单位：米/秒）．
探究太空探测器的动能：“天问一号”火星探测器质量为5000千克，进入火星轨道时速度为4000米/秒．科学家计划通过减速将其动能减少到焦耳以调整轨道．（参考数据：，，，．）
(1)求探测器进入火星轨道时的动能；（结果用科学记数法表示．）
(2)减速后的速度应降至约多少米/秒？
【培优题型十一】实数中新定义类题型
例题11（2025年湖南省怀化市初中学业水平考试模拟数学试卷）古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】（24-25八年级下·重庆渝北·期中）对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于1，2，3进行“差绝对值运算”，得到：
①对进行“差绝对值运算”的结果是8；
②x，2，5的“差绝对值运算”的最小值是3；
③a，b，c的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有8种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式11-2】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）对于任意实数x，可以用表示不超过x的最大整数，例如，若将x变换成称为对x进行一次操作．例如，现对38进行如下操作：
这样对38进行三次操作后变为1，现对一个正整数进行类似操作，下列说法正确的个数是（ ）
①对130进行两次操作后的结果为3；
②对一个正整数一直进行操作，最终结果都不小于1；
③若正整数x进行四次操作后结果不再发生变化，则x的最大值为65536
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式11-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）对于任意正实数，均能写成其整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．若，，则
C．若，，则的值为6或7
D．
【变式11-4】（重庆市重庆市大足区2024-2025学年九年级下学期4月期末数学试题）若一个三位正整数的百位数字比十位数字大3，则称这个数是“升数”．例如是“升数”；例如不是“升数”．则最小的“升数”是 ．若“升数”的百位数字、十位数字、个位数字依次为，并规定：，其中是整数，且也是整数，则满足以上条件的“升数”N的最大值是 ．
【变式11-5】（24-25八年级下·重庆·期中）若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，，则称这个四位数为“海纳百川数”，例如：四位数9527，因为，所以9527不是“海纳百川数”；又如：四位数4326，因为，，所以4326是“海纳百川数”．若是最小的“海纳百川数”，则这个数为 ，若是“海纳百川数”，将的千位去掉，再将百位与十位数字对调后，得到一个三位数记为，记，，若能被3整除，则满足条件的的最大值为 ．
【变式11-6】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ．
【变式11-7】（2025·福建龙岩·一模）若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数．
(1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）；
(2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数；
(3)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除．
【变式11-8】（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【知识运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对_______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【变式11-9】（24-25七年级下·福建漳州·期中）【概念学习】
一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式．
【特例感知】
代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式．
【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题：
(1)下列代数式中是对称式的有______：（填序号）
①；②；③；④．
(2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为______；
(3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值．
【变式11-10】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【数学材料】
“对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底．
【初步运用】
（1）请把下列算式改写成对数的形式：
，对数的形式为______；，对数的形式为______；
（2）若，则______；，则______；
【理解应用】
（3）若，若，求的值．
【问题解决】
（4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值．
【培优题型十二】实数中相关找规律题型
例题12（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
．
【变式12-1】（24-25八年级上·四川内江·期中）观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】（23-24九年级下·重庆·期中）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式12-3】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[问题情境]数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律：
；
；
；
……
【实践探究】
（1）计算：______，______；
（2）按照你所发现的规律，猜想：_________（n为正整数）；
【迁移应用】
（3）计算：．
【变式12-4】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；②；③
(1)请写出第④个等式：_________；
(2)猜想第n个等式：________；（用含n的式子表示）
(3)根据上述规律计算：
【变式12-5】（24-25七年级下·安徽安庆·期中）设 ，，，
(1) ；
(2)，，…，
则 ；
(3)求 的值．
【变式12-6】（24-25八年级上·江西赣州·期末）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②-①得，
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1) ；
(2) ；
(3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程）．
1．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）在实数，，，中最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（ ）
A． B． C．2 D．8
3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）下列四个选项中正确的是（ ）
A．是无理数 B．0没有平方根
C． D．的绝对值是
4．（24-25七年级下·北京·期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．实数与数轴上的点一一对应
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D．如果，，那么
5．（23-24七年级下·四川南充·期中）估算在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9
6．（2025·安徽芜湖·二模）已知实数a，b，c满足，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（24-25七年级下·北京大兴·期中）如图，数轴上表示的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，用边长均为4的两个小正方形剪拼成一个面积为32的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知表示取三个数中最小的那个数，例如：当，，当时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级下·云南昆明·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”）
11．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）定义一种运算：对于任意实数，，都有，则的值是 ．
12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如果，那么叫做的平方根，如果，那么叫做的4次方根．如果，那么16的4次方根是 ．
13．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于、、、四个实数定义新运算：，若，，，，，则 ．
14．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）计算： ．
15．（24-25七年级下·四川凉山·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分，则 ．
16．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分；
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，则的算术平方根．
17．（24-25七年级下·山东德州·期中）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（24-25七年级下·陕西延安·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”号把它们连接起来．
19．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4．
(1)直接写出a，b，m的值；
(2)求的平方根；
(3)若的整数部分是x，小数部分是y，计算的值．
20．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为．
(1)_____．
(2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪．
21．（24-25七年级下·吉林·期中）创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了震惊世界的具有超强创新能力的智能机器人、，其创始人分别为王兴兴、梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小智猜想出了一个新的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积可能存在相等关系？小智用自己的方法进行了验证：，而，，
∴，即．
请你根据小智的猜想，解答下列问题．
(1)比较大小：_____（填“”“”或“”）．
(2)当，时，直接写出和之间关系．
(3)运用（）的结论，计算：
．
已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
(4)直接写出的值．
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