【精准提分】专题06 平方根和立方根中相关求解（9个基础题型+2个培优题型）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教2024版）（原卷+解析版）

【精准提分】专题06 平方根和立方根中相关求解（人教2024） 【9个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】平方根和立方根定义判断等式是否成立 1 【基础题型二】根据平方根和立方根的概念判断 4 【基础题型三】求一个数的平方根或立方根 9 【基础题型四】已知一个数的平方根或立方根求代数式的值 11 【基础题型五】平方根和立方根的实际应用 16 【基础题型六】平方根和立方根的综合计算 22 【基础题型七】利用平方根的非负性求解 28 【基础题型八】与平方根或立方根有关的规律类题型（选填题） 34 【基础题型九】平方根和立方根的综合应用 37 【培优题型十】平方根和立方根综合之新定义类题型 41 【培优题型十一】算术平方根中规律探索类题型 48 【基础题型一】平方根和立方根定义判断等式是否成立 例题1（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算错误，故A不符合题意； B、，原式计算正确，故B符合题意； C、，原式计算错误，故C不符合题意； D、，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 【变式1-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，根据算术平方根的定义，立方根的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】（24-25七年级下·北京大兴·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的运算规则．本题的关键在于掌握平方根、立方根的运算规则及符号处理．平方根需考虑正负，立方根保留原数符号．通过逐项验证，可快速筛选出正确选项． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-4】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根及立方根的概念，主要考查学生的计算能力．根据平方根、算术平方根及立方根的定义求出每个式子的结果，再判断即可． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 【变式1-5】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算平方根，立方根，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，但，则，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1-6】（24-25七年级下·天津·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的定义，解题的关键在掌握算术平方根和平方根的区别和联系． 根据立方根、算术平方根的定义进行作答即可． 【详解】解：A． ，选项正确；     B． ，选项错误；     C． ，选项错误；     D． ，选项错误． 故选：A． 【变式1-7】（24-25七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根等知识点，正确理解相关定义是解题的关键．根据立方根、算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A.，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 【基础题型二】根据平方根和立方根的概念判断 例题2（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的算术平方根是9．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①是4的平方根，故原说法正确； ②16的平方根是，故原说法错误； ③没有平方根，故原说法错误； ④0.25的算术平方根是0.5，故原说法正确； ⑤的立方根是，故原说法错误； ⑥的算术平方根是，故原说法错误． 综上可知，正确的说法是①④，共2个， 故选：B 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、平方根以及算术平方根的定义；熟练掌握开方与平方、立方的互逆关系是解决问题的关键．关键平方根、算术平方根和立方根的定义分别求出结果，即可得出结论． 【详解】解：∵4的平方根是，∴A不正确； ∵没有平方根，∴B正确； ∵，3的算术平方根是；∴C不正确； ∵8的立方根是．∴D不正确； 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）下列说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．没有立方根 C．的平方根是 D．没有算术平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，熟练掌握求一个数的平方根、立方根及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及算术平方根进行排除选项． 【详解】解：A、0的平方根是0，原说法错误，故不符合题意； B、的立方根是，原说法错误，故不符合题意； C、，9的平方根是；原说法正确，故符合题意； D、，49的算术平方根是7，原说法错误，故不符合题意； 故选C． 【变式2-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列说法错误的是（   ） A．的立方根是 B．5是25的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根和平方根，掌握立方根和平方根的定义是解题关键．根据立方根和平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、的立方根是，原说法正确，不符合题意； B、5是25的一个平方根，原说法正确，不符合题意； C、的平方根是，原说法正确，不符合题意； D、，的平方根是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-4】（24-25七年级下·山东日照·期中）下列说法正确的是（    ） A． B．是的平方根 C．的算术平方根是7 D．存在立方根和平方根相等的数 【答案】D 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据立方根，平方根，算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、是的平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、0的立方根和平方根相等，原说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2-5】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列说法中正确的个数是（   ） ①的算术平方根是3；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和的立方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根，平方根和立方根的性质，解题的关键是熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质．根据算术平方根，平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】解：①的算术平方根是3，原说法正确； ②当时，有平方根，原说法错误； ③非负数a的平方根可以是负数，原说法错误； ④负数没有平方根，说法正确； ⑤0和的立方根等于本身，原说法正确； 正确的为①④⑤， 故选C． 【变式2-6】（24-25七年级下·云南昭通·期中）下列说法不正确的是（   ） A．的平方根是 B．是81的一个平方根 C．0.1的算术平方根是0.01 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查平方根、算术平方根、立方根的性质．根据平方根、立方根的定义即可判断． 【详解】解：A、的平方根是，正确，本选项不符合题意； B、是81的一个平方根，正确，本选项不符合题意； C、0.1的算术平方根是，错误，本选项符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-7】（24-25七年级下·山东临沂·期中）下列各式中，正确的是（   ） A．8的算术平方根是4 B． C．的平方根是 D．64的立方根是8 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，平方根和立方根，根据算术平方根，平方根和立方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：8的算术平方根是，故A选项错误； ，故B选项错误； 的平方根是，故C选项正确； 64的立方根是4，故D选项错误； 故选C． 【变式2-8】（24-25七年级下·山东临沂·期中）下列说法：①的立方根是；②是17的平方根；③没有立方根；④比大且比小的实数有无数个．正确的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的性质，准确分析判断是解题的关键． 根据平方根和立方根的性质判断即可． 【详解】的立方根是，故①错误； 是17的平方根，故②正确； 的立方根是，故③错误； 比大且比小的实数有无数个，故④正确； 综上所述：②④正确． 故选：D． 【基础题型三】求一个数的平方根或立方根 例题3（24-25七年级下·湖南郴州·期中）若，，，则 （用、、来表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，立方根的规律问题．根据被开立方的数的小数点向左每移动3位，则开立方的结果的小数点向左移动1位，被开立方的数的小数点向右每移动3位，则开立方的结果的小数点向右移动1位；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·重庆江津·期中）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根与立方根．根据算术平方根、立方根的意义，即可解答． 【详解】解：解：∵，3的算术平方根是； ∴的算术平方根是； ∴的立方根是． 故答案为：，． 【变式3-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）的相反数是 ，的立方根是 ，的平方根是 【答案】 【分析】本题考查立方根与平方根，解题的关键是根据相反数、立方根及平方根的意义将各个数化简即可． 【详解】解：的相反数是：， 的立方根是：， 的平方根是：． 故答案为：；；． 【变式3-4】（24-25七年级下·北京·期中）的算术平方根是 ．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 先求得，然后再算术平方根、立方根的定义求解即可． 【详解】解：，的算术平方根是， 的算术平方根是； 的立方根是； 故答案为：． 【变式3-5】（24-25七年级下·天津和平·期中）64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及其运用．注意题中给出的数需要计算后再求其平方根或立方根． 分别根据平方根、算术平方根和立方根的概念直接计算即可求解． 【详解】解：64的立方根是4；的算术平方根是4；的平方根是， 故答案为：4；4；． 【变式3-6】（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）36的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 6 / 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根的性质和立方根的性质是解题的关键．根据算术平方根的性质和立方根的性质直接化简即可． 【详解】解：36的算术平方根是6，的立方根是． 故答案为：6，． 【基础题型四】已知一个数的平方根或立方根求代数式的值 例题4．（24-25七年级下·山东日照·期中）若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 【答案】1或25 【详解】解：根据题意，得或， 解得：或， ∴或， ∴，， ∴这个正数是1或25． 故答案为：1或25． 【变式4-1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握正数的平方根有两个，且互为相反数的性质．根据平方根的性质解决此题即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ∴，解得， 故答案为：1． 【变式4-2】（24-25七年级下·天津东丽·期中）已知的平方根是，是256的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键．根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入中求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵是256的算术平方根， ∴，将代入， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（24-25七年级下·广西河池·期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法．根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，，z是9的算术平方根， ∴，，， ∴．　　 【变式4-4】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【答案】(1)，(2)3 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根的非负性及立方根． （1）根据平方根的意义可直接列方程求解； （2）由绝对值、算术平方根、偶次幂的非负性可求出的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）依题意得：， 解得：， ； （2）∵ ∴， ∴， ， 的算术平方根为3． 【变式4-5】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知b与c满足，某正数的平方根分别是和． (1)求a、b、c的值． (2)求的值． 【答案】(1)(2)1 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性、平方根的意义等知识，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性求出，再由平方根的意义得到即可； （2）把（1）中求出的字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵某正数的平方根是和 解得： （2）当时， 【变式4-6】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是的立方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值，熟练掌握这定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值， （2）把a，b的值代入式子，进而计算即可． 【详解】（1）由题意的：的平方根是 ∴，解得： 的立方根是4 ∴解得： 故答案为：， （2）由， 得： 1的平方根为 故答案为： 【变式4-7】（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【答案】(1)，(2)±4(3)2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，熟知三者的定义是解题的关键； （1）根据立方根的定义可求出a，根据算术平方根的定义求出b即可； （2）根据平方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； （3）根据立方根的定义结合（1）求出的a、b的值即可求解； 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得， 因为的算术平方根是5， 所以，即， 解得． （2）解：的平方根是； （3）解：的立方根是． 【变式4-8】（24-25七年级下·山西大同·期中）若一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”以及立方根的定义是解题的关键． 根据“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”可求出a，根据立方根的定义即可求出b，将a和b的值代入即可求解． 【详解】解：根据题意，得． 解得． ∵的立方根是， ∴． ∴． ∴． 【变式4-9】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）已知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 【答案】(1)a 的值为 1 ，b 的值为 4(2)m 的值为 9 【分析】本题考查的是平方根与立方根的含义，求解一个数的平方根； （1）根据平方根与立方根的含义可得，再进一步求解即可； （2）先计算，再由平方根的含义可得答案． 【详解】（1） ∵和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为 2 ∴ 解得： ∴a 的值为 1 ，b 的值为 4； （2）∵， ∴， ∴m 的值为 9． 【基础题型五】平方根和立方根的实际应用 例题5（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：由题意可得， 解得或（舍去）， ∴该运动员此时的跑步速度为米/秒， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）面积为的期刊阅览室恰好被200块面积相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是 ． 【答案】0.8/ 【分析】本题考查了平方根的应用，设每块地砖的边长是，则，然后求解即可．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：设每块地砖的边长是， 则， 解得或（舍去）， 所以每块地砖的边长是， 故答案为：0.8． 【变式5-2】（24-25七年级下·青海·期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为．求篮球场的长和宽． 【答案】篮球场的长为，宽为 【分析】本题主要考查了平方根的应用，利用平方根解方程，设篮球场的长为，则宽为．根据篮球场的面积为，列出方程，利用平方根定义解方程即可． 【详解】解：设篮球场的长为，则宽为．根据题意得： ． 解方程得到，由于，则， 因此，篮球场的长为：，宽为． 篮球场的长为，宽为． 【变式5-3】（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)2)(3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 【变式5-4】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是_____． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】_____； 【方法2】_____； (3)若，且，则_____． 【答案】(1)(2)，(3) 【分析】此题利用数形结合的思想，来研究代数式之间的联系，以及代数式求值的问题，平方根的应用． （1）观察图意直接得出正方形的边长是； （2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积； （3）把（2）中的两个代数式联立即可； 【详解】（1）解：由图形可得：图2的阴影部分的正方形的边长是； 故答案为：； （2）解：方法1：利用面积公式可得； 方法2：利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，可得； 故答案为：， （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-5】（24-25八年级上·辽宁大连·期中） “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 【答案】(1)；(2)(3)或 【分析】本题考查了平方根的实际应用，列代数式． （1）观察图形很容易得出运用大正方形的面积减去四个矩形的面积，即，图②中的阴影部分的正方形的边长等于，即面积为； （2）根据（1）中表示的面积是同一个图形的面积，两个式子相等，即可列出等量关系； （3）由（2）中的等量关系即可求解． 【详解】（1）解：方法一：运用大正方形的面积减去四个矩形的面积得到阴影部分的面积， 方法二：阴影部分的正方形的边长等于，得到阴影部分的面积， 故答案为：；； （2）解：由（1）得代数式，，之间的等量关系为： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得． 或． 【变式5-6】（24-25七年级下·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，把数值代入圆柱的体积公式中即可求出结果．解题的关键是运用圆柱的体积公式． 【详解】解：设底面半径是，则高为 根据题意，得． 解得． 答：底面半径是． 【变式5-7】（24-25七年级下·河南新乡·期中）一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【答案】这个正方体容器的棱长为 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握圆柱体以及正方体的体积公式应用是解题关键．直接利用圆柱体体积求法以及正方体体积求法进而得出等式求出答案． 【详解】解：设正方体容器的棱长为，根据题意可得： ， 解得：， 答：这个正方体容器的棱长为． 【变式5-8】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1)(2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析(3) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【基础题型六】平方根和立方根的综合计算 例题6（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解： （2）解： 或． 【变式6-1】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)(2)或 【分析】此题考查了平方根，以及立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． （1）先移项，然后根据直接开立方法可以解答此方程； （2）方程两边同时除以，然后根据直接开平方法可以解答此方程． 【详解】（1）解： ∴ 解得：； （2）解： ∴ ∴， 解得：或 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，根据是算术平方根，化简绝对值，立方根的定义，进行计算即可求解． 【详解】解： 【变式6-3】（24-25七年级下·广西玉林·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【分析】本题主要考查利用立方根解方程、平方根解方程等知识点，根据立方根、平方根的定义是解题的关键． （1）先利用平方根求得，然后再求的x的值即可； （2）先移项，然后利用立方根解方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，        或． （2）解：， ， ，         ． 【变式6-4】（24-25七年级下·北京大兴·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)或． 【分析】本题考查平方根以及立方根的定义，熟练掌握并利用平方根以及立方根的定义来进行方程求解是解题的关键． （1）通过移项后，根据立方根的定义开立方求解； （2）根据平方根的性质求解并考虑正负两种情况． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， ； （2）解：， 开平方得：， 或， 解得：或． 【变式6-5】（24-25七年级下·四川南充·期中） 计算 (1) (2) 【答案】(1)(2)， 【分析】本题考查了运用立方根、平方根进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把常数项移到等号右边，再乘，得，结合立方根进行解方程，即可作答． （2）先把常数项移到等号右边，再除以，得，结合立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 【变式6-6】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或(2) 【分析】本题考查了立方根，利用平方根解方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴或； （2）解：， ， ， ． 【变式6-7】（24-25七年级下·江西宜春·期中）（1）解方程：；    （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，涉及绝对值、乘方、立方根、平方根等运算，需熟练掌握以上概念进行计算． （1）先移项进而通过平方根性质进行求解即可； （2）利用绝对值、乘方、立方根等性质进行运算即可． 【详解】（1）解：， 整理得， 两边开平方得：； （2） ． 【变式6-8】（24-25七年级下·北京·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2） ， ， ， ∴． 【变式6-9】（24-25七年级下·北京·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)或(2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根解方程，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）运用平方根解方程即可； （2）运用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 解得，或； （2）解：， 变形得，， ∵， ∴， 解得，． 【基础题型七】利用平方根的非负性求解 例题7（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【变式7-1】（2025·青海西宁·二模）已知实数x、y、z满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方．根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 则，，， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，44 【分析】本题主要考查整式的加减混合运算及化简求值，绝对值和算术平方根的非负性．根据绝对值和算术平方根的非负性可得，将整式进行化简，然后代入求解即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【变式7-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 【变式7-4】（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，c是8的立方根，求的平方根 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据立方根，算术平方根和平方根的定义和性质，求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】解：由题意可得 ∴， ∴， ∴， ∵c是8的立方根 ∴ ∴ ∴的平方根是． 【变式7-5】（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查的是相反数的性质，非负数的性质解平方根的含义，由非负数的性质建立方程求解是解本题的关键． （1）由相反数的性质得出，再根据非负数的性质建立方程求解即可； （2）根据（1）中所得、的值得出，再求出平方根即可得答案． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【变式7-6】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，绝对值的化简，根据算术平方根的双重非负性求得的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案．结合已知条件求得的取值范围是解题的关键． 【详解】解：实数满足， ， ， ， 原式化为， 整理得：， 两边同时平方得：， 则． 【变式7-7】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，，，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且，，， ∴，，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴9的平方根为， 即的平方根为． 【变式7-8】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知a，b满足与互为相反数． (1)求a，b的值． (2)若线段，在直线上取一点P，恰好使，点Q为的中点，求线段的长． 【答案】(1)，(2)或 【分析】本题考查绝对值、算术平方根的非负性，两点间的距离，掌握绝对值、算术平方根的非负性，线段中点的定义以及线段和差是正确解答的关键． （1）根据绝对值、算术平方根的非负性即可求出、的值； （2）根据线段中点的定义以及线段和差进行计算即可． 【详解】（1）解： 与互为相反数， ，而，， ，， 解得，； （2）解：∵，， ∴，， 如图1，当点在点的右侧时， ，， ，， 点为的中点， ， ； 如图2，当点在点的左侧时， ，， ， 点为的中点， ， ； 综上所述，或． 【变式7-9】（24-25七年级下·全国·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，．求： (1)a，b，c的值； (2)的值． 【答案】(1)2，4，；(2)2． 【分析】本题考查绝对值和算术平方根非负性，代数式求值，求算术平方根．熟练掌握非负数的和为0，每个非负数均为0，是解题的关键． （1）利用非负性求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 解得：； （2）解：由（1）知，，，， ， ， ， ． 【基础题型八】与平方根或立方根有关的规律类题型（选填题） 例题8（24-25七年级下·安徽合肥·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式8-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系． 根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动2个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动1个位数”可知答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【变式8-2】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，根据题意找到规律，即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：第行的元素个数为：（个），第行的末尾数为：， ∴第8行共有个数，末尾数为， ∴第8行11个数也为倒数第6个数，即． 故选：B． 【变式8-3】（24-25八年级下·重庆·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故选：． 【变式8-4】（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 【变式8-5】（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要数的开方和数字的变化规律，由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据求解可得．解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ， 故答案为：． 【变式8-6】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 【答案】0.2872 【分析】此题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0.2872． 【变式8-7】（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ． 【答案】 1.285 2.342 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出a的值，根据被开方数小数点向左移动三位，其立方根的小数点就向左移动一位即可求出b的值． 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 【基础题型九】平方根和立方根的综合应用 例题9（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 【变式9-1】（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式9-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后两式联立求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：的平方根是， ， 的算术平方根是， ， 解得：，， ， 的立方根为． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 【变式9-4】（24-25七年级下·云南昭通·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根，掌握以上定义是解题的关键． （）根据立方根和算术平方根的定义可得，，解方程即可求解； （）由（）求出的值，进而根据平方根的定义解答即可； 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 【变式9-5】（24-25七年级下·山东日照·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式9-6】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 【变式9-7】（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【详解】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【培优题型十】平方根和立方根综合之新定义类题型 例题10（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ． 故选D． 【变式10-1】（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． （1）若点是“理想点”，则x的值为 ． （2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （2）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； （2）∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， ∵m为正整数， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算以及实数的新定义的运用，根据新运算法则，先进行分类讨论，即，或当，分别算出x的范围，再进行化简计算，即可作答． 【详解】解：依题意，∵当时，； ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，故此种情况不符合题意； ∵当时，． ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和(2)；(3)的值为0或． 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 【变式10-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，求一个数的算术平方根，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则． （1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）解： ． 【变式10-5】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【答案】(1)是 (2)①证明见解析最小算术平方根是4，最大算术平方根是20，②任意两个数的乘积都是完全平方数(3)81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“数”的定义分别求解算术平方根即可；根据新定义直接写出结论即可 （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∵结果分别为8，10，20，都是整数， ∴4，16，25是“数”， 故答案为：是； （2），，，其结果分别为4，10，20，都是整数， 所以2，8，50三个数是“数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20． ②任意两个数的乘积都是完全平方数； （3）解：分三种情况：①当时，，解得（舍去）； ②当时，，解得（舍去）； ③当时，，解得． 综上所述，的值为81． 【变式10-6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)试说明：3，12，27这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【答案】(1)最小算术平方根是6，最大算术平方根是(2)9或64 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）分3种情况，根据新定义，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， 这三个数“老根数”； 其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是； （2）当时，，这三个数是＂老根数＂，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍， ，解得：； 当时，依题意，得：， ， 解得，不合题意舍去； 当时，依题意，得， ，解得：， 综上所述，a的值为9或64． 【变式10-7】（23-24七年级下·广西玉林·期中）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，；(2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【培优题型十一】算术平方根中规律探索类题型 例题11（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 【变式11-1】（24-25七年级下·天津北辰·期中）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 【答案】(1)2；5；10(2)(3)(4)①4；② 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根运算法则是解题的关键． （）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； （）根据（）所得的关系即可求解； （）根据（）所得猜想计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（）的结果可得，， 故答案为：； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 【变式11-2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【答案】(1)①4；②100(2)(3) 【分析】本题考查了算术平方根、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）①根据已知算式得出规律，即可得出答案；②根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：； ②； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； （3）解： ． 【变式11-3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，；(2)①；②； (3)当或1时，；当时，；当时，． 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案； （3）根据的取值范围分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当或1时，；当时，；当时，． 【变式11-4】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 【答案】(1)，21(2) 【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 【变式11-5】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了算术平方根的探索规律，发现所列式子的排列规律是解题的关键； （1）通过观察得出规律，根据规律即可解答； （1）利用规律得出原式为，化简即可． 【详解】（1）根据规律可知， =1+（n为正整数）， 故答案为：1+； （2）由规律可得，原式 ． 【变式11-6】（2025七年级下·福建·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1)(2)(3)1013 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 1．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．是的算术平方根 B．4的平方根是 C．的立方根是 D．2是的算术平方根 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根及算术平方根的定义，关键点在于区分平方根（有正负）、立方根（唯一实数解）以及算术平方根（非负）的区别，注意负数没有实数平方根和算术平方根．根据算术平方根、平方根及立方根的定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、是的算术平方根，故选项A错误； B、4的平方根为，而平方根包含正负，故选项B正确； C、27的立方根为，立方根只有一个结果，故选项C错误； D、负数没有实数范围内的算术平方根，故选项D错误． 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列各式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义以及绝对值的性质，对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误． 故选：D． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查立方根的应用．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵二阶魔方的体积为， ∴它的棱长为， 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍，则大正方体的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，先得出一个大正方体的体积，再结合体积公式得出一个大正方体的边长为，最后由表面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍， ∴一个大正方体的体积为， ∴ ∴一个大正方体的边长为， ∴一个大正方体的表面积是， 故选：A． 5．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ……， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2025·河北廊坊·一模）若，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及算术平方根运算、立方根运算，先由条件求出的值，代入代数式，由立方根运算求解即可得到答案．熟记算术平方根运算、立方根运算是解决问题的关键． 【详解】解：由得；由得， ， 故选：B． 7．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 故选A． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若，则的值为（   ） A． B．5 C．15 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根及平方的非负性，立方根，结合已知条件求得，的值是解题的关键． 根据算术平方根及平方的非负性求得，的值，然后利用立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 将代入得， ， 故选：A． 9．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用，由题意可得，从而得出，再根据立方的含义即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵，，， ∴，且更接近， 故选：C． 10．（24-25七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解：的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 11．（24-25七年级下·天津河西·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．利用立方根的意义解答即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京·期中）如果一个棱长为的立方体的体积缩小为原来的倍，则新的立方体的棱长与的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了立方根的应用；由题意得，开立方即可求解． 【详解】解：由题意得，即或； 故答案为：或． 13．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，根据平方根的定义可得出，解一元一次方程求出x，再求出m，代入代数式求出代数式的值，再根据立方根的定义求出立方根即可． 【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别为和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ， 故答案为： 14．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 15．（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据例题的方法求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是， 的立方根是， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·吉林·期中）已知：某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求，，的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)，，的值分别为25，4，13(2)4 【分析】本题考查正数的平方根，算术平方根，立方根，正确理解定义是解题的关键． （1）根据整数的平方根有两个，它们互为相反数，相加得0，；利用算术平方根计算，即可解答； （2）将（1）中所求的值代入，再进行立方根的定义计算，即可求解． 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5， ∴，， 解得，． ∴． 答：，，的值分别为25，4，13． （2）， ∴． 答：的立方根为4． 17．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，这是一条不完整的数轴，数轴上有A，B，C，D，E五个点，且原点是这五个点中的一个．已知，点A，E对应的数的绝对值相等． (1)原点是点______，点A对应的数为______． (2)设点A，B，D，E对应的数分别为a，b，d，e，计算的值． 【答案】(1)C；(2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，解题的关键是根据数轴确定，，，． （1）根据A，B，C，D，E五个点，原点是这五个点中的一个，点A，E对应的数的绝对值相等可以确定中间的一个为原点，根据，，求出，得出点E表示的数，然后求出结果即可； （2）根据数轴求出，，，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵A，B，C，D，E五个点，原点是这五个点中的一个，点A，E对应的数的绝对值相等，且， ∴原点是点C， ∵，， ∴， ∴点E表示的数为， ∵点A，E对应的数的绝对值相等， ∴点A对应的数为； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∵，， ∴，， ∴ ． 18．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能够直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了平方根的应用．设长为，则宽为．根据面积为列方程，利用平方根的意义解方程，比较后即可得到结论． 【详解】解：设长为，则宽为．根据题意，得 ， 或（负值舍去）． ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 19．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 【答案】(1)5，7(2)4次之后结果为1． 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义对290进行连续求根整数，可得4次之后结果为1． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：5，7； （2）解：第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 答：对290连续求根整数，4次之后结果为1． 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题06 平方根和立方根中相关求解（人教2024） 【9个基础题型+2个培优题型】 【基础题型一】平方根和立方根定义判断等式是否成立 1 【基础题型二】根据平方根和立方根的概念判断 2 【基础题型三】求一个数的平方根或立方根 3 【基础题型四】已知一个数的平方根或立方根求代数式的值 4 【基础题型五】平方根和立方根的实际应用 6 【基础题型六】平方根和立方根的综合计算 8 【基础题型七】利用平方根的非负性求解 10 【基础题型八】与平方根或立方根有关的规律类题型（选填题） 11 【基础题型九】平方根和立方根的综合应用 12 【培优题型十】平方根和立方根综合之新定义类题型 14 【培优题型十一】算术平方根中规律探索类题型 16 【基础题型一】平方根和立方根定义判断等式是否成立 例题1（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）下列算式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·北京大兴·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·福建福州·期中）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（24-25七年级下·天津·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【基础题型二】根据平方根和立方根的概念判断 例题2（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）下列说法：①是4的平方根；②16的平方根是4；③的平方根是；④0.25的算术平方根是0.5；⑤的立方根是；⑥的算术平方根是9．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．8的立方根是 【变式2-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）下列说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．没有立方根 C．的平方根是 D．没有算术平方根 【变式2-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）下列说法错误的是（   ） A．的立方根是 B．5是25的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式2-4】（24-25七年级下·山东日照·期中）下列说法正确的是（    ） A． B．是的平方根 C．的算术平方根是7 D．存在立方根和平方根相等的数 【变式2-5】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列说法中正确的个数是（   ） ①的算术平方根是3；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和的立方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-6】（24-25七年级下·云南昭通·期中）下列说法不正确的是（   ） A．的平方根是 B．是81的一个平方根 C．0.1的算术平方根是0.01 D． 【变式2-7】（24-25七年级下·山东临沂·期中）下列各式中，正确的是（   ） A．8的算术平方根是4 B． C．的平方根是 D．64的立方根是8 【变式2-8】（24-25七年级下·山东临沂·期中）下列说法：①的立方根是；②是17的平方根；③没有立方根；④比大且比小的实数有无数个．正确的有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【基础题型三】求一个数的平方根或立方根 例题3（24-25七年级下·湖南郴州·期中）若，，，则 （用、、来表示） 【变式3-1】（24-25七年级下·山东德州·期中）若，则 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·重庆江津·期中）的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）的相反数是 ，的立方根是 ，的平方根是 【变式3-4】（24-25七年级下·北京·期中）的算术平方根是 ．的立方根是 ． 【变式3-5】（24-25七年级下·天津和平·期中）64的立方根是 ；的算术平方根是 ；的平方根是 ． 【变式3-6】（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）36的算术平方根是 ，的立方根是 ． 【基础题型四】已知一个数的平方根或立方根求代数式的值 例题4．（24-25七年级下·山东日照·期中）若和都是一个正数的平方根，则这个正数为 ． 【变式4-1】（24-25七年级下·广东东莞·期中）一个正数的两个平方根为和，则的值为 ． 【变式4-2】（24-25七年级下·天津东丽·期中）已知的平方根是，是256的算术平方根，求的值． 【变式4-3】（24-25七年级下·广西河池·期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 【变式4-4】（24-25七年级下·甘肃定西·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若，求的算术平方根． 【变式4-5】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知b与c满足，某正数的平方根分别是和． (1)求a、b、c的值． (2)求的值． 【变式4-6】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）已知的平方根是的立方根是4． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式4-7】（24-25七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是，的算术平方根是5． (1)求，的值． (2)求的平方根 (3)求的立方根． 【变式4-8】（24-25七年级下·山西大同·期中）若一个正数的平方根分别是和，的立方根是，求的值． 【变式4-9】（24-25七年级下·云南曲靖·期中）已知和是某正数 m 的两个平方根，的立方根为2 (1)求a，b  的值； (2)求m 的值 ． 【基础题型五】平方根和立方根的实际应用 例题5（24-25八年级下·河南焦作·期中）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 【变式5-1】（24-25七年级下·广东广州·期中）面积为的期刊阅览室恰好被200块面积相同的正方形地砖铺满，每块地砖的边长是 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·青海·期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长宽之比为．求篮球场的长和宽． 【变式5-3】（24-25七年级下·广西南宁·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【变式5-4】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是_____． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】_____； 【方法2】_____； (3)若，且，则_____． 【变式5-5】（24-25八年级上·辽宁大连·期中） “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】 请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）： 方法一：______；方法二：______； (2)【得出结论】 根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为______； (3)【知识迁移】 根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知实数，满足：，，求的值． 【变式5-6】（24-25七年级下·山西大同·期中）幼儿园门口的升降阻车桩对保障幼儿园内儿童及教职工的安全以及提高幼儿园的安保效率都起着重要的作用．如图是在幼儿园门口安装的圆柱形升降阻车桩，已知每个圆柱的体积都是，圆柱的高是底面半径的6倍，求底面半径．（取3.14） 【变式5-7】（24-25七年级下·河南新乡·期中）一个底面半径为的圆柱体玻璃杯装满水，杯的高度为，现将这杯水全部倒入一正方体容器中，正好占正方体容器容积的（玻璃杯及容器的厚度可以不计），求正方体容器的棱长． 【变式5-8】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【基础题型六】平方根和立方根的综合计算 例题6（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程： (1)； (2) 【变式6-1】（24-25七年级下·河北廊坊·期中）求下列各式中x的值． (1) (2) 【变式6-2】（24-25七年级下·陕西渭南·期中）计算：． 【变式6-3】（24-25七年级下·广西玉林·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式6-4】（24-25七年级下·北京大兴·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式6-5】（24-25七年级下·四川南充·期中） 计算 (1) (2) 【变式6-6】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【变式6-7】（24-25七年级下·江西宜春·期中）（1）解方程：；    （2）计算： 【变式6-8】（24-25七年级下·北京·期中）解方程： (1)． (2)． 【变式6-9】（24-25七年级下·北京·期中）解方程： (1)． (2)． 【基础题型七】利用平方根的非负性求解 例题7（24-25七年级下·吉林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·青海西宁·二模）已知实数x、y、z满足，则的值是 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式7-3】（24-25七年级下·天津和平·期中）已知：，求代数式的平方根． 【变式7-4】（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知，c是8的立方根，求的平方根 【变式7-5】（24-25七年级下·广东东莞·期中）已知与互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式7-6】（24-25七年级下·安徽铜陵·期中）已知：，求的值. 【变式7-7】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【变式7-8】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知a，b满足与互为相反数． (1)求a，b的值． (2)若线段，在直线上取一点P，恰好使，点Q为的中点，求线段的长． 【变式7-9】（24-25七年级下·全国·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，．求： (1)a，b，c的值； (2)的值． 【基础题型八】与平方根或立方根有关的规律类题型（选填题） 例题8（24-25七年级下·安徽合肥·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 2.5 25 250 … 根据以上规律，若，，则（   ） A．0.0407 B．0.1288 C．0.4074 D．0.0129 【变式8-1】（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，则（   ）． A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·重庆石柱·期中）下图是按某种规律排列的数阵： 第一行                 1      第二行                      第三行                 第四行 …… 根据数阵规律，第8行第11个数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级下·重庆·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是 ． 【变式8-5】（24-25七年级下·山西大同·期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数不能直接求得，如，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请同学们观察下表： 0.04 4 400 40000 … 0.2 2 20 200 … 已知，，则 ． 【变式8-6】（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 【变式8-7】（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ． 【基础题型九】平方根和立方根的综合应用 例题9（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【变式9-1】（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）已知：的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【变式9-3】（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式9-4】（24-25七年级下·云南昭通·期中）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式9-5】（24-25七年级下·山东日照·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【变式9-6】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【变式9-7】（23-24七年级下·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【培优题型十】平方根和立方根综合之新定义类题型 例题10（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 【变式10-1】（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． （1）若点是“理想点”，则x的值为 ． （2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为 ． 【变式10-2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的值是 ． 【变式10-3】（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式10-4】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【变式10-5】（24-25七年级下·辽宁大连·期中）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“数”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断4，16，25是不是“数”______； (2)①请证明2，8，50这三个数是“数”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；②请根据做题经验，任意写出一条你写“数”的心得． (3)已知，9，25三个数是“数”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求的值． 【变式10-6】（24-25七年级上·山东泰安·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)试说明：3，12，27这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【变式10-7】（23-24七年级下·广西玉林·期中）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【培优题型十一】算术平方根中规律探索类题型 例题11（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【变式11-1】（24-25七年级下·天津北辰·期中）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么正数就叫做的算术平方根，记作（即），如叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：___________，___________，___________． (2)观察（1）中的结果，之间存在怎样的关系？写出关系式___________． (3)由（2）的猜想：___________（） (4)根据（3）计算：①；② 【变式11-2】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… 规律发现： (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①______； ②______． (2)用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：______． (3)根据上述规律计算： 【变式11-3】（24-25八年级上·福建泉州·期中）先填写表，通过观察后再回答问题： a … 4 … … x 2 y … (1)表格中______，______； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______； (3)试比较与a的大小． 【变式11-4】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 【变式11-5】（23-24八年级下·安徽安庆·期末）观察下列各式： ① ② ③ 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)发现规律= ； (2)计算． 【变式11-6】（2025七年级下·福建·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 1．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．是的算术平方根 B．4的平方根是 C．的立方根是 D．2是的算术平方根 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）下列各式正确的为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期中）如图，该二阶魔方为正方体结构，若该二阶魔方的体积为，则该二阶魔方的棱长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）已知一个小正方体的体积是，一个大正方体的体积是这个小正方体体积的3倍，则大正方体的表面积是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 6．（2025·河北廊坊·一模）若，则（   ） A． B．3 C． D．9 7．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若，则的值为（   ） A． B．5 C．15 D．25 9．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 10．（24-25七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 11．（24-25七年级下·天津河西·期中）若，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·北京·期中）如果一个棱长为的立方体的体积缩小为原来的倍，则新的立方体的棱长与的数量关系为 ． 13．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 14．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 15．（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 16．（24-25七年级下·吉林·期中）已知：某正数的两个平方根是与，且的算术平方根是5． (1)求，，的值． (2)求的立方根． 17．（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，这是一条不完整的数轴，数轴上有A，B，C，D，E五个点，且原点是这五个点中的一个．已知，点A，E对应的数的绝对值相等． (1)原点是点______，点A对应的数为______． (2)设点A，B，D，E对应的数分别为a，b，d，e，计算的值． 18．（24-25七年级下·山东济宁·期中）为宣传某地旅游资源，促进旅游业发展，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮． 课题 某景点卡片及封皮制作 图示 相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为2∶1，面积为． 结果 判断 请通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 19．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数．例如： ，，． (1)仿照以上方法计算：_________；_________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，，，这时候结果为1． (2)对290连续求根整数，多少次之后结果为1？ 1 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $$