20 一战成名优质原创卷(三)-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 ∴ 点 Q 转过的圆心角约为 106°-67° = 39°, ∴ 点 Q 移动的距离约为39π ×4 180 = 13π 15 ; (3)解:由( 2) 可知,如解图①,点 Q 在以点 G 为圆 心,BG 长为半径的圆弧上,连接 AG,交圆弧于点 M, 当点 Q 与点 M 重合,即点 A,Q,G 三点共线时,线段 AQ 最短, 在 Rt△ABG 中,AB= 6,BG= 4, 由勾股定理可得 AG= 2 13 , ∴ 线段 AQ 的最小值为 2 13 -4; (4)解:当△ABQ 为等腰三角形时,t 的值为32 -8 7 3 或 6+2 7或16 3 或 98-18 7 7 . 【解法提示】易知点 Q 在以点 G 为圆心,BG 长为半径的圆弧上. ①如解图③,作 AB 的垂直平分线 MN 交 AB,DC 于点 M,N,交圆弧于点 Q1 ,Q2 ,连接 BQ1 并延长交 CD 于点 P1 ,则易知 AM = BM= CN = DN = 3,设 MQ1 = x,∵ ∠MQ1B+ ∠CQ1N = 90°,∠Q1CN + ∠CQ1N = 90°, ∴ ∠MQ1B = ∠Q1CN, ∵ ∠BMQ1 = ∠CNQ1 = 90°, ∴ △MQ1B ∽ △NCQ1 , ∴ MQ1 MB = NC Q1N ,∴ Q1N = 9 x ,∵ MQ1 +Q1N = 8,∴ x+ 9 x = 8,∴ x1 = 4 + 7 ,x2 = 4 - 7 (舍去),则 NQ1 = 4 - 7 , ∵ AB∥CD, ∴ △MQ1B ∽ △NQ1P1 , ∴ MB MQ1 = NP1 NQ1 , ∴ NP1 = MB·NQ1 MQ1 = 3×(4- 7 ) 4+ 7 = 23-8 7 3 , ∴ P1C = NC+NP1 = 32-8 7 3 ,∴ t = 32 -8 7 3 ;连接 BQ2 并延长交 AD 于点 P2 ,易知 MQ2 = 4- 7 ,且 MQ2 是△ABP2 的中 位线,∴ AP2 = 8-2 7 ,∴ t = 6+2 7 ;②如解图④,以点 A 为圆心,AB 长为半径作弧交圆 G 于点 Q,连接 AG 交 BP 于点 F,连接 GQ,此时 AQ=AB= 6,∵ AG =AG,BG = QG, ∴ △ABG≌ △AQG ( SSS), ∴ ∠BAG = ∠QAG, 则 AG⊥BG,∴ ∠GBF+ ∠AGB = 90°,∵ ∠BAG+ ∠AGB = 90°,∴ ∠GBF = ∠BAG, ∴ tan ∠GBF = tan ∠BAG, 即 BG AB = CP BC , ∴ 4 6 = CP 8 , ∴ CP = 16 3 , ∴ t = 16 3 ; ③如解图 ⑤,以点 B 为圆心,AB 长为半径作弧交圆 G 于点 Q. 延长 CQ 交 AD 于 点 K, 连 接 BK, 易 得 ∠BAD = ∠BQK = 90°, AB = BQ,又 ∵ BK = BK, ∴ Rt △ABK ≌ Rt△QBK(HL), ∴ AK = KQ, 设 AK = KQ = x, 易 得 △KQP∽△CQB,∴ KQ KP = CQ BC ,∴ KP = 8x CQ ,在 Rt△CBQ 中,由勾股定理得 CQ2 = BC2 -BQ2 ,∴ CQ = 2 7 (负值 已舍去),∴ KP = 4 7 x 7 ,∴ AP = AK+KP = (4 7 +7)x 7 , ∵ ∠ABP+ ∠PBC = ∠QCB+ ∠PBC = 90°,∴ ∠ABP = ∠QCB,∴ tan∠ABP = tan∠QCB,即AP AB = BQ QC ,∴ x = 8- 2 7 ,∴ AP= 18 7 7 ,∴ t = 98 -18 7 7 ;综上所述,当△ABQ 为等腰三角形时, t 的值为 32 -8 7 3 或 6 + 2 7 或 16 3 或 98-18 7 7 . 图③ 　 　 图④ 图⑤ 第 24 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 20.一战成名优质原创卷(三) 1. C　 2. D　 3. C　 4. A　 5. A　 6. D　 7. D　 8. B　 9. B 10. D　 11. D 第 12 题解图 12. B　 【解析】如解图,连接 BO 并延长交 AC 于点 E,分别过 点 O,A 作直线 BC 的垂线,垂 足 分 别 为 点 G, F, 连 接 OC,∵ 三角形 ABC 的面积为 50,点 O 为三角形的重心, ∴ 点 E,D 分别为 AC,BC 的 中点,∴ BC = 2CD = 10, ∴ S△ABC = 1 2 BC · AF = 50, ∴ AF= 10,∵ S△BCE = S△ACD,∴ S△BOD = S△AOE,∴ S△BOD = S△COD = S△AOE = S△EOC, ∴ S△AOC = 2S△OCD, ∴ AO = 2OD,∵ OG⊥BC,AF⊥BC, ∴ OG∥AF, ∴ △DOG∽ △DAF,∴ OG AF =DO DA = 1 3 ,∴ OG = 10 3 ,∵ 点 P 为线段 OA 上一点(与点 O,A 不重合),∴ 10 3 <a< 10,∴ a 可能是 4,5,6,7,8,9,∴ 甲,乙的答案合在一起才完整. 13. 7　 14. β-α= 360°　 15. (1)等边三角形;(2)4 7 16. (1)52;(2)108;(3)8 或 6 或 4 或 2 17.解:(1)∵ 一元二次方程(a-1)x2 -6x-1 = 0 有两个不 相等的实数根, ∴ Δ= (-6) 2 -4(a-1)×(-1)>0,解得 a >-8, ∵ a-1≠0, ∴ a >-8 且 a≠1; (2)这一组数按从小到大排列:1,1,2,4,5,6, ∴ 中位数是 3,∴ a= 3, ∴ 一元二次方程为 2x2 -6x-1 = 0, ∴ m+n= 3,mn= - 1 2 , ∴ n m + m n =m 2 +n2 mn = (m+n) 2 -2mn mn = -20. 18.解:(1)甲草地的面积= (m+3)(m+9)= m2 +12m+27; (2)①∵ 乙草地的周长= 2(m+4+m+6)= 4m+20, ∴ 正方形草地的边长= (4m+20)÷4 =m+5; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 ②正方形草地的面积= (m+5) 2 ,乙草地的面积 = (m+ 4)(m+6), ∵ (m+5) 2 -(m+4)(m+6)= 1>0, ∴ 正方形草地的面积>乙草地的面积. 19.解:(1)如解图,延长 CA 交地平线于点 B′, 第 19 题解图 由题意可知 AB =AB′= 200 cm,CB′=CA+AB′= 250 (cm), BD⊥B′D ,CD= 100 cm, 在 Rt△CDB′中,sinB′= CD CB′ = 0. 4, ∴ ∠B′≈24°,即坡梯落地后与地面所成的角度的大 小约为 24°; (2)如解图,过点 A 作 AE⊥B′D 于点 E,AF⊥BD 于点 F,则 AE=AB′·sin24°≈80 cm, EB′=AB′·cos24°≈180 cm, ∵ ∠AB′E= ∠CB′D,∴ AE EB′ = CD DB′ ,即 80 180 = 100 DB′ , ∴ DB′= 225 cm, ∴ AF=DE=DB′-EB′= 45 cm, 在 Rt△ABF 中, BF= AB2 -AF2 ≈35 31 ≈196(cm), ∴ BD=BF+FD=BF+AE= 276 cm≈2. 7 (m),即坡梯折 起后,点 B 距离地面的高度约为 2. 7 m. 20.解:(1)∵ (2 774-2 134)÷2 134≈0. 30, ∴ a= 30, b= 2 774×(1+0. 8)≈4 993; 补全条形统计图和完成的折线统计图如解图. 图① 图② 第 20 题解图 (2)这组数据从小到大排列:5,8,25,27,30,80, 中位数是 26, 平均数 x= 1 6 ×(5+8+25+27+30+80)≈29. 2, ∵ 这组数据中 80 是极端数据,平均数易受极端数据 影响,∴ 用中位数更能描述这组数据的集中趋势; (3)可能性不大,理由如下: 设 2023 年的增长率为 x, 得 5 662(1+x)= 8 000, ∴ x≈0. 41, ∴ 面临复杂的经济贸易形势,以及年增长率的发展趋 势,达到 41%的增长率可能性不大,∴ 该电商的成交 额突破 8 000 亿元的可能性不大. 21. (1)①证明:∵ OB 垂直平分 AD,点 C 为 OB 的中点, ∴ OC=BC,AC=DC, 又∵ ∠ACO= ∠DCB, ∴ △AOC≌△DBC(SAS); ②解:∵ OB 垂直平分 AD,点 C 为 OB 的中点, 第 21 题解图 ∴ OA= 2OC,∠OCA= 90°, ∴ ∠OAD= 30°,∴ ∠AOB= 60°, ∴ ∠ADB= 1 2 ∠AOB= 30°; (2)证明:如解图,连接 OD, ∵ OA=OD, ∴ ∠ODA= ∠OAD= 30°, 由(1)知∠OCA= 90°, ∴ ∠DOB= 60°, 又∵ OB=OD, ∴ △OBD 为等边三角形, ∴ ∠OBD= ∠ODB= 60°, ∵ BD=BE, ∴ ∠OED= ∠BDE= 30°, ∴ ∠ODE= ∠ODB+∠BDE= 90°,即 OD⊥DE, ∵ OD 是☉O 的半径, ∴ DE 是☉O 的切线. 22. (1)证明:∵ 点 O 为正五边形 ABCDE 的中心, ∴ ∠EAB = ∠DEA = 1 5 × ( 5 - 2) × 180° = 108°,AO 平 分∠EAB, ∴ ∠EAO= 54°,∠GEA= 72°, ∵ OA⊥GA, ∴ ∠GAO= 90°,∴ ∠EAG= 36°, ∴ ∠AGE= 72°, ∴ ∠GEA= ∠AGE, ∴ AE=AG,即△AEG 为等腰三角形; (2)解:点 G 是线段 EF 的黄金分割点,理由如下: ∵ ∠GEA= ∠EAF= 72°, ∴ AF=FE, ∴ ∠F= ∠EAG= 36°, ∴ △AEG∽△FAE, ∴ EG AE = AG FE , 由(1)知 AE=AG, ∴ AG2 =EG·FE, ∵ ∠FAG= ∠F= 36°, ∴ FG=AG, ∴ FG2 =EG·FE, ∴ 点 G 是线段 EF 的黄金分割点; (3)解:由(2)可知 AE2 =EG·FE, ∵ ∠FAG= ∠F= 36°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 ∴ FG=AG=AE=AB= 4, ∴ AE2 =EG·FE=EG·(EG+4)= 16, 解得 EG= 2 5 -2(负值已舍去), ∴ FE= 2 5 +2. 23.解:(1)将 B(2,4)分别代入 y1 =ax 2 与 y2 = x+b, 可得 a= 1,b= 2, ∴ 抛物线的解析式为 y1 = x 2 ,直线的解析式为 y2 = x+2; 第 23 题解图① (2) ①如解图①,分别过点 A,B 作 x 轴,y 轴的平行线,交于点 C. ∵ 直线 y2 = x+ 2 平行于直线 y = x,∴ ∠BAC= 45°, ∴ △ABC 为等腰直角三角形, 由 y= x2 , y= x+2,{ 易得 A(-1,1), ∴ AC= 3,∴ AB= 3 2 , 设抛物线 y1 = x 2 平移后为 y3 = ( x-m) 2 +n,y3 = ( x- m) 2 +n 与直线 y2 = x+ 2 的交点为 A1( x1 ,y1 ),B1 ( x2 , y2 ), 由 y= (x-m) 2 +n, y= x+2,{ 得 x2 -(2m+1)x+m2 +n-2 = 0, ∴ x1 +x2 = 2m+1,x1x2 =m 2 +n-2, ∵ A1B1 =AB, ∴ x2 -x1 = 3, ∴ (x1 -x2 ) 2 = (x1 +x2 ) 2 -4x1x2 = 9, ∴ 4(m-n)= 0, ∴ m-n= 0,即 m=n; ②如解图②,设 O 平移后对应的点为 O1 ,连接 OO1 ,则 OB∥O1B1 ,BB1∥OO1 , ∴ 四边形 BOO1B1 为平行四边形, 过点 O1 作 O1G⊥ x 轴,垂足为 G,过点 A 作 AH⊥ x 轴,垂足为 H,连接 OA,则 G(m,0), ∴ O1(m,m), ∴ △OGO1 为等腰直角三角形, ∴ OO1 = 2m, ∵ 点 A 的坐标为(-1,1), ∴ 在等腰直角三角形 AHO 中,可得 OA= 2 , 易知 OA⊥AB, ∴ 四边形 BOO1B1 的面积为 OA·OO1 = 2m= 12, ∴ m= 6. 第 23 题解图② 24.解:(1)∠DEP= ∠AEO; 【解法提示】如解图①,过点 E 作法线 KE,由反射角等 于入射角可知∠PEK = ∠OEK, ∵ ∠DEK = ∠AEK = 90°,∴ ∠DEP= ∠AEO; 第 24 题解图① (2)当第一次反射光点 P 为 BC 的中点时,作点 O 关 于 AD 的对称点 O′,连接 O′P,交 AD 于点 E. 如解图 ②,可知 O′A= 40 cm,PB= 30 cm, 第 24 题解图② ∵ AD∥BC,∴ ∠D′AE= ∠OBP, ∵ ∠AD′E= ∠BO′P,∴ △O′AE∽△O′BP, ∴ AE BP =O′A O′B ,即AE 30 = 40 120 , ∴ AE= 10 cm, ∴ t= 10; 当第二次反射光点 P 为 BC 的中点时,如解图③,延长 O′F 交 BC 的延长线于点 G, 第 24 题解图③ ∴ O′A= 40 cm,CP=CG= 30 cm,O′B= 120 cm, ∵ △O′AE∽△O′BG, ∴ AE BG =O′A O′B ,即AE 90 = 40 120 , ∴ AE= 30 cm, ∴ t= 30. 综上所述,t 的值为 10 或 30; (3)如解图④,当只有一次反射时,矩形内的激光束长 度的最大值 y=OE+EC, 第 24 题解图④ ∵ OE=O′E, ∴ y=O′E+EC=O′C, 在直角三角形 O′BC 中, O′C= BC2 +O′B2 = 60 5 (cm), 如解图⑤,二次反射时, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 延长 O′F 交 BC 的延长线于点 G, 第 24 题解图⑤ 可知 O′A= 40 cm,CP=CG,O′B= 120 cm, ∵ △O′AE∽△O′BG, ∴ AE BG =O′A O′B = 1 3 , ∴ BG= 3t cm, ∴ 矩 形 内 的 激 光 束 长 度 的 最 大 值 y = O′ G = GB2 +O′B2 = 9t2 +1202 , ∴ 当 t 最大时,y 最大, 当光点 P 二次反射落在点 B 时,t 最大, 此时,如解图⑥,BG′= 120 cm,AE= 1 3 BG′= 40 cm, ∴ t= 40, ∴ 矩形内的激光束长度的最大值 y = 1202 +9t2 = 120 2 (cm), 综上所述,矩形内的激光束长度的最大值为 120 2 cm, 此时 t= 40; 第 24 题解图⑥ (4)设光点一次反射后,经过点 C 时,点 N 恰好落在 O′C 上,如解图⑦, 第 24 题解图⑦ ∵ △O′AE∽△CDE, ∴ O′A CD = AE DE = 1 2 , ∴ DE= 2AE, ∴ DE= 40 cm, ∵ △CMN∽△CDE, ∴ MN DE =CM CD = 1 4 , ∴ MN= 1 4 DE= 10 cm, 当 0<a≤10 时, 二次反射第一次经过点 N 时,O′E 的延长线交 BC 的 延长线于点 G,如解图⑧, 第 24 题解图⑧ ∵ △MNF∽△CGF, ∴ MN CG =MF CF = MF 20-MF , 又∵ BG= 3t cm, ∴ a 3t-60 = MF 20-MF , ∴ FM= 20a 3t-60+a , ∵ △FMN∽△FDE, ∴ MN DE = FM DM+FM , ∴ a 60-t = FM 60+FM , ∴ FM= 60a 60-a-t = 20a 3t-60+a , ∴ t= 120 -2a 5 , 二次反射第二次经过点 N 时,O′E 的延长线交 BC 的 延长线于点 G,N 关于 CD 的对称点为 N′,如解图⑨, ∵ △O′AE∽△FDE, ∴ O′A FD = AE DE , ∴ DF= 40(60 -t) t , ∵ △MN′F∽△DEF, ∴ MN′ DE =MF DF = 60-DF DF ,即 a 60-t = 60-DF DF , ∴ DF= 60(60 -t) 60-t+a = 40(60-t) t , ∴ t= 120 +2a 5 , 当 0<a≤10 时,点 E 运动到图⑧和图⑨的 E 点之间 时,反射激光被 MN 挡住, 第 24 题解图⑨ ∴ 光点 E 移动的时间 t=40-(120 +2a 5 -120-2a 5 )= 40-4a 5 , 当 10<a<40 时, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 05 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 当激光束经过点 N 时,延长 MN 交 AB 于点 K,如解 图⑩, 第 24 题解图⑩ ∵ △O′AE∽△O′KN, ∴ AE KN =O′A O′K = 40 100 , ∵ NK=MK-MN= (60-a) cm, ∴ AE= t= 2 5 (60-a) cm, 同理光点 E 移动的时间 t = 2 5 ( 60 - a ) + ( 40 - 120+2a 5 )= 40-4a 5 , 综上所述,当光点 P 落在 BC 上时,光点 E 移动的时间 t= 40-4a 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21.一战成名优质原创卷(四) 1. B　 2. D　 3. C　 4. C　 5. C　 6. D　 7. A　 8. B　 9. A 10. C　 11. D　 12. B　 13. 2 　 14. 8 15. (1)-x2 +x;(2)-1 或 2 16. (1)2n;(2)3　 【解析】(1)对于正 n 边形(n≥3),其每 个内角的度数为 (n-2)·180° n ,不妨设其旋转 m 次 第 16 题解图 后,恰好回到起始位置,则有 m× (n -2)·180° n = k· 360°, 整理可得 m(n-2)= 2nk,∵ n 是奇数,∴ n-2 是奇数,2n 是 偶数,∴ 当 m = 2n 时,k = n- 2,验证如下:n = 3 时,旋转 6 次回到起始位置,此时 m = 6 = 2 × 3, k = 1 = 3 - 2; n = 5 时,旋转 10 次回到起始位置,此时 m= 10 = 2×5,k= 3 = 5-2,前面结论正确;(2)如解图,正六边形只需旋转 3 次即可回到起始位置,旋转次数最少. 17.解:(1)一, 完全平方式展开时,丢掉了两个字母乘积 的 2 倍; (2)原式=a2 +b2 +2ab-(a2 -b2 )-2b2 =a2 +b2 +2ab-a2 +b2 -2b2 = 2ab, ∵ a、b 互为倒数,即 ab= 1, ∴ 原式= 2ab= 2×1 = 2. 18.解:(1)由表格可知被调查学生中“一般”档次的有 13 人,所占比例是 26%, ∴ 共调查的学生数是 13÷26% = 50, ∵ 12+x+7 = 50×60%,∴ x= 11, ∵ y+1 = 50-(1+2)-(6+7)-(12+11+7), ∴ y= 3; (2)扇形统计图中“优秀”类所在扇形的圆心角的度 数为 360°× 4 50 = 28. 8°; (3)由表格可知,原来的众数是 5, ∴ 只有去掉一个数据 5,众数才会变为 5 和 6, ∴ P(众数发生变化)= 12 50 = 6 25 ,去掉的数据是 5. 19.解:(1)an 能被 8 整除,理由如下: 由题意得 an =(2n+1) 2-(2n-1)2 =4n2+4n+1-(4n2-4n+1)= 8n, ∴ an 能被 8 整除; (2)由(1)知 an = 8n, 当 n= 2 时,2×12 = 2,a2 = 16 = 4 2 ,是完全平方数; 当 n= 8 时,2×22 = 8,a8 = 64 = 8 2 ,是完全平方数; 当 n= 18 时,2×32 = 18,a18 = 144 = 12 2 ,是完全平方数; 当 n= 32 时,2×42 = 32,a32 = 256 = 16 2 ,是完全平方数; 这一系列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数依 次为 16,64,144,256; 设 m2 表示完全平方数, 由 a2 ,a8 ,a18 ,a32 这 4 个完全平方数可知 n= 2m 2 , ∴ n 为一个完全平方数的两倍时,an 是完全平方数. 20.解:(1)设李明步行的速度是 x 米 /分,根据题意得 2 100 x -2 100 3x = 20, 解得 x= 70, 经检验 x= 70 是原方程的解,且符合题意. 答:李明步行的速度是 70 米 /分; (2)∵ 2 100 70 +2 100 3×70 +1 = 41<42, ∴ 李明能在联欢会开始前赶到学校. 21. (1)证明:∵ 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线 段 CE, ∴ CE=CD,∠DCE= 90°, ∵ ∠BCA= 90°,∴ ∠BCD+∠ACD= ∠ACD+∠ACE, ∴ ∠ACE= ∠BCD, ∵ AC=BC,∴ △ACE≌△BCD(SAS); (2)解:∵ △ACE≌△BCD, ∴ BD=AE= 1,∠CAE= ∠B, ∵ ∠B+∠CAB= 90°,∴ ∠CAB+∠CAE= ∠DAE= 90°, ∴ △ADE 为直角三角形, 由题意可知△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形, 在等腰 Rt△CDE 中,DE= 2CE= 2, 在 Rt△ADE 中,AD= 22 -12 = 3 , ∴ AB=AD+BD= 3 +1; (3)解:0<x< 2 . 【解法提示】在 Rt △ABC 中, ∵ BC = AC = 2, ∴ AB = 2 2 ,由 ( 2 ) 知 △ADE 是直角三角形, 且 ∠DAE = 90°,∴ △ADE 的外心为线段 DE 的中点,如解图,设 DE 的中点为 O,连接 OA、OC,则 OA = OC,∴ 点 O 在 AC 的垂直平分线上,∴ 当点 O 为 AC 的中点时,DE 垂 直平分 AC,此时点 D 为 AB 的中点,即 BD = 2 ,∴ 当 点 O 在△ACD 内部时,x 的取值范围是 0<x< 2 . 第 21 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15 真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 77　 　 20 一战成名优质原创卷(三) (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题有 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 在数轴上,到表示数 1 的点的距离是 3 的点表示的数是 ( C ) A. 4 B. 3 C. -2 或 4 D. -2 2. 在“word”程序中,用“插入”菜单可以直接插入以下 “符号”(图形),其中既是轴对称图形,又是中心对 称图形的是 ( D ) 3. 观察下列运算: 说法正确的是 ( C ) A. ①用到了乘法分配律 B. ①用到了乘法交换律 C. ①运算错误 D. ②运算错误 4. 若式子-3( 2 3 + a 3 )的值不小于 2,则下列关于 a 的大小说法正确的是 ( A ) 5. 若 m<0,则 -m3 可以化简为 ( A ) A. -m -m B. m -m C. -m m D. m m 6. 老师布置了一个课后作业:分别在直角三角形 ABC,平行四边形 ABCD,∠PAB 中作 PQ∥AB,三位同学 给出了如图的三种方案,则正确的方案是 ( D ) 方案Ⅰ 直角三角形 ABC 　 方案Ⅱ 平行四边形 ABCD 　 方案Ⅲ 点 P 为∠A 边上一点 第 6 题图 A. 只有Ⅰ,Ⅱ正确 B. 只有Ⅱ,Ⅲ正确 C. 只有Ⅰ,Ⅲ正确 D. Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ都正确 7. 蜜蜂在飞行过程中,翅膀每分钟约振动 13 000 次,若飞行 t 分钟(1≤t≤9)的振动次数用科学记数法表 示为 a×10n,则 a 不可能是 ( D ) A. 9. 1 B. 7. 15 C. 3. 38 D. 1. 2 8. 经典真题(2019 年第 12 题)新考法 如图,将三条水平直线 m1,m2,m3 其中一条记为 x 轴( 向右为正方 向),三条竖直直线 m4,m5,m6 其中一条记为 y 轴(向上为正方向),并在此坐标平面内画出了二次函数 y=ax2 -2ax+1(a<0)的图象,那么所选择的 x 轴和 y 轴分别为直线 ( B ) A. m1,m4 B. m2,m4 C. m2,m6 D. m3,m5 第 8 题图 　 　 第 10 题图 　 　 第 11 题图 　 　 第 12 题图 9. 甲、乙两位同学生活在同一个小区,到该小区距离较近的学习用品超市有三个. 星期天,他们商量好第 二天早上 8:00 赶到超市买学习用品,但是没有说去哪个超市购买. 如果甲同学分别去这三个超市找乙 同学,下列说法正确的是 ( B ) A. 一次就能找到的概率与一次找不到的概率一样 B. 一次找不到的概率是一次找到概率的 2 倍 C. 一次就能找到的概率是 1 2 D. 一次就能找到的概率与同时抛两枚硬币一正一反向上的概率一样 10. 如图,将一把含 30°角的直角三角板 ABC 的斜边 AB 与中心为 O 的量角器 0°刻度线 BD 重叠,直角三 角板 ABC 与量角器边沿交于 D、E 两点,连接 OE,则∠DOE 的度数为 ( D ) A. 30° B. 45° C. 50° D. 60° 11. 红星家具门市为了节约空间,把库存的一件甲型号家具和两件乙型号的家具紧靠墙角,按如图位置摆 放,它们的侧面都是矩形,矩形的宽都相同. 店主经过测算发现,三个矩形的一个顶点恰好在一条双曲 线上,如图,已知乙型号家具的高是 100 cm,则家具的宽是 ( D ) A. 35 cm B. 40 cm C. 45 cm D. 50 cm 12. 题目:“如图,三角形 ABC 面积为 50. 点 O 为三角形的重心,延长 AO 交 BC 于点 D,点 P 为线段 OA 上 一点(与点 O,A 不重合),CD = 5,若点 P 到直线 BC 的距离是 a(a 为整数),求 a 的值. ”对于 a 的 值,甲答:4,5,6;乙答:7,8,9;丙答:a 可以取 10. 则正确的是 ( B ) A. 只有甲对 B. 甲,乙的答案合在一起才完整 C. 乙,丙的答案合在一起才完整 D. 三人的答案合在一起才完整 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 15 小题第一问 1 分,第二问 2 分,第 16 小题 每问 1 分) 13. 若 x+ 1 x -1 = 2,则 x2 + 1 x2 = . 14. 有一对圆环,小明在其中一个圆上任意取了 n(n>3)个点,并依次连接这 n 个点,构成多边形 G;接着 小明在另一个圆上任意取了(n+2)个点,并依次连接这(n+2)个点,构成多边形 M. 若多边形 G,M 的 内角和分别为 α,β,则 α 与 β 之间的数量关系是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 78　 15. 如图,这是一对完全相同的有一个角是 30°的直角三角板 ABC 和直角三角板 DEB,按如图①所示位置 放置,直角边 BC 与 EB 重合. 将三角形 DBE 绕点 B 逆时针旋转,使点 E 落在线段 AC 上,如图②. (1)此时三角形 BCE 的形状是 ; (2)若 BC= 4,此时线段 DC= . 图① 　 　 　 图② 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 第 16 题图 16. 如图,这是某年 8 月的日历表的一部分. 规定:按如图方式用正方形框选 4 个数字,左上角的数字如果 是 2,这四个数字的和就表示成 a2 . 如图所示的 4 个数字之和表示 a2 = 2+3+9+10 = 24. (1)a9 = ; (2)an 的最大值为 ; (3)若 an+am = 184(m>n),则 m-n= . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 7 分) 已知一元二次方程(a-1)x2 -6x-1 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求实数 a 的取值范围; (2)若 a 恰好为一组数 5,1,6,4,1,2 的中位数,m,n 为方程的两个根,求 n m +m n 的值. 18. (本小题满分 8 分) 有甲,乙两块草地,其长和宽的数据如图所示. 第 18 题图 (1)求甲草地的面积(用含 m 的代数式表示); (2)若再开辟一块正方形草地,周长与乙草地的周长相等. ①求该正方形草地的边长(用含 m 的代数式表示); ②请比较该正方形草地的面积与乙草地的面积的大小. 解:(1)甲草地的面积=(m+3)(m+9)= m2+12m+27; (2)①∵乙草地的周长=2(m+4+m+6)= 4m+20, ∴正方形草地的边长=(4m+20)÷4=m+5; ②正方形草地的面积=(m+5) 2,乙草地的面积=(m+4)(m+6), ∵ (m+5) 2-(m+4)(m+6)= 1>0, ∴正方形草地的面积>乙草地的面积. 19. 真实情境 (本小题满分 8 分) 在生活生产中,拖车是一种重要的专业运输工具车,如图①. 工作时,车尾坡梯放下后,坡梯和车尾的 斜面刚好在一个平面内. 如图②示意图中,AB = 200 cm,AC = 50 cm,点 C 距离地面 CD = 100 cm,车尾 坡梯折起后,B,C,D 三点在同一直线上. (参考数据:sin24°≈0. 4,cos24°≈0. 9, 21 ≈4. 6, 31 ≈5. 6) (1)求坡梯落地后与地面所成的角度的大小;(结果保留整数) (2)坡梯折起后,点 B 距离地面的高度. (精确到 0. 1 m) 图① 　 　 图② 第 19 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 79　 　 20. (本小题满分 8 分) 近年来,随着经济发展,网上购物成为人们重要的一种消费方式. 每年的 11 月 11 日被大家称为“狂欢 购物节” .说明:上一年的“狂欢购物节”到本年度的“狂欢购物节”成交额的增长率称为本年度的购物 节增长率. 下表是某电商近几年“狂欢购物节”的成交额并绘制成如图②的统计图,如图①是近几年 年增长率情况(精确到 1%) . 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 “狂欢购物节”成交额(亿元) 1 680 2 134 2 774 b 5 392 5 662 (1)求 2019 年年增长率 a%和 2020 年成交额 b 的值;补全图①中条形统计图并完成图②中折线统计图; (2)求出这六年年增长率数据的平均数和中位数,并说明用哪一个量更能描述这组数据的集中趋势; (3)预计 2023 年 11 月 11 日,该电商的成交额是否可能突破 8 000 亿元,并说明理由. 图① 　 　 　 　 图② 第 20 题图 21. (本小题满分 9 分) 如图,在☉O 中,OA,OB 为半径,点 C 为 OB 的中点,AC 的延长线交☉O 于点 D,OB 垂直平分 AD,延长 OB 到点 E,使得 BD=BE,连接 DE. (1)①求证:△AOC≌△DBC; ②求∠ADB 的大小; (2)求证:DE 是☉O 的切线. 第 21 题图 22. (本小题满分 9 分) 如图,点 O 为正五边形 ABCDE 的中心,DE 和 BA 的延长线交于点 F. 过点 A 作 OA 的垂线 AG,交 EF 于点 G. (1)求证:△AEG 为等腰三角形; (2)判断点 G 对线段 EF 而言,有何特殊性,并说明理由; (3)若 AB= 4,求 FE 的长. 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 80　 23. (本小题满分 11 分) 已知:如图,抛物线 y1 =ax2 与直线 y2 = x+b 交于点 A,B,其中点 B 的坐标为(2,4) . (1)求抛物线 y1 =ax2 与直线 y2 = x+b 的解析式; (2)将抛物线 y1 =ax2 向右平移 m(m>0)个单位,再向上平移 n(n>0)个单位,交直线 y2 = x+b 于点 A1,B1,若 A1B1 =AB. ①求 m,n 的关系; ②若线段 BO 扫过的面积是 12,求 m 的值. 第 23 题图 　 　 　 　 备用图 24. (本小题满分 12 分) 如图①,AD,CD 是两块平面镜,AB,CB 是平面镜的支架,四边形 ABCD 恰好构成矩形. 其中,AB = 80 cm,AD= 60 cm. 点 O 是位于 AB 中点的激光发射器,激光由 O 发射,经过一次或两次反射与 BC 交 于点 P,光点 E 在平面镜 AD 上,以 1 cm / s 的速度,由 A 向 D 移动,到达点 D 后停止运动,设点 E 的移 动时间为 t s. (1)如图①,只经过一次反射时直接 ∙∙ 写出∠DEP 与∠AEO 的大小关系; (2)当光点 P 为 BC 的中点时,求 t 的值; (3)当光点 P 落在 BC 上时,求矩形内激光束长度的最大值 y,并求出此时 t 的值; (4)根据需要,如图②,在平面镜 CD 上安装一块挡光板 MN,MN=a cm(a<40),MC = 20 cm,当光点 P 落在 BC 上时,求光点 E 移动的时间 t(用 a 表示) . 图① 　 　 　 　 图② 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋