19 一战成名优质原创卷(二)-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 解得 x1 = 4,x2 = 0, ∴ G1 与 x 轴的两个交点间的距离为 4; (2)如解图①,矩形 MNPQ 的面积即为 G1 ,G2 所围封 闭图形扫过的面积, S矩形MNPQ = [5-(-5)]×[3-(-3)] = 10×6 = 60; 第 24 题解图① (3)①如解图②,当 k = 0 时,G1 ,G2 所围区域(包括边 界)内整点个数是 0; ②如解图③,当 k= 1 时,G1 ,G2 所围区域(包括边界) 内整点个数是 5; ③如解图④,当 k= 2 时,G1 ,G2 所围区域(包括边界) 内整点个数是 11; ④如解图⑤,当 k= 3 时,G1 ,G2 所围区域(包括边界) 内整点个数是 17; ∴ 当 2≤k<3 时,G1 ,G2 所围区域(包括边界)内整点 个数是 11. 图② 　 　 图③ 图④ 　 　 图⑤ 第 24 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 19.一战成名优质原创卷(二) 1. C　 2. D　 3. A　 4. B　 5. C　 6. A　 7. D　 8. A　 9. D 10. C　 11. B 12. B　 【解析】如解图,由题意知,二次函数 y = x2 +mx+ 3 的图象交 y 轴于点 E(0,3),对称轴为直线 x = - m 2 < 0,二次函数 y = x2 +mx+ 3 的图象交 x 轴于点 A( x1 , 0 ), B ( x2 , 0 ), 则 AB = (x1 +x2 ) 2 -4x1x2 = m2 -12 , ∴ B( -m+ m2 -12 2 ,0), ∵ 对称二次函数 y=x2 -mx+3 的图象交 y 轴于点 E(0,3),交 x 轴于点 C ( x3, 0 ), D(x4,0), ∴ CD = (x3 +x4) 2 -4x3x4 = m2 -12 , C( m- m2 -12 2 ,0), ∴ BC = m - m2 -12 2 - -m+ m2 -12 2 = m - m2 -12 , ∵ AB = BC = CD, ∴ m2 -12 = m - m2 -12 , ∴ m1 = 4, m2 = - 4 ( 舍 去),∴ AB= 2,∴ AD= 3AB= 6. 第 12 题解图 13. -2(答案不唯一)　 14. 4　 15. 16 5 16. (1)y= -x+6;(2)5 17.解:(1) = 6 x-2 ÷ 2x x2 -4 = 3x+6 x ; (2)当 x= 1 时, = 9. (答案不唯一,x 不取 0,±2) 18. (1)解:2,0,3; (2)解:(5,14),理由如下: 设(5,2)= x,(5,7)= y, 则 5x = 2,5y = 7, ∴ 5x+y = 5x·5y = 14, ∴ (5,14)= x+y, ∴ (5,2)+(5,7)= (5,14); (3)证明:设(2n,3n)= x,则(2n) x = 3n,即(2x) n = 3n, ∴ 2x = 3,即(2,3)= x, ∴ (2n,3n)= (2,3) . 19.解:(1)设第一次购进玩具甲 x 个,乙 y 个,总利润为 W 元,由题意得 x +y= 220, 8x+10y+140 = 2 100,{ 解得 x= 120, y= 100,{ 总利润 W= 120×8×50%+100×10×60%-140 = 940,即 可盈利 940 元; (2)设第二次购进甲种玩具 a 个,则购进乙种玩具 (320-a)个,设总利润为 Q 元, 由题意得 a≤ 3 2 (320-a), 8a+10(320-a)+140≤3 000, { ∴ 170≤a≤192,且 a 为整数, 总利润 Q= 4a+6(320-a)-140 = -2a+1 780, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 当 a= 170 时,总利润最大,此时 Q= 1 440,320-a= 150, 答:购进甲种玩具 170 个,乙种玩具 150 个才能使总利 润最大,最大总利润为 1 440 元. 20.解:(1)由折线统计图可知喜欢《水浒传》的女生有 2 人,男生有 10 人;喜欢《红楼梦》的男生有 3 人,女生 有 12 人, ∴ 喜欢《水浒传》的学生共有 12 人,喜欢《红楼梦》的 学生共有 15 人, 由扇形图可知,《水浒传》所对应的圆心角为 86. 4°, ∴ 喜欢《水浒传》的学生所占的百分数= 86. 4 360 ×100% = 24%,班级总人数= 12 0. 24 = 50(人), ∴ 喜欢《三国演义》的学生共有 50×108° 360° = 15(人), ∴ 喜欢《三国演义》 的女生有 15- 9 = 6(人),∴ 喜欢 《西游记》的学生共有 50-12-15-15 = 8(人), 则 α 的度数为 8 50 ×360° = 57. 6°, 由折线统计图可知喜欢《西游记》的男生有 4 人, ∴ 喜欢《西游记》的女生有 4 人, ∴ 补全折线统计图如解图; 第 20 题解图 (2)该中学七年级学生中喜欢《三国演义》 和《红楼 梦》的学生最多,约有 30%,喜欢《西游记》 的学生最 少,占 16%, 建议:①购进《三国演义》200×30% = 60(本);②购进 《红楼梦》200× 30% = 60(本);③购进《水浒传》 200× 24% = 48(本);④购进《西游记》 200× 16% = 32(本); ⑤购进《三国演义》的数量约是《西游记》数量的 2 倍 (答案不唯一,合理即可); (3)嘉嘉的说法不正确, 分别用 1,2,3,4 代表《三国演义》《红楼梦》 《水浒传》 《西游记》,列表如下: — 1 2 3 4 1 — (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) — (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) — (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) — 共有 12 种等可能的结果,恰好是《三国演义》和《红楼 梦》的结果有 2 种, ∴ P(恰好是《三国演义》和《红楼梦》)= 1 6 . 21.解:(1)由题意得抛物线的顶点 C 的坐标为(1,3),点 A 的坐标为(0,2. 5), ∴ 设该抛物线的函数表达式为 y=a(x-1) 2 +3, 且有 2. 5 =a(0-1) 2 +3, 解得 a= -0. 5, ∴ 该抛物线的函数表达式为 y= -0. 5(x-1) 2 +3; (2)当 x= 0. 5 时,y= -0. 5×(0. 5-1) 2 +3 = 2. 875, ∵ 2. 875-0. 2 = 2. 675>2. 6, ∴ 该款灯笼符合要求. 22. (1)证明:由题意知点 O,D,C 三点共线, ∵ 四边形 ABCD 为矩形, ∴ BC⊥OC,∴ AD⊥OD, ∵ 点 D 在☉O 上, ∴ AD 是☉O 的切线; (2)解:如解图①,连接 OA,OE, ∵ AE 为☉O 的切线, ∴ ∠EAD= 2∠OAD, 在 Rt△OAD 中,OD=OC-CD=OC-AB= 0. 35 米, AD=BC= 1 米,tan∠OAD=OD AD = 7 20 , ∴ ∠OAD≈20°,∴ ∠EAD= 2∠OAD≈40°, ∴ ∠EOD≈140°, ∴ 劣弧 ED= 140 ×0. 35π 180 = 49π 180 (米)<1 米, ∵ AD= 1 米, ∴ 劣弧 ED<AD; 图① 图② 第 22 题解图 (3)解:∵ 半径 OF1 ,OF2 ,…,OF8 刚好等分☉O, ∴ 多边形 F1F2 …F8 为正八边形, 如解图②,连接 DF1 ′,DF1 ,点 F1 ,F3 位于同一水平位 置时,分两种情况, ①当 F1F3 位于圆心 O 上方时,F1F3 ⊥OC 于点 G,易 得△F1OG 为等腰直角三角形, ∴ F1G= 2 2 OF1 ,DG= (1+ 2 2 )OF1 , ∴ tan∠F1DO= F1G DG = 2 -1; ②当 F1F3 位于圆心 O 下方时, F1 ′ F3 ′ ⊥ OC 于点 G′,易得△F1 ′OG′为等腰直角三角形, ∴ F1 ′G′= 2 2 OF1 ′,DG′= (1- 2 2 )OF1 ′, ∴ tan∠F1 ′DO= 2 +1, ∴ ∠F1DO 的正切值为 2 -1 或 2 +1. 23.解:(1)由题意知点 B(1,0), 把点 B(1,0)代入函数 y= -x+b, ∴ b= 1, ∴ 直线 AB 的解析式为 y= -x+1, ∴ ∠ABO= 45°, ∴ 直线 BM 与 x 轴形成的锐角为 45°, ∴ 设直线 BM 的解析式为 y= x+a,将点 B(1,0)代入, 得 a= -1, ∴ 直线 BM 的解析式为 y= x-1; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 (2)能,如解图①,延长 FE 交 CH 于点 N, 第 23 题解图① S封闭图形 =S正方形FGHN+S正方形NCDE = 20, ①若 BM 平分封闭图形面积, 当射线 BM 经过点 F(4,1)时, 设直线 BM 的解析式为 y= x+c,将点 F(4,1)代入, ∴ c= -3, 此时直线 BM 的解析式为 y = x- 3,点 H(8,5)恰好在 BM上, S△FGH = 1 2 FG×GH= 8<10, ∵ S正方形NCDE = 4<10, ∴ 射线 BM 与封闭图形交点在 NH,EF 上, 如解图②,设交点分别为 P,Q, 第 23 题解图② △NPQ 为等腰直角三角形, ∴ S△NPQ = 1 2 NP×NQ= 1 2 NP2 = 6, ∴ NP= 2 3 (负值已舍去), ∴ P(4+2 3 ,5), 过点 P 作 PK⊥x 轴于点 K, ∴ B 点横坐标=OK-BK= 4+2 3 -5 = 2 3 -1, ∵ OA=OB,∴ b= 2 3 -1, ∴ 直线 AB 的解析式为 y= -x+2 3 -1; ②若 AB 平分封闭图形面积, 如解图③,设 AB 分别交 CH,FN,FG 于点 P,R,Q, 第 23 题解图③ ∵ Rt△PNR,Rt△RFQ 均为等腰直角三角形, ∴ PN=NR=QG, ∴ S四边形PQGH = 1 2 (PH+QG)×4 = 2(4+2PN)= 10, ∴ PN= 1 2 ,∴ P( 7 2 ,5), ∴ 此时 b= 5+ 7 2 = 17 2 ,直线 AB 的解析式为 y= -x+17 2 ; 即直线 AB 的解析式为 y= -x+2 3 -1 或 y= -x+17 2 ; (3)满足条件的 b 的值为-2,-1,0,1,2,3,4,5,6. 【解法提示】由题意,BM∥HF,如解图④,当 BM 交 FG 时,设分别交 FG,GH 于点 S,T,∵ △SGT 是等腰直角 三角形,∴ 当 S 为整点,T 必为整点,∴ 当与 FG 相交 时,满足条件的 S 有 4 个( 7,1),( 6,1),( 5,1),( 4, 1),∵ OA = OB,MB 与 x 轴正半轴成 45°角,∴ 此时 b 的值=S 的横坐标-S 的纵坐标,b = 7-1 = 6,b = 6- 1 = 5,b= 5-1 = 4,b= 4-1 = 3,如解图⑤,当 BM 与 FE 相交 时,设分别交 EF,NH 于点 Q,P,∵ △NQP 是等腰直角 三角形,∴ 当 Q 为整点,P 必为整点,∴ 满足条件的 Q 有 2 个(4,2),(4,3),此时 b = 4-2 = 2,b = 4-3 = 1,同 理,当 BM 与 DE, CD 相交时, 满足条件的坐标为 (3,3),(2,3),( 2,4),b 的值有 3 个,分别是 b = 0, -1,-2,综上所述,满足条件的 b 的值为- 2, - 1,0, 1,2,3,4,5,6. 图④ 图⑤ 第 23 题解图 24. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BCD= 90°, ∵ CQ⊥BP, ∴ ∠BQC= ∠CQP= 90°, ∴ ∠CBQ+∠BCQ= ∠BCQ+∠QCP= 90°, ∴ ∠CBQ= ∠PCQ, ∴ △BCQ∽△CPQ; (2)解:如解图①,当点 P 与点 D 重合时,设 BC 中点 为点 G,则点 Q 在以点 G 为圆心,BG 长为半径的圆 弧上, 图① 　 　 　 图② 第 24 题解图 ∵ tan∠DBC=CD BC = 3 4 , ∴ ∠DBC≈37°, ∴ ∠QGC≈74°, ∴ ∠BGQ≈106°, 如解图②,当点 P 为 AD 中点时, ∵ tan∠ABP=AP AB = 2 3 , ∴ ∠ABP≈33. 5°, ∴ ∠PBC≈56. 5°, ∴ ∠BGQ≈67°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 ∴ 点 Q 转过的圆心角约为 106°-67° = 39°, ∴ 点 Q 移动的距离约为39π ×4 180 = 13π 15 ; (3)解:由( 2) 可知,如解图①,点 Q 在以点 G 为圆 心,BG 长为半径的圆弧上,连接 AG,交圆弧于点 M, 当点 Q 与点 M 重合,即点 A,Q,G 三点共线时,线段 AQ 最短, 在 Rt△ABG 中,AB= 6,BG= 4, 由勾股定理可得 AG= 2 13 , ∴ 线段 AQ 的最小值为 2 13 -4; (4)解:当△ABQ 为等腰三角形时,t 的值为32 -8 7 3 或 6+2 7或16 3 或 98-18 7 7 . 【解法提示】易知点 Q 在以点 G 为圆心,BG 长为半径的圆弧上. ①如解图③,作 AB 的垂直平分线 MN 交 AB,DC 于点 M,N,交圆弧于点 Q1 ,Q2 ,连接 BQ1 并延长交 CD 于点 P1 ,则易知 AM = BM= CN = DN = 3,设 MQ1 = x,∵ ∠MQ1B+ ∠CQ1N = 90°,∠Q1CN + ∠CQ1N = 90°, ∴ ∠MQ1B = ∠Q1CN, ∵ ∠BMQ1 = ∠CNQ1 = 90°, ∴ △MQ1B ∽ △NCQ1 , ∴ MQ1 MB = NC Q1N ,∴ Q1N = 9 x ,∵ MQ1 +Q1N = 8,∴ x+ 9 x = 8,∴ x1 = 4 + 7 ,x2 = 4 - 7 (舍去),则 NQ1 = 4 - 7 , ∵ AB∥CD, ∴ △MQ1B ∽ △NQ1P1 , ∴ MB MQ1 = NP1 NQ1 , ∴ NP1 = MB·NQ1 MQ1 = 3×(4- 7 ) 4+ 7 = 23-8 7 3 , ∴ P1C = NC+NP1 = 32-8 7 3 ,∴ t = 32 -8 7 3 ;连接 BQ2 并延长交 AD 于点 P2 ,易知 MQ2 = 4- 7 ,且 MQ2 是△ABP2 的中 位线,∴ AP2 = 8-2 7 ,∴ t = 6+2 7 ;②如解图④,以点 A 为圆心,AB 长为半径作弧交圆 G 于点 Q,连接 AG 交 BP 于点 F,连接 GQ,此时 AQ=AB= 6,∵ AG =AG,BG = QG, ∴ △ABG≌ △AQG ( SSS), ∴ ∠BAG = ∠QAG, 则 AG⊥BG,∴ ∠GBF+ ∠AGB = 90°,∵ ∠BAG+ ∠AGB = 90°,∴ ∠GBF = ∠BAG, ∴ tan ∠GBF = tan ∠BAG, 即 BG AB = CP BC , ∴ 4 6 = CP 8 , ∴ CP = 16 3 , ∴ t = 16 3 ; ③如解图 ⑤,以点 B 为圆心,AB 长为半径作弧交圆 G 于点 Q. 延长 CQ 交 AD 于 点 K, 连 接 BK, 易 得 ∠BAD = ∠BQK = 90°, AB = BQ,又 ∵ BK = BK, ∴ Rt △ABK ≌ Rt△QBK(HL), ∴ AK = KQ, 设 AK = KQ = x, 易 得 △KQP∽△CQB,∴ KQ KP = CQ BC ,∴ KP = 8x CQ ,在 Rt△CBQ 中,由勾股定理得 CQ2 = BC2 -BQ2 ,∴ CQ = 2 7 (负值 已舍去),∴ KP = 4 7 x 7 ,∴ AP = AK+KP = (4 7 +7)x 7 , ∵ ∠ABP+ ∠PBC = ∠QCB+ ∠PBC = 90°,∴ ∠ABP = ∠QCB,∴ tan∠ABP = tan∠QCB,即AP AB = BQ QC ,∴ x = 8- 2 7 ,∴ AP= 18 7 7 ,∴ t = 98 -18 7 7 ;综上所述,当△ABQ 为等腰三角形时, t 的值为 32 -8 7 3 或 6 + 2 7 或 16 3 或 98-18 7 7 . 图③ 　 　 图④ 图⑤ 第 24 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 20.一战成名优质原创卷(三) 1. C　 2. D　 3. C　 4. A　 5. A　 6. D　 7. D　 8. B　 9. B 10. D　 11. D 第 12 题解图 12. B　 【解析】如解图,连接 BO 并延长交 AC 于点 E,分别过 点 O,A 作直线 BC 的垂线,垂 足 分 别 为 点 G, F, 连 接 OC,∵ 三角形 ABC 的面积为 50,点 O 为三角形的重心, ∴ 点 E,D 分别为 AC,BC 的 中点,∴ BC = 2CD = 10, ∴ S△ABC = 1 2 BC · AF = 50, ∴ AF= 10,∵ S△BCE = S△ACD,∴ S△BOD = S△AOE,∴ S△BOD = S△COD = S△AOE = S△EOC, ∴ S△AOC = 2S△OCD, ∴ AO = 2OD,∵ OG⊥BC,AF⊥BC, ∴ OG∥AF, ∴ △DOG∽ △DAF,∴ OG AF =DO DA = 1 3 ,∴ OG = 10 3 ,∵ 点 P 为线段 OA 上一点(与点 O,A 不重合),∴ 10 3 <a< 10,∴ a 可能是 4,5,6,7,8,9,∴ 甲,乙的答案合在一起才完整. 13. 7　 14. β-α= 360°　 15. (1)等边三角形;(2)4 7 16. (1)52;(2)108;(3)8 或 6 或 4 或 2 17.解:(1)∵ 一元二次方程(a-1)x2 -6x-1 = 0 有两个不 相等的实数根, ∴ Δ= (-6) 2 -4(a-1)×(-1)>0,解得 a >-8, ∵ a-1≠0, ∴ a >-8 且 a≠1; (2)这一组数按从小到大排列:1,1,2,4,5,6, ∴ 中位数是 3,∴ a= 3, ∴ 一元二次方程为 2x2 -6x-1 = 0, ∴ m+n= 3,mn= - 1 2 , ∴ n m + m n =m 2 +n2 mn = (m+n) 2 -2mn mn = -20. 18.解:(1)甲草地的面积= (m+3)(m+9)= m2 +12m+27; (2)①∵ 乙草地的周长= 2(m+4+m+6)= 4m+20, ∴ 正方形草地的边长= (4m+20)÷4 =m+5; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 74 真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 73　 　 19 一战成名优质原创卷(二) (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题有 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 如图,一条入射光线,射向平面镜,反射光线可能是射线 ( C ) A. a B. b C. c D. d 　 　 　 　 　 图①　 　 　 　 图② 　 　 　 　 　 　 第 1 题图　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 第 6 题图 2. 式子 x2 -3 可以表示 ( D ) A. 2 与 x 的积与 3 的差 B. x 与 3 的差的平方 C. x 与 3 的差的 2 倍 D. x 乘 x 的积与 3 的差 3. 如图①是一张三角形剪纸,其轮廓为图②中的△ABC,在△ABC 中,AB = AC,AD 为 BC 边上的高,折叠 ∠C,使点 C 落在边 AB 上的 C′处,折痕 BE 交 AD 于点 O,交 AC 于点 E,则点 O 为△ABC 的 ( A ) A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 4. 已知 a= 3 ,b= 12,则 b a3 的值为 ( B ) A. 2 B. 2 3 C. 3 2 D. 4 3 5. 在一款游戏中,每一行的方块全部填满,就可以得分,如图②,甲、乙、丙、丁四个图形都可以顺时针旋转 变形. 从甲、乙、丙、丁中任选一个图形,变形后,刚好可以把图①填满的概率为 ( C ) 图① 　 　 　 图② 第 5 题图 A. 1 4 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 6. 某建筑物顶部是弧面,如图是其顶部抽象出的图形,线段 AB 的长为 6,弧的最高点 G 到 AB 的距离 GH 为 1,则 AB ( 的长约为(参考数据:tan37°≈ 3 4 ) ( A ) A. 37 18 π B. 5 2 π C. 3π D. 7 2 π 7. 根据下列图示,判断正确的选项是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 甲:图①△ABC 中,点 Q 为 AB 的中点,由作图可知 QE∥BC 　 乙:图②△ABC 中,由 作图可知 AM∥BC 　 丙:图③中,点 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,由作图可知 OE∥BC 第 7 题图 A. 甲、乙 B. 乙、丙 C. 甲、丙 D. 甲、乙、丙 8. 学科融合 物理实验课上,在压力不变的情况下,小亮做出了压强 p( Pa)和受力面积 S( m2 )之间的关系 的图象如图所示. 其中,点 A(a,0),AB = 4AO,MA⊥S 轴,NB⊥S 轴,该图象上点 M,N 的纵坐标分别为 d,c,d-c= 300 Pa. 则压力 F(N)的大小为(用 a 表示) ( A ) A. 375a B. 350a C. 300a D. 200a 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 11 题图 9. 如图,点 G 为正六边形 ABCDEF 内一点,AB= 4,∠AGE= 120°,则 BG 的值不可能是 ( D ) A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 10. 当地素材 邯郸市涉县“129”师,曾经是刘邓大军的驻地,是著名的红色爱国主义教育基地. 为了更好 地提供服务,积累数据资料,黄金周期间,该基地对 50 座以上大巴车的数量进行了统计: 日期 4 月 29 日 4 月 30 日 5 月 1 日 5 月 2 日 5 月 3 日 5 月 4 日 5 月 5 日 数量(辆) 40 46 48 48 48 46 已知这组数据的中位数和众数均为 48,其中,5 月 2 日的数据被污损,则 5 月 2 日的数据可能是 ( C ) ①46;　 　 ②47;　 　 ③48;　 　 ④50; A. ①或② B. ①或③ C. ③或④ D. ②或③ 11. 如图,在等边三角形 ABC 中,折叠△BDE,得到△FDE,FD,FE 分别交 AC 于点 G,H,折痕 DE 平分 △ABC 的面积,若 DG= 8,HE= 6,则 GH 的值为 ( B ) A. 8 B. 10 C. 10 2 D. 12 12. 我们规定对于二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0),把与一次项系数 b 互为相反数,其他系数都相同的二次 函数,称为“对称二次函数” . 若二次函数 y = x2 +mx+3(m>0)的图象与它的对称二次函数的图象与 x 轴的交点自左向右依次为 A,B,C,D,与 y 轴的交点为 E,并且 AB=BC=CD,则 AD 的值为 ( B ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 16 小题第一问 1 分,第二问 2 分) 13. 开放性试题 已知不等式组 2x-1≥3,① -x+6>a,②{ 若要保证该不等式组的正整数解不少于 3 个,则整数 a 的值可 以是 . 14. 在如图所示的方格纸上画有 2 条线段,若再画 1 条线段(线段两端均在格点上),使图中的 3 条线段组 成一个轴对称图形,则这样的线段有 条. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图① 　 　 　 图② 第 14 题图 第 15 题图 15. 图①是某种可调节支撑架,BC 为水平固定杆,竖直固定杆 AB⊥BC,活动杆 AD 可绕点 A 旋转,CD 为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 74　 可伸缩支撑杆,已知 AB= 15 cm,BC= 20 cm,AD= 50 cm. 如图②,当活动杆 AD 绕点 A 由水平状态按逆 时针方向旋转 α,AD 与 CD′相交于点 P,当∠D′CD=α,且 PD= 24 cm 时,则 PD′的长度为 cm. 16. 在坐标平面内,规定两种点的变换方式:甲种变换:向右移动 2 个单位,再向上移动 1 个单位;乙种变 换:向右移动 1 个单位,再向上移动 2 个单位. 若从原点开始,分别进行 2 次甲种变换和 2 次乙种变换 得到点 P,Q. (1)经过点 P,Q 的一次函数表达式为 ; (2)平面内一点 G(m,n),经过 4 次变换,得到点 M,若在第一象限内的四边形 OPMQ 恰好为平行四边 形,则满足条件的点 G 的个数为 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 7 分) 已知,式子 2x x2 -4 × = 6 x-2 . (1)求 关于 x 的代数式; (2)从-2,-1,0,1,2,3 中任选一个数作为 x 的值,计算 的值. 18. (本小题满分 8 分) 规定两数 a,b 之间的一种运算,记作(a,b),如果 ac = b,则(a,b)= c. 我们叫(a,b)为“雅对” . 例如:因为 23 = 8,所以(2,8)= 3. 我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3) +(3,5)= (3,15)成立. 证明如下: 设(3,3)= m,(3,5)= n,则 3m = 3,3n = 5, 故 3m·3n = 3m+n = 3×5 = 15, 则(3,15)= m+n, 即(3,3) +(3,5)= (3,15) . (1)根据上述规定,填空:(2,4)= ,(5,1)= ,(3,27)= ; (2)计算(5,2) +(5,7)= ,并说明理由; (3)利用“雅对”定义证明:(2n,3n)= (2,3),对于任意非零自然数 n 都成立. 19. (本小题满分 8 分) 寒假期间,阳阳和同学准备进行爱心义卖活动,通过市场调查发现,甲、乙两种玩具比较热销. 具体信 息如表所示: 种类 甲 乙 进价(元) 8 10 利润率(%) 50 60 (1)若阳阳和同学共购进玩具 220 个,包括物流费 140 元在内,共投入成本 2 100 元,假设玩具全部售 完后,可盈利多少元(不考虑其他成本)? (2)阳阳和同学计划下个月,购进 320 个玩具,总费用不超过 3 000 元,假设物流总费用不变,且甲种 玩具数量不多于乙种玩具数量的 3 2 ,如何进货才能使总利润最大? 最大总利润是多少? 解:(1)设第一次购进玩具甲 x 个,乙 y 个,总利润为 W 元,由题意得 x+y=220, 8x+10y+140=2 100,{ 解得 x=120, y=100,{ 总利润 W=120×8×50%+100×10×60%-140=940,即可盈利 940 元; (2)设第二次购进甲种玩具 a 个,则购进乙种玩具(320-a)个,设总利润为 Q元, 由题意得 a≤ 3 2 (320-a), 8a+10(320-a)+140≤3 000, ì î í ï ï ï ï ∴ 170≤a≤192,且 a 为整数,总利润 Q = 4a+6(320-a) - 140=-2a+1 780,当 a=170 时,总利润最大,此时 Q=1 440,320-a=150, 答:购进甲种玩具 170 个,乙种玩具 150 个才能使总利润最大,最大总利润为 1 440 元. 20. (本小题满分 8 分) 为了弘扬我国传统文化和培养学生阅读的习惯,某中学七(一)班对本班学生最喜欢的四大名著情况 进行了问卷调查(每位学生只能选一部),并对问卷进行了详细的整理,如图所示. 图① 　 　 　 　 　 图② 第 20 题图 (1)补全图①中的折线统计图,并求出图②中,《西游记》所占的扇形圆心角 α 的度数; (2)该中学七年级有 700 名学生,计划购进四大名著共计 200 本,利用此次统计数据为学校七年级购 进图书提供两条合理化建议; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 75　 　 (3)将四大名著制成相同的卡片,背面向上,嘉嘉说,任意摸两张,恰好是《三国演义》和《红楼梦》的概 率是 1 2 ,通过列表验证嘉嘉的说法是否正确. 21. (本小题满分 9 分) 如图①为某景区一长廊,该长廊顶部的截面可近似看作抛物线的一部分,如图②,其跨度 AB 为 2 m,长廊顶部的最高点与地面的距离 CD 为 3 m,两侧的柱子 OA,BE 均垂直于地面,且高度为 2. 5 m,线段 OE 表示水平地面. (1)求该抛物线的函数表达式; (2)为了夜间美观,景区工作人员计划分别在距离 A,B 两端水平距离为 0. 5 m 处的长廊顶部各悬挂 一盏灯笼,且灯笼底部要保持离地面至少 2. 6 m 的安全距离,现市面上有一款长度为 0. 2 m 的小 灯笼,试通过计算说明该款灯笼是否符合要求(忽略悬挂处长度) . 图① 　 　 图② 第 21 题图 22. 真实情境 (本小题满分 9 分) 我国关于纺车的文献记载最早见于西汉扬雄的《方言》,记有“繀车”和“道轨”,纺车是采用纤维材料 如毛、棉、麻、丝等原料,通过人工机械传动,利用旋转抽丝延长的工艺生产线或纱的设备,它凝结了我 国古代劳动人民的智慧. 如图,是一辆纺车,四边形 ABCD 为矩形,点 D 恰好在☉O 上,AB = 0. 35 米, BC= 1 米,OC= 0. 7 米. (sin20. 5°≈ 7 20 ,cos69. 5°≈ 7 20 ,tan20°≈ 7 20 ) (1)求证:AD 是☉O 的切线; (2)若 AE 为☉O 的切线,E 为切点,比较劣弧 ED 和线段 AD 的大小; (3)纺车中,圆上的八个支撑 OF1,OF2,…,OF8 刚好等分圆,当点 F1,F3 位于同一水平位置时,求 ∠F1DO 的正切值. 图① 　 　 图② 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 76　 23. (本小题满分 11 分) 如图,在平面直角坐标系中,直线 y= -x+b 与 y 轴,x 轴分别交于点 A,B,将 x 轴下方的射线部分做关 于 x 轴的轴对称变换,形成射线 BM. 点 C(2,5),D(2,3),E(4,3),F(4,1),G(8,1),H(8,5),构成封 闭图形. (1)若点 B 的横坐标为 1,求直线 BM 的解析式; (2)折线 AB-BM 能否恰好平分封闭图形面积,若能,求直线 AB 的解析式,若不能,说明理由; (3)当 BM 经过封闭图形边界上两个整点(横纵坐标都是整数)时,直接 ∙∙ 写出 b 的值. 第 23 题图 24. (本小题满分 12 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6,BC= 8,点 P 自点 C 开始沿着 C→D→A 以每秒 1 个单位的速度移动,移 动时间是 t 秒,连接 BP,过点 C 作 CQ⊥BP,垂足为 Q,连接 AQ. (参考数据:sin48. 5°≈ 3 4 ,cos41. 5°≈ 3 4 ,tan37°≈ 3 4 ,sin42°≈ 2 3 ,cos48°≈ 2 3 ,tan33. 5°≈ 2 3 ) 　 第 24 题图 (1)当点 P 在线段 CD(不包括端点)上时,求证:△BCQ∽△CPQ; (2)当点 P 从点 D 移动到边 AD 中点时,求点 Q 移动的距离; (3)求线段 AQ 的最小值; (4)当△ABQ 为等腰三角形时,直接 ∙∙ 写出 t 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋