17 2024年石家庄市28中中考数学模拟试卷(5月份)改编-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 65　 　 17 2024 年石家庄市 28 中中考数学模拟试卷(5 月份)改编 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. x7 可以表示为 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x3 +x4 B. (x3) 4 C. x9 -x2 D. x3·x4 2. 如图,E,F,G 为圆上的三点,∠FEG= 50°,P 点可能是圆心的是 ( C ) A B C D 3. 在下列各式中,计算正确的是 ( B ) A. ( -9) 2 = -9 B. 3 ( -1) 3 = -1 C. ( - 2 ) 2 = -2 D. 3 2 - 2 = 3 4. 小红同学对数据 32,41,37,37,4■进行统计分析,发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了,则下列 统计量与被涂污数字无关的是 ( D ) A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 5. 如图是一个粉笔盒的表面展开图,若字母 A 表示粉笔盒的上盖,B 表示侧面,则底面在表面展开图中的 位置是 ( C ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　第 5 题图 第 7 题图 第 8 题图 6. 某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛” . 比赛规定,以抽签方式决定每个人 的出场顺序、主持人将表示出场顺序的数字 1,2,3 分别写在 3 张同样的纸条上,并将这些纸条放在一 个不透明的盒子中,搅匀后从中任意抽出一张,小星第一个抽,下列说法中正确的是 ( D ) A. 小星抽到数字 1 的可能性最小 B. 小星抽到数字 2 的可能性最大 C. 小星抽到数字 3 的可能性最大 D. 小星抽到每个数的可能性相同 7. 如图,在平面直角坐标系中有 P,Q,M,N 四个点,其中恰有三点在反比例函数 y= k x (k>0)的图象上. 根 据图中四点的位置,判断这四个点中不在函数 y= k x 的图象上的点是 ( C ) A. 点 P B. 点 Q C. 点 M D. 点 N 8. 平行四边形 ABCD 中,EF 经过两条对角线的交点 O,分别交 AB,CD 于点 E,F,在对角线 AC 上通过作 图得到点 M,N 如图①,图②,下面关于以点 F,M,E,N 为顶点的四边形的形状说法正确的是 ( C ) A. 都为矩形 B. 都为菱形 C. 图①为矩形,图②为平行四边形 D. 图①为矩形,图②为菱形 9. 关于式子x 2 +2x+1 x2 -1 ÷ x x-1 ,下列说法正确的是 ( D ) A. 当 x= 1 时,其值为 2 B. 当 x= -1 时,其值为 0 C. 当-1<x<0 时,其值为正数 D. 当 x<-1 时,其值为正数 10. 如图,已知△ABC,∠C= 90°,按以下步骤作图: ①以点 A 为圆心,以适当长为半径画弧,分别交边 AC,AB 于点 M,N; ②分别以 M,N 为圆心,以大于 1 2 MN 的长为半径画弧,两弧在△ABC 的内部相交于点 P; ③作射线 AP 交 BC 于点 D; ④分别以 A,D 为圆心,以大于 1 2 AD 的长为半径画弧,两弧相交于点 G,H; ⑤作直线 GH 分别交 AC,AB 于点 E,F. 若 AF= 3,CE= 1,则△ACD 的面积是 ( A ) A. 4 2 B. 6 2 C. 8 2 D. 12 2 第 10 题图 　 　 　 　 　 第 12 题图 11. 老师给出了二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的部分对应值如表: x … -3 -2 0 1 3 5 … y … 7 0 -8 -9 -5 7 … 同学们讨论得出了下列结论, ①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线 x= 2;③当-2<x<4 时,y<0;④x= 3 是方程 ax2 +bx+c+ 5 = 0 的一个根;⑤若 A(x1,5),B(x2,6)是抛物线上的两点,则 x1 <x2 . 其中正确的是 ( A ) A. ①③④ B. ②③④ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 12. 我们知道平行四边形有很多性质. 如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,那么会发现这其 中还有更多的结论. 题目:如图,在▱ABCD 中,已知∠B= 30°,AB= 2 3 ,将△ABC 沿 AC 翻折至△AB′C,连接 B′D. 当 BC 长 为多少时,△B′AD 是直角三角形? 对于其答案,甲答:BC= 2;乙答:BC= 3;丙答:BC= 6. 则下列结论正确的是 ( 　 ) A. 甲、丙答案合在一起才完整 B. 甲、乙答案合在一起才完整 C. 甲、乙、丙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起也不完整 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 66　 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 16 小题第 1 问 1 分,第 2 问 2 分) 13. 若 24 ×22 = 2m,则 m 的值为 . 第 14 题图 14. 如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,A,B,C,D 四个点均在格点上,AC 与 BD 相交于点 E,连接 AB,CD,则△ABE 与△CDE 的周长比为 . 15. “格子乘法”是 15 世纪意大利数学家使用的一种计算方法,后传入我国,明朝数学 家程大位在《算法统宗》里称之为“铺地锦” . 如图①,计算 357×46,将乘数 357 和 46 分别写在格子上方和右边,然后以乘数 357 的每位数字乘以乘数 46 的每位数字,将 结果计入相应的格子中,最后按斜行加起来(其中 8+4+0 = 12,相加满十向前进 1,则 2+0+3+8 = 13,再 加进的 1 得 14,相加满十再向前进 1),得 16 422. 如图②,计算 47×51,得 2 397. 如图③,用“格子乘 法”表示两个两位数相乘,则 x 的值为 . 图① 　 图② 　 图③ 第 15 题图 第 16 题图 16. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y = kx + 2 ( k≠0) 经过点 M(m,1) 和 点 N(1,4) . (1)则△MON 的面积为 ; (2)当 x>- 1 2 时,对于 x 的每一个值,函数 y=nx(n≠0)的值小于一次函数 y= kx+2 (k≠0)的值,请写出满足条件的整数 n 的个数为 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 7 分) 已知 P=A·B-M. 第 17 题图(1)若 A= ( -3) 0,B= ( - 1 2 ) -1,M= | -1 | ,求 P 的值; (2)若 A= 3,B= x,M= 5x-1,且 P≤3,求 x 的取值范围,并在如图所示的数轴上表示出解集. 18. (本小题满分 8 分) 【观察思考】用同样大小的正方体木块依次堆放成如图所示的实心几何体,并按照这样的规律继续堆 放下去. 【规律总结】 第 18 题图 (1)第 4 个图形有 个正方体; (2)第 n 个图形 个正方体(用含 n 的式 子表示); 【问题解决】 (3)是否存在某个图形,它对应的几何体由 496 个正 方体木块组成? 若存在,指出它是第几个图形;若不存在,请说明理由. 解:(1)28; (2)(2n2-n); (3)存在,由题意得,2n2-n=496,解得 n=16 或 n=-31 2 (舍去), ∴存在某个图形,它对应的几何体由 496 个正方体木块组成,它是第 16 个图形. 19. (本小题满分 8 分) 某校举办了一次成语知识竞赛,满分 10 分,学生得分均为整数,成绩达到 6 分及 6 分以上为合格,达 到 9 分或 10 分为优秀,这次竞赛中,甲,乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图 所示. 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 6. 8 a 3. 76 90% 30% 乙组 b 7. 5 1. 96 80% 20% 第 19 题图 (1)求出成绩统计分析表中 a,b 的值; (2)小英同学说:“这次竞赛我得了 7 分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断,小英 是甲,乙哪个组的学生; (3)甲组同学说他们组的合格率,优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组. 但乙组同学不同 意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组. 请你写出两条支持乙组同学观点的理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 67　 　 20. (本小题满分 8 分) 学校计划拿出一笔钱给一些班级配置篮球和排球.若给每班 1 个篮球和 2 个排球,花完这笔钱刚好配置 30 个班;若给每班 2 个篮球和 1 个排球,花完这笔钱刚好配置 20 个班.设每个篮球 a 元,每个排球 b 元. (1)用含 b 的代数式表示 a; (2)现在给每班 x(x>0)个篮球和 y(y>0)个排球,花完这笔钱刚好配置 10 个班. ①求 y 与 x 的函数解析式; ②怎样的配置方案,可以使每班配置的排球最少? 解:(1)由题意得 30(a+2b)= 20(2a+b),化简,得 a=4b; (2)①由题意得 30(a+2b)= 10(xa+yb)或 20(2a+b)= 10(xa+yb),把 a=4b 代入,化简得 y=-4x+18; ②∵-4<0,∴ y 随 x 的增大而减小,而 x,y 都是正整数,∴当 x=4 时,y最小 =2. ∴给每个班 4 个篮球和 2 个排球,可以使每班配置的排球最少. 21. (本小题满分 9 分) 如图①是一张圆凳的造型,已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是 30 cm,高为 42. 9 cm. 它被平行 于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆. 小明画出了它的主视图,是由上、下底面圆的直径 AB, CD 以及 AC ( ,BD ( 组成的轴对称图形,直线 l 为对称轴,点 M,N 分别是 AC ( ,BD ( 的中点,如图②,他又画 出了 AC ( 所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC= 66°,发现并证明了点 E 在 MN 上. 请你继续跟着 小明的思路,完成下列问题. (1)请求出 AC ( 所在的圆的半径; (2)计算 MN 的长. (参考数据:sin66°≈ 9 10 ,cos66°≈ 2 5 ,tan66°≈ 9 4 ,sin33°≈11 20 , cos33°≈11 13 ,tan33°≈13 20 . ) 图① 　 图② 第 21 题图 22. (本小题满分 10 分) 综合与实践 【探究 1】 图① 图② 图③ 图④ 第 22 题图 透镜焦距: f 物距 u 像的正 / 倒 像的放 / 缩 像的虚 / 实 像距 v u>2f 倒立 缩小 实像 f<v<2f u= 2f 倒立 等大 实像 v= 2f f<u<2f 倒立 放大 实像 v>2f 圆圆在复习“凸透镜成像规律” (如图①所示,记凸透镜的焦距为 f,蜡烛到凸透镜的距离为 u,光幕 (像)到凸透镜的距离为 v)时发现,当 u>f 时,2f 总在 u 和 v 之间(包含 u 和 f) . 圆圆认为 2f 为 u 和 v 的某种平均数,为了验证自己的想法,她进行了实验并记录、绘图,图②表示:当 f = 5 时,v 关于 u 之间 的函数解析式(u>5) . 问题 1:根据图象,圆圆发现:当 f= 5 cm 时,v-5 和 u-5 成反比例关系. ①求 v 关于 u 的函数解析式. ②当 u= 17. 5 时,求 v 的值. 【探究 2】圆圆推测:在一般情形下,当 u>f 时,v-f 和 u-f 成反比例,且比例系数为 f2,由此得到关系式 (v-f)(u-f)= f 2,进而得到关系式 1 f = 1 u + 1 v . 根据图③所示的光路图(u>f)可以抽象得到图④. 问题 2:如图④,AB⊥BB′,A′B′⊥BB′,且点 A 与点 A′位于直线 BB′两侧. 连接 AA′,交 BB′于点 O,OC⊥ BB′且 AC∥BB′,A′C 交 OB′于点 F. 记 OF= f,OB=u,OB′= v,求证: 1 f = 1 u + 1 v . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 68　 23. (本小题满分 10 分) 如图,x 轴上依次有 A,B,D,C 四个点,且 AB=BD=DC= 2,从点 A 处向右上方沿抛物线 y= -(x+2)(x- 6)发出一个带光的点 P. (1)求点 A 的横坐标,且在图中补画出 y 轴; (2)通过计算说明点 P 是否会落在点 C 处,并补全抛物线; (3)求抛物线的顶点坐标和对称轴; (4)在 x 轴上从左到右有两点 E,F,且 EF= 2,从点 F 向上作 GF⊥x 轴,且 GF = 1. 在△GFE 沿 x 轴左 右平移时,必须保证沿抛物线下落的点 P 能落在边 EG(包括端点)上,直接 ∙∙ 写出点 G 横坐标的最 大值与最小值. 第 23 题图 24. (本小题满分 12 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠A= 60°,点 D 为 AB 的中点,连接 CD,将线段 CD 绕点 D 顺时针旋 转 α(60°<α<120°)得到线段 ED,且 ED 交线段 BC 于点 G,∠CDE 的平分线 DM 交 BC 于点 H. (1)如图①,若 α= 90°,则线段 ED 与 BD 的数量关系是 ,GD CD = ; (2)如图②,在(1)的条件下,过点 C 作 CF∥DE 交 DM 于点 F,连接 EF,BE. ①试判断四边形 CDEF 的形状,并说明理由; ②请判断 BE 和 FH 的数量关系,并说明理由; (3)如图③,若 AC= 2,tan(α-60°)= m,过点 C 作 CF∥DE 交 DM 于点 F,连接 EF,BE,请直接 ∙∙ 写出 BE FH 的值(用含 m 的式子表示) . 图① 　 　 　 　 　 图② 　 　 　 　 　 图③ 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 Q 出手后水平向前的速度, ∴ a> 0, ∴ a = 4 10 3 ;把 D(9,0)代入 y = - 5 ( x -1 a ) 2 + 13 2 ,得 0 = - 5 ( 9 -1 a ) 2 + 13 2 ,解得 a= ±8 130 13 ,∵ a 是小球 Q 出手后水平向前 的速度, ∴ a > 0, ∴ a = 8 130 13 , ∴ a 的取值范围为 4 10 3 ≤a≤8 130 13 . 24.解:(1)20;【解法提示】∵ tanB = 3 4 ,∠A = 90°,∴ AC AB = 12 AB = 3 4 ,∴ AB=16,∴ BC= AB2+AC2 = 162+122 =20. (2)如解图①,过点 P 作 PD⊥PC,交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, 第 24 题解图① ∵ ∠PCB= 45°, ∴ ∠PCD= ∠CDP, ∴ PC=PD, ∵ ∠APC+∠DPE= 90°, 　 ∠DPE+∠PDE= 90°, ∴ ∠APC= ∠PDE, ∵ ∠CAP= ∠PED= 90°, ∴ △CAP≌△PED(AAS), ∴ AC=PE= 12,AP=DE, 设 AP=DE=m,则 BE=AB-AP-PE= 4-m, ∵ tanB= 3 4 , ∴ DE BE = m 4-m = 3 4 , ∴ m= 12 7 , ∴ AP= 12 7 , ∴ tan∠ACP=AP AC = 12 7 12 = 1 7 ; 第 24 题解图② (3)如解图②,AB 与 A′D 交于 点 O,连接 A′B, ∵ D 为 BC 的中点, ∴ AD=CD=BD= 1 2 BC= 10, ∴ ∠DAB= ∠DBA, ∵ 将△APD 折叠,点 A 的对应 点为 A′, ∴ ∠DAP= ∠DA′P,AD=A′D= 10, ∴ ∠DA′P= ∠DBA, ∵ ∠A′OP= ∠BOD, ∴ ∠A′PB= ∠BDA′, ∵ A′P⊥AB, ∴ ∠A′PB= ∠BDA′= 90°, ∴ A′B= A′D2 +BD2 = 10 2 , 设 AP= x,则 A′P= x,PB= 16-x, ∵ PA′2 +PB2 =A′B2 , ∴ x2 +(16-x) 2 = (10 2 ) 2 , ∴ x= 2 或 x= 14, ∴ AP= 2 或 14; (4)CQ 的最小值为 8. 【解法提示】如解图③,以 CE 为 边作等边三角形 CEM,连接 MP,∵ 将线段 EP 绕点 E 沿逆时针方向旋转 60°得到线段 EQ, ∴ EP = EQ, ∵ △CEM 是等边三角形, ∴ CE = EM, ∠CEM = 60°, ∴ ∠CEQ= ∠MEP,∴ △CEQ≌△MEP(SAS),∴ CQ = MP,∴ 当 MP 有最小值时,CQ 最小,∵ P 为 AB 上一动 点,∴ 当 MP⊥AB 时,MP 最小,过点 M 作 MH⊥AB 于 点 H,MD⊥CA 于点 D,易得四边形 MDAH 为矩形, CD= DE,∴ MH = AD,∵ AE = 1 2 EC,AC = 12, ∴ AE = 4,CE= 8,∴ DE= 4,∴ AD = 8,∴ MH = 8,即 CQ 的最小 值为 8. 第 24 题解图③ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17. 2024 年石家庄市 28 中中考数学模拟试卷(5 月份)改编 1. D　 2. C　 3. B　 4. D　 5. C　 6. D　 7. C　 8. C　 9. D 10. A　 【解析】由作法得 AD 平分∠BAC,EF 垂直平分 AD,如解图,连接 DE,EF 交 AD 于点 O,∵ EF 垂直平 分 AD,∴ EA = ED,AO⊥EF,∴ ∠AOF = ∠AOE = 90°, ∵ AD 平分 ∠BAC, ∴ ∠FAD = ∠EAD, 在 △AOF 和 △AOE 中, ∠AOF=∠AOE, AO=AO, ∠FAO=∠EAO, { ∴ △AOF ≌ △AOE ( ASA), ∴ AF=AE = 3, ∴ DE = 3,AC = AE + EC = 3 + 1 = 4,在 Rt△CDE 中, CD = DE2 -CE2 = 32 -12 = 2 2 , ∴ △ACD 的面积= 1 2 ×4×2 2 = 4 2 . 第 10 题解图 11. A 12. D　 【解析】∵ AD=BC,BC=B′C,∴ AD=B′C,易知 AC∥ B′D, ∴ 四 边 形 ACDB′ 是 等 腰 梯 形, ∵ ∠B= 30°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 ∴ ∠AB′C= ∠CDA = 30°, 要使 △AB′ D 是直角三角 形,分情况讨论:当∠B′AD = 90°,AB>BC 时,如解图 ①, 设 ∠ADB′ = ∠CB′D= y, ∴ ∠AB′D = y - 30°, ∵ ∠AB′D+∠ADB′ = 90°,∴ y- 30° + y = 90°,解得 y = 60°,∴ ∠AB′D= y-30° = 30°,∵ AB′=AB = 2 3 ,∴ AD = 3 3 ×2 3 = 2,∴ BC= 2;当∠B′AD = 90°,AB<BC 时,如 解图 ②, 延长 B′A 交 BC 于点 G, ∵ AD = BC, BC = B′C,∴ AD=B′C,∵ AD∥BC,∠B′AD = 90°,∴ ∠B′GC = 90°,∵ ∠B = 30°, AB = 2 3,∴ ∠AB′C = 30°, ∴ GC = 1 2 B′C= 1 2 BC,∴ G 是 BC 的中点,在 Rt△ABG 中,BG= 3 2 AB= 3,∴ BC= 6;当∠AB′D= 90°时,如解图③,BC = AB÷cos30° = 2 3 ÷ 3 2 = 4;当∠ADB′ = 90°时,如解图 ④,BC=AB·cos30° = 3. 综上所述,当 BC 的长为 2 或 6 或 4 或 3 时,△AB′D 是直角三角形. 图① 图② 图③ 图④ 第 12 题解图 13. 6　 14. 2 ∶ 1　 15. 3 16. (1) 3 2 ;(2)4　 【解析】 (1)将点 N(1,4)代入 y = kx+ 2,得 4 = k+2,解得 k = 2,∴ 直线 l 的解析式为 y = 2x+ 2,将点 M 的坐标代入得 1 = 2m+ 2,解得 m = - 1 2 , ∴ M(- 1 2 ,1),如解图,连接 MO,NO,设直线 l 与 y 轴 交于点 A, 当 x = 0 时, y = 2, ∴ A(0,2), ∴ S△MON = S△MOA+S△NAO = 1 2 ×2× 1 2 + 1 2 ×2×1 = 3 2 ;(2)由(1)得直 线 l 的解析式为 y= 2x+2,∵ 当 x>- 1 2 时,对于 x 的每 一个值,函数 y=nx(n≠0)的值小于一次函数 y = kx+2 (k≠0)的值,∴ 要保证 x = - 1 2 时,函数 y = nx 的值不 大于函数 y = 2x+ 2 的值,当 x = - 1 2 时,y = 2x+ 2 = 1, ∴ - 1 2 n≤1 即 n≥-2,当 n= 2 时,两直线平行,符合题 意,∴ n 的取值范围是-2≤n≤2 且 n≠0,可取的整数 有-2,-1,1,2,共 4 个. 第 16 题解图 17.解:(1)∵ A= (-3) 0 ,B= (- 1 2 ) -1 ,M= | -1 | , ∴ P=A·B-M = ( - 3) 0 ×( - 1 2 ) -1 - | - 1 | = 1×( - 2) - 1 = -2-1 = -3; (2)由题意得,P=A·B-M= 3x-(5x-1)= -2x+1, ∵ P≤3, ∴ -2x+1≤3, ∴ x≥-1, 在数轴上表示如解图所示. 第 17 题解图 18.解:(1)28; (2)(2n2 -n); (3)存在,由题意得,2n2 -n= 496, 解得 n= 16 或 n= -31 2 (舍去), ∴ 存在某个图形,它对应的几何体由 496 个正方体木 块组成,它是第 16 个图形. 19.解:(1)由折线统计图可知,甲组成绩从小到大排列为 3,6,6,6,6,6,7,9,9,10, ∴ 中位数 a= 6, 乙组学生成绩的平均分 b = 5 ×2+6×1+7×2+8×3+9×2 10 = 7. 2; (2) ∵ 甲组的中位数为 6,乙组的中位数为 7. 5,而小 英的成绩位于小组中上游, ∴ 小英属于甲组学生. (3)①乙组的平均分高于甲组,即乙组的总体平均水 平高于甲组的总体平均水平; ②乙组的方差比甲组小,即乙组的成绩比甲组的成绩 稳定. 20.解:(1)由题意得 30(a+2b)= 20(2a+b), 化简,得 a= 4b; (2)①由题意得 30(a+2b)= 10(xa+yb)或 20(2a+b)= 10(xa+yb), 把 a= 4b 代入,化简得 y= -4x+18; ②∵ -4<0, ∴ y 随 x 的增大而减小, 而 x,y 都是正整数, ∴ 当 x= 4 时,y最小 = 2. ∴ 给每个班 4 个篮球和 2 个排球,可以使每班配置的 排球最少. 21.解:(1) 如解图,连接 AC,交 MN 于点 H,设直线 l 交 MN 于点 Q, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 第 21 题解图 ∵ M 是 AC ( 的中点,点 E 在 MN 上, ∴ ∠AEM= ∠CEM= 1 2 ∠AEC= 33°, 在△AEC中,EA=EC,∠AEH=∠CEH, ∴ EH⊥AC,AH=CH, ∵ 直线 l 是对称轴, ∴ AB⊥l,CD⊥l,MN⊥l, ∴ AB∥CD∥MN, ∴ AC⊥AB, ∴ AC= 42. 9 cm,AH=CH= 429 20 cm, 在 Rt△AEH 中,sin∠AEH=AH AE , 即 11 20 ≈ 429 20 EH , 则 AE≈39 cm, ∴ AC ( 所在的圆的半径约为 39 cm; (2)tan∠AEH= AH HE , 即 13 20 ≈ 429 20 EH , 则 EH≈33 cm, ∴ MH≈6 cm, ∵ 该图形为轴对称图形, ∴ MQ=MH+HQ≈6+30 2 = 21(cm), ∴ MN= 42 cm, 即 MN 的长约为 42 cm. 22. 问题 1:解:①根据题图②,( v- 5) ( u- 5) = ( 6 - 5) × (30-5)= 25,(v-5)(u-5)= (7-5)×(17. 5-5)= 25, (v-5)(u-5)= (10-5)×(10-5)= 25, ∴ v-5 = 25 u-5 ,即 v= 25 u-5 +5, ∴ v 关于 u 的函数解析式为 v= 25 u-5 +5. ②当 u= 17. 5 时,v= 25 17. 5-5 +5 = 7. 问题 2:证明:根据题图④,易证明△OAB∽△OA′B′且 △FOC∽△FB′A′, ∴ OB OB′ = AB A′B′ ,OF B′F = OC B′A′ , 即 u v = AB A′B′ , f v-f = OC B′A′ , 根据题意,易得 AB=OC, ∴ u v = f v-f , ∴ v u = v-f f = v f -1, ∴ v f = v u +1, 即 1 f = 1 u + 1 v . 23.解:(1)抛物线 y= -(x+2)(x-6), 令 y= 0,则-(x+2)(x-6)= 0, 解得 x= -2 或 6, ∴ A(-2,0), ∴ 点 A 的横坐标为-2, ∵ AB= 2,∴ 点 B 应该为坐标轴原点,补画 y 轴如解图; 第 23 题解图 (2)由(1)可知抛物线与 x 轴的另 一个交点为(6,0), ∵ A(-2,0),AB=BD=DC= 2, ∴ C(4,0), ∴ 点 P 不会落在点 C 处, 补全抛物线如解图; (3)∵ y = -( x+ 2) ( x- 6) = -( x- 2) 2 +16, ∴ 抛物线的顶点为(2,16),对称 轴为直线 x= 2; (4)点 G 横坐标的最大值为 8,最小值为 2+ 15 . 【解 法提示】当 y = 1 时,1 = - ( x+ 2) ( x- 6),解得 x = 2 ± 15 ,∴ 抛物线经过 ( 2 + 15 , 1 ), Rt △EFG 中, ∠EFG= 90°,EF = 2,FG = 1,∴ 当点 E 与( 6,0) 重合 时,点 G 的横坐标的值最大,最大值为 8,当点 G 与 (2+ 15 ,1)重合时,点 G 的横坐标最小,最小值为 2+ 15 ,∴ 点 G 横坐标的最大值为 8,最小值为 2+ 15 . 24.解:( 1) ED = BD, 3 3 ; 【解法提示】 在 Rt △ABC 中, ∠ACB= 90°,点 D 为 AB 的中点, ∴ AD = CD = BD, ∵ ∠A= 60°, ∴ ∠B = 30°, △ACD 是等 边 三 角 形, ∴ ∠ACD= 60°,∴ ∠DCB = 30°, ∵ ∠CDE = α = 90°, ∴ GD CD = tan∠DCG = tan30° = 3 3 . ∵ 线段 CD 绕点 D 顺 时针旋转 α ( 60° < α < 120°) 得到线段 ED, ∴ ED = CD=BD. (2)①四边形 CDEF 是正方形,理由如下: ∵ DM 平分∠CDE,∠CDE= 90°, ∴ ∠CDM= ∠EDM= 45°, ∵ CF∥DE,∴ ∠CFD= ∠EDM= 45°, ∴ ∠CFD= ∠EDM= ∠CDM,∴ CF=CD=ED, ∴ 四边形 CDEF 是菱形, ∵ ∠CDE= 90°,∴ 菱形 CDEF 是正方形. ②BE FH = 3 3 ,理由如下: 由( 1 ) 可知, ∠ADC = 60°, ∠CGD = 60°, BD = DE, ∠DCB= 30°, ∴ ∠BDE= 30°,∠EGB= 60°, ∴ ∠DBE= ∠DEB= 75°,∴ ∠EBG= 45°, ∵ ∠GDB= 90°-∠ADC= 30°,∠ABC= 30°, ∴ ∠GDB= ∠ABC,∴ DG=BG, 由①知∠CFD= 45°,∠DCF= 90°, ∴ ∠FCH= ∠DCF-∠DCB= 60°, ∴ ∠EGB= ∠FCH,∠EBG= ∠CFD, ∴ △BEG∽△FHC, ∴ BE FH =BG FC , ∵ DG=BG,CD=CF,∴ BE FH =BG FC =GD CD = 3 3 . (3)BE FH = 3 -m 2 . 【解法提示】如解图,过点 D 作 DN⊥ BC 于点 N,∴ AC∥DN,∴ ∠ACD = ∠CDN,∵ △ACD 是 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 参考答案与重难题解析·河北数学 第 三 部 分 等边三角形, AC = 2, ∴ FC = CD = AC = 2, ∠CDN = ∠ACD=60°,∴ ∠NDG = α- 60°,DN = 1,∴ tan∠NDG = tan( α - 60°) = NG DN = m, ∴ NG = m, 在 Rt △ABC 中, ∠ACB= 90°, ∠A = 60°,AC = 2, ∴ AB = 4,BC = 2 3, ∴ BN= CN = 3 , ∴ BG = 3 - m, ∵ ∠ADC = 60°, ∠CDG= α,∴ ∠BDE = 120° -α,∴ ∠BEG = 30° + α 2 , ∴ ∠EBG = α 2 , ∴ ∠BGE = 150° - α, ∵ DM 平 分 ∠CDE,∠CDE = α, ∴ ∠CDM = ∠EDM = α 2 , ∵ CF∥ DE,∴ ∠CFD = ∠EDM = α 2 , ∠DCF + ∠CDE = 180°, ∴ ∠DCF = 180° - α, ∴ ∠FCG = 150° - α, ∴ ∠EGB= ∠FCG,∠EBG = ∠CFD, ∴ △BEG∽ △FHC, ∴ BE FH = BG FC = 3 -m 2 . 第 24 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三部分　 一战成名优质原创卷精选 18.一战成名优质原创卷(一) 1. B　 2. C　 3. A　 4. D　 5. B　 6. C　 7. B　 8. B　 9. A 10. C　 11. A 12. D　 【解析】由抛物线解析式可知抛物线的对称轴为 直线 x= t,∵ a> 0,∴ 抛物线开口向上,∵ 对于 0<x1 < 1,1<x2 <2,都有 y1 <y2 ,∴ M 到对称轴的距离小于 N 到 对称轴的距离,∴ MN 的中点在对称轴 x= t 的右侧,即 t< x1 +x2 2 ,∵ 0 < x1 < 1,1 < x2 < 2,∴ 1 < x1 + x2 < 3,则 1 2 < x1 +x2 2 < 3 2 ,∴ t≤ 1 2 . 13. -3(答案不唯一)　 14. 8 3 　 15. -1,-2 16. 4,5 3 -6 2 　 【解析】设相邻两个正方形中较小一个 正方形的边长为 b,较小正方形外部最大的等边三角 形的边长为 2a,则较大正方形的边长为 b+2a,那么相 邻的两个正方形的面积之差为 ( b + 2a) 2 - b2 = 4(a2 +ab),由题意可得(b+a) · 3 a = 3 ,∴ a2 +ab = 1,∴ 相邻两个正方形的面积之差为 4;∵ 点 B1 的坐标 为( 2,0), ∴ OB1 = 2, ∴ 正方形 OB1CD 的面积 = 4, ∴ 正方形 OB2FG 的面积 = 8,正方形 OB3 IJ 的面积 = 12,∴ OB2 = 2 2 ,OB3 = 2 3 ,∴ B2B3 = 2( 3 - 2 ),即等 边三角形 B2A3B3 的边长为 2( 3 - 2 ),∴ 等边三角形 B2A3B3 的面积为 1 2 × 2 ( 3 - 2 ) × 3 × ( 3 - 2 ) = 5 3 -6 2 . 17.解:(1)小英的得分为 3×3+1×1+2×(-2)= 6(分); (2)设 A 区域记 m 分,B 区域记 n 分, ∵ 小英得 34 分,小丽得 32 分, ∴ m-n= 2, ∴ 小敏的得分为 32-(m-n)= 30(分) . 18.解:(1)根据题意得 852 = 8×9×100+25 = 7 225; (2)　 (10n+5) 2 = (10n+5) 2 -52 +52 = (10n+5-5)(10n+5+5)+52 = 10n·(10n+10)+52 = 100n·(n+1)+52 . 19.解:(1)列表如下, 1 -2 3 -4 1 (1,-2) (1,3) (1,-4) -2 (-2,1) (-2,3) (-2,-4) 3 (3,1) (3,-2) (3,-4) -4 (-4,1) (-4,-2) (-4,3) 共有 12 种等可能的结果,其中乘积为正数的结果有 (1,3),(-2,-4),(3,1),(-4,-2),共 4 种, ∴ 乘积为正数的概率 P1 = 4 12 = 1 3 ; (2)P2 与 P1 的差为 1 6 . 【解法提示】列表如下,共有 16 种等可能的结果,其中乘积为正数的结果有( 1,1), (1,3),( - 2, - 2),( - 2, - 4),( 3,1),( 3,3),( - 4, -2),(- 4,- 4),共 8 种,∴ 乘积为正数的概率 P2 = 8 16 = 1 2 ,∴ P2 与 P1 的差为 1 2 - 1 3 = 1 6 . 1 -2 3 -4 1 (1,1) (1,-2) (1,3) (1,-4) -2 (-2,1) (-2,-2) (-2,3) (-2,-4) 3 (3,1) (3,-2) (3,3) (3,-4) -4 (-4,1) (-4,-2) (-4,3) (-4,-4) 20.解:(1)∵ 射线 AC′是∠BAC 的平分线, ∴ ∠BAC′= ∠CAC′. ∵ △ABC 绕点 A 旋转得到△AB′C′, ∴ AC′=AC, ∴ ∠ACC′= ∠AC′C= ∠ABC+∠BAC′= 30°+∠CAC′, ∴ 在△ACC′中,∠CAC′+ ∠ACC′+ ∠AC′C = ∠CAC′+ 30°+∠CAC′+30°+∠CAC′= 180°, ∴ 60°+3∠CAC′= 180°, ∴ ∠CAC′= 40°, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24