5 2020年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 17　 　 5 2020 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题有 16 个小题,共 42 分. 1~ 10 小题各 3 分,11~ 16 小题各 2 分. 在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 如图,在平面内作已知直线 m 的垂线,可作垂线的条数有 ( D ) 第 1 题图 A. 0 条　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条 2. 墨迹覆盖了等式“x3 x= x2(x≠0)”中的运算符号,则覆盖的是 ( D ) A. +　 　 　 　 　 　 　 　 B. -　 　 　 　 　 　 　 　 C. ×　 　 　 　 　 　 　 D. ÷ 3. 对于① x-3xy= x(1-3y),②(x+3)(x-1)= x2 +2x-3,从左到右的变形,表述正确的是 ( C ) A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解,②是乘法运算 D. ①是乘法运算,②是因式分解 4. 如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成,比较两个几何体的三视图,正确的是 ( D ) A. 仅主视图不同 B. 仅俯视图不同 C. 仅左视图不同 D. 主视图、左视图和俯视图都相同 第 4 题图 　 　 　 　 　 　 第 5 题图 5. 如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图,第四次又买的苹果单价是 a 元 /千克,发现这四个单价的中 位数恰好也是众数,则 a= ( B ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 6. 如图①,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线. 如图②,步骤如下, 第一步:以 B 为圆心,以 a 为半径画弧,分别交射线 BA,BC 于点 D,E; 第二步:分别以 D,E 为圆心,以 b 为半径画弧,两弧在∠ABC 内部交于点 P; 第三步:画射线 BP. 射线 BP 即为所求. 图① 　 　 　 图② 第 6 题图 下列正确的是 ( B ) A. a,b 均无限制 B. a>0,b> 1 2 DE 的长 C. a 有最小限制,b 无限制 D. a≥0,b< 1 2 DE 的长 7. 若 a≠b,则下列分式化简正确的是 ( D ) A. a +2 b+2 = a b B. a -2 b-2 = a b C. a 2 b2 = a b D. 1 2 a 1 2 b = a b 8. 在如图所示的网格中,以点 O 为位似中心,四边形 ABCD 的位似图形是 ( A ) A. 四边形 NPMQ B. 四边形 NPMR C. 四边形 NHMQ D. 四边形 NHMR 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 12 题图 9. 若(9 2-1)(112-1) k =8×10×12,则 k= ( B ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 10. 如图,将△ABC 绕边 AC 的中点 O 顺时针旋转 180°. 嘉淇发现,旋转后的△CDA 与△ABC 构成平行四 边形,并推理如下: 　 点 A,C 分别转到了点 C,A 处,而点 B 转到了点 D 处. ∵ CB=AD, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 　 　 　 　 　 第 10 题图 小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵ CB = AD,”和“∴ 四边形……”之间作补充. 下列正确 的是 ( B ) A. 嘉淇推理严谨,不必补充 B. 应补充:且 AB=CD, C. 应补充:且 AB∥CD, D. 应补充:且 OA=OC, 11. 若 k 为正整数,则 = ( A ) A. k2k B. k2k+1 C. 2kk D. k2+k 12. 如图,从笔直的公路 l 旁一点 P 出发,向西走 6 km 到达 l;从 P 出发向北走 6 km 也到达 l. 下列说法错 ∙ 误 ∙ 的是 ( A ) A. 从点 P 向北偏西 45°走 3 km 到达 l B. 公路 l 的走向是南偏西 45° C. 公路 l 的走向是北偏东 45° D. 从点 P 向北走 3 km 后,再向西走 3 km 到达 l 13. 已知光速为 300 000 千米 /秒,光经过 t 秒(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为 a×10n 千米,则 n 可能为 ( ) A. 5 B. 6 C. 5 或 6 D. 5 或 6 或 7 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 18　 14. 有一题目:“已知:点 O 为△ABC 的外心,∠BOC = 130°,求∠A. ”嘉嘉的解答为:画△ABC 以及它的外 接圆 O,连接 OB,OC,如图,由∠BOC = 2∠A = 130°,得∠A = 65°. 而淇淇说:“嘉嘉考虑的不周全, ∠A 还应有另一个不同的值. ”下列判断正确的是 ( A ) A. 淇淇说的对,且∠A 的另一个值是 115° B. 淇淇说的不对,∠A 就得 65° C. 嘉嘉求的结果不对,∠A 应得 50° D. 两人都不对,∠A 应有 3 个不同值 第 14 题图 　 　 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 15. 如图,现要在抛物线 y = x(4-x)上找点 P(a,b),针对 b 的不同取值,所找点 P 的个数,三人的说法 如下, 甲:若 b= 5,则点 P 的个数为 0; 乙:若 b= 4,则点 P 的个数为 1; 丙:若 b= 3,则点 P 的个数为 1. 下列判断正确的是 ( C ) A. 乙错,丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对,丙错 D. 甲错,丙对 16. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案. 现有五种正方形纸片,面积 分别是 1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最 ∙ 大 ∙ 的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是 ( B ) A. 1,4,5 B. 2,3,5 C. 3,4,5 D. 2,2,4 二、填空题(本大题有 3 个小题,共 12 分. 17~ 18 小题各 3 分;19 小题有 3 个空,每空 2 分) 17. 已知: - =a - = b ,则 ab= . 18. 正六边形的一个内角是正 n 边形一个外角的 4 倍,则 n= . 19. 如图是 8 个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,每个台阶凸出的角的顶点记作 Tm(m 为 1~ 第 19 题图 8 的整数).函数 y= k x (x<0)的图象为曲线 L. (1)若 L 过点 T1,则 k= ; (2)若 L 过点 T4,则它必定还过另一点 Tm,则 m= ; (3)若曲线 L 使得 T1 ~ T8 这些点分布在它的两侧,每侧各 4 个点,则 k 的整数值有 个. 三、解答题(本大题有 7 个小题,共 66 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20. (本小题满分 8 分) 已知两个有理数:-9 和 5. (1)计算:( -9) +5 2 ; (2)若再添一个负整数 m,且-9,5 与 m 这三个数的平均数仍小于 m,求 m 的值. 21. (本小题满分 8 分) 第 21 题图 有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的 A 区就会自动加上 a2,同时 B 区就会自动减 去 3a,且均显示化简后的结果. 已知 A,B 两区初始显示的分别是 25 和-16,如图. 如,第一次按键后,A,B 两区分别显示: (1)从初始状态按 2 次后,分别求 A,B 两区显示的结果; (2)从初始状态按 4 次后,计算 A,B 两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗? 说明理由. 解:(1)A区显示结果为:25+a2+a2 =25+2a2 , B 区显示结果为:-16-3a-3a=-16-6a; (2)和不能为负数. 理由如下:初始状态按 4 次后 A区显示为:25+a2+a2+a2+a2 =25+4a2, B 区显示为:-16-3a-3a-3a-3a=-16-12a, A+B =25+4a2+(-16-12a) =4a2-12a+9 =(2a-3) 2 . ∵ (2a-3) 2≥0 恒成立, ∴和不能为负数. 22. (本小题满分 9 分) 如图,点 O 为 AB 中点,分别延长 OA 到点 C,OB 到点 D,使 OC=OD. 以点 O 为圆心,分别以 OA,OC 为 半径在 CD 上方作两个半圆. 点 P 为小半圆上任一点(不与点 A,B 重合),连接 OP 并延长交大半圆于 点 E,连接 AE,CP. (1)①求证:△AOE≌△POC; ②写出∠1,∠2 和∠C 三者间的数量关系,并说明理由; (2)若 OC=2OA=2,当∠C 最大时,直接 ∙∙ 指出 CP 与小半圆的位置关系,并求此时 S扇形EOD(答案保留 π). 第 22 题图 　 　 　 　 　 　 备用图 (1)①证明:在△AOE 和△POC 中, AO=PO, ∠AOE=∠POC, OE=OC, ì î í ï ï ïï ∴△AOE≌△POC(SAS); ②解:∠2=∠C+∠1, 理由如下:由(1)得△AOE≌△POC, ∴∠1=∠OPC, 根据三角形外角的性质可得∠2=∠C+∠OPC, ∴∠2=∠C+∠1; (2)解:在 P 点的运动过程中,只有 CP 与小半圆相切时∠C 有最大值, ∴当∠C 最大时,可知此时 CP 与小半圆相切, 由此可得 CP⊥OP. 又∵OC=2OA=2OP=2, ∴在 Rt△POC 中,∠C=30°,∠POC=60°, ∴∠EOD=180°-∠POC=120°, ∴S扇形EOD = 120×π×22 360 = 4 3 π. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 19　 　 23. (本小题满分 9 分) 用承重指数 W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量. 实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一 的木板,实验发现:木板承重指数 W 与木板厚度 x(厘米)的平方成正比,当 x= 3 时,W= 3. (1)求 W 与 x 的函数关系式. (2)如图,选一块厚度为 6 厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割 损耗) . 设薄板的厚度为 x(厘米),Q=W厚-W薄 . ①求 Q 与 x 的函数关系式; ②x 为何值时,Q 是 W薄 的 3 倍? 【注:(1)及(2)中的①不必写 x 的取值范围】 第 23 题图 24. (本小题满分 10 分) 表格中的两组对应值满足一次函数 y= kx+b,现画出了它的图象为直线 l,如图. 而某同学为观察 k,b 对图象的影响,将上面函数中的 k 与 b 交换位置后得另一个一次函数,设其图象 为直线 l′. (1)求直线 l 的解析式; (2)请在图上画出 ∙∙ 直线 l′(不要求列表计算),并求直线 l′被直线 l 和 y 轴所截线段的长; (3)设直线 y=a 与直线 l,l′及 y 轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接 ∙∙ 写出 a 的值. 第 24 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 20　 25. (本小题满分 10 分) 如图,甲、乙两人(看成点)分别在数轴-3 和 5 的位置上,沿数轴做移动游戏. 每次移动游戏规则:裁判先捂住一枚硬币,再让两人猜向上一面是正是反,而后根据所猜结果进行 移动. ①若都对或都错,则甲向东移动 1 个单位,同时乙向西移动 1 个单位; ②若甲对乙错,则甲向东移动 4 个单位,同时乙向东移动 2 个单位; ③若甲错乙对,则甲向西移动 2 个单位,同时乙向西移动 4 个单位. (1)经过第一次移动游戏,求甲的位置停留在正半轴上的概率 P; (2)从如图的位置开始,若完成了 10 次移动游戏,发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错. 设乙猜对 n 次,且他最终 ∙∙ 停留的位置对应的数为m,试用含 n 的代数式表示m,并求该位置距离原点 O 最近时 n 的值; (3)从如图的位置开始,若进行了 k 次移动游戏后,甲与乙的位置相距 2 个单位,直接 ∙∙ 写出 k 的值. 第 25 题图 26. (本小题满分 12 分) 如图①和图②,在△ABC 中,AB=AC,BC= 8,tanC= 3 4 . 点 K 在 AC 边上,点 M,N 分别在 AB,BC 上,且 AM= CN=2.点 P 从点M出发沿折线MB-BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在 AC 边上随P 移动,且始终保 持∠APQ=∠B. (1)当点 P 在 BC 上时,求点 P 与点 A 的最短距离; (2)若点 P 在 MB 上,且 PQ 将△ABC 的面积分成上下 4 ∶5两部分时,求 MP 的长; (3)设点 P 移动的路程为 x,当 0≤x≤3 及 3≤x≤9 时,分别求点 P 到直线 AC 的距离(用含 x 的式子 表示); (4)在点 P 处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ 扫描△APQ 区域(含边界),扫描器随点 P 从 M 到 B 再到 N 共用时 36 秒. 若 AK= 9 4 ,请直接 ∙∙ 写出点 K 被扫描到的总时长. 图① 　 　 图② 第 26 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 (2)垂直. 理由:如解图,连接 OA1 , ∵ A1A7 ( 是半圆弧,∴ A1A7 就是☉O 的直径, ∴ ∠A7A11A1 = 90°,即 A7A11 ⊥PA1 ; (3)∵ PA7 是☉O 的切线, ∴ ∠PA7O= 90°, 由(1)知∠A7OA11 = 120°, ∴ ∠A7A1A11 = 60°,∴ ∠P= 30°, ∴ PA1 = 2A7A1 = 24, ∴ PA7 = 　 PA21 -A1A 2 7 = 　 242 -122 = 12 3 . 第 24 题解图 25.解:(1)当 y=0 时,-x2+4x+12=0,解得 x1 =-2,x2 =6, 由题意知点 A 为 L 与 x 轴的左交点, ∴ 点 A 的横坐标为-2, 第 25 题解图 ∴ y 轴如解图所示, 点 P 落在台阶 T4 上; (2)由题意,设 C 的解析式 为 y= -(x-h) 2 +11, 由(1) 得,点 P 落在 T4 上 (5,7)处, ∴ 把 x= 5,y= 7 代入, 得 7 = - ( 5 - h) 2 + 11,解得 h1 = 7,h2 = 3, 由题意 h>5,取 h= 7, ∴ C 的解析式为 y= -(x-7) 2 +11, ∴ C 的对称轴为直线 x= 7, ∵ 6<7<7. 5,∴ 该对称轴与 T5 有交点; (3)对于 y= -(x-7) 2 +11,当点 P 落在 B,D 处时,其横 坐标 x>7, 当 y= 2 时,2 = -(x-7) 2 +11,解得 x= 4 或 10,取 x= 10; 当 y = 0 时, 0 = - ( x - 7) 2 + 11, 解得 x = 7 + 11 或 7- 11 ,取 x= 7+ 　 11 ; ∴ 点 B 横坐标的最大值比最小值大( 7 + 　 11 + 1) - 10 = 　 11 -2. 26.论证　 证明:∵ AD∥BC, ∴ ∠A= ∠B,∠D= ∠C,而 AD=BC, ∴ △AOD≌△BOC, ∴ AO=BO= 1 2 AB= 10; 发现　 解:如解图①,当 A,C,B 三点共线时,△ADC 是 等边三角形, 图① 此时∠ADC= 60°. 如解图②,当 A,B,C 三点不共线时,取 AB 的中心点 O,连接 OD,有 AD= AO =OD =BO =BC =CD = 10,即四 边形 BCDO 为菱形,从而 CD∥AB. ∴ ∠ADC= 180°-60° = 120°, ∴ ∠ADC 的度数可能是 60°或 120°; 尝试　 解:∵ BM≤BC+CM, ∴ 当 B,C,D 三点共线时,BM 最大为 15. 如解图③,作 DH⊥AB,MN⊥AB,BG⊥AD,垂足分别是 点 H,N,G. ∵ BD = BC + CD = 20 = AB, ∴ AG = GD = 1 2 AD = 5, ∴ BG= 　 AB2 -AG2 = 5 15 . 由 S△ABD = 1 2 AD·BG= 1 2 AB·DH, 得 DH=AD·BG AB = 5 15 2 . 由 Rt△BMN∽Rt△BDH,得BM BD =MN DH ,即15 20 = MN 5 15 2 , ∴ MN= 15 15 8 ,∴ 点 M 到 AB 的距离为15 15 8 ; 拓展　 解:①BP= 20d 2 300+d2 ;②5 +　 7 8 . 图② 图③ 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5. 2020 年河北省初中毕业生升学文化课考试·数学 1. D　 2. D　 3. C　 4. D　 5. B　 6. B　 7. D　 8. A　 9. B 10. B　 11. A　 12. A　 13. C　 14. A 15. C　 【解析】当 b = 5 时,令 x(4-x) = 5,整理得 x2 -4x+ 5 = 0,Δ= (-4) 2 -4×5 = -4<0,因此点 P 的个数为 0,甲 的说法正确;当 b= 4 时,令 x(4-x)= 4,整理得 x2 -4x+ 4 = 0,Δ= (-4) 2 -4×4 = 0,因此点 P 有 1 个,乙的说法 正确;当 b= 3 时,令 x( 4 - x) = 3,整理得 x2 - 4x+ 3 = 0,Δ= (-4) 2 -4×3 = 4>0,因此点 P 有 2 个,丙的说法 不正确. 16. B　 【解析】根据题意,设三个正方形的边长从小到大 分别为 a、b、c,由勾股定理,得 a2 +b2 = c2 ,A. ∵ 1+ 4 = 5,∴ 两直角边分别为 1 和 2,∴ 面积为 1 2 × 1× 2 = 1; B. ∵ 2+3 = 5,∴ 两直角边分别为 2 和 3 ,则面积为 1 2 × 2 × 3 = 6 2 ; C. ∵ 3 + 4 ≠ 5, ∴ 不符合题意; D. ∵ 2+2 = 4,∴ 两直角边分别为 2 和 2 ,则面积为 1 2 × 2 × 2 = 1. ∵ 6 2 >1,∴ 选项 B 正确. 17. 6　 18. 12 19. (1) - 16; ( 2) 5; ( 3) 7 　 【解析】 ( 1) 由图象可知 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 参考答案与重难题解析·河北数学 第 一 部 分 T1(-16,1),又∵ 函数 y = k x ( x< 0) 的图象经过 T1 , ∴ 1 = k-16 ,即 k = - 16;( 2) 由图象可知 T1 ( - 16,1)、 T2(-14,2)、T3 ( - 12, 3)、 T4 ( - 10, 4)、 T5 ( - 8, 5)、 T6(-6,6)、T7( - 4,7)、T8( - 2,8),∵ L 过点 T4 ,∴ k = -10×4 = -40,观察 T1 ~T8 ,发现 T5 符合题意,即 m= 5; (3)∵ T1 ~ T8 的横纵坐标的积分别为:-16,-28, -36, -40,-40,-36,-28,-16,∴ 要使这 8 个点位于 L 的两 侧,k 必须满足-36<k<- 28,∴ k 可取- 29、- 30、-31、 -32、-33、-34、-35 共 7 个整数值. 20. 解:(1)( -9)+5 2 = -4 2 = -2; (2)依题意得( -9)+5+m 3 <m, 解得 m>-2, ∴ 负整数 m= -1. 21. 解:(1)A 区显示结果为:25+a2 +a2 = 25+2a2 , B 区显示结果为:-16-3a-3a= -16-6a; (2)和不能为负数. 理由如下: 初始状态按 4 次后 A 区显示为:25+a2 +a2 +a2 +a2 = 25+4a2 , B 区显示为:-16-3a-3a-3a-3a= -16-12a, A+B = 25+4a2 +(-16-12a) = 4a2 -12a+9 = (2a-3) 2 . ∵ (2a-3) 2 ≥0 恒成立,∴ 和不能为负数. 22. (1)①证明:在△AOE 和△POC 中, AO=PO, ∠AOE=∠POC, OE=OC, { ∴ △AOE≌△POC(SAS); ②解:∠2 = ∠C+∠1, 理由如下: 由(1)得△AOE≌△POC, ∴ ∠1 = ∠OPC, 根据三角形外角的性质可得∠2 = ∠C+∠OPC, ∴ ∠2 = ∠C+∠1; (2)解:在 P 点的运动过程中,只有 CP 与小半圆相切 时∠C 有最大值, ∴ 当∠C 最大时,可知此时 CP 与小半圆相切, 由此可得 CP⊥OP. 又∵ OC= 2OA= 2OP= 2, ∴ 在 Rt△POC 中,∠C= 30°,∠POC= 60°, ∴ ∠EOD= 180°-∠POC= 120°, ∴ S扇形EOD = 120×π×22 360 = 4 3 π. 23. 解:(1)设 W= kx2 , ∵ 当 x= 3 时,W= 3, ∴ 3 = 9k, ∴ k= 1 3 , ∴ W 与 x 的函数关系式为 W= 1 3 x2 ; (2)①∵ 薄板的厚度为 x 厘米,木板的厚度为 6 厘米, ∴ 厚板的厚度为(6-x)厘米, ∴ Q= 1 3 ×(6-x) 2 - 1 3 x2 = -4x+12, ∴ Q 与 x 的函数关系式为 Q= -4x+12; ②∵ Q 是 W薄 的 3 倍, ∴ -4x+12 = 3× 1 3 x2 ,且 0<x<3, 解得 x1 = 2,x2 = -6(不符题意,舍去), ∴ 当 x= 2 时,Q 是 W薄 的 3 倍. 24. 解:(1)依题意把(-1,-2)和(0,1)代入 y= kx+b, 第 24 题解图 得 -2 = -k+b, 1 = b,{ 解得 k= 3, b= 1.{ ∴ 直线 l 的解析式为 y = 3x+1; (2)依题意可得直线 l′的 解析式为 y= x+3, 作函数图象如解图: 令 x = 0,得 y = 3,故 B(0, 3), 联立 y= 3x+1, y= x+3,{ 解得 x= 1, y= 4.{ ∴ A(1,4), ∴ 直线 l′ 被直线 l 和 y 轴所截线段的长 AB = (1-0) 2 +(4-3) 2 = 2 ; (3)a 的值为 5 2 或 17 5 或 7. 【解法提示】①当对称点在直线 l 上时, 令 a= 3x+1,解得 x=a -1 3 , 令 a= x+3,解得 x=a-3, 2×a -1 3 =a-3, 解得 a= 7; ②当对称点在直线 l′上时, 则 2×(a-3)= a -1 3 , 解得 a= 17 5 ; ③当对称点在 y 轴上时, 则 a-1 3 +a-3 = 0, 解得 a= 5 2 . 综上,a 的值为 5 2 或 17 5 或 7. 25. 解:(1)题干中对应的三种情况的概率为: ① 1 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 = 1 2 ; ② 1 2 × 1 2 = 1 4 ; ③ 1 2 × 1 2 = 1 4 ; 甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况②, 故 P= 1 4 ; (2)根据题意可知乙猜了 10 次,猜对了 n 次,则猜错 了(10-n)次, 根据题意可得,n 次猜对,向西移动 4n, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 (10-n)次猜错,向东移了 2(10-n), ∴ m= 5-4n+2(10-n)= 25-6n, 当 m= 0 时,解得 n= 25 6 . ∵ n 为整数, ∴ 当 n= 4 时,距离原点最近; (3)k 的值为 3 或 5. 【解法提示】起初,甲、乙的距离是 8, 已知,当甲、乙一对一错时,二者之间距离缩小 2, 当甲、乙同时猜对猜错时,二者之间的距离缩小 2, ∴ 当甲、乙位置相距 2 个单位时,共缩小了 6 个单位 或 10 个单位, ∴ 6÷2 = 3 或 10÷2 = 5, ∴ k= 3 或 k= 5. 26. 解:(1)当点 P 在 BC 上时,AP⊥BC 时 AP 最小. ∵ AB=AC,∴ △ABC 为等腰三角形, ∴ PAmin = BC 2 ·tanC= 4× 3 4 = 3; 　 第 26 题解图 (2)如解图,过 A 点向 BC 边作 垂线,交 BC 于点 E, S上 =S△APQ,S下 =S四边形BPQC . ∵ ∠APQ= ∠B, ∴ PQ∥BC, ∴ △APQ∽△ABC, ∴ AP AB =AQ AC =PQ BC , ∴ S△APQ S△ABC = (AP AB ) 2 , 当 S上 S下 = 4 5 时, SΔAPQ S△ABC = (AP AB ) 2 = 4 9 , ∴ AP AB = 2 3 , AE=BC 2 ·tanC= 3, 根据勾股定理可得 AB= 5, ∴ AP AB =MP+2 5 = 2 3 , 解得 MP= 4 3 ; (3)当 0≤x≤3 时,P 在 BM 上运动, P 到 AC 的距离:d=PQ·sinC. 由(2)可知 sinC= 3 5 ,∴ d= 3 5 PQ. ∵ AP= x+2,∴ AP AB = x+2 5 =PQ BC , ∴ PQ= x +2 5 ×8, ∴ d= x +2 5 ×8× 3 5 = 24 25 x+48 25 ; 当 3≤x≤9 时,P 在 BN 上运动, BP= x-3,CP= 8-(x-3)= 11-x, ∴ d=CP·sinC= 3 5 (11-x)= - 3 5 x+33 5 , 综上,d= 24 25 x+ 48 25 (0≤x≤3), - 3 5 x+ 33 5 (3≤x≤9); ì î í ï ï ï ï (4)23 秒. 【解法提示】AM= 2<AK= 9 4 ,移动的速度= 9 36 = 1 4 . ①从 Q 平移到 K,耗时: 9 4 -2 1 4 = 1(秒), ②P 在 BC 上且 K 与 Q 重合时,CQ=CK= 5- 9 4 = 11 4 . ∵ ∠APQ+∠QPC= ∠B+∠BAP,∠APQ= ∠B, ∴ ∠QPC= ∠BAP. 又∵ ∠B= ∠C, ∴ △ABP∽△PCQ. 设 BP= y,则 CP= 8-y, AB PC =BP CQ ,即 5 8-y = y 11 4 , 解得 y1 = 5 2 ,y2 = 11 2 , 5 2 ÷ 1 4 = 10(秒),11 2 ÷ 1 4 = 22(秒), ∴ 点 K 被扫描到的总时长为 36 - ( 22 - 10) - 1 = 23(秒) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第二部分　 2024 年河北各地市、名校优质模拟卷精选改编 6. 2024 年石家庄市中考数学一模试卷改编 1. C　 2. A　 3. A　 4. D　 5. A　 6. A　 7. A　 8. D　 9. D 10. C　 11. D 12. A 　 【解析】 ∵ 在 △ABC 中, AB = AC, ∠ABC = 70°, ∴ ∠ACB = ∠ABC = 70°, ∴ ∠BAC = 180° - ( ∠ACB + ∠ABC)= 180°-(70°+70°)= 40°,如解图,依题意分别 以 A,B 为圆心,以 AB 长为半径的两条弧相交于点 P,P′,连接 PB,P′B,根据作图可知 AB=AC=AP =BP = P′B=AP′,∴ △APB,△AP′B 均为等边三角形,∴ ∠BAP= ∠BAP′= 60°,在△ACP 中,AC = AP, ∠CAP = ∠BAP - ∠BAC= 20°,∴ ∠APC = 1 2 (180°-∠CAP)= 1 2 ×(180°- 20°)= 80°,在△AP′C 中,AP′ = AC,∠CAP′ = ∠BAP′+ ∠BAC= 100°,∴ ∠AP′C = 1 2 ×(180°-∠CAP′) = 1 2 × (180°- 100°) = 40°,∴ 淇淇说得对,∠APC 的另一个 值是 40°. 第 12 题解图 13. 0(答案不唯一)　 14. 2 15. ①②　 【解析】当 k = 9 时,易知 A( 3,3),如解图所 示,点 D1 ,D2 ,D3 ,D4 ,D5 均为整点,当直线 l2 过点 D5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41